圆的切线性质
20. 已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．
（1）求证：AD＝DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，
求⊙O的半径．
A
A
20．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联结AC ，将△AFC 沿AC 翻折得△AEC ，且点E
恰好落在直径AB 上.
（1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________；并证明你的结论. （2）若OB =BD =2,求CE 的长．
20．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ． （1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．
20．（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ， 联结EB 交OD 于点F ．
（1）求证：OD ⊥BE ；
（2）若AB=5，求AE 的长．
20. 如图，AB 是O
的直径，30BAC ∠=?，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N,交BC 的延长线于点E,直线CF 交EN 于
点F,且.ECF E ∠=∠
（1）证明CF 是O 的切线
(2) 设⊙O 的半径为1．且AC=CE,求MO 的长.
1、.已知：如图，CB 是⊙O 的直径，BP 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AC 平行于OP ． (1)求证：AP 是⊙O 的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm ，求AC ． 2、⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线 3、、如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，作D E ⊥BC 于E 。（1）求证：DE 为⊙O 的切线（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG 的长 4、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线． 5、如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．求证：BD 是⊙O 的切线； 6 ．如图，在中， ，以 为直径的分别交、于点、，点在的延长 线上，且 求证：直线 是⊙0的切线； O A B P E C
7、如图 9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上， 连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
圆的切线判定证明题
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA ⊥x 轴于点A ，点D 在 FA 上，且DO 平行于⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C . （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 2．在Rt △ABC 中，BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ． （1）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证:AC 是⊙O 的切线; （2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求EF AC 的值． （1）证明： （2）解: 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，∠DAB ＝22.5o，延长AB 到点C ，使得∠ACD ＝45o． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB ＝22，求BC 的长． 4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分 BDE ∠．
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ； （2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径． 6． 如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ． （2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径． 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥ AC ，垂足为E . （1）求证：AB =AC ； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； （3）若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长. E C A
中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900 . 求证：CD 是⊙O 的切线. [习题练习] 例1如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上两点，并且OC=OD ，求证：AC=BD ． 例2已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC?交于点E ，求证：△ DEC
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝ OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝21 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接 OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 图1 图2
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明 CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ． ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o．∴∠ODC ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 图3
圆切线证明题 1.如图，PA为O O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交O O于点B,延长B0与O O交于点D,与PA的延长线交于点E, 求证：PB为O 0的切线; 2如图，AB=AC AB是O 0的直径，O O交BC于D, DML AC于M 求证：DM与O O相切.
3如图，已知：AB是O 0的直径，点C在O O上，且/ CAB=30, BD=OB D在AB的延长线上 求证：DC是O 0的切线 3.已知：如图，A是LI 0上一点，半径0C的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC , 1 AC OB ? 2 (1)求证：AB是L O的切线；一一 (2 )若丄ACD=45°OC=2，求弦CD 的长. / \ 4.知：如图，在Rt A ABC中，? C=90〃，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的
圆与AC, AB 分别交于点D, E ，且.CBD A . (1 )判断直线BD 与LI O 的位置关系，并证明你的结论; 已知：如图，在 △ ABC 中, D 是AB 边上一点，圆 0过D B C 三点，.DOC2. ACD 90。 (1) 求证：直线AC 是圆0的切线； ,如图，AB=AC D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切. 如图，等腰三角形 ABC 中，AC= BC= 10，AB= 12。以BC 为直径作O O 交AB 于点D,交AC C B
于点G DF 丄AC 垂足为F ,交CB 的延长线于点 E 。 ⑴求证：直线EF 是O O 的切线； 如图，Rt △ ABC 中，N ABC = 90°以AB 为直径作O O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE . (1)求证：直线DE 是O O 的切线; 如图，点 O 在/ APB 的平分线上，O O 与PA 相切于点 C. (1) 求证：直线 PB 与O O 相切; 23.(2008年南充市)如图，已知］的直径』垂直于弦二 于点二，过」点作’ 交；的延长线于点 」，连接并延长交J U 于点；，且_［「__［」 . E B
2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF与⊙ O相切 . 证明：连结 OE， AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴ AD⊥ BC. 又∵ AB=BC， ∴∠ 3=∠ 4. ⌒ ⌒ ∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE， OF=OF， ∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） . ∴∠ OBF=∠ OEF. ∵ BF与⊙ O相切， ∴OB⊥ BF. ∴∠ OEF=90. ∴EF与⊙ O相切 . 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与⊙ O相切 . 证明一：作直径 AE，连结 EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠ DAB=∠ DAC.
∵PA=PD， ∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC. ∵∠ 2=∠ B+∠ DAB， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B=∠ E， ∴∠ 1=∠ E ∵ AE是⊙ O的直径， ∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90. ∴∠ 1+∠ EAC=90. 即 OA⊥ PA. ∴PA 与⊙ O相切 . 证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE. ∵AD是∠ BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥ BC. ∴∠ E+∠ BDE=90. ∵OA=OE， ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD，∴∠ PAD=∠ PDA. 又∵∠ PDA=∠ BDE, ∴∠ 1+∠ PAD=90 即 OA⊥ PA. ∴ PA与⊙ O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M 求证： DM与⊙ O相切 . 证明一：连结 OD. ∵A B=AC， ∴∠ B=∠ C.
中考专题-------圆的切线证明（学生版） 证明切线的方法： 1、连半径、证垂直（经过半径的外端且垂直于半径的直线必是切线） 2、作垂直、证半径（直线与圆的公共点未知时，通过圆心做作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径 3、切线的性质1、圆的切线垂直于经过切点的半径2、经过与圆心且垂直于切线的直线必过切点3、经过切点且垂直于半径的直线必过圆心
中考经典例题： 1.（2007北京中考）已知：如图，A 是O e 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点， OC BC =，1 2 AC OB =． （1）求证：AB 是O e 的切线； （2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长． 2.（2008北京中考）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长 4、 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. O A B C D D C O A E
求证：AC 与⊙D 相切. 6、（2011?北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=错误!未找到引用源。∠CAB ． （1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB=5，sin ∠CBF=错误!未找到引用源。，求BC 和BF 的长． 17．（本题满分8分） 如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是O ⊙的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值． （2010中考）18．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长． C E B A O F D
C E A B O P 圆的切线证明（四） 1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. （2011中考）2.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线；（2）若tan ∠ABE=2 1 ,求sin ∠E. 》
3 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 【 4如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. D ，
5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D 在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 | 6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. ( 求证：PC是⊙O的切线.
】 7 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 8. （2006北京中考）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的 ！ 延长线上，，∠CAD=30°. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.
9.（2007北京中考）已知：如图，A 是O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC BC =，1 2 AC OB = ． " （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长． < 9.（2008北京中考）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 10.（2009北京中考）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. * （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=1 3 时，求⊙O 的半径. O A B C D A
1、.已知：如图，CB是⊙O的直径，BP是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AC平行于OP．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm，求AC． 2、⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，D E⊥AC 于E.求证：DE为⊙O的切线3、、如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作D E⊥BC于E。（1）求证：DE为⊙O的切线（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG的长 4、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线． 5、如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．求证：BD是⊙O 的切线； O A B P
6．如图，在中，，以为直径的分别交、于点
、，点 在的延长线上，且 求证：直线是⊙0的切线；
7、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上，连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法： 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线． 图1 图2
证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在中，，点D 是AC 的中点，且,过点作Rt ABC ?90C ?∠=90A CDB ?∠+∠=,A D ，使圆心在上，与交于点． O A O AB O A AB E （1）求证：直线与相切； BD O A （2）若,求的直径． :4:5,6AD AE BC ==O A 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交 AB 、AC 于点E 、F ，且D 为的中点。A EF （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求的长。A AD 3. 如图，已知CD 是O 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． Θ(1)求证：直线AB 是OO 的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．
4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=；（2）如图②，若25 24sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
细说如何证明圆的切线 1（2011中考）.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线； 2 已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线，连结CO ，若AD ∥OC 交⊙O 于D ，求证：CD 是⊙O 的切线。 3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切. 4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点． （1）求证：是的切线； 5 已知：如图⊙O 是△ABC 的外接圆，P 为圆外一点，PA ∥BC ，且A 为劣弧的中点，割线PBD 过圆心，交⊙0于另一点D ，连结CD ． (1)试判断直线PA 与⊙0的位置关系，并证明你的结论． (2)当AB=13，BC=24时，求⊙O 的半径及CD 的长．
6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的长；(3)求图中阴影部分的面积． 7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。 8、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线； 9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。 10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。 11（7分）（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数．
如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线，通常有的两种方法： 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切． 思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得． 请同学们写出证明过程． 【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性． 图1 图2
12.11如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于 点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ， 延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线； （2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝12，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． 【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°． ∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于D ，∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ． 又∵PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO ． ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°．∴直线PA 为⊙O 的切线． （2）EF 2＝4OD·OP ． 证明：∵∠PAO ＝∠PDA ＝90°， ∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OPA ＋∠AOP ＝90°． ∴∠OAD ＝∠OPA ．∴△OAD ∽△OPA ．∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD·OP ． 又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD·OP ． （3）∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3． 设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝2x －3． 在Rt △AOD 中，由勾股定理 ，得(2x －3)2＝x 2＋32． 解之得，x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）． AD ＝4，OA ＝2x －3＝5． ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°． 而AC ＝2OA ＝10，BC ＝6， ∴cos ∠ACB ＝610＝35． ∵OA 2＝OD·OP ， ∴3(PE ＋5)＝25． ∴PE ＝ 103 ． 12、12如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ； P
C E A B O P 圆的切线证明（学生版） 1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. （中考）2.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E, (1)求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若tan ∠ABE=2 1 ,求sin ∠E. 3 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 4 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切. D
5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 9.（ 11.（北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
12 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 13 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. 14、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的 延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
关于圆的证明题 J、1直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离? 用数量关系表示是：如果0 0的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,那么： (1)直线I和0 0相交=d
例3、 ( 1)如图所示，△ ABC 内接于0 0,如果过点A 的直线AE 和AC 所成的角/ EACN B, 那么EA 是0 0的切线. 3 、切线的性质及其推论 例3如图，己知AB 是0 0的直径，AC 是弦，CD 切0 0于点C,交AB?勺延长线于点D, 例4、己知：如图所示，AB 为半圆0的直径，直线 MN 于点E, BE 交半圆于点F, AD=3cm BE=7cm (1 )求0 0的半径； (2)求线段DE 的长. 例5、如图所示，AB 为0 0的直径，BC CD 为0 0的切线，BD 为切点，求证：AD// 0C . / ACD 二 120 , BD 二 10 (1)求证：CA 二CD (2)求0 0的半径. MN 切半圆于点C, AD 丄MN 于点D, BE1
中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径. F C F C
【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交 于点F ，且8BE = ，tan BFA ∠= ，求⊙O 的半径长. 【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin E ∠的值． 【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E . （1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长. G F E D C B A C
第二部分发散思考 【思考1】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长. 【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。 【思考2】已知：AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB. （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O的半径等于4， 4 tan 3 ACB ∠=，求CD的长. 【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90°的题目。重点在于如何利用∠D=∠ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将∠OBD拆分成两个角去证明和为90°。 【思考3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1）求证：AE与⊙O相切； （2）当BC=4,cosC= 1 3 时，求⊙O的半径. 【思路分析】这是一道去年中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。 B C O