画出相应的图形，并写出几何语言
平行四边形性质判定
定义有两组对边分别平行的四边形是
平行四边形定义判定：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边平行四边形的对边平行且相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角平行四边形的对角相等，邻角互补两组对角分别相等的四边形是平行四边形
所有邻角都互补的四边形是平行四边形
对角线平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形
中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
其他判定方法：
1. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=∠C ，求证：四边形ABCD 是平行四边形。
2. 熟练掌握平行四边形角平分线的相关问题
(1). 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ．四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？
(2). □ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 的延长线于E ，BF 平分∠ABC 交AB
形 DEBF 是平行四边形
3. 总结求证四边形是平行四边形的方法
已知一组对边平行
已知一组对边相等
1.1等腰三角形的性质和判定（2） 九年级数学备课组课型：新授 【学习目标】 在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 【重点、难点】 1、等边三角形的性质及其证明。 2、应用性质解题。 【预习指导】 上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 等腰三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【思考与交流】 1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”） 2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60°。 （2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。 3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【典题选讲】 例1.如图，在△ABC中，点O在AC上，过点O作M N∥BC，CE、CF分别是△ABC 的内外角平分线，与MN分别交于E、F，求证：OE=OF. 例2、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BC=BD=AD,则∠A的度数是多少？
变式; .如下图，在△ABC 中, AB=AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且BC=BD=DE=EA ，求∠A 的度数。 【课堂练习】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝36°，∠ADE ＝∠AED ＝2∠B ，由这些条件你能得到哪些结论？请证明你的结论。 2、已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。 求证：△ADE 是等边三角形。 A B C D E A B C D E
第六章平行四边形 １. 平行四边形的性质（一） 杨家湾二中顾怀林 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。 二、学习任务分析 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在三角形有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 教学目标： 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法 三、教学过程设计 本节课分5个环节： 第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结
第一环节：实践探索，直观感知 1．小组活动一 内容： 问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下； （2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 目的： 通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。 教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”。 2．小组活动二 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？ 目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。 第二环节探索归纳、合作交流 小组活动三： 内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?⑵你还发现平行四边形的那些性质呢? 活动目的： 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。
《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 教学目标 知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力． 情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识． 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用． 教学难点 探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题． 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等． 问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系． 二、探究归纳 回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？ 探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少． 图1
图2 问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？ 追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？ 结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′． 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 三、应用提高 例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边
第二十二章 四边形 22.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的性质定理 1 1．理解平行四边形的概念；(重点) 2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点) 3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点) 一、情境导入 如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？ 二、合作探究 探究点一：平行四边形的定义 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝ ∠D ，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD 是平行四边形． 解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC ＝∠ACB ，根据平行线的判定推出AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据平行四边形的定义推出即可． 证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC .∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． 方法总结：平行四边形的定义既是平行 四边形的性质，也是判断一个四边形是平行 四边形的重要方法． 探究点二：平行四边形的边、角特征 【类型一】 利用平行四边形的性质求 边长 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5， 点D ，E ，F 分别是AC ，BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 为平行四边形，DE ＝2，则AD ＝________． 解析：∵四边形ADEF 为平行四边形，∴DE ＝AF ＝2，AD ＝EF ，AD ∥EF ，∴∠ACB ＝∠FEB .∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ，∴∠FEB ＝∠B ，∴EF ＝BF .∴AD ＝BF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5＋2＝7，∴AD ＝7. 方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【类型二】 利用平行四边形的性质求 角 如图，在平行四边形ABCD 中， CE ⊥AB 于E ，若∠A ＝125°，则∠BCE 的度数为( ) A ．35° B ．55° C ．25° D ．30° 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵∠A ＝125°，∴∠B ＝55°.∵CE ⊥AB 于E ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BCE ＝90°－55°＝35°.故选
义务教育课程标准实验教材(冀教版)数学九年级上册《等腰三角形的性质定理及其证明》教学设计 沧县风化店乡中学刘青 教学目标：1、会证明等腰三角形的性质定理。 2、进一步体会证明的必要性，会用综合法进行证明 教学过程设计： 一、课前回顾： 复习等腰三角形的性质定理的内容 设计思路：通过复习性质定理的内容，分析其中的题设和结论，为证明做好准备。 二、明确证明的步骤： 画出图形，写出已知，求证。 设计思路：让学生更好的明确证明命题的一般步骤。 三、一起探究： 1、等腰三角形是轴对称图形，画出上图中等腰三角形ABC的对称轴。 2、对称轴将△ABC分成的两个三角形是否全等？说明理由。 3、把你证明∠B=∠C的过程写出来。 设计思路：通过一起探究中问题的引导，画出对称轴，找到全等三角形，从而形成证明的思路。 三、大家谈谈： 1、小亮的证明方法正确吗？你还有不同的证明方法吗？请与同学交流。 2、由Rt△ABD≌Rt△ACD，能推出AD是△ABC底边上的中线和顶角的 平分线吗？ 设计思路：通过观察小亮的做题思路，让学生评价小亮的证明过程，同时对做顶角的角平分线和底边上的高线进行证明给予肯定和鼓励，使学生对问题能以题多解。 四、做一做： 试证明： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 设计思路：使学生进一步感受演绎体系，理解推论的意义。 五、基本技能： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, D,E是BC边上的两点，且BD=CE. 求证:AD=AE 设计思路：让学生充分感受证明的过程并规范证明的过程。 六、数学与生活： 如图，是一个简易的水平仪， 其中，AC=AB, D为BC中点， 在点D处悬挂一个自然下垂的铅垂， A B C D E
相似三角形的性质 【教学目标】 1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。 2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。 3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。 【教学重难点】 重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。 【教学过程】 一、设计龟免赛跑故事导入新课 有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？ (以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。) 二、自主探究，发现新知 1．分组猜想探究活动，完成下列实验报告单
(学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系。注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。)
猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。2．验证猜想，得出结论（小组讨论） 探究：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？两个相似多边形呢？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 ?AB BC CA k A B B C C A === '''''' ?AB=kA′B'，BC=kB'C'，CA=kC'A' ? AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++''+''+'' == ''+''+''''+''+'' 可以得到相似三角形周长的比等于相似比 类似的方法还可以得出相似多边形周长的比等于相似 延伸问题： 探究： （1）如图27．2-11（1），?ABC∽? A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比呢？ 图27．2-11（1） 分析：如图27．2-11，分别作出?ABC和? A'B'C'的高AD和A'D'。 ∵∠ADB=∠A'D'B'=900又∠B=∠B' ∴?ABD∽?A'B'D' ∴1 '''' AD AB k A D A B ==（在此得出相似三角形对应高的比等于相似比）1111111 1 2 1 2 ABC A B C BC AD S S B C A D ? ? ? = ? = ()() 1111 2 1111 1 2 1 2 kB C kA D k B C A D = ? 可以得到：相似三角形面积比等于相似比的平方 相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比吗？
考点04 等腰三角形的判定定理 1.（2020·浙江·中考模拟）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（） A.1，1，2 B.1，1，3 C.2，2，1 D.2，2，5 【答案】C 【解析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断． 2.（2020·甘肃·期中试卷）△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】根据AB=AC可得∠B=∠C，结合∠A=∠C即可判断出△ABC的形状． 3.（2020·广西期末试卷）下列三角形中，是正三角形的为（） ①有一个角是60°的等腰三角形；①有两个角是60°的三角形； ①底边与腰相等的等腰三角形；①三边相等的三角形． A.①① B.①① C.①① D.①①①① 【答案】D 【解析】等边三角形的判定定理有①三个都相等的三角形是等边三角形，①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，①三边都相等的三角形是等边三角形，根据以上定理判断即可． 4.（2020·浙江·月考试卷）等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A.有一个内角是60° B.有一个外角是120° C.有两个角相等 D.腰与底边相等 【答案】C 【解析】(1)由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． (2)判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． (3)判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5.（2020·山西·月考试卷）下列命题不正确的是（） A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形 C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形 D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 【答案】B 【解析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果． 6.（2020·陕西·中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（） A.8个 B.7个 C.6个 D.5个 【答案】A 【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，根据角平分线求出∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB ＝36°，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可． 7.（2020·四川·期末试卷）如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是() A.△ABD?△ACD B.∠B=∠C C.△ABC是等腰三角形 D.△ABC是等边三角形 【答案】D 【解析】根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90°，根据线段中点的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，全等三角形对应边相等可得AB=AC，
平行四边形的性质3》 一、教材所处的地位与作用 《平行四边形的性质3》是华东师大版八年级下册第二十章第二节第二课时的内容．它属于“空间与图形”的领域，是在学习了全等三角形、平行四边形的性质1 、性质2 的基础上，继续探究平行四边形的性质3.它是全等三角形、平行四边形的回顾、延伸；又是今后继续学习平行四边形的判定、特殊平行四边形的基础，起到承上启下的作用。平行四边形在人们日常生活和生产实践中应用较广，接触较多的一种几何图形，它的性质的学习，为人们解决日常生活中的实际问题起到很大的帮助。 二、学情分析八年级的学生，活泼好动、求知表现欲都比较强，他们对于图形已有初步认识（学习过三角形、三角形全等、多边形等），但逻辑思维不是很严密，逻辑推理能力较弱，用符号语言表达证明的能力也有待加强。若前面所学习的平行四边形的性质1、性质2 掌握不牢，有可能在探究性质3 的环节上说理会不清楚，思路不清晰。 三、教学目标 （1）知识技能能根据已有知识（三角形全等、平行四边形的定义、性质等）来探究平行四边形的性质3。 了解平行四边形在生活中的实际应用，运用平行四边形的性质解决实际生活中的有关问题。 （2）数学思考经历运用平行四边形描述现实世界的过程，发展学生的抽象思维和形象思维。根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明，通过观察、实验、归纳、证明，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑，培养学生的推理能力和演绎能力。 （3）解决问题能运用已学的知识从数学的角度去探究平行四边形的性质3，并能运用平行四边形的性质进行简单的证明与计算，发展应用意识。 （4）情感态度在应用平行四边形性质的过程中培养独立思考的习惯，在数学学习的活动中，获得成功的体验，通过平行四边形性质的应用，进一步认识数学与生活的密切联系。 四、教学重难点 （1）重点：平行四边形的性质3、平行四边形性质的综合应用。 （2）难点：平行四边形的性质3 的探究，选择合适的平行四边形性质解决实际问题。 五、教学法指导 针对学生已有认知水平和特点，创设情境导入新课，调动学生兴趣，并引发认知冲突，引出新课学习的必要。针对以上重难点，平行四边形的性质3,让学生 自主探究，合作交流，通过观察、实验、归纳、证明得到。教师只扮演引导者的角色。 六、教学手段 PPT多媒体，学生准备(直尺、三角尺) 七、教学课时
第1课时等腰三角形的性质定理及推论 教学目的 1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质。 2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。 重点：等腰三角形等边对等角性质。 难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。 教学过程 一、复习引入 1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形? △ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。 2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象? 二、新课 1．指出△ABC的腰、顶角、底角。 相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。 2．实验。 现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三 角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。 可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论： (1)等腰三角形是轴对称图形 (2)∠B＝∠C (3)BD＝CD，AD为底边上的中线。 (4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。 (5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线。 结论(2)用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么? 等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合 (简称“三线合一”)。 例l已知：在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，求∠C和∠A的度数。 本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程。 引申：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，求∠B和∠C的度数。 小结：在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角。 三、练习巩固 本课时练习 补充： 填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上， 1．如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______ 2．如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______ 3．如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______ 四、小结 本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等 (简写“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用。用数学语言表述如下： 1．△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C。 2．△ABC中，如果A月＝AC，D在BC上，那么由条件(1)∠BAD＝∠CAD，(2)AD⊥AC，(3)BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个。 五、作业 课后习题 教学后记：
平行四边形及其性质
课题： 4 . 1 平行四边形及其性质 教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 一、教材分析 1．教材的地位与作用 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一．它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用． 本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．另外本节课是在学生掌握了平移、旋转知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用． 2．教学目标： 知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力． 数学思考：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐． 3．教学重点、难点： 重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 4．教材处理： 基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行合理内化、整合． 首先，打破了原教材的知识结构，构建成一个新的教学体系，分为探索平行四边形的性质和平行四边形性质的应用这样两部分，本节课是探索平行四边形的性质．这样安排能很好地体现知识结构的完整性和系统性． 然后，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的
平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。
（ 课 题 《等腰三角形的性质定理和判定定理及 课型 新授课 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法 教学后记 其证明》教案 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角 形的关性质定理和判定定理。 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 观察法 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习： 1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？ 二、新课讲解： 之前，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已 经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理: ? 1.两直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等 ,那么这两条直线平 行; ? 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; ? 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ） ? 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ） ? 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ） ? 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理 5、3、4、6 可容易证明下面的推论： 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 AAS ） 证明过程： 已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E （已知） ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于 180°） ∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) ∠C=∠F （等量代换） BC=EF （已知） △ABC ≌△DEF （ASA ） 这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步 骤，为下面的推理证明做准备。 这个推论 虽然简单， 但也应让 学生进行 证明，以熟 悉的基本 要求和步 骤，为下面 的推理证 明做准备。 学生充分 讨论问题 1，借助等 腰三角形
第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时 【岩帅中学李光兴】 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 【重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 【难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 平行四边形性质一：平行四边形的两组对边分别平行；
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D， ∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质二：平行四边形的对边相等． 平行四边形性质三：平行四边形的对角相等．
等腰三角形定理 一、说教材分析 1、本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。 2、教学目标：要求学生掌握等腰三角形的性质定理1、2和等边三角形的每个角都相等，且每个角都为60度，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力 3、教学重点、难点：等腰三角形的性质定理是本课的重点 等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点 4、为了使学生了解这堂课，本课要求学生自制一个等腰三角形模型，教学过程采用多媒体教学。 二、说教学方法： “教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。 三、说学生学法。 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。 四、说教学程序 1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。 提问：等腰三角形是不是轴对称图形？什么是它的对称轴？ 2、教师演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，并让学生做同样的实验，引导学生观察重合部分，发现等腰三角形的一些性质。 3、新课：让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的性质定理1、2。 性质定理1： 等腰三角形的两个底角相等 在△ABC中，∵AB=AC（）∴∠B= ∠C（） 性质定理2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合 ①∵AB=AC ∠1= ∠2 ()∴BD=DC AD⊥BC () ②∵AB=AC BD=DC ()∴∠1= ∠ 2 AD⊥BC () ③∵AB=AC AD⊥BC于D () ∴BD=DC ∠1= ∠ 2 () 强调性质定理2中的三线段前的定语的重要性，可让学生实际画图验证。 4、对新知识的感知性应用 指导学生表述证明过程。 思考题：等腰三角形两腰上的中线（高线）是否相等？为什么？ 课堂练习：
相似三角形的性质（第2课时） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽， 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这个点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=1 5cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难．
例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法． 解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为． ∽∽且，． ． 学生在使用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而 ［小结］ 1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3． 2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题． 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7． 八、板书设计
第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3
等腰三角形定理 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 一、说教材分析1、本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。2、教学目标：要求学生掌握等腰三角形的性质定理1、2和等边三角形的每个角都相等，且每个角都为60度，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力3、教学重点、难点：等腰三角形的性质定理是本课的重点等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点4、为了使学生了解这堂课，本课要求学生自制一
个等腰三角形模型，教学过程采用多媒体教学。二、说教学方法：“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。三、说学生学法。“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。四、说教学程序1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。提问：等腰三角形是不是轴对称图形？什么是它的对称轴？2、教师演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，并让学生做同样的
平行四边形的概念和性质（1） 冒合中学杜碧玲 [教学目标] 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 [教学重点、难点] （1）重点：掌握平行四边形的性质（2）难点：利用平行四边形的性质解决相关问题 [教学过程] 一、板书课题： 引入：在小学里，我们初步认识平行四边形，会计算平行四边形的周长和面积，这节课开始我们进一步来学习平行四边形的概念，研究它的性质—平行四边形的概念、和性质。 二、出示目标 出示事先写在小黑板上的教学目标： 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 三、自学指导 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学。（二）出示自学指导 认真看课本（P83-84）练习前面的内容。 1．理解平行四边形的概念和记法； 2．掌握平行四边形的对边相等对角相等的性质，注意兰色书签的内容； 3．利用三角形全等证明上述性质。
四、先学 （一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难。 （二）检测 1、过渡语：同学们，看完的请举手。懂了的请举手。好下面就比一比，看谁能正确做出检测题。 2、检测题P84：1、2、3 3、学生练习，请三名同学到黑板上进行板演，教师巡视。（改集错误解进行二次备课） 五、后教 （一）更正：请同学们仔细看一看这三名同学的板演，发现错解的请举手（指名更正） （二）讨论： 教师根据学生发言的情况进行评平行四边形的概念，研究它的性质价，（教师要强调解题格式） （三）归纳：我们已经学习了平行四边形的概念和性质，你能说一说今天的收获吗？（指名说） 六、当堂训练 （一）讲述：让同学口答新知识，能运用新知识做对作业吗？好，要注意解题格式，书写工整。 （二）出示作业题： P90-91第1题2题第3题 （三）学生练习，教师巡视。
相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）
相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A