a b
ξ???∴<<12．证明：对函数在上应用拉格朗日中值定理：存在使得
()arctan f x x =[0,]h (0,)h ξ∈2
arctan arctan arctan 01h
h h ξ=?=
+从而
。2
arctan 1h
h h h <<+13．证明：（1）令。当时结论显然成立。()arctan f x x =a b =当时，由拉格朗日中值定理，得。（在构成的区间内），即：
a b ≠()()
()f b f a f b a
ξ?′=
?ξ,a b 。2
1
()()()arctan arctan 1b a f b f a b a ξ
??
=?=?+2
1
arctan arctan 1a b a b a b ξ∴?=??
又Q ξe e x ?14．证，得：
1ξ?∈()n f x x =，使得
21321(0,).(0,).(0,)(0,)n x ξξξξξξ??∈∈∈?L ()121212()(0)()(0)()()
0(1)0!
n n n n f f f f f x f x n n n n ξξξξξ??′′′′′′??====???L 即，使，使得：。
(0,1)θ?∈(0,)x x θξ=∈()()()
,(01)!
n n f x f x x n θθ=<<习题3-2
1.解：()
(2)6,(2)4,(2)4,(2)6,(2)0(4)
n f f f f f n ′′′′′′=?=?===≥
将上述结果代入泰勒多项式，得
2
3(2)(2)()(2)(2)(2)(2)(2)2!3!
f f f x f f x x x ′′′′′′=+?+
?+?.
∴32()(2)2(2)4(2)6f x x x x =?+????2.解：因为()
()
1
(1)!(0)1,(),(0)(1)!,1,2,(1)
k k k k k k f f x f k k x +?===?=+L 所以
.12
1
2
(1)()1(1),(01)(1)
n n n
n n f x x x x x x θθ+++?=?+++?+<<+L 3.解
，(f x ′′2=(4)(f (5)(f ()f x 4.解：(f (4)
(f
=5.解：因为，，一般地，有
1()f x x =234123!
(),(),()f x f x f x x x x ′′′′′′=?==?，所以
()1!
()(1)n n n n f x x
+=??，一般地，有：(1)1,(1)1,(1)2,(1)3!f f f f ′′′′′′?=??=??=??=?()(1)!
n f n ?=?所以，由泰勒公式，得
6.解12121(1)[1(1)(1)(1)](1),(01).[1(1)]
n n n n x x x x x x θθ++++=?++++++++?<
：，所以()x f x xe ?=()
()011()()(1)(1)()0
n x n n x n x
n n f
x xe C e x C e x ????′==?+?+，又，所以
1(1)(1)n x n x xe n e ??=?+??()1(0)(1)n n f n ?=?.
32
1
()(1)()2(1)!
n n n x x f x x x o x n ?=?+++?+?L 7.解：（1）
22
(27)(27)(27)(27)(27)(27)(27)23!
f x f x f f x ′′′′′??′≈+?++
23712115
3(27)(27)(27)
2733
x x x =+
???+?
分别x sin sin 。33003lim lim sin 3
x x x x →→==（2）因为分子关于的次数为2
x 1
225
1111(15)1(5)1(5)()
52!55x x x o x ??
=+=++????+????
2212()
x x o x =+?+原式.
22201
lim [12()](1)2
x x x x o x x →==?+?+?+
9.解：（1）355sin sin (01)3!5!2
x x x x x πθθ?
?
=?++
<
因此；
5
5
41111|()|,5!5!238402x R x x ????
≤≤=≤????????
（2）解：设
()f x =1
211
(0)1,()(1),(0)22
f f x x f ?′′==+=
()f x ′′所以(f 1.解：（2）x （3）x （4）；
2πππ2
2
2
ln sin cos cos 1
lim
lim lim (π2)4sin (2)4(2)8x x x x x x x x x x ππ→→→
===??????（5）；
11lim lim m m m m n
n n n x a x a x a mx m a x a nx n ???→→?==?（6）2222πππ2
2
2
tan sec 1cos 3lim lim lim
tan 33sec 33cos x x x x x x x x x →→
→==
。
π
π2
2
cos33sin 3lim lim 3cos sin x x x x
x x →
→
=?=?=（7）；
2222
1
111
ln 111lim
lim lim 11
arccot 1x x x x x x x x
x x x →+∞→+∞→+∞????????
??
++??+??===++（8）001
1e 1lim lim e 1(e 1)x x x x x x x x →→???????=???????
???
x x x x →=（9）令y （10）设x （11）令，；2
20001
sin lim ln lim lim 1csc x x x x x y x x
++
+→→→=?==?tan 001lim 1x x e x +→??==????（12）；
20000cos lim cot 2lim lim cos 2lim sin 2sin 2x x x x x x x x x x x x →→→→?==?=12（13）令，
2351x
y x x ??=++????
223535ln 135lim ln lim lim lim 3
11x x x x x x x x x y x
x x →∞→∞→∞→∞??+++??+??====所以；
3
235lim 1x
x e x x →∞
??++=????
（14）22(π2arctan )2ln lim (π2arctan )ln lim lim
1
1ln x x x x x x
x x x x →+∞→+∞→+∞???==+
=x →1
1
ln(1)1000(1)lim ()lim
lim e e
x
x x
x
x x x x x f x ++++?→→→?
?+??==?????
?
2
0001
ln(1)1ln(1)1lim lim
lim
2(1)2
e
e
e
e
x x x x x
x x
x x x x
x ++
+→→→+??+??
+====所以，由连续的定义知在处连续。
lim ()x f x ?
→1
2
lim ()e (0)x f x f +?
→===()f x 0x =习题3-4
1.对函数求导，得：，单调减少.
2
22
1'()1011x f x x x ?=?=<++2.解：（1）单调增区间；单调减区间；(,1],[3,)?∞?+∞[1,3]?（2）单调增区间；单调减区间；[1,2][0,1]（3）单调增区间；单调减区间；(,1],?∞[1,]+∞（4）单调增区间；单调减区间；
[0,2](,1),
(1,0],[2,)?∞??+∞（5）单调增区间；单调减区间；2,
,[,)3a a ?
??∞+∞2,3a a ??3．(1)。令()g x x =在内
()g x ???2π?
??()0g x <0,2π??
??
??
内严格递减。由于。所以，即。0sin lim 1x x x →=sin
sin 212
x x π<<2sin ,0,2x x x x ππ??<<∈????
（2）设，则从而当时，严格
2()ln(1)2x f x x x =+?+2
()0(0)1x f x x x
′=>>+0x >()f x 递增。又在处连续，且，所以当时，，即
()f x 0x =(0)0f =0x >()0f x >。
2
ln(1)2
x x x +>?
设。同理可证，当时，，即。()ln(1),0g x x x x =?+>0x >()0g x >ln(1)x x >+综合上述结果可得，当时，有
0x >。
2
ln(1)(0)2
x x x x x ?<+<>（3）令，所以3
1()tan 3
f x x x x =??
，故
2222()sec 1tan 0,02f x x x x x x π?
?′=??=?><
()f x 0,2π??
??()(0)0f x f >=tan x x >（4）令，即f )0>在()f x [4.解：令时，1,a ???()0f x ′>时，1,a ??+∞????1,a ???，当时，，
1()ln 1f x f a a ??<=??????1,x a ??∈+∞????1()ln 1f x f a a ??
<=??????
所以当，即时，方程只有一个实根：ln 10a ??=1
a e
=x e =当，即时，方程没有实根。当，即时，方程有2个ln 10a ??<1a e >ln 10a ??>1
a e
<实根。
5.解：（1）在凸，在凹，为拐点.1,
2?
??∞????1,2??+∞????113,22??????
（2）在凸，在凹，无拐点.
(,0)?∞()0,+∞
（3）没有拐点，处处是凹的.（4）与为凹，为凸，与
为拐点,??∞???
?+∞??
?
34???????
?34????
（5）在与凸，在凹，为拐点.
()1,+∞(,1)?∞?(1,1)?(1,ln 2),
(1,ln 2)?（6）在内是凹，在凸.为拐点.
1,2???∞????1,2??+∞????1arctan 2
1,2e ??????
6．解：（1）令，则，所以当且()n
f x x =1
2(),()(1)n n f x nx
f x n n x ??′′′==?0x >1
n >时，。即在内为凹的。由凹函数的定义，知：对，()0f x ′′>()n f x x =[)0,+∞∴x y ?≠有：
（2
）设从而对
12,x a
x =
即
2
e
a b
+7．解：
y ′
令解得：，所以时，，0y ′′=1231,22x x x ==?=??(,2x ∈?∞?0y ′′<当时，；当时，；当(22x ∈??+0y ′′>()
2x ∈?0y ′′<()1,x ∈+∞时，0
y ′′>故时，；时，，
11x =11y =22x =?2y =
32x =?3y =
即，是曲线的三个拐点，很容
(1,1),2????
?
2?????21
1x y x +=+易验证这三点在同一条直线上。
8.解：，所以若为曲线的拐点，则满足
3
2
y ax bx =+2
32,62y ax bx y ax b ′′′=+=+()1,3解得：.(1)3(1)620
f a b f a b =+=??
′′=+=?39,22a b =?=9.解：是的拐点，因为，故可设，又因为
00(,())x f x ()f x 0()0f x ′′′≠0()0f x ′′′>在的某邻域内连续，所以.由保号性，知存在，当
()f x ′′′0x x =0
0lim ()()0x x f x f x →′′′′′′=>δ
0(,x U x ∈0()f x ′′=0(x U x ∈1.解：，所以
0在的邻32x =
0x =域内()f x （2）y ′=（3）222222
2
(64)(1)(344)(21)2(1)(1)x x x x x x x x
y x x x x +++?+++??′==++++令，，。故为极大值，
120,0,2y x x ′===?322
2621324
x x y x +?′′=
?
?++????(0)0y ′′<(0)4y =又，故为极小值；(2)0y ′′?>8
(2)3
y ?=（4）极小值；1ln 22y ??
?
=????
（5）令，得。因为当时，；当2
(2ln )ln ()0x x
f x x
?′=
=21,e x =01x <<()0f x ′<时，；当时，，所以在处有极小值
21e x <<()0f x ′>2e x >()0f x ′<()f x 1x =，在处有极大值。
(1)0f =2e x =22(e )4e f ?=（6）令，得。由于当时，；当时，2
1()01x
f x x
?′=
=+1x =1x >()0f x ′<1x <，所以在处有极大值.
()0f x ′>()f x 1x =π2ln 2
(1)4
f ?=2.证明：，故，所以，是极小值点。4211lim sin 0x k k x x
π=→∞
=()(0)0f x f ≥=0x =
即0=cos
3a π(f ′′
所以0x =
4.解0,1,x =数在x =且，所以函数在处取得最大值
(0)0,14y y π??
==????22
lim (2tan tan )x x x π?→
?=?∞4x π=，无最小值；π14y ??
=????
（3）最大值，最小值；35
44
y ??=?
???(5)5y ?=?5．证明（1）设，令，解得
()(1)p
p
f x x x =+?1
1()(1)0p p f x px p x ??′=??=
；，，12x =
22(1)(1)(1)p p y p p x p p x ??′′=?+??102y ??′′>????
(1)1,(0)1,f f ==为最小值，故，原不等式11122
p f ???
=????[0,1]x ?∈1
1(1)1(01,1)
2
p p p x x x p ?≤+?≤≤≤>成立。
（2）设解得，
()(1)e ,()e (1)e 0x
x
x
f x x f x x ′=?=?+?=0x =，函数在定义域内有一个
()e e e (1),(0)10x x x f x x x f ′′′′=??=?+=?<()(1)e x f x x =?
6.解又因为在()2f x ′′=3x =?，又1=?.
(1)f ?=1
2
8.解。令
)l 12S ′=?0S =9.解2V R h
π=表面积为
222V R 2Rh R R
S πππ=+=+
令，得。所以，当底半径与高的比例为时，容器的表面22V
2R 0R
S π′=?=R h =1:1积为最小。
10.解：由题意，知：截面的周长：，由
2
1522x xy π??=+????1
22
C x y x π=++
，得：，把其代入，得：
2
1522x xy π??=+????211
58y x x
π??=?????122C x y x π=++，令，得：10111101424C x x x x x x πππ??
=+
?+=++????
2110()104C x x π′=+?=
（负值舍去）又因为（当时）所以当2.366(m)x =≈320
()0C x x ′′=>0x >
时，其截面的周长最小。2.366(m)x =≈目为：
50?
令f 1800
x =时，（4）x =y =为(2,1)?单调减少；在内是凸的，在为凹的，拐点
(,5),(5,2)?∞???(2,1),(1,)?+∞极大值，极小值.
(2,26),(5)80f ??=(1)28f =?
O
3261520
y x x x =+??5110522
??5110522
?+1
?（2）定义域为；周期为；图形对称于1π(0,1,2,)24k x k ??
≠+=±±?
???
L 2π部分：在内单调增加；在内是凹的，在内
[0,ππ3π3π0,,,,,π4444??????????????????π0,4??????是凸的，在内是凹的，在内是凸的；拐点；极小值π3π,
24??????3π,π4??????π,02??
????
；铅直渐进线.)1π=?π3π
,44
x x =
=π
cos cos 2x
y x
=
习题3-7
1.解：由，得1
y x =
因此，把它们代入曲率公式，使得曲线
2312
,y y x x
′′′=?=111,2x x y y ==′′′=?=
在点处的曲率为
1xy =(1,1)
322
2[1(1)]
k =
=
+?2.解：，因此，把它们代入曲11
(),()22
x x x x y e e y e e ??′′′=
?=+000,1x x y y ==′′′==率公式，得.
1k =3.解：显然sec 0
x >，故曲线在点处的曲率为：
21
(sec )tan ,sec sec y x x y x x ′′′′=?==Q (,)x y K =(y t ′有最大值。2a 而x 6．解：因为，所以曲线在点处的曲率半径为1,x x y sh
y ch a a a ′′′==?x
y ach a =(,)x y 。()
3
2
3
222
22111x ch y x y a R a ch x K y a a ch a a
????′+??==
==?=′′
?7.解：将代入曲线的曲率公式得
e x
y y ′′′==
()
33222
2
e 1(1e )
x x y K y ′′
=
=
′++为求的最大值，可将变化为
K K 2433
32
1(e
e )
x x K ?=
+所以只要求出的最小值，便易得的最大值，容易求得当是
243
3
()e
e x x
f x ?=+K 1
ln 22
x =?唯一的极小值点，也就是使曲线曲率最大的点，代入曲线方程得()f x e x y =e x y =
y =
8.解反力为N 抛物线y 所以F =9.解：曲率半径为：33222221(1')(1(sec ))|"||2sec tan sec |y x K y x x x ρ++====
设圆心坐标为：，则有:,又法线方程为：00(,)x y 2200125
(
)(1)416
x y π?+?=，代入上式，得000011()22244y x x y ππ?=??=?+0091
44
y y ==?
或则分别有：00210
44
x x ππ+?==
或g
.22
2+π91254416x y ?????+?=
????????
习题3-8
在
。令：xy =(f x =+3.14.(5.(?6.（
）.因为，当时，；当时，，π6'12sin y x =?6x π≤'0y >6
x π
≥'0y <故得答案。
二、1.A；
2.A；由，洛必达法则即可。320(1)lim 0x x e ax bx x
→?++=3.B；
由，得，，得
()ln x f x x k e =?
+0lim (ln )x x x k e +→?+=?∞11
'()0f x x e
=?=,当，单调上升；当，单调下降。又，所以，只有两个零点。
x e =x e ()0f e k =>
高数第三章一元函数的导数和微分
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b
则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
导数与微分练习题答案
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
第六章 微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及
第三章导数与微分习题解答
P61 习题3-1 1、根据定义求导数： (1)cos y x = 00000cos()cos lim 2sin sin 22lim sin()sin 22lim 2 sin 2lim sin()lim 22 sin x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12 (2)y x = 112 2 012()lim lim lim 12x x x x x x y x x ?→?→?→-+?-'=?==== (3)y = 033 223 2 2 2(lim lim lim lim x x x x x x y x ?→?→?→?→+?'=?==== =(4)x y a = 001lim lim x x x x x x x a a a y a x x +???→?→--'==?? 设t x =?，则 01 lim t x t a y a t →-'= 再设t s a =，则log a t s =，于是 11 1 1 110 1 1lim log 1lim log 1 lim log [1(1)] 1log ln x s a x s s a x s s a x a x s y a s a s a s a e a a →→--→--'===+-== 2、
0000000()()(1)lim [(()]() lim () x x f x x f x x f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=- 00000000000000000000000()()(2)lim ()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2() x x x x x x f x x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim ()lim (0)(0)lim (0) x x x f x x f x x f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001 (4)lim [()()]1 ()() lim 1() n n n f x f x n f x f x n n f x →∞→+-+-='= 3、证： ()f x 为偶函数且(0)0f =，则 00000(0)(0)(0)lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim (0)x x x x x f x f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f - - - - + -?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则 (0)(0)f f -+''= 即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证： （1）设()f x 为可导的奇函数，则： 0000()()()lim ()()lim ()() lim [()]() lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。 （2）设()f x 为可导的偶函数，则：
导数与微分测试题及答案(一)
导数与微分测试题（一） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（ ） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、 曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的 切线与x 轴正向的交角为 4 π 。
5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续， 求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使 得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一） 一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --； 三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--；
微分中值定理及其应用
分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月
目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)
03第三章-导数与微分
第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0 x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0 x f x x f y -?+=?，若极限 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0 x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0 x 处的导数，记为)(0 x f '，也可记为0 00 0d d d d , ,)(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0 x 处不可导. 若固定0 x ，令x x x =?+0 ，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在 点0 x 处的导数)(0 x f '也可表示为 00 ) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→.
最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309汇总
3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309
第三章微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理?Skip Record If...? 1．填空题 （１）?Skip Record If...?（２） 3 , ?Skip Record If...? 2．选择题 （１） B （２） C （３） B 3． 证明：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?为一常数． 设?Skip Record If...?，又因为?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...?． 4． 证明：由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续,在?Skip Record If...?可导,且?Skip Record If...?，根据罗尔定理知，存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?．同理存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?．又?Skip Record If...?在 ?Skip Record If...?上 符合罗尔定理的条件，故有?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?． 5． 证明：设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?，根据零点存在定理至少存在一个?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．另一方面，假设有?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?，根据罗尔定理，存在?Skip Record If...?使?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，这与?Skip Record If...?矛盾．故方程?Skip Record If...?只有一个实根． 6． 证明：由于?Skip Record If...?在?Skip Record If...?内可导，从而?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?内连续，在开区间?Skip Record If...?内可导．又因为?Skip Record If...?，根据零点存在定理，必存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．同理，存在点?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?．因此?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上满足罗尔定理的条件，故存在?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?成立． 7. 证明：只需令?Skip Record If...?，利用柯西中值定理即可证明.
第二章 导数与微分(测试题)
第二章 导数与微分 单元测试题 考试时间：120分钟 满分：100分 试卷代码：M1-2b 一、选择题(每小题2分，共40分) 1．两曲线21y y ax b x = =+，在点1(22 ，处相切，则（ ） A．13164a b =-=， B．11164 a b ==， C．912a b =-=， D．712a b ==-， 2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（ ） A．201lim (1cos )h f h h →-存在 B．01lim (1)h h f e h →-存在 C．201lim (sin )h f h h h →-存在 D．[]01lim (2)()h f h f h h →-存在 3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（ ） A．间断点 B．连续而不可导的点 C．可导的点，且(0)0f '= D．可导的点，且(0)0f '≠ 4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0lim x dy y y →-= （ ） A．-1 B．1 C．0 D．∞ 5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2 ()()f x f x '=，则()()n f x =（ ） A．[]1()n n f x + B．[]1!()n n f x + C．[]1(1)()n n f x ++ D．[]1(1)!()n n f x ++ 6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤??=?>?? +cos 在0x =处可导，则（ ） A．22a b =-=， B．22a b ==-， C．11a b =-=， D．11a b ==-， 7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f 不存在的最小正整数n 必为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x =的（ ）
经济数学(导数与微分习题与答案)
第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =
【方明亮、郭正光】【高等数学第一学期】第03章 微分中值定理与导数的应用习题详解
第三章 微分中值定理与导数的应用 习题3-1 1.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即： 22 120(21) ξ ξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点ξ(1,1)∈-，使得 ()0f ξ'=. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件. 3．解：令3 3arccos arccos(34)y x x x =-- ，2y '=，化简得 0,C y y '=∴=（C 为常数） ，又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。 4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,2π??????上连续，在0,2π?? ??? 内可导 ()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π?? ∈ ??? ，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西 中值定理条件。 (0)121(0)22f f F F πππ??- ???=??-- ???，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ????-- ? ? '????==='-????--- ? ????? ，令()1()12 f x F x π'= '-，即tan 1422 x ππ ??-=- ???，此时 2arctan 142x ππ?? ??=-- ???????显然0,2x π??∈ ???，即 2arctan 10,4 22πππξ?????? ?=--∈ ? ?????????，
最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总
3[1]1微分中值定理 及其应用
3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?.
https://www.doczj.com/doc/241354629.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值
a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
高等数学练习题第二章导数与微分
高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 学号 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]
微分中值定理及其在不等式的应用
安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期
微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点
