《高等数学》课程复习资料
一、填空题：
1.设2)(x
x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2.若2sin x x y x x <<=+≤
，则=)2(π
y .
3.极限lim
sin
sin x x x x
→=0
21
。
4.已知22
lim 2
22=--++→x x b
ax x x ，则=a ,=b 。 5.已知0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(2
2
y z y z x ?=+，其中?可微，则
y
z
??= 。 7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则
=??)
1,0(x
u 。
8.设??,),()(1
f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=???y
x z 2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。 10.设||)1(sin ),(2
2xy x y x y x f -+=则'y f =(1,0) 。
11.=?
xdx x 2sin 2
12.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。 13.若
2
1
d e 0
=
?
∞+-x kx ，则k = 。 14.设Ｄ：2
2
1x y +≤
，则由估值不等式得 ??≤++≤
D
dxdy y x
)14(22
15.设D 由22
,,,y x y x y y ====212围成（0x ≥），则
(),D
f x y d σ??在直角坐标系下的两种积分次序
为 和 。 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤
，则
D
f
dxdy ??
的极坐标形式的二次积分为 。
17.设级数
∑∞
=+1
21
n p
n
收敛，则常数p 的最大取值范围是 。
18.=+-+-
?1
0 6
42)!
3!2!11(dx x x x x 。 19.方程
0112
2
=-+
-y
dy x
dx 的通解为 。
20．微分方程0y y '''-+=42025的通解为 。
21.当n= 时，方程n y x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。 22.若44?阶矩阵A 的行列式为*||3,A A =是A 的伴随矩阵,则*||A = 。 23.设A n n ?与B m m ?均可逆，则C=??
???
A 00
B 也可逆，且1
C -＝ 。 24.设A ??=??
??
3123，且X E AX 3=-，则X = 。
25.矩阵??
??????
2-124020-33的秩为 。
26.向量αβ=(-1,0,3,-5),=(4,-2,0,1),其内积为 。
27.n 阶方阵A 的列向量组线性无关的充要条件是 。 28.给定向量组()()()1231110132,a b ααα===, , ，若321,,ααα线性相关，则a ，b 满足关系式 。
29.已知向量组(Ⅰ)与由向量组(Ⅱ)可相互线性表示，则r (Ⅰ)与r (Ⅱ)之间向量个数的大小关系是 。
30.向量γ=(2,1)T 可以用α=(0,1)T 与β=(1,3)T 线性表示为 。
31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b 有无穷组解的 条件。
32.设A 为m ×n 矩阵,非齐次线性方程组=Ax b 有唯一解的充要条件是r(A) r(A |b )= 。 33.已知n 元线性方程组AX b =有解，且n A r <)(，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 。 34.设0λ是方阵A 的一个特征值，则齐次线性方程组()0x =-A E 0λ的 都是A 的属于0λ的特征向量。
35.若3阶矩阵A 的特征值为1，2，-3，则1
-A 的特征值为 。
36.设A 是n 阶方阵，|A|≠0,*
A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值0λ,则()
E A 23*+必有特征值λ= 。
37.α，β分别为实对称矩阵A 的两个不同特征值21,λλ所对应的特征向量,则α与β 的内积（α,β）= 。
38.二次型32414321),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 。
39.矩阵?? ?
? ???
420A =24λ0λ1为正定矩阵,则λ的取值范围是 。
40.二次型222
1231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是 。
41.A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 。 42.事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = 。
43.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 。
44.在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k 次的概率为 (05k ≤≤)。
45.设随机变量X 服从泊松分布，且{}{}P X =1=P X =2，则{}P X =3= 。
46.设随机变量X 的分布密度为01120()x x a x x f x ≤<- ≤< ??
=???
其它，则a = 。
47.
且X = ,b = 。
48.设X 的分布密度为()f x ，则3
Y X =的分布密度为 。 49.
则α与β应满足的条件是 ，当相互独立时，α＝ 。
50.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N(1,2),Y ～N(0,
1)。令Z=-Y+2X+3，则()D Z = 。 51.已知随机变量X 的数学期望2
()1,()4E X E X ==.令Y ＝2X －3，则()D Y = 。
二、单项选择题：
1.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f = [ ] A.x B.x + 1 C.x + 2 D.x + 3
2.下列函数中，（ ）不是基本初等函数。 [ ]
A.x
y )e 1(= B.2ln x y = C.x
x
y cos sin =
D.35x y = 3.下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等。 [ ] A.2
)1ln(x
x x y -=
与x x g )1ln(-= B.2
ln x y =与x g ln 2= C.x y 2sin 1-=与x g cos = D.)1(-=x x y 与)1(-=x x y
4.设)(x f 在0x x =处间断，则有 [ ] A.)(x f 在0x x =处一定没有意义；
B.)0()0(0+≠-x f x f ; (即)(lim )(lim 0
x f x f x x x x +
-→→≠)； C.)(lim 0
x f x x →不存在，或∞=→)(lim 0
x f x x ；
D.若)(x f 在0x x =处有定义，则0x x →时，)()(0x f x f -不是无穷小
5.函数??
?
??=≠+-=0,0,211)(x k x x
x
x f 在x = 0处连续，则k = [ ] A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.若)
1()(--=x x a
e x
f x ，0=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则=a [ ]
A.1
B.0
C.e
D.e -1
7.
函数z =22㏑
(x +y -2) [ ] A.22x y +≠2 B.224x y +≠ C.222x y +≥ D.2224x y <+≤ 8.二重极限200
lim
x y xy
x y
→→+ [ ]
A.等于0
B.等于1
C.等于1
2
D.不存在
9.利用变量替换x y
v x u =
=,，一定可以把方程z y
z y
x z x =??+??化为新的方程 [ ] A.z u z u
=?? B.z v z v =?? C.z v z u =?? D.z u
z
v =?? 10．若)()(x f x f --=，在),0(+∞内,0)('',0)('>>x f x f 则)(x f 在)0,(-∞内 [ ] A.'()0,''()0f x f x << B.'()0,''()0f x f x <> C.'()0,''()0f x f x >< D.'()0,''()0f x f x >> 11.设0)(=x x f 在的某个邻域内连续,且0)0(=f ,12
sin 2)(lim
2
=→x
x f x ,则在点0=x 处)(x f [ ]
A.不可导
B.可导,且0)0(≠'f
C.取得极大值
D.取得极小值
12.设函数(),()f x g x 是大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b <<时，有 [ ] A.)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f > C.)()()()(b g b f x g x f > D.)()()()(a g a f x g x f > 13.='=?
-)(,)()(,)( x F dt t f x F x f x
e x
则且是连续函数设 [ ]
A.)()(x f e f e
x x
---- B.)()(x f e f e x x +---
C.)()(x f e f e x x ---
D.)()(x f e f e x x +-- 14.设[]2,1)(在x f 上具有连续导数，且1)(,
1)2(,1)1(2
1
-===?
dx x f f f ，则='?2
1
)(dx x f x [ ]
A.2
B.1
C.-1
D.-2 15.设[]b a x f ,)(在上二阶可导，且()0,()0,()0f x f x f x '''><<。记
?=b
a
dx x f S 1)(，))((2a b b f S -=，)(2
)
()(3a b b f a f S -+=
，则有 [ ]
A.321S S S <<
B.132S S S <<
C.213S S S <<
D.231S S S << 16.设幂级数
∑∞
=-1
)1(n n n
x a
在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处 [ ]
A.绝对收敛
B.条件收敛
C.发散
D.收敛性不能确定
17.下列命题中,正确的是 [ ] A.若级数
∑∑∞
=∞=11
n n
n n v
u 与的一般项有),2,1( = ∑∑∞=∞ =<1 1 n n n n v u B.若正项级数∑∞ =1n n u 满足∑∞ =+=≥1 1 ),,2,1(1n n n n u n u u 则 发散 C.若正项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则1lim 1 <+∞→n n n u u D.若幂级数 ∑∞ =1 n n n x a 的收敛半径为)0(+∞< →1 lim 。 18.设级数 ∑∞ =-1 2) 1(n n n n a 收敛，则级数∑∞=1 n n a [ ] A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 19.微分方程()()dy dx dy dx y x +=-+的通解是 [ ] A.()ln x y x y c +++= B.()ln x y x y c -++= C.()ln x y x y c +-+= D.()ln x y x y c --+= 20.设()y f x =满足微分方程550y y y '''-+=，若()() 0,000f x f x '<=，则函数()x f 在点0x [ ] A.取极大值 B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少. 21.函数()x y y =在点x 处的增量满足()()2 01y x y o x x x ??= +??→+且()0y π=，则()1y =（D ）[ ] A.2π B.π C.4 e π D.4e π π 22.若含有s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r ，则必有 [ ] A.r=s B.r>s C.r=s+1 D.r 23.已知向量组1234(1,1,1,0),(0,,0,1),(2,2,0,1),(0,0,2,1)k αααα====线性相关,则k = [ ] A.1- B.2- C.0 D.1 24.向量组12,,,s ααα 线性相关的充分必要条件是 [ ] A.12,,,s ααα 中含有零向量 B.12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例 C.12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示 D.12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示 25.对于向量组12(,,,),r ααα ，因为120000r +++=ααα ，所以12,,,r ααα 是 [ ] A.全为零向量 B.线性相关 C.线性无关 D.任意 26.设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB=O ，则必有 [ ] A.A=O 或B=O B.|A |=0或|B |=0 C.A+B=O D.|A |+|B |=0 27.若非齐次线性方程组A m ×n X = b 的( )，那么该方程组无解 [ ] A.秩(A ) ＝ n B.秩(A )＝m C.秩(A ）≠秩(A ) D.秩(A ）=秩(A ) 28.若线性方程组的增广矩阵为1221 4A λ =?? ??? ，则当λ＝( )时线性方程组有无穷多解。 [ ] A.1 B.4 C.2 D. 12 29.设λ=2是非奇异矩阵A 的特征值,则1 2)3 1(-A 有一个特征值是 [ ] A. 34 B.21 C.4 3 D.41 30.若二次型2 3 2221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则 [ ] A.1->k B.1>k C.2>k D.3>k 31.已知(1,,1)T k α=是矩阵A ?? ? ? ??? 211=121112的特征向量,则k = [ ] A.1或2 B.-1或-2 C.1或-2 D.-1或2 32.在随机事件A ，B ，C 中，A 和B 两事件至少有一个发生而C 事件不发生的随机事件可表示为 [ ] A.AC BC B.ABC C.ABC AB C ABC D.A B C 33.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 [ ] A.3 8 B.53188?? ??? C.3 4831C 88 ?? ??? D.4 85C 34.设A 、B 互为对立事件，且()()0,0,P A P B >>则下列各式中错误的是 [ ] A.() |0P B A = B.()|0P A B = C.()0P AB = D.()1P A B = 35.离散型随机变量X 的分布列为P{ X = k } =ak , k = 1,2,3,4.则=a [ ] A.0.05 B.0.1 C.0.2 D.0.25 36.设随机变量X 的分布函数为1 ()arctan (,)F x a x x a π =+ -∞<<∞为常数 则? ??P - = [ ] A. 16 B.13 C.12 D.23 37.设随机变量X 服从(){},42N P X μμ≤+,则，的值 [ ] A.随μ增大而减小 B.随μ增大而增大 C.随μ增大而不变 D.随μ减少而增大. 38.设随机变量2~(,)X N μσ，则Y aX b =+服从 [ ] A.2(,)N μσ B.(0,1)N C.?? ? ??2)(,b a N σμ D.22(,)N a b a μσ+ 39.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于 [ ] A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 40.设随机变量X 的概率密度为||(),00||x a f x a x a <=>≥? ，则()E X = [ ] A.-1 B.0 C.1 D.以上结论均不正确 三、解答题： 1.设22()1ln()a x f x b x ?+? =??+? 000x x x <=>，已知()f x 在0x =处连续可导，试确立b a ,并求()f x ' 2.设)sin ,2(x y y x f z -=，其中),(v u f 具有二阶连续偏导数，求y x z ???2。 3. 设0(,)0,0 x y f x y x y +≠=+=?2222 讨论(,)f x y 在（0，0） （1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。 4.在过点)6,3,1(P 的所有平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。 5. x x x d 2cos 20 ? π 6. 22|4|d x y σ+-?? ，其中D 为圆域22 9x y +≤。 7.设(,)f x y 在12 2≤+y x 上连续，求证：222 2 01 (,)(0,0)lim R x y R f x y d f R σπ→+≤=?? 。 证明：222{(,)|}D x y x y R =+≤ 8.求幂级数∑∞ =---1 1 )4()1(n n n x n 收敛区间及和函数)(x S ： 9.求解()0y y y xy x y +'==+2 3 1,1。 10.求解2 )1(,0tan π==-+'y y x y x y x 。 11.求解044=+'+''y y y 满足()()02,00y y '==。 12.求解x e y y y 223=+'-''满足()()01,01y y '==-。 13.设二阶常系数线性微分方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为()x x e x e y ++=12，试确定γβα,,，并求该方程的通解。 14.计算下列行列式 cos -sin sin cos αααα 。 15.计算下列行列式 2 1 4 1 3 - 1 2 11 2 3 25 0 6 2。 16.证明： 333 1 1 1 a b c =(a +b +c)(b -a)(c -a)(c -b)a b c 17.设AX +E =A 2+X ，且A =?? ? ? ??? 101020101，求X 。 18.已知矩阵20b a a b ?=?????? ??? ??????? ??1167063，求常数a ，b 。 19.将向量β表示成321,,ααα的线性组合： ) 2 , 0 , 1 ( ), 1 , 0 , 0 ( ), 1 , 2 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 ( 3 2 1 - = = = - = β α α α 20.问λ，μ取何值时，齐次方程组 ??? ??=+μ+=+μ+=++λ0 x x 2x 0x x x 0 x x x 321321321 有非零解？ 21.设线性方程组 2121321231231 23x x x x x x x x x c -+=--+=--+=??? ?? 试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。 22.求一个正交变换化下列二次型为标准型： 322 32221x x 4x 3x 3x 2f +++= 23.某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内：(1)有机床需要工人照管的概率；(2)机床因无人照管而停工的概率？ 24.设随机变量X 的分布密度为2 ()()1A f x x x = -∞<<+∞+求：(1)常数A ；(2)X 的分布函数； 25.设二维随机变量（X ，Y ）在区域201,x y x ≤≤≤内服从均匀分布。求： (1)（X ，Y ）的联合分布密度； (2)X 与Y 的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 26.设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 1,01 ()0,X x f x ≤≤?=? ?其它 ,0()0,0 y Y e y f y y -?>=?≤? 求随机变量Z ＝X ＋Y 的概率密度函数。 27.某工厂生产的一种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，密度函数为1 410()4 00 x e x f x x -? =??≤? 为确保 消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元。求工厂出售一台设备赢利的数学期望。 28.设随机变量（X ，Y ）服从正态分布，且X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 2(0,4)N 和，X 与Y 的相关系数1,232 XY X Y Z ρ=-=+,求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； 参考答案 一、填空题： 1.设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。 解 ： )(x f 的定义域为),(+∞-∞，且有 )(2 22)()(x f a a a a a a x f x x x x x x =+=+=+=------ 即)(x f 是偶函数，故图形关于y 轴对称。 2.若? ??<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(π y 。解：412π+。 3.极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 解：010sin lim 1sin lim )sin 1sin (lim sin 1 sin lim 00020=?=?==→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 注意：01 sin lim 0=→x x x （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） 111sin lim 1sin 1lim sin lim 000====→→→x x x x x x x x x ，其中x x x sin lim 0→=1是第一个重要极 限。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知,024=++b a ,得42--=a b ,又由 23 412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知0→x 时，1)1(3 1 2-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 解 ： ()()().23,1321112lim 1 cos 1 1lim 3 1 23222 2 03 120-=∴=-=?? ? ???++++-=--+→→a a ax ax x ax x ax x x 6.设)(2 2 y z y z x ?=+，其中?可微，则 y z ??= 。 解：2 12z y z z y z y y y ????-???'=+?? 2z z y y z ???' -?='?- 7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 =??) 1,0(x u 。 解： 22x x u z e yz ze y x x ??=+??? 100z z yz xy x x ??++++=??， 11z yz x xy ?--=?+ 2121x x u yz e yz ze y x xy ?--=+??+ 0,1x y ==时，1z =- (0,1) 1z x ?=? 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=???y x z 2 。 解： 1'' ()()()2211''''''' ()()()()()''''' [()()]() z y f xy f xy y x y x x x z f xy f xy yf xy x y y x y x y x x y f xy x y x y ??????-= +++??-= ++++++??=++++ 9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。 解：2 2 2(12)02(12)0x y f y y xy y x y f x xy x x x y ?=--=--=??=--=--=?? 100 13010 13x x x x y y y y ?=?===?????? ? ? ===????=?? 2f y =-xx ，122f y x =--xy ，2f x =-yy ，21221222y y x H y x x ---=---?? ??? 01(0,0) 10H ??= ???不是,21(0,1) 10H --??= ?-??不是01(1,0) 12H -?? = ?--?? 不是 2/31/311 (,) 1/32/333H --??= ?--?? 负定，极大值 （13，13 ） 10.设||)1(sin ),(2 2xy x y x y x f -+=则'(1,0)f y = 。 解：因为(1,)sin f y y =，故0(1,0)cos 1y y f y ='== 11.=? xdx x 2sin 2 。 解：原式??+-=-= xdx x x x x d x 2cos 2cos 21)2cos 21(22 ??-+-=+-=xdx x x x x x xd x x 2sin 21 2sin 212cos 21)2sin 21(2cos 2122 C x x x x x +++-=2cos 4 1 2sin 212cos 212. 12.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。 解：??? -+-=-= π ππ π 4 4 )cos (sin )sin (cos sin cos dx x x dx x x dx x x A .222112)sin cos ()cos (sin 4 4 0=++-=--++=π ππ x x x x 13.若 2 1 d e 0 = ? ∞+-x kx ，则k = 。 答案 ：∵ )d(e 1lim d e 2100kx k x b kx b kx --==??-+∞→∞+-k k k k kb b b kx b 1e 1lim 1e 1lim 0 =-= -=-+∞→-+∞→ ∴2=k 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤ D dxdy y x )14(22 解：2222(,)414()1f x y x y x y =++≤++，又 22:1D x y +≤ (,)max {(,)}4115x y D f x y ∈?=?+=，(,)min {(,)}1x y D f x y ∈= 由(,)d D m f x y M σσσ≤≤??，1D S σππ==?= ∴ ππ5≤≤I 15.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则 (),D f x y d σ??在直角坐标系下的 两种积分次序为 和 。 解：D ：（X —型）=D 1+D 2 ，12112x D y x ≤≤≤≤? ，2212 x D x y ?≤≤??≤≤?? 22 1 22 1 1(,)d (,)d x x I x f x y y x f x y y =+? ? D ：（Y —型）12y x ≤≤?≤ 21d (,)d I f x y x =? 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤， 则 D f dxdy ?? 的极坐标形式的二次积分 为 。 解：D ：0210sin cos r πθθθ? ≤≤????≤≤ ?+? ，1sin cos 200 d ()d I f r r r πθθθ+=?? 17.设级数 ∑∞ =+1 21 n p n 收敛，则常数p 的最大取值范围是 。 解：由p 级数的敛散性知，仅当12>+p 即1->p 时，级数∑∞ =+1 21 n p n 收敛，其他情 形均发散. 18.=+-+- ?1 0 642)! 3!2!11(dx x x x x 。 解：因为2! 3!2!116 42x e x x x -=+-+- ， 所以原积分)1(2 1 2 1)(2111 1 021 2 22 --=-=--=----?? e e x d e dx xe x x x 19.方程 0112 2 =-+ -y dy x dx 的通解为;c arcsin arcsin =+y x 20.微分方程025204=+'-''y y 的通解为()x e x c c y 2 521+=. 21.当n=_________时，方程n y x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。 解 0=n 或1. 22.若44?阶矩阵A 的行列式为* ||3,A A =是A 的伴随矩阵,则* ||A =__________。 答案：27 23.设A n n ?与B m m ?均可逆，则C =00?? ??? A B 也可逆，且1 C -＝ 。 答案： 1 100 --?? ??? A B 24.设?? ????=3213A ，且X E AX 3=-，则X = 。 答案：120 10? ??????? 25.矩阵???? ??????--330204212的秩为 。 解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。 26.向量(1,0,3,5),(4,2,0,1)αβ=--=-,其内积为____________。 答案： 9- 27.n 阶方阵A 的列向量组线性无关的充要条件是 。 答案：r=n,或|A|≠0; 28.给定向量组()()(),231,0,111321===αααb a ，若321,,ααα线性相关， 则a ，b 满足关系式 。答案：a-2b =0 29.已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 。 答案：相等 30.向量γ=(2,1)T 可以用α=(0,1)T 与 β=(1,3)T 线性表示为 。答案： 52γαβ=-+; 31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b 有无穷组解的 条件。答案：必要不充分 32.设A 为m ×n 矩阵,非齐次线性方程组=Ax b 有唯一解的充要条件是r(A) r(A |b )= 。 答案： n b A r A r ==)()( ; 33.已知n 元线性方程组AX b =有解，且n A r <)(，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 。 解答：)(A r n - 34.设0λ是方阵A 的一个特征值，则齐次线性方程组()0x =-A E 0λ的 都是A 的属于 0λ的特征向量。 答案：非零解 35.若3阶矩阵A 的特征值为1，2，-3，则1-A 的特征值为 。答案：3 1,2 1,1- ; 36.设A 是n 阶方阵，|A|≠0,* A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值0λ,则 () E A 23 *+必有特征值=λ. 。答案：2)( 30 +λA . 37.α，β分别为实对称矩阵A 的两个不同特征值21,λλ所对应的特征向量,则α与β 的内积（α,β）= 。 答案： 0 38.二次型32414321),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 。答案：4. 39.矩阵4202401A λλ?? ? = ? ??? 为正定矩阵,则λ的取值范围是_________ 。答案：λ<<40.二次型222 1231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是_____。 答案：3 5 t > 41.A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为AB +BC +AC 。 42.事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A B = 。 解：∵A 、B 相互独立， ∴P (AB )=P (A )P (B ) ∴P (A ∪B )=P (A )+P (B )–P (AB )=0.2+0.5–0.1=0.6 43.若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 。 解：P (A +B )=1–P p B A P B A -=-=+1)(1)( 44.在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k 次的概率为 (05k ≤≤)。 解：设X 表示击中目标的次数，则X 服从二项分布，其分布律为： 45.设随机变量X 服从泊松分布，且{}{}P =1P =2,X X =则{}P =3X = 。 解：∵X 服从泊松分布，其分布律为P {X =k }=!k e k λλ-（k =0, 1, 2，, λ>0） 由已知得：!2!121λλλλ--=e e ，求得λ=2 ∴ P {X =3}=3 4!322 32--=e e 46.设随机变量X 的分布密度为01()120x x f x a x x ≤ =-≤ 其它，则a = . 解：由性质 1)(=? +∞ ∞-dx x f 即： ? ???+∞ ∞ -+-++2 2 1 1 0)(0dx dx x a xdx dx 02202 1 2102 +???? ??-++=x ax x 112 1 2221=-=+--+= a a a 解得：a =2 47.若二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为： 且X = ,b = . 解：∵ X ，Y 相互独立 ∴ P (X =1，Y =1)=P (X =1) · P (Y =1) 即： ?? ? ??+??? ??+=a 161163161161 ∴ a =163 又 ∵ 1ij j p i =∑∑ ∴ 1163 161 =+++b a ∴ b =16 9 48.设X 的分布密度为()f x ，则3 Y X =的分布密度为 。 解：∵P {Y ≤y }=P (X 3≤y )=P (X ≤3y )=F x (3y ) ∴Y =X 3 的分布密度为：?(y )=)(3 1)(31 323y f y y F X - ='，y ≠0 49. 则α与β应满足的条件是 α＝ 。 解：∵ ∑∑l j j i P =1 ∴ 3.02.0+++βα=1 即有βα+=0.5 当X ，Y 相互独立 ∴P (X =1, Y =1)= P (X =1)P (Y =1) ∴a =(a +0.2)(a +β) ∴a =0.2 50.设随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,2),~(0,1).X N Y N 令Z = -Y + 2X +3，则 ()D Z = 。 解：∵ X 与Y 相互独立，∴ D (Z )=D (–Y +2X +3)=D (–Y )+D (2X +3) =(–1)2 D (Y )+4D (X )=1+4×2=9。 51.已知随机变量X 的数学期望2 ()1,()4E X E X ==.令Y ＝2X －3，则 ()D Y = 。 解：D (Y )=D (2X –3)=4D (X )=4{E (X 2)–[E (X )]2}=4(4–12 )=12。 二、单项选择题： 1.设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A.x B.1x + C.2x + D.3x + 解:由于1)(+=x x f ，得 )1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f 将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 正确答案：D 2.下列函数中，（ ）不是基本初等函数。 A.x y )e 1(= B.2 ln x y = C.x x y cos sin = D.35x y = 解：因为2ln x y =是由u y ln =，2 x u =复合组成的，所以它不是基本初等函数。 正确答案：B 3.下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等。 A.2 )1ln(x x x y -= 与x x g )1ln(-= B.2 ln x y =与x g ln 2= C.x y 2sin 1-=与x g cos = D.)1(-=x x y 与)1(-=x x y 解： A 4.设)(x f 在0x x =处间断，则有（ ） A.)(x f 在0x x =处一定没有意义； B.)0()0(0+≠-x f x f ; (即)(lim )(lim 0 x f x f x x x x + -→→≠)； C.)(lim 0 x f x x →不存在，或∞=→)(lim 0 x f x x ； D.若)(x f 在0x x =处有定义，则0x x →时，)()(0x f x f -不是无穷小 答案：D 5.函数?? ? ??=≠+-=0,0,211)(x k x x x x f 在x = 0处连续，则k = 。 A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案：B 6.若) 1()(--=x x a e x f x ，0=x 为无穷间断点，1=x 为可去间断点，则=a （ ）. A.1 B.0 C.e C.e -1 解：由于0=x 为无穷间断点, 所以0) (0 ≠-=x x a e , 故1≠a . 若0=a , 则1=x 也 是无穷间断点. 由1=x 为可去间断点得e a =.故选(C ). 7.函数 2 2224)2ln(y x y x z --+-+=的定义域为（ ）。 A ．222≠+y x B ．422≠+y x C ．222≥+y x D ． 422 2≤+ 402222 222≤+-+y x y x y x (选D) 8.二重极限2 24 00 lim x y xy x y →→+（ ） A.等于0 B.等于1 C.等于 2 1 D.不存在 解：2 22420 lim 1x ky y xy k x y k =→=++与k 相关，因此该极限不存在 (选D) 9.利用变量替换x y v x u = =,，一定可以把方程z y z y x z x =??+??化为新的方程( ) A.z u z u =?? B.z v z v =?? C.z v z u =?? D.z u z v =?? 解：z 是x ，y 的函数，从u x =，y v x = 可得x u =，y uv =，故z 是u ，v 的函数，又u x =，y v x = 故z 是x,y 的复合函数，故21z z z y x u v x ???-=?+????，10z z z y u v x ???=?+????，从而 左边=z z z y z y z z z x y x x u x y u x v x v u u ???????+=-+==??????? 因此方程变为： z u z u ?=? (选A) 10.若)()(x f x f --=，在),0(+∞内,0)('',0)('>>x f x f 则)(x f 在)0,(-∞内（ ）. A.;0)('',0)('< B.;0)('',0)('> C.,0)('',0)('<>x f x f D.,0)('',0)('>>x f x f 解：(选C) 11.设0)(=x x f 在的某个邻域内连续，且0)0(=f ，12 sin 2)(lim 2 =→x x f x ，则在点0=x 处 )(x f （ ） 。 A.不可导 B.可导,且0)0(≠'f C.取得极大值 D.取得极小值 解：因为12 sin 2)(lim 2 =→x x f x ,则)0(0)(f x f =>在0=x 的邻域内成立, 所以)0(f 为 )(x f 的极小值,故选D 。 12.设函数)(),(x g x f 是大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（ ）。 A.)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f > C.)()()()(b g b f x g x f > D.)()()()(a g a f x g x f > 解：考虑辅助函数,0) () ()()()()(,)()()(2<'-'='= x g x g x f x g x f x F x g x f x F 则 ()F x 则严格单调减少函数。()() ()() x b f x f b g x g b <>当时, , ).().()()()(A b f x g b g x f 应选即有> 13. (),()(),() x e f x F x f t dt F x x -'==?设是连续函数且则( )。 A.)()(x f e f e x x ---- B.)()(x f e f e x x +--- C.)()(x f e f e x x --- D.)()(x f e f e x x +-- 解：由积分上限函数的导数可得)()()(x f e f e x F x x --='--，故选（A ）. 14.设[ ]2,1)(在x f 上具有连续导数，且1)(,1)2(,1)1(2 1 -===?dx x f f f ，则= '?2 1 )(dx x f x （ ）。 A.2 B.1 C.-1 D.-2 解：因为 ???? --=-=='2 1 2 1 2 12 1 2 1 )()1()2(2)()()()(dx x f f f dx x f x xf x xdf dx x f x 2)1(12=---=，故应选（A ） 15.设[]b a x f ,)(在上二阶可导，且.0)(,0)(,0)(<''<'>x f x f x f 记 ?=b a dx x f S 1)( ))((2a b b f S -=， )(2 ) ()(3a b b f a f S -+= ，则有（ ）. A.321S S S << B.132S S S << C.213S S S << D.231S S S << 解：依题意，函数在上严格单调减少，且其图形是向上凸的曲线。依据几何图形可得 132S S S <<，故选B 。 16.设幂级数 ∑∞ =-1 )1(n n n x a 在1-=x 处收敛。则此级数在2=x 处( ). A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 C.收敛性不能确定 解：选A 。 17.下列命题中,正确的是（ ）。 A.若级数 ∑∑∞ =∞=1 1 n n n n v u 与的一般项有),2,1( = ∑∑∞=∞ =<1 1 n n n n v u B.若正项级数∑∞=1n n u 满足∑∞ =+=≥1 1 ),,2,1(1n n n n u n u u 则 发散 C.若正项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则1lim 1 <+∞→n n n u u D.若幂级数 ∑∞ =1 n n n x a 的收敛半径为)0(+∞< →1 lim . 解：由),2,1(11 =≥+n u u n n 有),2,1(01 =>≥n u u n ，因此0lim ≠∞→n n u ，从而∑∞ =1 n n u 发 散。故选（B ）。 18.设级数 ∑∞ =-1 2) 1(n n n n a 收敛，则级数∑∞ =1 n n a （ ） 。 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 解：因为 ∑∞ =-1 2) 1(n n n n a 收敛，即幂级数∑∞ =1 n n n x a 在2-=x 处收敛，由Able 定理知，幂 级数在1=x 处绝对收敛，亦即 ∑∞ =1 n n a 绝对收敛。故选（A ）。 19.微分方程()()dy dx dy dx y x +=-+的通解是（ ） A.();ln c y x y x =+++ B.();ln c y x y x =++- C.();ln c y x y x =+-+ D.().ln c y x y x =+-- 解：D 20.设)(x f y =满足微分方程055=+'-''y y y ,若()()0,000=' A.取极大值 B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少 解：B 21.函数()x y y =在点x 处的增量满足()()012 →??++?= ?x x o x x y y 且()π=0y ，则 ()=1y （D ） A.2π B.π C.4 e π D.4e π π 解：令0→?x ，得 ?+=21x dx y dy x Ce y arctan =，π=C ，()41π πe y =，故选（D ）。 22.若含有s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r ，则必有 ( ) A.r=s B.r>s C.r=s+1 D.r 23.已知向量组1234(1,1,1,0),(0,,0,1),(2,2,0,1),(0,0,2,1)k αααα====线性相关,则 k = ( ) A.-1 B.-2 C.0 D.1 答案：(C) 24.向量组12,,,s ααα 线性相关的充分必要条件是 ( ) A.12,,,s ααα 中含有零向量 B.12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例 C.12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示 D.12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示 高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 华南理工大学网络教育平台-*高等数学B(下)-随堂练习参考答案2013-4-10 1.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 2.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 3.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 4.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.,则的定义域为（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.下列函数为同一函数的是（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 7. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8. （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 9. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 10. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 11. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 13. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 14. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 一、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分） 1、设函数)(x f 的定义域是[0,1]，那么(1)f x +的定义域是( B )。 A. [0,1] B. [1,0]- C. [1,2] D. [0,2] 2、x x x 3sin lim ∞ →= ( D )。 A. 3 B. 1 C. 3 1 D. 0 3、下列为0→x 时的等价无穷小的是（ C ）。 A. x 2sin 与x B. 12 -x e 与x C. )1ln(x +与x D. x cos 1-与2 2x 4、过曲线x x y ln =上0M 点的切线平行于直线x y 2=，则切点0M 的坐标是（ D ）。 A.(1,0) B.(e, 0) C. (e, 1) D. (e, e) 5、设函数)(x f y =二阶可导，如果01)(")('00=+=x f x f ，那么点0x ( A )。 A. 是极大值点 B. 是极小值点 C. 不是极值点 D. 不是驻点 6、在区间),(+∞-∞内，下列曲线为凹的是（ D ）。 A.)1l n(2x y += B .32x x y -= C.x y cos = D.x e y -= 7、设)(x f 为连续函数，则]')2([?dx x f =（ B ）。 A. )2(2 1x f B. )2(x f C. )2(2x f D. )(2x f 8、若C e x dx x f x +=?22)(，则)(x f =（ D ）。 A. x xe 22 B. x e x 222 C. x xe 2 D. )1(22x xe x + 9、下列关系式正确的是（ C ） A. )()(x f dx x f d =? B. )()(x df dx x f d =? C. dx x f dx x f d )()(=? D. C x f dx x f d +=?)()( 10、?-)cos 1(x d =（ C ）。 A. x cos 1- B. C x x +-sin C. C x +-cos D. C x +sin 二、填空题（共10空，每空2分，共20分） 11x x x ) 1 321(lim ++ ∞ →= 32 e 12、 设1)('0=x f ，则h x f h x f h ) ()2(lim 000 -+→= 2 。 第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1．填空题 （1）已知函数22,y f x y x y x ? ?+=- ???，则(),f x y =()() 222 11x y y -+； （2）49 arcsin 222 2-+++=y x y x z 的定义域是(){} 22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+?<<≤+； （4）函数??? ??=≠=0, 0,sin ),(x y x x xy y x f 的连续范围是 全平面 ； （5）函数2222y x z y x +=-在2 2y x =处间断. 2．求下列极限 （1 ）00 x y →→； 解：0000 1 6x t t y →→→→===- （2）2 2 () lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞ +）. 解：3 y x =22()2() lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞ →+∞ →+∞ ??+=+-??）） 由于1lim e lim lim 0t t t t t t t t e e -→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====， 故22() 2()lim (e lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞ →+∞→+∞ →+∞ ??+=+-=??）） 3．讨论极限2630 0lim y x y x y x +→→是否存在. 解：沿着曲线()()3 ,,0,0y kx x y =→,有3 36626262000 lim lim 1x x y kx x y kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26 30 0lim y x y x y x +→→不存在 4．证明?? ???=+≠++=0,00,2),(22222 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续. 解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡ 从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线 ()(),,0,0y kx x y =→,有22 22222000 222lim lim 1x x y kx xy kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0 lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续. 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列函数为初等函数的是( B ) (B). y = (C).?????=≠--=101112x x x x y (D).???≥<+=001x x x x y 2.当x →0时，与sin x 等价的无穷小是( A ) (A) 2x x + (B) x x sin x 2 3.设)0(f '存在，则0(0)()lim x f f x x →--＝( D ) (A) )0(f '- (B) )0(2f '- (C) )0(2f ' (D) )0(f ' 4. 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ） (A)函数值 (B)极限 (C) 积分 (D)导数 5.若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ C ） (A) x cos 1+ (B) sin x x + (C) sin x x - (D)x cos 1- 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设函数cos , 0() ,0 x x f x x a x 且210x ->, 所以函数()ln(21)f x x =-的定义域：132 x << 2. 设ln(2)y x =-，求其反函数 高等数学(2)综合复习资料 1．坐标面xoy 的方程是___________________________. 2．平行于向量{}3,2,6-=→ a 的单位向量是______ __. 3.设..10,11:≤≤≤≤-y x D 则 () _________3=+??dxdy y y x D 4. 若向量→→→c b a ,,两两互相垂直，且3,2,1===→→→ c b a 和，则____=++→→→c b a 5. 已知两点),3,2,7(),1,2,3(--B A 则_____=→AB 6.设,ln 22y x z +=则._______________=x z 7．直线3 7423z y x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ ） (A)平行,但直线不在平面上;； (B)直线在平面上； (C)垂直相交； (D)相交但不垂直； 8．点)1,2,1(M 到平面01022=-++z y x 的距离是 （ ） 1)(A ； 1)(±B ； 1)(-C ；3 1)(D ； 9.设D 是矩形域11,40:≤≤-≤≤y x π ，则=??D xydxdy x 2cos ( ) ;0)(A ;21)(-B ;21)(C 4 1)(D 10.设?? ? ?? +=4arctan πxy z ，则=x z ( ) ;41)(??? ??++πxy xy A ;411)(2??? ??+++πxy x B ;414sec )(22??? ? ?++??? ??+ππxy xy xy C 241)(??? ??++πxy y D ； 11．曲面z y x =-2 2在xoz 平面上的截线方程是（ ） 大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →-- 中国矿业大学部分专业单独招生考试说明（数学） Ⅰ、考试性质 中国矿大单独招生考试是由中等职业学校、技工学校以及职业高中的优秀应届毕业生（简称“三校生”）和煤炭企业优秀青年参加的选拔性考试。我校根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面考核，择优录取。 Ⅱ、考试内容及要求 关于考试内容的知识要求作如下说明： 对考试内容的知识要求分为三个层次：了解：对知识有感性的、初步的认识，能识别它；理解：对概念和规律达到理性的认识，能自述、解释和举例说明；掌握：能够应用知识的概念和方法解决一些相关问题。 一、集合与逻辑用语 1．理解集合及表示法； 2．理解集合之间的关系； 3．掌握集合的运算； 4．了解命题及命题联结词； 5．理解充要条件。 二、不等式 1．了解不等式的性质； 2．掌握一元二次不等式的解法； 3．掌握形如 )0(0><++b ax d cx 的分式不等式的解法； 4．掌握绝对值不等式)(c c b ax ><+的解法。 三、函数 1．了解映射的定义； 2．理解函数定义及记号； 3．了解函数的三种表示法； 4．理解函数的增量及其应用； 5．理解函数的奇偶性和单调性； 6．了解反函数的定义； 7．掌握简单函数的反函数的求法； 8．了解互为反函数的图象间的关系。 四、指数函数与对数函数 1．了解n 次根式； 2．理解分数指数幂； 3．理解有理数幂的运算性质； 4．理解指数函数的定义； 5．掌握指数函数的图象和性质； 6．理解对数的定义（含常用对数、自然对数的记号）； 7．了解两个恒等式：b a N N a b a a ==log ,log ； 8．了解积、商、幂的对数； 9．理解对数函数的定义； 10．掌握对数函数的图象和性质； 五、任意角的三角函数 1．理解角的概念的推广及弧度制； 2．理解正弦、余弦、正切的定义； 3．了解余切、正割、余割的定义； 4．掌握特殊角的正弦、余弦、正切的值，三角函数值的符号； 5．掌握同角三角函数的基本关系式： ;1cot tan ,a cos a sin a tan ,1a cos a sin 22=?= =+αα 6．掌握)sin(a -、)cos(a -、)tan(a -的简化公式； 7．掌握)2/sin(a -π、)2/cos(a -π、)2/tan(a -π的简化公式； 8．掌握)sin(πk a +、)cos(πk a +、)tan(πk a +的简化公式； 9．掌握两角和的正弦、余弦的加法定理； 10．了解两角和正切的加法定理； 11．了解二倍角公式； 12．掌握正弦函数的图象和性质； 13．了解余弦函数的图象和性质； 14．了解正切函数的图象和性质； 15．掌握正弦型函数的图象及其应用； 16．掌握已知三角函数值求指定区间内的角度。 六、数列 1．了解数列的概念； 2．理解等差数列的定义； 3．掌握等差数列的通项公式及等差中项； 4．掌握等差数列前n 项和的公式； 5．掌握等差数列的简单应用； 6．理解等比数列的定义； 7．掌握等比数列的通项公式及等比中项； 《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2 ( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 《高等数学复习》详细教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x （连续性的概念） 万变不离其宗！短短一个月后，就要考试了，面对复习不能手足无措，要有目的地复习。主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分五.定积分六定积分的应用浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在 高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<- 中国矿业大学高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3|| -===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+==的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________)0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则 ____________, __________=??=??y z x z 14. 设 ,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________ 大学高等数学期末复习资料及答案 课程名称：高等数学 出题教师：岳健民 适用班级：本科多学时（不含职教） 一、 单项选择题（15分，每小题3分） 1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A ）x Cosx x - （B ）x Sinx （C ）121-x （D ）x x )11(+ 2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（ ） （A ）无驻点 （B ）无拐点 （C ）无极值点 （D ）0)(>'x f 4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()( （C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -?'=-ξ 5．广义积分)0(>?∞ +a dx a x p 当（ ）时收敛。 （A ）1>p (B)1 + =x x x y 在区间 单减； 在区间 单增； 4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ； 5、若dx x f dx x xf a ??=1 01 02 )()(，则=a ； 三、计算下列极限。（12分，每小题6分） 1、x x x x )1(lim +∞→ 2、 2 00 )1(lim x dt e x t x ?-→ 一．填空题（每小题4分，共24分） 1.设 432z x y x =+，则(1,2) d z =3412dx dy + 2.曲线cos :sin x a t y a t z ct =?? Γ=??=?在点 (,0,0)a 的切线方程为,y z x a a c == 3.已知2222 ()(,)0(,)0(,)0 x y xy x y f x y x y x y ?-≠? =+??=? ，则(0,)x f y =y -. 4.函数22z x y =+在点0(1,2)P 处沿从点0(1,2)P 到点1(2,2 3) P +方向的方向导数是123+ 5.设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分 2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? 18π- 6.设L 为直线y x =上点(0,0)到点(1,1)之间的一段，则曲线积分2d L xy s = ?2 4 . 二. （本题7分） 计算二重积分2 22e d x y D xy σ??，其中D 是由1,, 0y x y x ===所 围成的闭区域. =2 1 200 2y x y dy xy e dx ?? ------4’ =1 (2)2e ----------------4’ 三. （本题7分）计算三重积分???Ω d v z ，其中Ω是由22222 2 x y z z x y ?++≤??≥+??所确定. =22 21 20 r r d rdr zdz πθ-??? -------4’ =712 π ----------------------3’ _____________ ________ 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 603《高等数学》初试自命题科目考试大纲 科目 代码 科目名称参考书目 考试大纲 603 高等数学 《高等数学》（上、 下册）（第六版）， 同济大学数学系 编，高等教育出版 社，2012 一、 考试目的与要求 （一）函数、极限、连续 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． （二）一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数． 4.会求分段函数的一阶、二阶导数． 5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数． 6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理． 7． 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 10．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径． （三）一元函数积分学 1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念． 2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分． 华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导 一、 求函数值 例题： 1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ． 解：() 2 2(())()x x x f x f e e e ?=== 2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+ 即 ()23f x x =+ 二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小： 无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无 穷小替换 例题： 1、320sin 3lim x x x →=？ 解：当0sin3~3x x x →， ， 原式=3 200(3)lim lim270x x x x x →→== 2、0sin3lim x x x →=？ 解：原式=03lim 3x x x →= 3、201-cos lim x x x →=？ 解：当2 10cos ~2x x x →，1- 原式=220112lim 2 x x x →= 4、0ln(13) lim x x x →+=？ 解：当03)~3x x x →，ln(1+ 原式=.03lim 3x x x →=. 5、201 lim x x e x →-=？ 解：当201~2x x e x →-， 原式=.02lim 2x x x →=. 三、 多项式之比的极限 2lim 03x x x x →∞=+，22 11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x →∞+=∞ 四、 导数的几何意义（填空题） 0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率 曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 例题： 1、曲线44x y x += -在点(2,3)M 的切线的斜率． 《 2020-2021-1高等数学B （下）作业题 》 第 1 页 （共 2 页） 《高等数学（下）》平时作业 2020年下半年华南理工大学网络教育 一、判断题（期末考试只有5小题） 1. （1）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（错） （2）若12,y y 是二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个线性无关的特解, 那么， 1122()y x C y C y =+ 就是该方程的通解.（对） 2.（1）若两个向量 ,a b 平行，则a b ?0.=（错） （2）若两个向量 ,a b 垂直，则a b ?0.=（对） 3.（1）函数(,)f x y 在00(,)x y 点偏导数存在，则它在00(,)x y 点全微分存在，反之亦然.（错） （2）函数(,)f x y 在00(,)x y 点全微分存在，则它在00(,)x y 点偏导数存在，反之不成立.（对） 4. （1）设(,) f x y D 在有界闭区域 上连续，，则二重积分 (,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（错） （2）设 2222(,) +(,){(,)|9}=∈=+≤，f x y x y x y D x y x y ，则二重积分(,)d σ??D f x y 表示以曲面(,)f x y 为顶、以区域D 为底的曲顶柱体的体积.（对） 5. （1）lim 0→∞=n n u 是数项级数1 n n u ∞=∑收敛的充分条件.（错） （2）lim 0→∞=n n u 是数项级数1n n u ∞ =∑收敛的必要条件.（对） 二、填空题（期末考试为选择题） 1. 22x y xye x '+= 属于__ ____方程. 2. ,,(9,0,0),(0,2,0),(0,0,3)______________.x y z 已知平面与轴分别交于,则该平面方程为 3. 函数221(,)ln(25)f x y x y =--定义域为______. 4. 224z x y z Ω=+=若是由旋转抛物面与平面所围成的闭区域,则三重积分大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
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