变化率与导数测试题Last revision on 21 December 2020
变化率与导数测试题
一、选择题：
1、函数y =x 2co sx 的导数为( ) A 、y ′=2xcosx －x 2sinx B 、y ′=2xcosx+x 2sinx C 、 y ′=x 2cosx －2xsinx D 、y ′=xcosx －x 2sinx
2设曲线1
1
x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2
B ．12
C ．1
2
- D ．2-
3、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(11)，及邻近一点(11)x y +?+?，，则y
x
??等于（ ） Ａ．4
Ｂ．42x +?
Ｃ．4x +?
Ｄ．24()x x ?+? 4、曲线3
()
2f x x x
在0p 处的切线平行于直线41y
x ，则0p 点的坐标为（ ）
A.( 1 , 0 )
B.( 2 , 8 )
C.( 1 , 0 )或(－1, －4)
D.( 2 , 8 )和或(－1, －4)
5、已知32()(6)1f x x ax a x =++++，f '(x)=0有不等实根，则a 的取值范围为( ) A ．12a -<< B ．36a -<< C ．1a <-或2a > D ．3a <-或6a >
6、在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4
π
的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2
C ．1
D ． 0
7、已知，12132431()cos ,()(),()(),()()
()(),n n f x x f x f x f x f x f x f x f x f x -''''=====则
2008()f x = （ ） A.
sin x B. sin x - C. cos x D. cos x - 8、32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于（ ）
A ．319
B ．316
C ．313
D ．310
9、某汽车的路程函数是3221
2(10m/s )2
s t gt g =-=，则当2t s =时，汽车的加速度是（ ）
Ａ．14m/s 2
Ｂ．4m/s 2
Ｃ．10m/s 2 Ｄ．24m /s -
10、已知曲线3211473
2
y x x x =++-在点Q 处的切线的倾斜角α满足216
sin 17
α=，则此切线的方程为（ ）
Ａ．470x y -+=或54606
x y --= Ｂ． 54606
x y --= Ｃ．470x y --=或54606x y --= Ｄ．470x y --=
11、若函数f(x)=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ' (x)的图象是（ ） 二、填空题：
12、与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是___________________
13、设曲线ax
y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．
14、已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时函数f(x)的导数为零，f(-1)= 712
-，
则(2)f = ．
15、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =
16、若曲线32:22C y x ax ax =-+上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数a 的值为 ． 17、已知sin (ππ)1cos x
y x x
=
∈-+，，，当2y '=时，x = ． 三、解答题：
18、已知函数3()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都经过点(20)P ，，且在点P 处有公共切线，求()()f x g x ，的表达式．
19、已知曲线 y = x 3 + x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,
⑴求P 0的坐标;
⑵若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.
20、求下列函数的导数： （1）y=
x
x
x ln sin ； （2）y=x e tanx. 21、已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程． 22、设函数3()f x ax bx c =++是定义在R 上的奇函数，且函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为32y x =+． （Ⅰ）求,,a b c 的值；
（Ⅱ）若对任意(0,1]x ∈都有()k
f x x
≤
成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若对任意(0,3]x ∈都有|()|16f x mx -≤成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
一、 选择题ADBCD DADAC A
二、 填空题12．3x+y+2=0 13、2 14、5
3 15、a=41 16、1 17、2π
3
±
三.解答题：18、解：3()2f x x ax =+∵图象过点(20)P ，Ｐ，8a =-∴，3()28f x x x =-∴． 由于2()g x bx c =+图象过点(20)P ，，所以可得40b c +=．
又()2g x bx '=，(2)4(2)16g b f ''===，4b =∴，216()416c g x x =-=-，∴． 综上可知32()28()416f x x x g x x =-=-，． 19. 解：:⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，
由已知得3x 2+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).
⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-,
∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4)
∴直线l 的方程为1
4(1)4
y x +=-+即4170x y ++=.
20、(1)'
y =2
ln sin sin ln cos x
x x x x x x -+;(2)'y =x
e tanx+x e x 2cos . 21、解：设l 与1C 相切于点211()P x x ，与2C 相切于222((2))Q x x --，
． 对于1:2C y x '=，则与1C 相切于点P 的切线方程为21112()y x x x x -=-，即2112y x x x =-， 对于2:2(2)C y x '=--，则与2C 相切于点Q 的切线方程为2222(2)2(2)()y x x x x +-=---，
即2
22
2()4y x x x x =--+-． ∵两切线重合，1222(2)x x =--∴，且22
12
4x x -=-． 解得1202x x ==，或1220x x ==，．∴直线l 方程为0y =或44y x =-．
22、解：（Ⅰ）∵ 函数3()f x ax bx c =++是定义在R 上的奇函数，∴ ()()f x f x -=-
∵ 33()()()a x b x c ax bx c -+-+=-++∴ 0c =．
又()f x 在1x =处的切线方程为32y x =+，由2'()3f x ax b =+
∴ '(1)3f =，且(1)5f =， ∴ 335a b a b +=??+=?得1
6a b =-??=?
（Ⅱ）3()6f x x x =-+依题意36k
x x x
-+≤
对任意(0,1]x ∈恒成立， ∴ 426x x k -+≤对任意(0,1]x ∈恒成立，
即 22(3)9k x ≥--+对任意(0,1]x ∈恒成立，∴ 5k ≥．
（Ⅲ）解一：|()|16f x mx -≤，即16()16f x mx -≤-≤ ∴ 33616
616
x x mx x x mx ?-+-≤??-+-≥-??
即2
2166166
m x x m x x ?≥--+????≤-++??
对任意(0,3]x ∈恒成立，记216()6g x x x =--+，其中(0,3]x ∈
则 3
22162'()2(8)g x x x x x
=-+
=-- ∴ 当(0,2)x ∈时，'()0g x >，()g x 在(0,2)上单调递增，
当(2,3)x ∈时，'()0g x <，()g x 在(2,3)上单调递减，
∴ ()g x 在(0,3]上的最大值是(2)6g =-，则6m ≥-； 记216()6h x x x =-+
+，其中(0,3]x ∈则 216
'()20h x x x
=--< 所以 ()h x 在(0,3)上单调递减，
∴ 即()h x 在(0,3]上的最小值是7(3)3h =，则7
3
m ≤；
综合上可得所求实数m 的取值范围是7
63
m -≤≤．
导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所
以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0
1. 1.1变化率问题课前预习学案。知道平均变化率的定义。，课本中的问题1,2 预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1 气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描 述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水 h 与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt 的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段 时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot 问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用 ___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________ 于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 1.学习目标理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; .
变化率与导数教案 Prepared on 24 November 2020
第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0 101) ()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，
∴x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+= ) ()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的 斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常 数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? 2.再求平均速度t s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0，t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+) ()(00 (5)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这 个常数称为t=t 0时的瞬时加速度 注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
导数的概念及其运算 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.) 1、函数2 1()ln 2 f x x x =- ,则()f x 的导函数'()f x 的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2、若0()2f x '=,则=--→k x f k x f k 2) ()(lim 000 ( ) A.0 B. 1 C. —1 D.2 3、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( ) A.034=--y x B.034=-+y x C.034=+-y x D.034=++y x 4、曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为( ) A.?30 B.?45 C.?60 D.?120 5、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则 2010()f x =( ) A.x sin B. x sin - C.cos x - D.cos x 6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( ) A.5 B.52 C.53 D.0 7、已知函数2log ,0, ()2,0.x x x f x x >?=?≤? 若'()1f a =,则a =( ) A.2log e 或22log (log )e B.ln 2 C.2log e D.2或22log (log )e 8、下列结论不正确的是( ) A.若3y =,则0y '= B.若3y x =,则1|3x y ='=
20XX 年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算 一．学习目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义； 2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1 x 的导数； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二．学习重、难点： 1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 2．学习难点：理解导数的几何意义. 三．学习方法：讲练结合 四．自主复习： 1．导数的概念 (1)函数在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0 Δy Δx ， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 . (2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________． (3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．
2．基本初等函数的导数公式 3.运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________________________； (3)[f(x) g(x) ]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测： 1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1 C．cos1－1 D．－1－cos1
1.1．1 变化率问题 1．1.2 导数的概念 （结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间16 年 月 日 ；使用班级 ；姓名 【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. ` 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数 难点：会求函数在某一点附近的平均变化率 【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】 知识点一 函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)． 思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1表示什么？ (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . (2)实质： 的增量与 增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1表示割线P 1P 2的 知识点二 瞬时速度 思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．
3．1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念 [提出问题] 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点 A 的坐标为(x 1，y 1)，点 B 的坐标为(x 2，y 2)． 问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：Δy 的大小能否判断山路的陡峭程度？ 提示：不能． 问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1可近似地刻画． 问题4：能用Δy Δx 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ 提示：因Δy Δx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大， 山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy Δx 越大，山路越陡；反之，山路越缓． 问题5：从点A 到点B 和从点A 到点C ，两者的Δy Δx 相同吗？ 提示：不相同．
[导入新知] 函数的平均变化率 对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1，x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从 f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2－f x 1 x 2－x 1 称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率． 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2.类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为 Δy Δx . [化解疑难] 1．正确理解增量Δx 与Δy Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，不是Δ与x 的乘积，Δx 的值可正，可负，但不能为0.Δy 是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有变化． 2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度. [提出问题] 一质点的运动方程为s ＝8－3t 2 ，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝ 8－＋Δt 2 －8＋3×1 2 Δt ＝－6－3Δt . 问题2：当Δt 趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． [导入新知] 1．瞬时速度的概念 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度： 设物体运动的路程与时间的关系是s ＝s (t )，当Δt 趋近于0时，函数s (t )在t 0到t 0 ＋Δt 之间的平均变化率s t 0＋Δt －s t 0 Δt 趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速 度． 2．导数的定义
第1课时变化率问题与导数的概念 a 1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念. 2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤. 3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验. 4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: (1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= . (2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= . 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx
表示,平均变化率的公式是. 问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== . 问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但. 1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(). A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.
导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.
第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常 数)，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝ 1 x的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题， 如2012年广东T12，辽宁T12等． 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用. [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：
称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
3.1.1变化率问题与导数的概念 一、选择题 1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足() A．Δx＜0B．Δx＞0 C．Δx＝0 D．Δx≠0 [答案] D [解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0. 2．函数在某一点的导数是() A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值． 3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1 x 中，平均变化率 最大的是() A．④B．③ C．②D．① [答案] B [解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77. 4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为() A．4＋4t0B．0 C．8t0＋4 D．4t0＋4t20 [答案] C [解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt， Δs Δt ＝4Δt＋4＋8t0， lim Δt→0Δs Δt ＝lim Δt→0 (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0. 5．函数y＝x＋1 x 在x＝1处的导数是() A．2 B.5 2 C．1 D．0
[答案] D [解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1 ， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1 ， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ??? ?1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D [解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替． 7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 [答案] B [解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22 Δt ＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt ＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关 [答案] B [解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关． 9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A ．f ′(x )＝a B ．f ′(x )＝b C ．f ′(x 0)＝a D ．f ′(x 0)＝b [答案] C
导数的概念及运算专题训练 基础巩固组 1.已知函数f(x)=+1,则--的值为() A.- B. C. D.0 2.若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于() A.2 B.0 C.-2 D.-4 3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0 4.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为() A.1 B. C. D. 5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为() A.y=3x+1 B.y=-3x C.y=-3x+1 D.y=3x-3 6.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为() 7.一质点做直线运动,由始点经过t s后的距离为s=t3-6t2+32t,则速度为0的时刻是() A.4 s末 B.8 s末 C.0 s末与8 s末 D.4 s末与8 s末 8.函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线方程是y=2x-8,则=. 9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为. 10.已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=. 11.函数f(x)=x e x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是. 12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 综合提升组 13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(- 1)=() A. B.- C. D.-或 15.直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.
课时跟踪检测（十七） 变化率与导数、导数的运算 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3) D ．(1，－3) 解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. 2．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0 解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x ，∴f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0. 3．(2018·温州模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( ) A ．1 B ．2 C ．12 017 D ．2 0182 017 解析：选D 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017 .故选D. 4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________. 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′????π2＝sin π2＋π2cos π2 ＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2 ，所以1×????－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：2 5．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 33－b 2 x 2＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a 在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是________． 解析：因为a ＞0，b ＞0，f ′(x )＝x 2－bx ＋a ，所以g ′(x )＝a x ＋2x －b a ，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋b a ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.
第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题 1．1.2导数的概念 双基达标(限时20分钟) 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于 ()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 解析Δy Δx＝ f(1＋Δx)－f(1) Δx＝ 2(1＋Δx)2－2 Δx＝4＋2Δx. 答案 C 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 解析v＝(3＋2.12)－(3＋22) 0.1＝4.1. 答案 B 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为 ()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A
4．已知函数y ＝2＋1 x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝? ? ???2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －1 2 5．已知函数y ＝2 x ，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝1 3. 答案 1 3 6．利用导数的定义，求函数y ＝1 x 2＋2在点x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝??????1(x ＋Δx )2＋2－? ???? 1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2 ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2 x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2. 综合提高 (限时25分钟) 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为 ( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析 Δy ＝(2＋0.1)2－22＝0.41. 答案 B 8．设函数f (x )可导，则 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) 3Δx 等于 ( )． A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.1 3f ′(1) D ．f ′(3)
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念. 2.掌握函数平均变化率的求法. 3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数. 知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念 设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子 f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 表 示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx . 2.求平均变化率 求函数y ＝f (x )在上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：
y ＝f (x )在区间上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，????Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它刻画函数值在某处变化的快慢. (2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值. 知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？ 答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果Δy Δx 不存在极限，就说函数 在点x 0处无导数.
1 ●高考明方向 1.了解导数概念的实际背景． 2.理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数 y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x 的导数． 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数. ★备考知考情 由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x y e 在点()0,3处的切线方程为 ； 2014广东文科11 曲线53=-+x y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；
一、知识梳理《名师一号》P39 知识点一导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化 率lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x . (2)称函数f′(x)＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数. 注意:《名师一号》P40 问题探究问题1 f′(x)与f′(x0)有什么区别？ f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数， f′(x0)是函数f′(x)在点x0处的函数值． 例.《名师一号》P39 对点自测1 1.判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．() (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．() (3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．() 答案(1)×(2)×(3)√ 2
课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念 一、题组对点训练 对点练一 函数的平均变化率 1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2 解析：选C 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b ) 2－1 ＝a ＝3. 2．若函数f (x )＝－x 2 ＋10的图象上一点? ????32，314及邻近一点? ????32＋Δx ，314＋Δy ， 则Δy Δx ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－3－(Δx )2 D ．－Δx －3 解析：选D ∵Δy ＝f ? ????32＋Δx －f ? ?? ??32＝－3Δx －(Δx )2 ， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx ) 2 Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝ 1 x 在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝ 1 1＋Δx －1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx ) (1＋1＋Δx )1＋Δx ＝ －Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx ， ∴ Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . 对点练二 求瞬时速度 4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3 －2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．0 答案：B 5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝ s (t 0＋Δt )－s (t 0) Δt ＝(t 0＋Δt )3 －2－(t 3 0－2)Δt ＝3t 2 0Δt ＋3t 0(Δt )2 ＋(Δt )3 Δt