离散数学第五版课后答案
【篇一：离散数学课后答案(四)】
txt>4.1习题参考答案
-------------------------------------------------------------------------------- 1、
根据结合律的定义在自然数集n中任取 a,b,c 三数，察看 (a。b)。
c=a。(b。c) 是否成立？可以发现只有 b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下： a) 若有a,b,c∈n，则
(a*b)*c =(a-b)-c a*(b*c) =a-(b-c)
在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。此运算是可
结合的。 c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显
二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。 d)运用同样的分析可知
其不是可结合的。
-------------------------------------------------------------------------------- 2、
d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------
其不满足交换律、满足结合律、不满足幂等律、无零元、无单位
元
晓津补充证明如下：
(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当p,q取值不等时，二式不相等。因此*运算不满足交换律。 (2)设a,b,c∈r
则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而
a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。(3)a*a=pa+qa+r≠a 所以运算不满足幂等律。
(4)反证法。设有单位元e,则应有
a*e=pa+qe+r=a, e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q 或e=(a-qa-r)/p 当p,q,r ,a取值不同时，可得不同的e,这与单位元若有时只是唯一的
定理相矛盾。 (5)反证法。设有零元o,则应有
a*o=pa+qo+r=o ,o*a=po+qa+r=o ，同上分析，零元不止一个，因
此与零元唯一的定理相矛盾。 -------------------------------------------------------------------------------- 5、 (a) : 可交换、具有幂等性、有幺元 a 、
c是b的逆元
晓津答案：可交换，但不具有幂等性。幺元e=a,表中有
a*a=a,b*c=a,c*b=a,则可得a的逆元是a,b有逆元c,c有逆元b.
(b) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a , 因为a*a=a,b*b=a,所以a
有逆元a,b有逆元b.
(c) : 不可交换、具有幂等性,无幺元。
(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a.
-------------------------------------------------------------------------------- 6、
证明：设a,b,c∈i+ a*(b△c)=a^(b.c)
(a*b)△(a*c)=(a^b).(a^c)=a^(b+c)可见：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c) 根据：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c)可知*对△是不可分配的
-------------------------------------------------------------------------------- 7、解：晓津证明如下：
(1)我们先证明n=1时,该运算*在z1 上的运算是可结合的：此时，
设有a,b,c∈z1 则有a=0,b=0,c=0 (a*b)*c=(((a.b)mod n).c )mod
n=0 a*(b*c)=(a.((b.c)mod n) )mod n=0
两式相等，因此当n=1时，*运算是可结合的。
(2)由上可设当n=k时，*运算是可结合的。 (3)设n=k+1时，有：
(a*b)*c= (((a.b) mod (k+1)).c )mod (k+1) =(a.b.c mod (k+1) )
mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)mod (k+1)) )mod (k+1) =(a.b.c mod
(k+1) ) mod (k+1)
可见两式是完全相同的结果。因此有当n=k+1时，*运算满足结合律。所以对于任意n∈n,*在zn上是可结合的。
4.2节习题参考答案
-------------------------------------------------------------------------------- 1、解： zn={0,1,2,3}
(1)我们先证明k=1时,该运算*在z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c∈z1 则有a=0,b=0,c=0 (a*b)*c=(((a.b)mod k).c )mod k=0 a*(b*c)=(a.((b.c)mod k) )mod k=0
两式相等，因此当k=1时，*运算是可结合的。 (2)由上可设当k=k 时，*运算是可结合的。 (3)设k=k+1时，有：
(a*b)*c= (((a.b) mod (k+1)).c )mod (k+1)=(a.b.c mod (k+1) ) mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)mod (k+1)) )mod (k+1)=(a.b.c mod (k+1) ) mod (k+1)
可见两式是完全相同的结果。因此有当k=k+1时，*运算满足结合律。所以对于任意k∈k,*在zk上是可结合的。由此可知其是个半群。
-------------------------------------------------------------------------------- 2、证明：二元运算□是可结合的。根据结合律：(x□y)□z=x□(y□z)
(x□y)□z=(x*a*y)*a*z x□(y□z)=x*a*(y*a*z) 由于*满足结合律，故：(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z) = (x□y)□z=x□(y□z) = 二元运算□是可结合
的
-------------------------------------------------------------------------------- 3、构
成一个半群,证明详见第一题，其具有封闭性、结合性。
-------------------------------------------------------------------------------- 4、
(1)、由运算。可知，a。b∈r ，可知其在r上具有封闭性。（2）、对于任意 a,b,c∈r
(a。b)。c=(a+b+ab)。c=a+b+ab+c+ac+bc+abc a。(b。c)=a。
(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc 可见： (a。b)。c=a。(b。c)即。在r上是可结合的。
(3) 因为 [0]。[i]=i ,所以[0]是r,o上一个幺元根据上述 r,o是独异点晓津认为题中所给r,o中的o应为o；答案中的(3)幺元是0,而不是[0]. -------------------------------------------------------------------------------- 5、晓津证明如下：
反证法：若v不是独异点，则v不存在幺元. 而因为x是任意的，则当x=a时，有 a*u=v*a=a
即此时u,v分别是a的右、左幺元。因为在一个系统中若同时存在
左右幺元，则二者必相等，因此此时u=v=e。这与假设矛盾，因此
由v是一个半群，又v具有幺元，得知v是独异点。 ------------------
-------------------------------------------------------------- 6、证明： v=s,o是
半群,故。在s上是可结合的
x。ol=ol。x 根据定义4.1.5可知：ol。x=ol
故x。ol也是一个左零元
晓津不同意见：可结合不等于可交换。在这里应当把(x。ol)看作一
个元素，这整个元素是一个左零元。另，题中s,o应为s，。证明
如下：
因为v是半群，所以运算是封闭的,可结合的。若有x,y,ol∈s，则
有x。ol∈s
且有(x。ol)。y=x。(ol。y)=x。ol 即x。ol是s中任意y的左零元。 -------------------------------------------------------------------------------- 7、解：子半群如下：
v1=z1,,v2=z2,,v3=z3,,v4=z4,
其中v1,v2,v3 ,v4都是v的子独异点，因为这四个半群中均有幺元e=1。 -------------------------------------------------------------------------------- 8、证明如下：设s,*为一个独异点，则它有一个幺元.
设在s,*中e是关于*的幺元，若对于任意a∈s，存在b∈s且
b*a=e，则b是a的左逆元。令左逆元的集合为l，则ls, 所以*在l 上是结合的。
对任意的a，b∈l,
则必存在x,y∈s,使a*x=e，b*y=e; 则
(a*b)*(y*x)=a*(b*y)*x=a*e*x=a*x=e; 故a*b是y*x的左逆元，
∴a*b∈l
∴*在l上是封闭的 (本段证明由阮允准补充)
即l,*是一个半群。因为e是s中关于*的幺元，所以它同时也是l中关于*的幺元。因此l,*是一个子独异点。
-------------------------------------------------------------------------------- 9、答：从表中看：
4.3习题参考答案
证明：根据定理
4.3.4，设g,*是一个群，对于a,b∈g。必存在惟一的x∈g,使 a*x=b 设 a*b=g 因为 a*b=a*c 所以 a*c=g
由于 b在a中是惟一的，而c在a中也是惟一。所以 b=c晓津的证明如下：
已知a,*为群，则对于任意a,必逆元a-1和幺元e，则有： a-
1*(a*b)=a-1*(a*c) 即有
(a-1*a)*b=(a-1*a)*c e*b=e*c 所以有b=c
证明：根据定理
4.2.2设h,*是独异点，对于a,b∈h,且a,b均有逆元。
那么根据定义4.3.1，可知 h，*是群
交换群就是 *运算满足交换律的情况。
满足交换律就是 a*b=b*a 将 (a*b)*(b*a) 根据结合性可得
a*(b*b)*a=a*e*a=e
将 (b*a)*(a*b) 根据结合性可得 b*(a*a)*b=b*e*b=e 由于有
x*x=e ，而上述两个运算的结果，可知 a*b=b*a
根据定义4.3.4，可知其是一个交换群。晓津证法如下：
设有任意a,b∈h，e为幺元，则根据已知条件有：
a*b=(e*a)*(b*e)=(b*b*a)*(b*a*a)=b*((b*a)*(b*a))*a
(b*c)*c=a*c=c b*(c*c)=b*a=b (b*c)*c≠b*(c*c) 故不是半群(本题
答案由hybina提供，感谢hybina)
=b*e*a=b*a
可见a*b=b*a,即h,*是交换群。
证明：关于此题的疑惑，假如 a=1 b=1 那么
a*b=0,0不是正整数了。那么g,*就不能满足封闭性了。也有可能是
我把题意给理解错了。
晓津观点，整数加群是指在整数集上进行加法运算的一个代数系统。而不仅仅是正整数上进行加运算，0也是包含在这个集合中的，所以
满足封闭性。
证明如下：
(1)因为任意a,b∈g，即a,b∈z，且a*b=a+b-2,可见a*b∈z，因此g,*是封闭的。 (2)设有任意a,b,c∈g，则 (a*b)*c =(a+b-2)+c-
2=a+b+c-4
a*(b*c) =a+(b+c-2)-2=a+b+c-4=(a*b)*c 可见g上关于* 运算是可结
合的。 (3)在g,*中存在幺元e=2 ，验证如下：
对于任意a∈g，有a*e=a+2-2=a ，e*a=2+a-2=a
(4)对于任意a∈g，存在逆元a-1 =4-a ,验证如下：a*a-1=a+(4-a)-
2=2 ;a-1*a=4-a+a-2=2。因此可证，g，*是群。 4、设g=
{
( 1 0 ) ( 1 0 ) (-1 0 ) (-1 0 ) ( 0 1 ) ( 0 -1) ( 0 1 ) ( 0 -1)
}
证明： g关于矩阵乘法构成一个群。运算表：
并且其具有单位元
1 0 0 1
如何证明其具有结合性？晓津认为，仍旧可从表上看出。(表中色块
表示(a*b)*d=a*(b*d)。*表示矩阵乘法。仅供理解用，证明时不必写出。)
另外可以每个矩阵乘以它本身，就等于其单位元，根据题二的结论
x*x=单位元，则说明g,矩阵乘法是群。晓津观点：最后一步应找到
每个元素有其逆元而不是单位元。仍从表上可以找到,每个元素本身
就是它的逆元。因此g关于矩阵乘法
构成一个群。
问：s,*是否构成群？为什么？
关于普通乘法，很显然它也是可结合的。
为其逆元。可见g,*构成群。
同学们有更好的理解和证法请不要独享啊。
其是群，因为右逆元存在的条件便是先存在着单位元（参见p80定
义4.1.6)，所以 g,*存在幺元。根据定理4.1.4 ，因为g,*是半群，所
以其是可结合运算的，根据定理4.1.4，其必有左逆元=右逆元，所
以其是一个群。
[4]=[3]4 [5]=[3]5 [1]=[3]6 故g是六阶循环群。
littletree同学指出还有一个生成元：[5]
因4=[5]2，6=[5]3,2=[5]4,3=[5]5,1=[5]6 晓津答案：
a)
b)(i是一个群。 a)
从运算表中可以看其具有封闭性。有幺元 a ，对于 b 有逆元 c ，对于 c有逆元 b 。同时可看出其具有结合性，如(a。b)。c=a。(b。
c)=a b) 其是循环群， b=b c=b2 a=b3 b是生成元。还有 c=c
b=c2 a=c3 所以c也是生成元晓津证明如下：
(1)是指g中的有限阶群，题意是指任何一个有限阶群都是g的一个
子群?(2)还是指g中所包含的元素的阶是有限的且这些元素组成的集合是g的一个子群? 请兄弟mm们提供高见。
下面是阮允准同学的证明: 我认为是第2种理解。证明如下：
设e是＜g，＊＞的幺元显然e∈h,
所以h是g的非空子集。
设任意的a,b∈h，则必有正整数m,n使am=e,
【篇二：离散数学课后习题答案(左孝凌版)】
s=txt>1-1，1-2解：
a) 是命题，真值为t。 b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。 e) 是命题，
真值为t。 f) 是命题，真值为t。 g) 是命题，真值为f。 h) 不是命题。
i) 不是命题。（2）解：
原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）解：
a) (┓p ∧r)→q b) q→r c) ┓p d) p→┓q （4）解：
a)设q:我将去参加舞会。r:我有时间。p:天下雨。
q? (r∧┓p):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设r:
我在看电视。q:我在吃苹果。
r∧q:我在看电视边吃苹果。
c) 设q:一个数是奇数。r:一个数不能被2除。
（q→r）∧(r→q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不
能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：
a) 设p：王强身体很好。q：王强成绩很好。p∧qb) 设p：小李看书。q：小李听音乐。p∧q c) 设p：气候很好。q：气候很热。p∨q
d) 设p： a和b是偶数。q：a+b是偶数。p→q
e) 设p：四边形abcd是平行四边形。q ：四边形abcd的对边平行。p?q f) 设p：语法错误。q：程序错误。r：停机。（p∨ q）→ r (6) 解：
a) p:天气炎热。q:正在下雨。p∧q b) p:天气炎热。r:湿度较低。
p∧r c) r:天正在下雨。s:湿度很高。 r∨s d) a:刘英上山。b:李进上山。a∧b e) m:老王是革新者。n:小李是革新者。 m∨n f) l:你看电影。m:我看电影。┓l→┓m
g) p:我不看电视。q:我不外出。 r:我在睡觉。 p∧q∧r h) p:控制台打字机作输入设备。q:控制台打字机作输出设备。p∧q 1-3 （1）解：
a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可
作为合式公式） b) 是合式公式
c) 不是合式公式（括弧不配对）
d) 不是合式公式（r和s之间缺少联结词） e) 是合式公式。（2）解：
a） a是合式公式，(a∨b)是合式公式，(a→(a∨b)) 是合式公式。
这个过程可以简记为：
a；(a∨b)；(a→(a∨b)) 同理可记
b）a；┓a ；(┓a∧b) ；((┓a∧b)∧a)
c） a；┓a ；b；(┓a→b) ；(b→a) ；((┓a→b)→(b→a)) d）a；b；(a→b) ；(b→a) ；((a→b)∨(b→a)) （3）解：
a）((((a→c)→((b∧c)→a))→((b∧c)→a))→(a→c)) b）
((b→a)∨(a→b))。（4）解：
a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用q代换p, (p→p)代换q.d)
是由a) 式进行代换得到，在a) 中用p→(q→p)代换q.
e) 是由b) 式进行代换得到，用r代换p, s代换q, q代换r, p代换s. （5）解：
a) p: 你没有给我写信。 r: p q ∨ b) p: 张三不去。q: 李四不去。r: 他就去。 (p∧q)→r
c) p: 我们能划船。 q: 我们能跑步。┓(p∧q) d) p: 你来了。q: 他唱歌。r: 你伴奏。p→(q?r) （6）解：
p:它占据空间。 q:它有质量。 r:它不断变化。 s:它是物质。这个人起初主张：(p∧q∧r) ? s 后来主张：(p∧q?s)∧(s→r)
这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有p∧q必同时有r，开头时没有这样的主张。（7）解：
a) p: 上午下雨。 q:我去看电影。 r:我在家里读书。 s:我在家里看报。(┓p→q)∧(p→(r∨s))
b) p: 我今天进城。q:天下雨。┓q→p c) p: 你走了。 q:我留下。
q→p 1-4 （4）解：a)
所以，p∧(q∧r) ? (p∧q)∧r b)
所以，p∨(q∨r) ? (p∨q)∨r ｃ）
【篇三：离散数学课后习题答案(焦占亚版)】
列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?
⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!
⑼请勿随地吐痰!
⑽圆的面积等于半径的平方乘以?。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，
⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；
⑵ p：天气冷；q：我穿羽绒服；
⑶ p：天在下雨；q：湿度很高；
⑷ p：刘英上山；q：李进上山；
⑸ p：王强学过法语；q：刘威学过法语；
⑹ p：你看电影；q：我看电影；
⑺ p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；
⑻ p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵ 3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷ 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形abcd是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
号化为：p∧q
⑵ p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q
⑶ p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：?p→?q
⑷ p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q
⑸ p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：
q∨r→p
⑹ p：四边形abcd是平行四边形；q：四边形abcd的对边平行；原命题符号化为：p?q。
⑺ p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r
4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。
⑴如果3+3=6，则雪是白的。
⑵如果3+3≠6，则雪是白的。
⑶如果3+3=6，则雪不是白的。
⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。⑸是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
⑹ 2+3=5的充要条件是是无理数。(假定是10进制)
⑺若两圆o1，o2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。
⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。
⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。
⑵原命题符号化为：?p→q；该命题是真命题。
⑶原命题符号化为：p→?q；该命题是假命题。
⑷原命题符号化为：?p→?q；该命题是真命题。
⑸ p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p?q；该命题是假命题。
⑹ p：2+3＝5；q：是无理数；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。⑺ p：两圆o1,o2的面积相等；q：两圆o1,o2的半径相等；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
⑻ p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
习题1.2
1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。
⑴ (p∧q→r)
⑵ (p∧(q→r)
⑶ ((?p→q)?(r∨s))
⑷ (p∧q→rs)
⑸ ((p→(q→r))→((q→p)?q∨r))。
解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。
2.设 p：天下雪。
q：我将进城。
r：我有时间。
将下列命题符号化。
⑴天没有下雪，我也没有进城。
⑵如果我有时间，我将进城。
⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。
解：⑴ ?p∧?q
⑵ r→q
⑶ ?p∧r→q
3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。
⑴ r∧q
⑵ ? (r∨q)
⑶ q? (r∧? p)
⑷ (q→r)∧(r→q)
解：⑴我有时间并且我将进城。
⑵我没有时间并且我也没有进城。
⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。
⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。
4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。
⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
⑵如果张三和李四都不去，他就去。
⑶我们不能既划船又跑步。
⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。
解：⑴ p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：
(?p∧? q)∨(p∧q)。⑵ p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题
符号化为：?p∧?q→r。
⑶ p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：?（p∧q）。
⑷ p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→
（q?r）。
5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴ p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家
看报；原命题符号化为：（?p→q）∧（p→r∨s）。
⑵ p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：?q→p。
⑶ p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
习题1.3
1.设a、b、c是任意命题公式，证明：
⑴a?a
⑵若a?b，则b?a
⑶若a?b，b?c，则a?c
证明：⑴由双条件的定义可知a?a是一个永真式，由等价式的定义
可知a?a成立。⑵因为a?b，由等价的定义可知a?b是一个永真式，再由双条件的定义可知b?a也是一个永真式，所以，b?a成立。
⑶对a、b、c的任一赋值，因为a?b，则a?b是永真式，即a与b 具有相同的真值，又因为b?c，则b?c是永真式，即b与c也具有
相同的真值，所以a与c也具有相同的真值；即a?c成立。
2.设a、b、c是任意命题公式，
⑴若a∨c?b∨c, a?b一定成立吗？
⑵若a∧c?b∧c, a?b一定成立吗？
⑶若?a??b，a?b一定成立吗？
解：⑴不一定有a?b。若a为真，b为假，c为真，则a∨c?b∨c
成立，但a?b不成立。
⑵不一定有a?b。若a为真，b为假，c为假，则a∧c?b∧c成立，但a?b不成立。
⑶一定有a?b。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑴ q∧(p→q)→p
⑵ p→(q∨r)
⑶ (p∨q)?(q∨p)
⑷ (p∧?q)∨(r∧q)→r
⑸ ((?p→(p∧?q))→r)∨(q∧?r)
解：⑴ q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。
表1.24
使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式
q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。