高中数学-第八讲导数应用之导数基础知识概述课后自查

导数的基础知识知识点自查

1.基本初等函数的导数公式

2.导数的几何意义与运算法则

3.利用导数研究函数的单调性

4.函数的极值与最值

练习

设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x)，若函数

的图象关于直线x=-1/2对称，且f'(x)=0。

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的极值

思路

本题主要考察导数在研究函数中的应用和导数的

计算

（1）先求出f'(x)的表达式，再利用f'(x)的图像关

于直线x=-1/2对称求出a，再利用f'(1)=0求出b。

（2）由（1）得出f'(x)的具体表达式，求出f'(x)的

零点，得到f(x)的极小值点和极大值点进一步得到

函数的增减性，从而求出f(x)的极值。

解析

(1)由题意f'(x)=6x2+ax+b

因为y=f'(x)图象关于直线x=-1/2对称

所以-2a/12=-1/2,

解得a=3,

所以f(x)=2x3+3x2+bx+1,

因为f'(1)=0,

所以6+6+b=0,解得b=-12.

解析(2)由(1)可得f(x)=2x3+3x2-12x+1,

所以f'(x)=6x2+6x-12

令f'(x)=0,

解得x1=-2,x2=1,

当x<-2或x>1时，f'(1)>0，

当-2

所以f(x)在(-,-2)和(1,+)上单调递增；

在(-2,1)上单调递减，

所以f(x)在x=-2处取得极大值，f(-2)=21；

f(x)在x=1处取得极小值，f(1)=-6