第35卷第6期电子与信息学报 Vol.35No.6 2013年6月 Journal of Electronics & Information Technology Jun. 2013
异结构的分数阶超混沌系统函数投影同步及参数辨识
董俊①③张广军*①②姚宏①王珏②
①(空军工程大学理学院西安710051)
②(西安交通大学生命科学与技术学院西安710049)
③(空军第一航空学院信阳 464000)
摘要：该文以分数阶Chen混沌系统和一个新的分数阶超混沌系统为例，研究参数不确定的分数阶混沌系统和超混沌系统函数投影同步及参数辨识。首先，基于分数阶系统稳定性理论和非线性动力学理论，构造出相应的非线性控制器和不确定参数的辨识规则；由此实现了参数不确定的分数阶超混沌系统的函数投影同步及不确定参数的辨识。其次，利用分数阶稳定性理论，对上述同步给出了严格的数学证明。最后，借助于预估-校正算法，利用数值模拟验证了所提方法的有效性。
关键词：超混沌系统；参数辨识；分数阶；函数投影同步；非线性控制器
中图分类号：TN918 文献标识码： A 文章编号：1009-5896(2013)06-1371-05 DOI: 10.3724/SP.J.1146.2012.01463
Function Projective Synchronization and Parameter Identification of Different Fractional-order Hyper-chaotic Systems
Dong Jun①③ Zhang Guang-jun①② Yao Hong① Wang Jue②
①(College of Science, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)
②(School of Life Science and Technology, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)
③(The First Aeronautical Institute of Air Force, Xinyang 464000, China)
Abstract: The function projective synchronization and parameter identification between the fractional-order chaotic system and hyper-chaotic system with uncertain parameters are researched, in which the fractional-order Chen chaotic system and the new fractional-order hyper-chaotic system are as examples. First, based on the fractional theory of stability and nonlinear dynamic theory, the nonlinear controller and parameter identification rules are designed. And by the nonlinear controller the function projective synchronization between the fractional-order 3D chaotic system and 4D hyper-chaotic system with uncertain parameters are realized. At the same time, the uncertain parameters are identified. Second, based on the fractional-order theory of stability the synchronization are proved strictly in mathematics. Finally, by the Predictor-Corrector scheme numerical simulation, the validity of the presented method is verified.
Key words: Hyper-chaotic system; Parameters identification; Fractional-order; Function projective synchronization;
Nonlinear controller
1引言
分数阶微积分和整数阶微积分几乎具有同样长的发展历史。人们发现：整数阶微积分是分数阶微积分的特例，整数阶混沌系统都是对实际混沌系统的理想化处理[1,2]。若将分数阶微分算子引入到超混沌系统中，则分数阶超混沌系统能产生更为复杂的动态行为，具有非常强的随机性和不可预测性。从而分数阶超混沌系统的投影同步在保密通信、信号
2012-11-14 收到，2013-02-01改回
国家自然科学基金(10872156, 81071150)和航空基金(20111396011)资助课题
*通信作者：张广军 zhanggj3@https://www.doczj.com/doc/2c1685882.html, 处理和系统控制及其他领域比整数阶混沌系统拥有更突出、更诱人的应用前景。同时，这也促进了分数阶超混沌系统的应用研究以及分数阶微积分理论的发展[2,3]。
投影同步是Mainieri和Rechacek[4]在1999年研究部分线性混沌系统中观察到的，由于混沌系统在实际应用中广泛存在，对混沌系统之间同步的研究已取得了一些成果[57] 。在工程实际中，由于分数阶系统更能真实地反映系统呈现的物理现象[13] ，分数阶混沌系统之间投影同步也有了一定的研究[8]。但是，文献[8]在研究投影同步中仅考虑了常数比例因子的情况。而对函数比例因子投影同步的研究还
混沌与分数阶混沌系统同步控制研究及其电路仿真 文章来源：伟智论文服务中心 [打印] 【摘要】混沌作为一种复杂的非线性运动行为,在物理学、化学、信息技术以及工程学等领域得到了广泛的研究。由于混沌对初值的极端敏感性、内在的随机性、连续宽谱等特点,使其特别适用于保密通信、信号处理、图象加密等领域,因此,混沌同步成为混沌应用的关键技术。在参阅大量文献的基础上,本文利用理论证明,数值模拟以及电路仿真相结合的方法,对混沌系统同步、分数阶超混沌系统同步、以及非自治超混沌系统进行了研究。本文的主要研究内容如下:1.基于Lyapunov稳定性理论,利用自适应控制方法,以不确定单模激光Lorenz系统作为驱动系统,将不确定单涡旋混沌系统作为响应系统,设计了非线性反馈控制器及参数识别器,使响应系统的所有状态变量严格地按函数比例跟踪驱动系统的混沌轨迹,并辨识出包括非线性项在内的驱动系统和响应系统的不确定参数,利用四阶龙格库塔仿真模拟,结果表明了该方法的有效性。2.应用驱动-响应方法、反馈线性化方法以及基于Lyapunov方程的Backstepping 控制方法,研究了分数阶超混沌L(u|¨)系统同步问题。其次,针对上述分数阶混沌系统同步方法中存在的不足,基于分数阶系统的稳定性理论,提出了分数 阶超混沌系...更多统的自适应同步方法,用两个控制器与两个驱动变量实现 了不确定分数阶超混沌L(u|¨)系统的自适应同步,给出了自适应同步控制器和参数自适应率,辨识出系统的不确定参数。最后,结合Active控制技术,实现了异结构分数阶超混沌系统的同步。理论证明、数值模拟以及电路仿真证实了上述同步方法的有效性和可行性。3.采用调节连续信号频率的方法,将外界控制信号引入到超混沌系统中,设计了一个新四维非自治超混沌系统。通过精确地调节模拟输入信号的频率,观察和验证新系统的非线性动力学特性,具体为 周期轨、二维环面、混沌和超混沌现象。通过Lyapunov指数图,分岔图来解释系统的动力学特性,并且给出了设计的实验电路及其观测的结果,进一步从物 理实现上验证仿真结果的准确性。最后利用单变量耦合反馈控制方法,通过电路实验实现了非自治超混沌系统的同步。还原 【Abstract】 Chaotic systems are well known for their complex nonlinear systems, and have been intensively studied in various fields such as physics, chemistry, information technology and engineering. In virtue of its characteristics of chaos such as hyper sensitivity to initial conditions, high randomicity and board spectra for its Fourier transform, chaos can be especially applied to secure communications, signal processing and image encryption and so on. Thus chaos synchronization has become the key process in the application of chaos. The research has studied the relative problems of chaos synchronization, synchronization of fractional-order hyper-chaotic systems and analysis of a new four-dimensional non-autonomous hyper-chaotic system, using
第45卷第1期2019年1月北京工业大学学报JOURNAL OF BEIJING UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol.45No.1Jan.2019超混沌系统的函数投影同步在图像加密中的应用 李德奎 (甘肃中医药大学理科教学部,甘肃定西 743000) 摘 要:针对加密灰度图像安全级别低的问题,提出基于超混沌系统及其状态观测器实现函数投影同步的混沌时间序列,应用加取模像素扩散算法对灰度图像进行加密和解密.首先,利用超混沌系统的状态输出向量,构造其状态观测器系统,根据控制理论方法,给出超混沌系统及其状态观测器实现函数投影同步的充分条件;然后,基于函数投影同步的混沌时间序列,利用加取模像素扩散算法得到灰度图像的加密图像和解密图像.理论分析和数值仿真表明,构造的状态观测器系统是正确的,得出的函数投影同步的充分条件是有效的,密文图像分布与均匀分布没有显著差异.同时算法对密钥具有高度敏感性,有很强的抵御攻击的能力和精准的解密效果. 关键词:超混沌系统;状态观测器;函数投影同步;混沌时间序列;加取模像素扩散算法;加密和解密 中图分类号:O 415.5 文献标志码:A 文章编号:0254-0037(2019)01-0024-09 doi :10.11936/bjutxb2018020027收稿日期:2018-02-25 基金项目:甘肃省高等学校科研项目(2017A-155);甘肃省自然科学基金资助项目(1610RJZA080) 作者简介:李德奎(1979 ),男,副教授,主要从事混沌同步及应用方面的研究,E-mail:dkli2009@https://www.doczj.com/doc/2c1685882.html, Application for Function Projection Synchronization of the Hyper-chaotic System in Image Encryption LI Dekui (Department Teaching of Science,Gansu University of Chinese Medicine,Dingxi 743000,Gansu,China)Abstract :To solve the problem of low security level of encrypted gray image,based on chaotic time series from functional projective synchronization of the hyper-chaotic system and its state observer,the add modulus pixel diffusion algorithm was used to encrypt and decrypt gray image.The state observer of the hyper-chaotic system was constructed.First,the state observer of the hyper-chaotic system was conducted by using the state output vector of the hyper-chaotic system,and according to control theory method,the sufficient condition of function projective synchronization was given for the hyper-chaotic system and the state observer.Then,based on chaotic time series of functional projective synchronization,encrypted and decrypted images of gray image were obtained by using the add modulus pixel diffusion algorithm .Theoretical analysis and numerical simulation show the constructed state observer is correct,the sufficient condition of functional projection synchronization is effective,and there is no significant difference between the encrypted image distribution and the uniform distribution.At the same time,the algorithm is highly sensitive to the key,and has strong ability to resisting attack and has accurate decryption effect.Key words :hyper-chaotic system;state observer;function projective synchronization;chaotic time series;pixel diffusion algorithm;encryption and decryption 万方数据
2典型混沌系统和混沌同步的简介 2.1典型混沌系统的介绍 混沌从表述形式上大体包括两大类：以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：Lorenz 系统、蔡氏电路、统一混沌系统。 2.1.1 Lorenz 系统 混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz 方程组： () ??? ????----cz xy y xz bx y x y a x ＝ｚ＝＝。。 。 (2-1) 这是一个三阶常微分方程组。它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统 (2-1)的主要控制参数。k v a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。在参数范围为)1/()3(--++?>c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。 在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x 、y 随时间t 的变化情况。 图2.1 Lorenz 系统的吸引子
漳州师范学院 毕业论文 分数阶统一混沌系统地同步The Synchroni zati on of Fracti on alorder Un ifiedSystem 姓名：张丽 学号：070401326 系别：数学与信息科学系 专业：数学与应用数学 年级：07级 指导教师：蔡建平教授 2018年05月22日
本文运用耦合同步控制法，研究分数阶统一混沌系统地同步问题?首先,分别在分数阶统一系统地每个方程上加耦合控制变量使得驱动系统和响应系统达到同步；然后，在每个方程同时加耦合控制变量使得驱动系统响应系统达到同步?并运用 Laplace变换理论证明,最后用Matlab软件进行数值仿真进一步验证本文所用地方法地有效性.b5E2RGbCAP 关键词：分数阶；统一混沌系统；同步控制；耦合控制 Abstract This paper applies coupled synchronization control method to research the synchronization of fractional order unified chaotic system. First of all, the coupled control variables are added to each equation of fractional unified system makes the drive system and response system to achieve synchronization. Then, the control variablesare added to each equation at the same time makes the drive system and response system to achieve synchronization.Furthermore, detailed proofsare given by using the Laplace transformation theory. Finally, numericalsimulations based on Matlab verify the effectiveness of the present methods EanqFDPw Key words: fractional order。unified system synchronization control coupling COntro DXDiTa9E3d
分数阶混沌仿真程序，以chen系统为例，其他系统只需修改相应的外部函数。 ------------------------------------------------------------------------------------ function fra_chaos_pro(x,t,q)%x为初值，t为运行时间，q为分数阶数 h=0.01;%步长 N=t/h;%运行步数 l=length(x);%变量维数 y=zeros(l,N+1); y1=zeros(l,N+1); M1=zeros(l,1); N1=zeros(l,1); %预估校正法,fra_chaos_fun外部函数 y1(:,1)=x'+h.^q'.*fra_chaos_fun(t,x)'./(gamma([q']).*q'); y(:,1)=x'+h.^q'.*(fra_chaos_fun(t,y1(:,1))+q'.*fra_chaos_fun(t,x)')./gamma(q'+2); for n=1:N; M1=(n.^(q'+1)-(n-q').*(n+1).^q').*fra_chaos_fun(t,x)'; N1=((n+1).^q'-n.^q').*fra_chaos_fun(t,x)'; for j=1:n; M1=M1+ ((n-j+2).^(q'+1)+(n-j).^(q'+1)-2*(n- j+1).^(q'+1)).*fra_chaos_fun(t,y(:,j));N1=N1+((n-j+1).^q'-(n- j).^q').*fra_chaos_fun(t,y(:,j)); end
function dy=united-fra-chaos q1=0.9;q2=0.9;q3=0.8; h=0.01;N=2000; a=1; x0=2;y0=1;z0=3; %x0=-3.5;y0=4.2;z0=2.5; M1=0;M2=0;M3=0; x(N+1)=[0];y(N+1)=[0];z(N+1)=[0]; x1(N+1)=[0];y1(N+1)=[0];z1(N+1)=[0]; x1(1)=x0+h^q1*(25*a+10)*(y0-x0)/(gamma(q1)*q1); y1(1)=y0+h^q2*((28-35*a)*x0-x0*z0+(29*a-1)*y0)/(gamma(q2)*q2); z1(1)=z0+h^q3*(x0*y0-(8+a)*z0/3)/(gamma(q3)*q3); x(1)=x0+h^q1*((25*a+10)*(y1(1)-x1(1))+q1*(25*a+10) *(y0-x0))/gamma(q1+2); y(1)=y0+h^q2*((28-35*a)*x1(1)-x1(1)*z1(1)+(29*a-1)*y1(1)+q2*((28-35*a)*x0-x0*z0+(29*a-1 )*y0))/gamma(q2+2); z(1)=z0+h^q3*(x1(1)*y1(1)-(8+a)*z1(1)/3+q3*(x0*y0-(8+a)*z0/3))/gamma(q3+2); for n=1:N M1=(n^(q1+1)-(n-q1)*(n+1)^q1)*(25*a+10)*(y0-x0); M2=(n^(q2+1)-(n-q2)*(n+1)^q2)*((28-35*a)*x0-x0*z0+(29*a-1)*y0); M3=(n^(q3+1)-(n-q3)*(n+1)^q3)*(x0*y0-(8+a)*z0/3); N1=((n+1)^q1-n^q1)*(25*a+10)*(y0-x0); N2=((n+1)^q2-n^q2)*((28-35*a)*x0-x0*z0+(29*a-1)*y0); N3=((n+1)^q3-n^q3)*(x0*y0-(8+a)*z0/3); for j=1:n M1=M1+((n-j+2)^(q1+1)+(n-j)^(q1+1)-2*(n-j+1)^(q1+1))*(25*a+10)*(y(j)-x(j)); M2=M2+((n-j+2)^(q2+1)+(n-j)^(q2+1)-2*(n-j+1)^(q2+1))*((28-35*a)*x(j)-x(j)*z(j)+(29*a-1)*y(j )); M3=M3+((n-j+2)^(q3+1)+(n-j)^(q3+1)-2*(n-j+1)^(q3+1))*(x(j)*y(j)-(8+a)*z(j)/3); N1=N1+((n-j+1)^q1-(n-j)^q1)*(25*a+10)*(y(j)-x(j)); N2=N2+((n-j+1)^q2-(n-j)^q2)*((28-35*a)*x(j)-x(j)*z(j)+(29*a-1)*y(j)); N3=N3+((n-j+1)^q3-(n-j)^q3)*(x(j)*y(j)-(8+a)*z(j)/3); end x1(n+1)=x0+h^q1*N1/(gamma(q1)*q1); y1(n+1)=y0+h^q2*N2/(gamma(q2)*q2); z1(n+1)=z0+h^q3*N3/(gamma(q3)*q3); x(n+1)=x0+h^q1*((25*a+10)*(y1(n+1)-x1(n+1))+M1)/gamma(q1+2); y(n+1)=y0+h^q2*((28-35*a)*x1(n+1)-x1(n+1)*z1(n+1)+(29*a-1)*y1(n+1)+M2)/gamma(q2+2);