例5 计算行列式
a b c d
D=a a+b a+b+c a+b+c+d
a2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+d
a3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+d
a b c d
=0a a+b a+b+c
02a3a+2b4a+3b+2c
03a6a+3b10a+6b+3c
a b c d
=0a a+b a+b+c
00a2a+b
003a7a+3b
a b c d
=0a a+b a+b+c=a4
00a2a+b
000a
例6 计算n阶行列式的值解：将各列加到第1列上x a a…a a x+(n-1)a a a…a a a x a…a a x+(n-1)a x a…a a a a x…a a x+(n-1)a a x…a a a a a…a a=x+(n-1)a a a…a a ………………………………
a a a…x a x+(n-1)a a a…x a a a a…a x x+(n-1)a a a…a x 第1行乘以-1加到各行中
x+(n-1)a a a…a a
0x-a0 (00)
00x-a (00)
000 (00)
………………
000…x-a0
000…0x-a
=[x+(n-1)a](x-a)n-1
例7 计算行列式
1a10 (00)
-11-a1a2 (00)
0-11-a2 (00)
00-1 (00)
………………
000…a n-10
000…1-a n-1a n
000…-11-a n
1a10 (00)
01a2 (00)
0-11-a2 (00)
=00-1 (00)
………………
000…a n-10
000…1-a n-1a n
000…-11-a n
1a10 (00)
01a2 (00)
001 (00)
=00-1 (00)
………………
000…a n-10
000…1-a n-1a n
000…-11-a n
1a10 (00)
01a2 (00)
001 (00)
=...000 (00)
………………
000…a n-10
000…1a n
000 (01)
=1(上三角行列式等于对角元素的乘积)
例8 解方程(其中a1,a2,…a n)为互不相同的常数a1a2a3…a n-1a n
a1a1+a2-x a3…a n-1a n
a1a2a2+a3-x…a n-1a n=0………………
a1a2a3…a n-2+a n-1-x a n
a1a2a3…a n-10a n-1+a n-x
第1行×(-1)加到后面各行
a1a2a3…a n-1a n
0a1-x0 (00)
00a2-x…00=0………………
000…a n-2-x0
000…0a n-1-x
即：(对角行列式等于对角元素的乘积)
a1(a1-x)(a2-x)…(a n-2-x)(a n-1-x)=0
所以：
x1=a1，x2=a2，…x n-2=a n-2，x n-1=a n-1