1- x 2
1- x 2
x 2 - a 2 a 2 - x 2
导数公式：
全国硕士研究生统一入学考试
数学公式大全
高等数学公式
(tgx )' = sec 2
x (ctgx )' = -csc 2 x (sec x )' = sec x ? t gx (arcsin x )' =
1
(arccos x )' = - 1
(csc x )' = -csc x ? c tgx (a x )' = a x ln a
(arctgx )' =
1
1+ x 2
(log a x )' =
1
x l n a
(arcctgx )' = -
1
1+ x 2
基本积分表：
?tgxdx = - ln cos x + C ? ctgxdx = ln sin x + C
dx cos 2 x dx
= ?sec 2
xdx = tgx + C ?sec xdx = ln sec x + tgx + C
? sin 2 x = ?csc 2 xdx = -ctgx + C
? csc xdx = ln csc x - ctgx + C dx = 1 arctg x
+C
?sec x ? tgxdx = sec x + C ?csc x ? ctgxdx = -csc x + C
? a
2 + x
2
a dx
=
1
a ln
x -
a + C ?
a x
dx =
a x
C ln a ? x 2 - a 2 dx a 2 - x 2 2a x + a
= 1 ln a + x + C 2a a - x ? shxdx = chx + C ?chxdx = shx + C ? ?dx = arcsin x + C ?
?dx = ln( x + x 2 ± a 2 ) + C
a 2 - x
2
a x 2 ± a 2
π
2 I n = ?sin 0 π
2
xdx =?cos n
xdx = n -1 n
I n -2
dx = x 2 ? dx = x 2 + a 2 + a 2 2 - a 2 2 a 2 ln(x + ln x + x
) + C + C
? dx = + arcsin + C 2 a
x 2 + a 2 x 2 + a 2 x 2 x 2 - a 2 x 2 - a 2
x 2 a 2 - x 2 ? ? + n ?
三角函数的有理式积分：
sin x =
2u 1+ u 2 ， cos x = 1- u 2 ， 1+ u 2 u = tg x ， 2
dx = 2du 1+ u 2
一些初等函数：
两个重要极限：
e x - e
- x
双曲正弦: shx = lim
sin x = 1
2 x →0
x
双曲余弦: chx = e x + e
- x
lim(1+ 1
)x = e = 2.718281828459045...
双曲正切: thx =
2 shx = chx
e x - e - x
e x + e - x
x →∞?x
arshx = ln( x + archx = ±ln( x + x 2 +1） x 2 -1)
arthx = 1 ln 1+ x
2 1- x
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
sin α + sin β = 2 s in
α + β
cos
α - β
cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β
α
2
2
tg α ± tg β
sin α - sin β = 2 cos + β sin α - β
tg (α ± β ) =
1 tg α ? tg β ctg α ? ctg β 1
cos α + cos β = 2 c os 2 α + β 2 cos 2 α - β 2
ctg (α ± β ) =
ctg β ± ctg α
cos α - cos β = 2 sin
α + β
sin
α - β
2
2
y ' (1+ y '2 )3
(uv ) = ∑C u
v
·倍角公式：
sin 2α = 2 sin α c os α
cos 2α = 2 c os 2
α -1 = 1- 2sin 2
α = cos 2
α - sin 2
α
ctg 2α -1
sin 3α = 3sin α - 4sin 3 α
cos 3α = 4 c os 3 α - 3cos α ctg 2α =
tg 2α = 2ctg α
2tg α
tg 3α =
3tg α - tg 3α 1- 3tg 2α
1- t g 2α
·半角公式：
sin α
=
2
cos α
=
2
tg α
=
= 1- cos α = sin α ctg α
=
= 1+ cos α = sin α
2 sin α 1+ cos α
2 sin α 1- cos α
·正弦定理：
a = sin A
b sin B = c
sin C
π
= 2R ·余弦定理： c 2
= a 2
+ b 2
- 2ab cos C
π
·反三角函数性质： arcsin x =
- arccos x
2
arctgx = - arcctgx
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
n
(n ) k (n -k ) (k )
n k =0
= u (n ) v + nu (n -1) v ' +
n (n -1) u (n -2) v ' + + n (n -1) (n - k +1) u (n -k ) v (k )
+ + uv (n )
2! k !
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a ) f (b ) - f (a ) f '(ξ )
柯西中值定理： F (b ) - = F (a )
F '(ξ )
当F(x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds = 1+ y '2 dx ,其中y ' = tg α
平均曲率：K
?α : 从M 点到M '点，切线斜率的倾角变化量；?s ：MM '弧长。 M 点的曲率：K === . ?s →直线：K = 0; 半径为a 的圆：K = 1
.
a
定积分的近似计算：
1
1
b
矩形法：? f (x ) ≈ a
b
梯形法：? f (x ) ≈ a
b - a
n b - a n ( y 0 + y 1 + + y n -1 )
[ 2 ( y 0 + y n ) + y 1 + + y n -1 ]
b
抛物线法：? f (x ) ≈ a
b - a
3n [( y 0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + + y n -2 ) + 4( y 1 + y 3 + + y n -1 )] 定积分应用相关公式：
功：W = F ? s 水压力：F = p ? A
引力：F = k
m 1m 2
, k 为引力系数r 2
1 b 函数的平均值：y = b - a ? f (x )dx
均方根： 1 b
? f 2 (t )dt
b - a a 空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M 1M 2 =
向量在轴上的投影：Pr j u = cos ?,?是与u 轴的夹角。
Pr j u (a + a ) = Pr j a + Pr j a a ?
b = a ? b cos θ = a x b x + a y b y + a z b z ,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos θ =
a x
b x + a y b y + a z b z
i c = a ? = a j k a a , c = a ?
θ .例：线速度：v = w ? r . b x y z
b x b y b z
b sin a x a y a z 向量的混合积：[ab
c ] = (a ? b ) ? c = b x b y c x c y b z = a ? b ? c cos α ,α为锐角时
c z 代表平行六面体的体积。
a (x - x )2 + ( y - y )2 + (z - z )2
2 1 2 1 2 1
a 2 + a 2 + a 2
? b 2 + b 2 + b 2 x y z
x y z
1 2 2
0 0 0 0 0 0 0 x ?
x x 2 + = y y
平面的方程：
1、点法式：A (x - x ) + B ( y - y ) + C (z - z ) = 0，其中n
= {A , B ,C }, M (x , y , z ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0
3 x y z
、截距世方程： + + = 1
a b c
平面外任意一点到该平面的距离：d =
?x = x 0 + mt
x - x 0 y - y 0
z - z 0 ?
空间直线的方程： = m n = p = t ,其中s = {m , n , p };参数方程：? y = y 0 + nt
二次曲面： 2 1、椭球面： + a 2 x 2
y z 2 b 2 c 2 1
y 2
? z = z +
pt 2、抛物面： + 2 p 2q
3、双曲面：
= z （, p , q 同号）
2 2 单叶双曲面： + a 2 b
2 2 2 双叶双曲面： - a 2 b 2
- z 2 c 2 + z 2 c 2 = 1 =（1 马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：dz =
?z
dx + ?z dy du =
?u
dx + ?u dy + ?u
dz ?x ?y
?x ?y ?z
全微分的近似计算：?z ≈ dz = f x (x , y )?x + f y (x , y )?y 多元复合函数的求导法：
z = f [u (t ),v (t )] dz = ?z ? ?u + ?z ? ?v dt ?u ?t ?v ?t
z = f [u (x , y ),v (x , y )] ?z = ?z ? ?u + ?z ? ?v ?x 当u = u (x , y )，v = v (x , y )时，
?u ?x ?v ?x
du = ?u dx + ?u dy dv = ?v dx + ?v dy
?x ?y ?x ?y
隐函数的求导公式： 隐函数F (x , y ) = 0，
dy = - F x
， dx F y
d 2 y dx 2
= ? (- F x )＋ ? ?x F y ?y
(- F x ) ? dy
F y dx
隐函数F (x , y , z ) = 0， ?z = - F
x ，
?z
= - F y ?x F z
?y F z Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A 2
+ B 2
+ C
2
?
' ?
x x G y
?F (x , y ,u ,v ) = 0
?(F ,G ) F u F v
隐函数方程组： ?G (x , y ,u ,v ) = 0 J = ?(u ,v ) = =
G u G v
?u = - 1 ? ?(F ,G ) ?v = - 1 ? ?(F ,G ) ?x J ?(x ,v ) ?x J ?(u , x ) ?u = - 1 ? ?(F ,G ) ?v = - 1 ? ?(F ,G ) ?y J ?( y ,v )
?y J ?(u , y )
微分法在几何上的应用：
?x = ? (t ) 空间曲线?
y =ψ (t )在点M (x , y , z )
x - x 0 = y - y 0
= z - z 0
? ? z = ω (t )
0 0 0
处的切线方程： ? (t 0 ) ψ '(t 0 ) ω '(t 0 ) 在点M 处的法平面方程：? '(t 0 )(x - x 0 ) +ψ '(t 0 )( y - y 0 ) + ω '(t 0 )(z - z 0 ) = 0
??F (x , y , z ) = 0
F y F z F z F x F x F y 若空间曲线方程为：?
??
G (x , y , z ) = 0,则切向量T = {G , G z G z G , G } 曲面F (x , y , z ) = 0上一点M (x 0 , y 0 , z 0 )，则：
1、过此点的法向量：n
= {F (x , y , z ), F (x , y , z ), F (x , y , z )}
x
y
z
2、过此点的切平面方程：F x (x 0 , y 0 , z 0 )(x - x 0 ) + F y (x 0 , y 0 , z 0 )( y - y 0 ) + F z (x 0 , y 0 , z 0 )(z - z 0 ) = 0
3、过此点的法线方程： x - x 0 = y - y 0 = z - z 0
方向导数与梯度：
F x (x 0 , y 0 , z 0 ) F y (x 0 , y 0 , z 0 ) F z (x 0 , y 0 , z 0 )
函数z = f (x , y )在一点p (x , y )沿任一方向l 的方向导数为 ?f = ?f cos ? + ?f sin ? ：
?l ?x ?y
其中?为x 轴到方向l 的转角。
函数z = f (x , y )在一点p (x , y )的梯度：grad f (x , y ) =
?f i + ?f j ?f ?x ?y
它与方向导数的关系是： = grad ?l
f (x , y ) ? e ，其中e = cos ? ? i + sin ? ? j ，为l 方向上的
单位向量。 ∴ ?f
是grad f (x , y )在l 上的投影。 ?l 多元函数的极值及其求法：
y
? 0 0 ? ? ? ?
?
设f x (x 0 , y 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) = 0，令：f xx (x 0 , y 0 ) = A , f xy (x 0 , y 0 ) = B , f yy (x 0 , y 0 ) = C ? AC - B 2 > 0 ? A < 0,(x 0 , y 0 )为极大值
?
时，?A > 0,(x , y )为极小值 则：? AC - B 2
< 0时， 无极值 ?AC - B 2 = 0时, ??
重积分及其应用：
不确定 ?? f (x , y )dxdy = ?? D
D '
f (r cos θ , r sin θ )rdrd θ
曲面z = f (x , y )的面积A = ??
D
M dxdy
?? x ρ (x , y )d σ M
?? y ρ (x , y )d σ 平面薄片的重心：x = ?x = D
,
y = y = D M ?? ρ (x , y )d σ
D
M ?? ρ (x , y )d σ
D
平面薄片的转动惯量：对于x 轴I x = ?? y 2 ρ (x , y )d σ , D
对于y 轴I y = ?? x 2 ρ (x , y )d σ
D
平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点M (0,0, a ),(a > 0)的引力：F = {F x , F y , F z }，其中
F x = f ?? ρ (x , y )xd σ
3
F y = f ?? ρ (x , y ) yd σ
3
F z = - fa ?? ρ (x , y )xd σ
3
D (x 2 + y 2 + a 2 )
2 柱面坐标和球面坐标：
?x = r c os θ 柱面坐标：?
y = r sin θ ,
??? D
(x 2 + y 2 + a 2 ) 2
f (x , y , z )dxdydz = ??? F (r ,θ , z )rdrd θdz , D (x 2
+ y 2 + a 2 ) 2
? z = z Ω Ω
其中：F (r ,θ , z ) = f (r cos θ , r sin θ , z )
?x = r sin ? cos θ ? 2
球面坐标：? y = r sin ? sin θ ，
dv = rd ? ? r sin ? ? d θ ? dr = r sin ?drd ?d θ ? z = r cos ?
2π
π r (? ,θ )
??? f (x , y , z )dxdydz = ??? F (r ,?,θ )r 2
sin ?drd ?d θ = ? d θ ? d ? ? F (r ,?,θ )r
2
sin ?dr
Ω
Ω
0 0
重心：x =
1
??? x ρdv , y =
1
??? y ρdv , z =
1
??? z ρdv ， 其中M = x = ??? ρdv
M Ω
M Ω
M
Ω
Ω
转动惯量：I x = ??? ( y 2 + z 2 )ρdv ，
Ω
I y = ??? (x 2 + z 2 )ρdv ， Ω
I z = ??? (x 2 + y 2 )ρdv
Ω
曲线积分：
1+ ?x ? + ?y ? ? ?z ?2
? ?z ?2
? ? ? ?
， ，
?
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
? x = ? (t ) 设f (x , y )在L 上连续，L 的参数方程为：?
,
(α ≤ t ≤ β ),则：
? y =ψ (t ) β
? x = t
? f (x , y )ds = ? f [? (t ),ψ (t (α < β )
特殊情况：?
L α
? y = ? (t )
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
? x = ? (t )
设L 的参数方程为? y =ψ ，则：
(t ) β
? P (x , y )dx + Q (x , y )dy = ?{P [? (t ),ψ (t )]? '(t ) + Q [? (t ),ψ (t )]ψ '(t )}dt
L
α 两类曲线积分之间的关系：? Pdx + Qdy = ?(P cos α + Q cos β )ds ，其中α和β分别为
L
L
L 上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式：?? ( ?Q - ?P )dxdy = ? Pdx + Qdy 格林公式：?? ( ?Q - ?P
)dxdy = ? Pdx + Qdy
D ?x ?y L D ?x ?y L
当P = - y ,Q = x ?Q - ?P = 2时，得到D 的面积：A = ??
dxdy = 1 ? xdy - ydx ，即： ?x ?y
D 2 L
·平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G 是一个单连通区域；
2、P (x , y )，Q (x , y )在G 内具有一阶连续偏导数，且?Q ＝?P 。注意奇点，如(0,0)，应
?x ?y
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全微分求积： 在?Q ＝?P 时，Pdx + Qdy 才是二元函数u (x , y )的全微分，其中： ?x
u (x , y ) =
?y
( x , y )
? P (x , y )dx + Q (x , y )dy ，通常设x 0
= y
= 0。
( x 0 , y 0 )
曲面积分：
??
??
x y 对面积的曲面积分： ∑
f (x , y , z )ds =
D xy
f [x , y , z (x , y )] 1+ z 2 (x , y ) + z 2
(x , y )dxdy
对坐标的曲面积分：?? P (x , y , z )dydz + Q (x , y , z )dzdx + R (x , y , z )dxdy ，其中：
∑
?? R (x , y , z )dxdy = ± ?? R [x , y , z (x , y )]dxdy ，取曲面的上侧时取正号；
∑
D xy
?? P (x , y , z )dydz = ± ?? P [x ( y , z ), y , z ]dydz ，取曲面的前侧时取正号；
∑
D yz
?? Q (x , y , z )dzdx = ±?? Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ，取曲面的右侧时取正号。
∑
D zx
两类曲面积分之间的关系：?? Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ?? (P cos α + Q cos β + R cos γ )ds
∑
∑
高斯公式：
i
? ?x P k ?
?z R
?? ??
???( ?P + ?Q + ?R )dv = ?? Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ??(P cos α + Q cos β + R cos γ )ds Ω ?x ?y ?z ∑ ∑
高斯公式的物理意义 — —通量与散度：
散度：div ν = ?P + ?Q + ?R ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div ν
< 0,则为消失...
?x ?y ?z 通量：?? A ? n
ds = ?? A ds = (P cos α + Q cos β + R cos γ )ds ，
n ?? ∑ ∑ ∑
因此，高斯公式又可写成： div A dv = A ds
???
??
n
Ω
∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
?? ( ?R - ?Q )dydz + ( ?P - ?R )dzdx + ( ?Q - ?P )dxdy = ? Pdx + Qdy + Rdz ∑ ?y ?z ?z ?x dydz dzdx ?x dxdy
?y cos α
Γ cos β
cos γ 上式左端又可写成： ? ∑
?x P
? ? ?y ?z Q R ?R = ? ∑ ?x P ?Q ?P ? ? ?y ?z Q R ?R ?Q ?P
空间曲线积分与路径无关的条件： = ?y ， ?z ?z = ?x ， ?x =
?y
j 旋度：rot A = ?
?y Q 向量场A 沿有向闭曲线Γ的环流量：? Pdx + Qdy + Rdz = ? A ? t
ds
Γ
Γ
常数项级数：
等比数列：1+ q + q 2
+ + q
n -1
=
1- q n
1- q 等差数列：1+ 2 + 3 + + n = (n +1)n
2
调和级数：1+ 1 + 1 + + 1
是发散的
2 3 n
级数审敛法：
?
? n →∞
?? n ∑ ∑ ? ?
1、正项级数的审敛法— —根植审敛法（柯西判别法） ?ρ < 1时，级数收敛设：ρ = lim n u n ，则?ρ > 1时，级数发散
n →∞
2、比值审敛法：
? ρ = 1时，不确定 ?ρ < 1时，级数收敛
设：ρ = lim U n +1 ，则?
ρ > 1时，级数发散
n →∞ U n
3、定义法：
? ρ = 1时，不确定
s n = u 1 + u 2 + + u n ;lim s n 存在，则收敛；否则发散。
交错级数u 1 - u 2 + u 3 - u 4 + (或- u 1 +u 2 -u 3 + ,u n > 0)的审敛法— —莱布尼兹定理：
?? u n ≥ u n +1
如果交错级数满足?lim u = n →∞ n
绝对收敛与条件收敛：
，那么级数收敛且其和s ≤ u 1 ,其余项r n 的绝对值r n ≤ u n +1 。
(1) u 1 + u 2 + + u n + ，其中u n 为任意实数；
(2) u 1 + u 2 + u 3 + + u n +
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 调和级数：∑ 1 发散，而∑ 级数： 1 收敛； n 2
(-1)
n n 收敛；
p 级数： 1
n p ｐ≤１时发散
p > 1时收敛
幂级数：
1+ x + x 2
+ x 3
+ + x n
+
x < 1时，收敛于
x ≥ 1时，发散
1
1- x
对于级数(3)a 0 +
a 1 x + a 2 x 2 + + a x n + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
数轴上都收敛，则必存在R ，使 x < R 时收敛 x > R 时发散，其中R 称为收敛半径。
x = R 时不定
求收敛半径的方法：设lim
n →∞
= ρ，其中a n ，a
n +1是(3)的系数，则 ρ ≠ 0时，R = 1
ρ ρ = 0时，R = +∞
ρ = +∞时，R = 0
a n +1 a n
0 n
n 或? ∑
∑ ?
?b = π ? + + + 6 π ? π ? ∑ 函数展开成幂级数：
f ' (x )
2 f (n ) (x ) n 函数展开成泰勒级数：f (x ) = f (x 0 )(x - x 0 ) + ?0
(x - x 0 ) 2!
+ + ?0 (x - x ) + n ! 余项：R n = f (n +1) (ξ ) (n +1)!
(x - x 0 )
n +1
, f (x )可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R = 0 n →∞ x 0 = 0时即为麦克劳林公式：f (x ) = f (0) + f 一些函数展开成幂级数：
'(0)x +
f ' (0) x 2
2! + + f (n ) (0) x n !
(1+ x )m = 1+ mx + m (m -1) x 2 + + m (m -1) (m - n +1) x n +
(-1 < x < 1)
2! x 3 x 5
n -1
n ! x 2n -1 sin x = x - 3! + 5!
- + (-1)
欧拉公式：
(2n -1)! + (-∞ < x < +∞)
e ix
= cos x + i sin x
三角级数：
? ?cos x = ? ?sin x = ? e ix + e -ix 2 e ix
- e -ix 2
f (t ) = A 0
+ ∑ n =1
A n sin(n ωt + ?n ) =
a 0 + ∞
2
n =1
(a n cos nx + b n
sin nx )
其中，a 0 = aA 0，a n = A n sin ?n ，b n = A n cos ?n ，ωt = x 。
正交性：1,sin x ,cos x ,sin 2x ,cos 2x sin nx ,cos nx 任意两个不同项的乘积在[-π ,π ]
上的积分＝0。
傅立叶级数：
f (x ) = a 0 + ∞
(a
2 n =1
cos nx + b n
sin nx )，周期
= 2π ? 1 π
?a n = π ? f (x ) cos nxdx -π (n = 0,1,2 ) 其中? ? n ?
1 π
f (x )sin nxdx
-π (n = 1,2,3 ) 1 1 π 2 1 1 1 π 2 1+ 32 52 + = 8 1+ 22 32 42 + = （相加）
1 + 1 + 1 2
2 42 62 + = π 2
24 1- 1 + 1 22 32 - 1 + 42 π 2 （相减）
12 2 π
正弦级数：a n = 0，b n = f (x )sin n xdx
0 2
π
余弦级数：b n = 0，a n = f (x ) cos nxdx
周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数：
n = 1,2,3
n = 0,1,2 f (x ) = ∑b n sin nx 是奇函数
f (x ) =
a 0 +
a cos nx 是偶函数
2
n
∞ = n + n
? l ? f (x ) =
a 0
+ ∑∞
(a
cos
n πx + b sin n πx
) = 2l 2 n =1 ? 1 l
l n n πx ，周期 l ?a n = l ? f (x )
c os l dx (n = 0,1,2 ) 其中?
?b = ?? n -l 1 l f (x )sin -l n πx
dx l
(n = 1,2,3 )
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y ' = f (x , y )
或 P (x , y )dx + Q (x , y )dy = 0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g ( y )dy = f (x )dx 的形式，解法： ? g ( y )dy =? f (x )dx
得：G ( y ) = F (x ) + C 称为隐式通解。
齐次方程：一阶微分方程可以写成 dy
= f (x , y ) = ? (x , y )，即写成 dx
y 的函数，解法：
x 设u = y ，则dy = u + x du ，u + du = ? (u )，∴ dx = du 分离变量，积分后将 y 代替u
x dx dx dx x ? (u ) - u x
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
1 dy 、一阶线性微分方程： + P (x ) y = Q (x )
dx
当Q (x ) = 0时,为齐次方程，y = Ce -? P ( x )dx
当Q (x ) ≠ 0时，为非齐次方程，y = (?Q (x )e ?
P ( x )dx
dx + C )e -? P ( x )dx
2 dy n 、贝努力方程： + P (x ) y = Q (x ) y ，(n ≠ 0,1) dx
全微分方程：
如果P (x , y )dx + Q (x , y )dy = 0中左端是某函数的全微分方程，即：
du (x , y ) = P (x , y )dx + Q (x , y )dy = 0
?u = P (x , y ) ?u
= Q (x , y ) ，其中： ，
?x ?y
∴u (x , y ) = C 应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
d 2 y + dx 2 P (x ) dy
dx + Q (x ) y = f (x )， f (x ) ≡ 0时为齐次 f (x ) ≠ 0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*) y ' + py ' + qy = 0，其中p , q 为常数； 求解步骤：
1、写出特征方程：(?)r 2 + pr + q = 0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是(*)式中y ' , y ', y 的系数
2、求出(?)式的两个根r 1 , r 2
n
m
3、根据r 1,r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程
y ' + py ' + qy = f (x )，p , q 为常数 f (x ) = e λx P (x )型，λ为常数； f (x ) = e λx [P (x ) cos ωx + P (x )sin ωx ]型
l
n
n
线性代数部分
1、行列式
1. n 行列式共有n 2 个元素，展开后有n !项，可分解为2n 行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、 A ij 和a ij 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3. 代数余子式和余子式的关系： M = (-1)i + j A
A = (-1)i + j M
4. 设 n 行列式 D ：
ij ij
ij
ij
n (n -1)
将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 D 1 ，则 D 1 = (-1) 2 D ；
将 D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为 D 2 ，则 D 2 = (-1) n (n -1)
2
D ；
将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D 3 ，则 D 3 = D ； 将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 D 4 ，则 D 4 = D ； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积? (-1)
n (n -1)
2
；
③、上、下三角行列式（ ◥ = ◣ ）：主对角元素的乘积；
④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积? (-1)
n (n -1)
2
；
⑤、拉普拉斯展开式：
A O
= A C = A B 、 C A = O A = (-1)m n A B
C B O B B O B C
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于n 阶行列式 A ，恒有： λ E - A = λn + ∑(-1)k S λn -k ，其中 S 为k 阶主子式；
7. 证明 A = 0 的方法：
① 、 A =- A ； ②、反证法；
k
k
k =1
③、构造齐次方程组 Ax = 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r ( A ) < n ； ⑤、证明 0 是其特征值；
1.
A 是 n 阶可逆矩阵：
2、矩阵
A s A O O 1 A ? A ≠ 0 （是非奇异矩阵）； ? r ( A ) = n （是满秩矩阵） ? A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组 Ax = 0 有非零解； ? ?b ∈ R n ， Ax = b 总有唯一解； ? A 与 E 等价；
? A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ? A 的特征值全不为 0； ? A T A 是正定矩阵；
? A 的行（列）向量组是 R n 的一组基； ? A 是 R n 中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n 阶矩阵 A ： AA * = A * A = A E 无条件恒成立；
3.
(A -1 )* = (A * )-1
(AB )T = B T
A
T (A -1 )T = (A T )-1
(AB )* = B * A
*
(A * )T = ( A T )*
(AB )-1 = B -1 A -1
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A 、 B 可逆：
? A 1 若 A = A 2
? ?
? ，则： ? ? ?
s ? Ⅰ 、 A = A 1 A 2
；
? A -1 ?
-1 ? - Ⅱ、 A 1 = 2 ? ； ?
A
-1 ? ? s ? ? A O ?
-1
? A -1 O ? ②、 O B ? = O B -1 ? ；（主对角分块） ? ? ? ?
? O A ?-1
? O B -1 ? ③、 B O ? = A -1 O ? ；（副对角分块） ? ? ? ?
? A C ?-1
? A -1 - A -1CB -1 ? ④、 O B
? = O B -1 ? ；（拉普拉斯） ? ? ? ?
? A O ?-1
? A -1 O ? ⑤、 C B ? = -B -1CA -1
B -1 ? ；（拉普拉斯） ? ? ? ?
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m ? n 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： F =
? E r O ? ；
?
? ?m ?n
~
等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A 、 B ，若 r (A ) = r (B ) ? A B ； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非 0 元素必须为 1；
③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
r
①、若( A , E ) (E , X ) ，则 A 可逆，且 X = A -1 ；
②、对矩阵( A , B ) 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成 A -1B ，即： ( A , B ) c
(E , A -1B ) ；
r
③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程 Ax = b ，如果( A , b ) (E , x ) ，则 A 可逆，且 x = A -1b ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
? λ1
②、Λ = λ2
? ?
? ，左乘矩阵 A ， λ 乘 A 的各行元素；右乘， λ 乘 A 的各列元素； ? i
i
λ ? ?
n ?
? 1 ?-1
? 1 ? ③、对调两行或两列，符号 E (i , j ) ，且 E (i , j )-1
= E (i , j ) ，例如： 1
? = 1 ? ； ? ? 1? 1? ? ? ? ?
? 1 ?-1 ?1 ?
-1
1
?
1 ? ④、倍乘某行或某列，符号 E (i (k )) ，且 E (i (k )) = E (i ( )) ，例如： k ? = ? (k ≠ 0) ； k 1? k ? ? ? 1?
? ?
?1 ⑤、倍加某行或某列，符号 E (ij (k )) ,且 E (ij (k ))-1
= E (ij (-k )) ，如： 1 k ?-1
? 1 ? = 1 -k ? ?(k ≠ 0) ；
? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ?
5. 矩阵秩的基本性质：
①、0 ≤ r (A m ?n ) ≤ min(m , n ) ；
②、r ( A T ) = r (A ) ；
③、若 A B ，则 r (A ) = r (B ) ；
④、若 P 、Q 可逆，则r (A ) = r (PA ) = r (AQ ) = r (PAQ ) ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r (A ), r (B )) ≤ r (A , B ) ≤ r (A ) + r (B ) ；（※） ⑥、r (A + B ) ≤ r (A ) + r (B ) ；（※） ⑦、r (AB ) ≤ min(r (A ), r (B )) ；（※）
⑧、如果 A 是 m ? n 矩阵， B 是 n ? s 矩阵，且 AB = 0 ，则：（※）
Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX = 0 解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r (A ) + r (B ) ≤ n
⑨、若 A 、 B 均为n 阶方阵，则r (AB ) ≥ r (A ) + r (B ) - n ；
n (n -1) (n - m +1) 1 2 3 m + a 1n x n + a 2n x n ? ?
n n n
n n
n n
n n n ?1
? n
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） ? 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
? 1 a c ? ②、型如
0 1 b ? 的矩阵：利用二项展开式；
? 0 0 1 ?
二项展开式： (a + b )n
= C 0a n
+ C 1 a n -1b 1 + + C m a n -m
b m
+ + C
n -1a 1b
n -1 + C n b n
= ∑C m a m b n -m
； m =0
注：Ⅰ、(a + b )n 展开后有n +1 项；
Ⅱ、C m
= = n ! m !(n - m )!
C 0 = C n
= 1
Ⅲ、组合的性质： C m = C n -m
C m = C m + C m -1 ∑C
r = 2n rC r = nC r -1 ；
n
n
n +1
③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
n
n
n
n
n -1
r =0
?n r ( A ) = n ①、伴随矩阵的秩： r ( A * ) = ?
? ?
r ( A ) = n -1 ； r ( A ) < n -1
②、伴随矩阵的特征值： λ
( AX = λ X , A * = A A -1 ? A * X =
λ
X ) ；
③、 A * = A A -1 、 A * = A
n -1
8. 关于 A 矩阵秩的描述：
①、r ( A ) = n ， A 中有 n 阶子式不为 0， n +1 阶子式全部为 0；（两句话）
②、r ( A ) < n ， A 中有 n 阶子式全部为 0； ③、r ( A ) ≥ n ， A 中有 n 阶子式不为 0；
9. 线性方程组： Ax = b ，其中 A 为m ? n 矩阵，则：
①、m 与方程的个数相同，即方程组 Ax = b 有 m 个方程；
②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组 Ax = b 为 n 元方程； 10. 线性方程组 Ax = b 的求解：
①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由 n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：
? a 11 x 1 + a 12 x 2 + = b 1 ?a x + a x + = b
①、? ? 21 1 22 2
2 ；
?? a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a nm x n = b n ? a 11 a 12 a 1n ?? x 1 ? ? b 1 ? a a a ?? x ? b ? ②、 21 22 2n ?? 2 ? = 2 ? ? Ax = b （向量方程， A 为 m ? n 矩阵， m 个方程， n 个未知数） ?? ? ? a a a ?? x ? b
?
? m 1 m 2 mn ?? m ? ? m ?
A
A
? 101 1 ? x 1 ? ? b 1 ? x ? b ? ③、(a a
a ) 2 ? = β （全部按列分块，其中 β = 2 ? ）； 1
2
n
? ? x ? b ? ? n ? ? n ?
④、a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = β （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r (A ) = r (A , β ) ≤ n （ n 为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m 个 n 维列向量所组成的向量组 A ： α1 ,α2 , ,αm 构成n ? m 矩阵 A = (α1,α2 , ,αm ) ；
? β T
? β T ? m 个 n 维行向量所组成的向量组 B ： β T , β T , , β T 构成m ? n 矩阵 B = 2
?； 1 2 m
? β T ?
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
? m ?
2. ①、向量组的线性相关、无关 ②、向量的线性表出 ③、向量组的相互线性表示 ? Ax = 0 有、无非零解；（齐次线性方程组）
? Ax = b 是否有解；（线性方程组） ? AX = B 是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵 A m ?n 与 B l ?n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax = 0 和 Bx = 0 同解；( P 101 例 14)
4.
r (A T A ) = r (A ) ；( P 例 15)
5.
n 维向量线性相关的几何意义： ①、α 线性相关 ? α = 0 ；
②、α, β 线性相关 ? α, β 坐标成比例或共线（平行）；
③、α, β ,γ 线性相关 ? α, β ,γ 共面；
6. 线性相关与无关的两套定理：
若α1 ,α2 , ,αs 线性相关，则α1,α2 , ,αs ,αs +1 必线性相关；
若α1 ,α2 , ,αs 线性无关，则α1 ,α2 , ,αs -1 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上n - r 个分量，构成n 维向量组 B ：
若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组 A （个数为r ）能由向量组 B （个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则r ≤ s (二版 P 74 定理 7)；
向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则r (A ) ≤ r (B ) ；（ P 86 定理 3） 向量组 A 能由向量组 B 线性表示
? AX = B 有解；
? r (A ) = r (A , B ) （ P 85 定理 2）
向量组 A 能由向量组 B 等价? r (A ) = r (B ) = r (A , B ) （ P 85 定理 2 推论）
x 1 2 1 2 8. 方阵 A 可逆? 存在有限个初等矩阵 P 1 , P 2 , , P l ，使 A = P 1 P 2
P l ；
r
①、矩阵行等价： A ~ B ? PA = B （左乘， P 可逆） ? Ax = 0 与 Bx = 0 同解
c
②、矩阵列等价： A ~ B ? AQ = B （右乘， Q 可逆）； ③、矩阵等价： A ~ B ? PAQ = B （ P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵 A m ?n 与 B l ?n ：
①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等；
②、若 A 与 B 行等价，则 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A 的行秩等于列秩； 10. 若 A m ?s B s ?n = C m ?n ，则：
①、C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示， B 为系数矩阵；
②、C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示， A T 为系数矩阵；（转置）
11. 齐次方程组 Bx = 0 的解一定是 ABx = 0 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、 ABx = 0 只有零解? Bx = 0 只有零解； ②、 Bx = 0 有非零解? ABx = 0 一定存在非零解； 12. 设向量组 B n ?r : b 1, b 2 , , b r 可由向量组 A n ?s : a 1 , a 2 , , a s 线性表示为：（ P 110 题 19 结论）
(b 1, b 2 , , b r ) = (a 1, a 2 , , a s )K （ B = AK ）
其中 K 为 s ? r ，且 A 线性无关，则 B 组线性无关? r (K ) = r ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性： r = r (B ) = r (AK ) ≤ r (K ), r (K ) ≤ r ,∴r (K ) = r ；充分性：反证法）
注：当r = s 时， K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵 A m ?n ，存在Q n ?m ， AQ = E m
②、对矩阵 A m ?n ，存在 P n ?m ， PA = E n ? r (A ) = m 、Q 的列向量线性无关；（ P 87 ）
? r (A ) = n 、 P 的行向量线性无关；
14. α1 ,α2 , ,αs 线性相关
? 存在一组不全为 0 的数k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1α1 + k 2α2 + + k s αs = 0 成立；（定义）
? x 1 ?
? (α ,α , ,α ) ?
2 ? = 0 有非零解，即 Ax = 0 有非零解；
1 2 s
? ? ? s ? ? r (α1,α2 , ,αs ) < s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设 m ? n 的矩阵 A 的秩为r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩为： r (S ) = n - r ； 16. 若η*
为 Ax = b 的一个解，ξ ,ξ ,
,ξ
n -r 为 Ax = 0 的一个基础解系，则η*
,ξ ,ξ , ,ξ
n -r 线性无关；（ P 111
题 33 结论）
5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵? A T A = E 或 A -1 = A T （定义），性质：
x
i j
= ? ①、 A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即a T
a ?1
?0
i = j (i , j = 1, 2, i ≠ j
n ) ；
②、若 A 为正交矩阵，则 A -1 = A T 也为正交阵，且 A = ±1 ；
③、若 A 、 B 正交阵，则 AB 也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化： (a 1 , a 2 , b 1 = a 1 ；
b = a - [b 1 , a 2 ] b [b 1 , b 1 ]
b = a - [b 1 , a r ] b - [b 2 , a r ] b - - [b r -1 , a r ] b ; r r [b , b ] 1 [b , b ] 2 [b , b ] r -1
1 1
2 2 r -1 r -1
3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、 A 与 B 等价 ? A 经过初等变换得到 B ；
? PAQ = B ， P 、Q 可逆； ? r (A ) = r (B ) ， A 、 B 同型；
②、 A 与 B 合同 ? C T AC = B ，其中可逆；
? x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数；
③、 A 与 B 相似 ? P -1 AP = B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C 为正交矩阵，则C T AC = B ? A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则 A 为二次型矩阵； 7.
n 元二次型 x T Ax 为正定： ? A 的正惯性指数为n ；
? A 与 E 合同，即存在可逆矩阵C ，使C T AC = E ； ? A 的所有特征值均为正数； ? A 的各阶顺序主子式均大于 0； ? a ii > 0, A > 0 ；(必要条件)
, a r )
2 2 1
高等数学必背公式 说明：这里有你想要的东西，高等数学必备公式一应俱全。 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A
大学高等数学公式 考前必备 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++
学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字！！！电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~ ——魏亚杰 高等数学（一）上 公式总结 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式：（孩子们。没办法，背吧） sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ αβαβαβαβ αβαβ αβαββα±=±±=±±= ??±=±和差角公式： sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()] 21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 222222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot αααααααα α ααααα ==-=-=-= --= 倍角公式：
高等代数
高等数学公式·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '
三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系： （1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式： （1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式： （1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式： （1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = +
高数常用公式 平方立方： 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina c os(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限
极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
高等数学重要公式（必记） 一、导数公式： 二、基本积分表： 三、三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
高等数学公式必背大全 高等数学必背公式 说明：这里有你想要的东西，高等数学必备公式一应俱全。
导数公式: 基本积分表： 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： 和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x