伴侣矩阵的多项式与多项式的整除性

多项式的整除问题

浅谈多项式的整除问题 摘要:研究多项式以及多项式的整除理论，并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法 关键词:多项式；整除；整除理论；判别方法 Discusses the multinomial shallowly the aliquot question Abstract:Research multinomial as well as many item of aliquot theory,and using these theories,inquisition multinomial aliquot distinction method Key words:Multinomial;Aliquot;Aliquot theory;Distinguished method 本文引入和研究多项式的整出问题，研究的主要内容有：研究多项式以及多项式的整除理论[1]；并利用这些理论，探究多项式整除的判别方法. 1.利用单位根及因式定理 此方法的关键是熟练掌握因式定理[2]和单位根的性质. 例1 证明2331 32 1m n p x x x x x ++++|++（m , n , p 是三个任意的正整数）. 证明 可求得2 10x x ++=的根为1132i -+ ω= ，2 132 i -- ω= ，所以 2 121()()x x x x ++=-ω-ω 又因32 1(1)(1)0i i i i ω-=ω-ω+ω+= (1,2)i =，知31i ω=,从而333m n p i i i ω=ω=ω 设 331 32 ()m n p f x x x x ++=++则有 331 32 2 ()10,(1,2)m n p i i i i i i f i ++ω=ω+ω+ω=+ω+ω== 故由因式定理知12()()()x x f x -ω-ω|，即21() x x f x ++|. 2.利用熟知的乘法公式 此方法的关键是在于熟练的掌握乘法公式，（例如： (1)(2) 1()1 (1)(1)n m s m m s m s m x x x x x x ---=-=- + +++ [3] 等）理解公式包涵的 整除意义，再去解题. 例2 证明1d x -整除1n x -当且仅当d 整除n . 证明 充分性 设d n |，假定n dt =，则有 (1) (2) 1()1(1)(1)n d t d d t d t d x x x x x x ---=-=-++++ 从而有11d n x x -|- 必要性 已知11d n x x -|-，假定n dt r =+，0r d ≤<，则 111(1)(1)n dt r dt r r r dt r r x x x x x x x x x +-=-=?-+-=-+-

多项式的除法原理(综合除法)

1 2 4 1 3 3 7 ＋＋＋＋　＋＋多項式的除法原理(綜合除法) 1.多項式的除法定理： 設f (x)、g (x)是兩個多項式，且g (x)0≠，則恰有兩多項式q (x)及r(x)使得 f (x )q(x )g(x )r ＝?＋成立，其中r(x)0＝或r(x)

222 ax (b ae) x- e ax bx c ax aex (b ae)x c (b ae)x-e(b ae) c be ae ＋＋＋＋－＋＋＋＋＋＋ 2a x bx c (x e )[a x (b a e )] ＋＋＝－＋＋ 綜合除法表示： ＋e 餘式 思考1： 為何本來長除法中除式為(x －ｅ)，但是在綜合除法中卻變 (＋e)，請提出合理的解釋想法。 思考2： 設多項式32f (x)x 3x 4x 1＝＋－＋，則 (1)請利用綜合除法，以x-1除f(x)，商式為何？餘式為何？ (2)設32f (x)a(x 1)b (x 1)c(x 1)d ＝－＋－＋－＋，則a 、b 、c 、d 為何？ Hinet ：試利用多項式除法跟綜合除法兩種方法，並比較之。 2 a b c ae e(b ae)a (b ae) c be ae ＋＋＋＋＋＋＋＋

如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算 多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法 ∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明： （1）先把被除式2092 ++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好． （2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项． （3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面． （4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分． （5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式． （6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法

∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴ )52()320796(2 245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ． 8．什么是综合除法？ 由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊． 如：计算)3()432(3 -÷-+x x x ． 因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）． 还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再

多项式的整除性

4.3 多项式的整除性 教学内容：4.3多项式的整除性 教学目标：正确理解多项式的整除概念及性质。理解和掌握带余除法。 授课时数：2学时 教学重点：多项式整除的概念及基本性质 教学难点：带余除法定理及证明（定理4.3.1及证明） 教学过程： 在][x F 中除法不是永远可以实施的，因此多项式整除性的研究在多项式理论中占有重要的地位。 一、多项式整除的概念及性质 1. 定义 定义 1 设][)(),(x F x g x f ∈.如果存在][)(x F x h ∈,使得)()()(x h x f x g =,则称)(x f 整除（能除尽）)(x g ,记作)(|)(x g x f 。此时说)(x f 是)(x g 的因式，)(x g 是) (x f 的倍式。如果满足条件的)(x h 不存在，即对任意)()()(],[)(x h x f x g x F x h ≠∈,则称)(x f 不能整除)(x g , 记作()|()f x g x . 由定义1知：1?0|)(],[)(x f x F x f ∈?;特别地，0|0. 2?)(|,x f c F c ∈?. 3?,c d F ?∈,0≠c ，有d c |.如2|0。 4?高次多项式不能整除低次多项式。 课堂思考题：1）能整除任何多项式的多项式是什么？ 2）能被任何多项式整除的多项式是什么？ 2. 整除的基本性质

我们可以将整数的整除性质平移过来 1） 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f ; 2） 若)(|)(),(|)(x g x h x f x h ,则))()((|)(x g x f x h ±; 3） 若)(|)(x f x h ,则对任意)(x g ,有)()(|)(x g x f x h ； 4） 若)(x h |i f )(x ,()(),1,2,3,,,i c x F x i n ?∈= 则 | )(x h ∑=n i i i x f x c 1 )()(； (整除倍式和) 5） 对任一多项式(),()|(),|()(0,)f x cf x f x c f x c c F ≠∈; 6） 若),(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则存在0,≠∈c F c ,使)()(x cg x f =. 二.带余除法 ⒈ 实例（中学中的多项式除多项式） 例2 3 2 2 ()26,()1f x x x x g x x x =+++=++，求()g x 除()f x 所得商式()q x 及余式()r x 。 由中学的知识，得121()()(),()()()()1f x f x g x x r x f x f x g x =-?==-?， ()()()()1()(1)()f x g x x r x g x g x x r x =++=++。故()1,()5q x x r x x =+=-+， (())(())r x g x ??

第二章多项式

第二章 多项式 §2.1一元多项式的定义和运算 1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明： ! ) )...(1()1(! ) 1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n n ---=+---+--+ - §2.2 多项式的整除性 1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x 3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且 ()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g 4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式 ()() ()() ()(),121211 n k n k n k x x x x x x f ++++++=-++ 这里k 和n 都是非负整数．证明： ()()() .11|1 n k 1+++++-x x f x x k

1.4 多项式的一些整除性质(答案)

第四节 整数的一些整除性质 8 1．4 整数的一些整除性质 1． 对下列整数b a ,，分别求出a 除b 所得商数和余数： （i ）235,17-==b a ； （ii ）2,8=-=b a （iii ）5,9-=-=b a ； （iv ）58,7-=-=b a 解：（i ）商数为14-，余数为3。 （ii ）商数为0，余数为2。 （iii ）商数为1，余数为4。 （iv ）商数为9，余数为5。 2． 设b a ,是整数且不全为0，而Z b a d db b da a ∈==1111,,,,。证明，d 是b a ,的一个最大公因数必要且知要1),(11=b a 。 分析：要证d 是b a ,的一个最大公因数，可以从两个途径考虑：法一，可以根据最大公因数的定义，先证d 是b a ,的一个公因数，再证b a ,的所有公因数均可整除d 。法二，可以根据本节定理3，先证d 是b a ,的一个公因数，再证对b a ,，d ，存在整数21,t t ，满足：d bt at =+21即可。同理分析：要证1),(11=b a 可以从互素的定义入手，也可以从本节定理4入手。 证明：法一（从本节定理3和定理4考虑） “?” 因为b a ,不全为0且d 是b a ,的一个最大公因数 所以0≠d 且?st Z t t ,,21∈ d bt at =+21 又11,db b da a == 所以d t db t da =+2111 即：12111=+t b t a 根据本节定理4有：1),(11=b a ? 因为1),(11=b a 所以st Z t t ,,21∈ 12111=+t b t a 所以d t db t da =+2111 即：d bt at =+21 又11,db b da a == 根据定理3有：d 是b a ,的一个最大公因数 法二（根据定义证明） “?” 因为b a ,不全为0且d 是b a ,的一个最大公因数

1.1 整除性2

1 第一章 多项式 §1 整除性 一. 内容概述 1. 多项式的概念 设F 是一个域，形如表达式， )(x f =n a "++??1 1n n n x a x +01a x a +，

2 i a ∈F ，称为F 上的多项式。若两个多项式的形式表达式完全 一样，则称两个多项式相等。 2．多项式的运算 （1）加法 定义 ?)(x f , )(x g ∈][x F ,在其中适当添上一些系数为

3 零的项,总可设)(x f = i n i i x a ∑=0 ,)(x g = ∑=n i i i x b 0 ,令 )(x h =i i n i i x b a )(0 +∑=,显然h(x)∈][x F ， 称)(x h 为)(x f 与)(x g 的和，记为)(x f +)(x g = i i n i i x b a )(0 +∑=。

4 令-)(x g = ∑=?n i i i x b 0 )(，显然-)(x g ∈][x F ，称-)(x g 为 )(x g 的负元，记)(x f -)(x g =)(x f +（-)(x g ） 多项式的加法有如下性质: ⅰ) )(x f +)(x g =)(x g + )(x f

5 ii) ()(x f +)(x g )+h(x)= )(x f +()(x g +h(x)) iii) )(x f +(-f (x ))=0 （2）乘法 定义 ?)(x f ，)(x g ∈][x F ，设

6 )(x f =i n i i x a ∑=0 ,)(x g =∑=m i i i x b 0 ， 令 )(x h =r r r m n r r x b a b a b a )(0110 0+++?+=∑", ))(0)(0(m t b n k a t k >=>=

多项式长除法精讲精练

多项式长除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。 例计算 写成以下这种形式： 然后商和余数可以这样计算： 1.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线 之上(x3÷x = x2). 2.将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下(x2·(x?3) = x3?3x2). 3.从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写 在下面。((x3?12x2) ?(x3?3x2) = ?12x2 + 3x2 = ?9x2)然后，将分子的下一项“拿 下来”。 4.重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项

5.重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。 横线之上的多项式即为商，而剩下的 (?123) 就是余数。 算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。除法变换 使用多项式长除法可以将一个多项式写成除数-商的形式（经常很有用）。考虑多项式P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。然后，对某个商多项式Q(x) 和余数多项式R(x) （(R)的系数 < (D)的系数）， 这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .[1]得到的。

应用:多项式的因式分解 有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。 相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x 2-(r+s)x+rs 。 使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。 寻找多项式的切线 §2 一元多项式及整除性 下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。 学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。 定义4 设是一个数域， 是一个文字，形式表达式 其中 是数域中的数， 是非负整数） 称为数域上的一元多项式，通常记为。称为次项的系数。 例如： 是多项式 不是多项式，因为不是非负整数。 定义5 如果数域上多项式，同次项系数都相等，称与相等 记为： = 一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定 定义6 在（1）中如果 ，称为多项式的次数，记 P x ) 1( 0111a x a x a x a n n n n ++++-- i a P n P )(x f k k x a k x x x f 521 )(3+=123)(-++=x x x x g 1-P )(x f )(x g )(x f )(x g )(x f )(x g i i x x =?10 ≠n a n 01)(a x a x a x f n n +++=

多项式的带余除法

多项式带余除法 1.多项式带余除法定理：若()f x 和()g x 是[]F x 中的两个多项式，且()0g x ≠，则在()F x 中有唯一的多项式()q x 和()r x ，满足 ()()()()f x q x g x r x =+ 其中(())(())r x g x ?

多项式除法

②利用竖式进行多项式除法 例1．计算 解：将被除式与除式均按x降幂排列 ∴原式=。 例2．计算 解：先将被除式与除式均按x的降幂（y的升幂）排列原式= ∴原式=5x+y.

小结：利用竖式进行多项式除法的步骤 （1）被除式和除式都要按同一字母降幂排列 （2）若被除式或除式中缺项，要补零（或留有空位） （3）余式的次数应低于除式的次数。 例3．已知关于x的多项式A被除所得的商式为2x－3，余式为7。求这个多项式A。 解：根据带余除法的关系式， 2-3 多項式除法 一、基礎篇 （）1.2x2＋5x－7除以x＋3的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b ＋c＝？ （A）－9 （B）－5 （C）－3 （D）7 ）3.(2x2＋5x－1)÷(x＋2)的商式為A，餘式為B，則下列敘述何者正確？ ）7.x2＋x－2除以x-1的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b ＋c＝？

）8.3x2＋2x－1除以x-2的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b ＋c＝？ 9.x2＋3x+1除以x＋1的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋

＋c ＝？ 11.(x 2＋3x －2)÷(x-1)的商式為A ，餘式為B ， 12.(2x 2-4x+1)÷(x ＋1)的商式為A ，餘式為B ， ）13.(2x 2-6x+4)÷(2x-2)的商式為A ，餘式為B ， ）14.(x 2＋x ＋1)÷(x-1)的商式為A ，餘式為B ， 25.(x 2+3x+1)÷(x-2) 3-1-3多項式的除法 一、單一選擇題（計五十題）： 1. （ ）若（x 2－1）2－（x ＋2）2x 2 ＋x ＋1 ＝x 2＋ax ＋b ，則 a ＋b ＝？ (Ａ)－4 (Ｂ)－3 (Ｃ)－2 (Ｄ)－1。 2. （ ）已知 6x 2－7x ＋m 可以被 2x －3 整除，則 m ＝？ (Ａ)－3 (Ｂ) 3 (Ｃ)－1 (Ｄ) 1。 3. （ ）下列哪一選項不能整除 2x 2＋4x －6？ (Ａ) 3x －3 (Ｂ) x ＋3 (Ｃ) x －1 (Ｄ) x ＋1。 4. （ ）下列何者可以被 x 整除？ (Ａ) 4x 2＋4x ＋5 (Ｂ) 3x ＋6 (Ｃ) x 2＋24 (Ｄ) x 2＋1。 5. （ ）已知一個矩形的面積是 12x 2－6x ，若矩形的長為 3x ，則矩形的寬為多少？ (Ａ) 4x ＋ 2 (Ｂ) 4x －2 (Ｃ) 4x ＋ 3 (Ｄ) 4x －3。 6. （ ）已知多項式 B 除以 x －1 得商式為 x ＋5，餘式為 8，如果改將多項式 B 除以 x ＋1，則 餘式＝？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3。 7. （ ）假設 2x 4－x 3＋mx 2＋x ＋n 可被 2x 2＋x ＋1 整除，則 2m ＋n ＝？ (Ａ)－8 (Ｂ)－10 (Ｃ) 10 (Ｄ) 8。 8. （ ）若7x 6x 5x 2－＋－＝x ＋2＋7 x R －，其中 R 為一常數，則 R ＝？ (Ａ) 20 (Ｂ) 18 (Ｃ)－12 (Ｄ)－10。 9. （ ）試求（4x 2－3x ＋4）÷（2x －1）的商式為下列何者？ (Ａ) 2x ＋ 25(Ｂ) 2x ＋2 1 (Ｃ) 2x － 25(Ｄ) 2x －2 1 。 10. （ ）章老師做一個多項式除法的示範後，擦掉計算過程中的六個係數，並以 a 、b 、c 、d 、 e 、 f 表示，求 a ＋b ＋d ＋e ＝？ (Ａ) 18 (Ｂ) 26 (Ｃ) 38 (Ｄ) 44。

多项式的整除性

1.3多项式的整除性 1.用()g x 除()f x ,求商式()q x 和余式()r x : (1) 322432123(),()f x x x x g x x x =-+-=-+ (2) 4322323(),()f x x x x g x x x =-+-=-+ (1) 45164516()()(),(),()f x g x x q x x r x =+-=+=- (2) 2 2 1391731391732 4 8 8 8 2 4 8 8 8 ()()(),(),()f x g x x x x q x x x r x x =- -++=- -=+ 2.确定,a b 的值,使223()g x x x =-+能整除43236()f x x x x ax b =-+++ ,得 2 153()()()()f x g x x x a x b =-++++-,所以53,a b =-= 3.下列命题是否成立,为什么? (1)成立,否则由()(),()|()()h x f x h x f x g x +,则 ()|[()()]()()h x f x g x f x g x +-=导致矛盾; (2)不成立,例如11(),(),()h x x f x x g x x ==+=-,但2|x x ,即()|()()h x f x g x + (3) 不成立,例如2 2(),(),()h x x f x x g x x ===,但2 2 2|x x ,即()|()()h x f x g x (4)成立,由于()(),()()f x g x f x g x ?=?,所以(),()f x g x 只相差一个常数因子,所以()|() g x f x 成立. (),() f x g x 被() h x 除得的余式相等. ()?设1122()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中

关于多项式的整除求多形式的待定系数

关于多项式的整除求多形式的待定系数 已知4325x x ax bx c -+++能被2(1)x -整除，则2()a b c ++= 。 设 2(1)x -（x 2+mx +n ）=4325x x ax bx c -+++ 已知多项式x 3+a x 2+bx+c 能被x 2+3x-4整除，请回答以下问题 （1）求4a+c 的值 （2）求2a-2b-c 的值 （3）若a,b,c 为整数，且c≥a ＞1，试确定a,b,c 的大小由已知多项式x 3+a x 2+bx+c 能被x 2+3x-4整除，则存在 k,满足 x 3+a x 2+bx+c =（x+k ）(x 2+3x-4) =x 3+(k+3)x 2 +(3k-4)x-4k 则有 a=k+3,b=3k-4,c=-4k (1)4a+c=4(k+3)-4k=12; (2)2a-2b-c=2(k+3)-2(3k-4)+4k=14; (3)由已知，得 -4k≥k+3>1 解得 -3/4≥k>-2 又a,b,c 为整数，所以k 为整数为-1，代入，求得 a=2,b=-7,c=4. 这一题也可以用因式定理 若多项式x 4+a x 2-bx+2能被多项式x 2+3x+2整除，则a= ,b= ? 这一题用因式定理即可. 因为原多项式能被x 2+3x+2整除，又x 2+3x+2=（x+1)(x+2),令f （x ）=x 4+a x 2-b x+2，于是当f （-1）=0，f （-2）=0. 于是1+a+b+2=0,16+4a+2b+2=0,解得a=-6，b=3. 注：因式定理为：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a. 反之也成立. 多项式3X^3 +aX^2+bX+42能被X^2-5X+6整除，求a,b 的值 2011-03-27 19:39jjh_chy | 分类：数学 | 浏览616次

多项式的除法

3-1-3多項式的除法 一、單一選擇題（計五十題）： 1. （ ）若（x 2－1）2－（x ＋2）2x 2＋x ＋1＝x 2＋ax ＋b ，則 a ＋b ＝？ (Ａ)－4 (Ｂ)－3 (Ｃ)－2 (Ｄ)－1。 2. （ ）已知 6x 2－7x ＋m 可以被 2x －3 整除，則 m ＝？ (Ａ)－3 (Ｂ) 3 (Ｃ)－1 (Ｄ) 1。 3. （ ）下列哪一選項不能整除 2x 2＋4x －6？ (Ａ) 3x －3 (Ｂ) x ＋3 (Ｃ) x －1 (Ｄ) x ＋1。 4. （ ）下列何者可以被 x 整除？ (Ａ) 4x 2＋4x ＋5 (Ｂ) 3x ＋6 (Ｃ) x 2＋24 (Ｄ) x 2＋1。 5. （ ）已知一個矩形的面積是 12x 2－6x ，若矩形的長為 3x ，則矩形的寬為多少？ (Ａ) 4x ＋2 (Ｂ) 4x －2 (Ｃ) 4x ＋3 (Ｄ) 4x －3。 6. （ ）已知多項式 B 除以 x －1 得商式為 x ＋5，餘式為 8，如果改將多項式 B 除以 x ＋1，則餘式＝？ (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 3。 7. （ ）假設 2x 4－x 3＋mx 2＋x ＋n 可被 2x 2＋x ＋1 整除，則 2m ＋n ＝？ (Ａ)－8 (Ｂ)－10 (Ｃ) 10 (Ｄ) 8。 8. （ ）若7x 6x 5x 2－＋－＝x ＋2＋7 x R －，其中 R 為一常數，則 R ＝？ (Ａ) 20 (Ｂ) 18 (Ｃ)－12 (Ｄ)－ 10。 9. （ ）試求（4x 2－3x ＋4）÷（2x －1）的商式為下列何者？ (Ａ) 2x ＋ 25(Ｂ) 2x ＋21(Ｃ) 2x －2 5 (Ｄ) 2x －2 1 。 10. （ ）章老師做一個多項式除法的示範後，擦掉計算過程中的六個係數，並以 a 、b 、c 、d 、e 、f 表 示，求 a ＋b ＋d ＋e ＝？ (Ａ) 18 (Ｂ) 26 (Ｃ) 38 (Ｄ) 44。 11. （ ）設（x 3＋x 2＋x ＋1）÷（x ＋2）的商式為 ax ＋bx ＋c ，餘式為 d ，則 a ＋b ＋c ＋d ＝？ (Ａ) 2 (Ｂ) －2 (Ｃ)－1 (Ｄ) 0。 12. （ ）若（3x 4－5x 2＋4x ）÷3x 的商式為x 3＋ax ＋b ，則b －a ＝？ (Ａ)－3 (Ｂ) 3 (Ｃ) 31－(Ｄ)3 1 。 13. （ ）下列何者可以整除 4x 2＋8x ＋3＝？ (Ａ) x ＋1 (Ｂ) x ＋2 (Ｃ) x ＋3 (Ｄ) 2x ＋1。 14. （ ）下列各式中，何者的餘式不為 0？ (Ａ)（x 2－2x ＋1）÷（－x ＋1）(Ｂ)（2x －1）2÷（2x － 1）(Ｃ)（－2x 2＋1）÷（－3x ＋2）(Ｄ)以上各式的餘式皆為 0。 15. （ ）某多項式除以（2x ＋1）得商式 2x 2－x －3，餘式－8，則此多項式為下列何者？ (Ａ) 4x 3 －7x －3 (Ｂ) 4x 3－7x －11 (Ｃ) 4x 2＋7x －3 (Ｄ) 4x 3＋7x －11。 16. （ ）甲是 x 的三次多項式，乙是 x 的一次多項式，若甲÷乙得商式 c ，則 c 是 x 的幾次多項式？ (Ａ) 零次(Ｂ)一次(Ｃ)二次(Ｄ)三次。 17. （ ）已知 A 為一多項式，且 A ．（x －2）＝x 3－4x 2＋x ＋6，則 A ÷（x －3）＝？ (Ａ)（x ＋1）(Ｂ) （x －1）(Ｃ)（x ＋2）(Ｄ)（x －2）。

关于多项式除以多项式

关于多项式除以多项式 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x+2+6x2)÷(2x+1)，仿照672÷21，计算如下： ∴(7x+2+6x2)÷(2x+1)=3x+2． 由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2+3x 写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x+2，再把4x+2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式． 整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2+2x3+5)÷(4x-3+x2)． 解： 所以商式为2x+1，余式为2x+8． 与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系： 9x2+2x3+5＝(4x-3+x2)(2x+l)+(2x+8)． 这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．

当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下： 于是得到 商式=2x+1，余式=2x+8． 对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如， (2x3-5x-4)(3x2-7x+8)按分离系数法计算如下： 所以， (2x3-5x-4)(3x2-7x+8) =6x5-14x4+x3+23x2-12x-32． 如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题． 1．(6x3+x2-1)÷(2x-1)． 2．(2x3+3x-4)÷(x-3)． 3．(x3-2x2-5)(x-2x2-1)． 4．(x+y)(x2-xy+y2)．