13.1 轴对称（1）
一、学习目标
1、认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；
2、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系。
二、温故知新（口答）
1、如图（1），OC 平分AOC ∠，则AOC ∠=_______=
1
2
______。 2、如图（2）,△ ABD ≌ △ACD ,AB 与 AC 是对应边。试说出这两个三角形的对应顶点和对应边。
观察上面两个图形，你能发现它们有什么共同的的特点吗 ？
三、自主探究 合作展示
探究（一）
自学课本29页，完成以下问题。
1、 什么是轴对称图形？你能举几个轴对称图形的例子吗？
2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴。
（1） （2） （3） （4） （5）
探究（二）
自学课本30页，完成以下问题。
1、什么叫做两个图形成轴对称？你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗？
2、 下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
探究（三）
问题：成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
A C
B O 图（1）
A C
B D 图（2）
联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个_______________；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称）
四、双基检测
1、轴对称图形的对称轴的条数( )
A.只有1条
B.2条
C.3条
D.至少一条
2、下列图形中对称轴最多的是( )
A.圆
B.正方形
C.角
D.线段
3、如下图，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.
答：图形；理由是： .
4、标出下列图形中点A、B、C的对称点。
5
思考：正三角形有条对称轴；正四边形有条对称轴；
正五边形有条对称轴；正六边形有条对称轴；
正n边形有条对称轴；
当n越来越大时，正多边形接近于什么图形？它有多少条对称轴？
13.1 轴对称（2）
一、学习目标
1、掌握轴对称的性质；
2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。
二、温故知新
1、 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。
2、如下图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线l 对称，那么这两个图形有什么关系？
三、自主探究 合作展示
探究（一）
1、如图(1)，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线MN 对称，点A ′、B ′、C ′分别是点A 、B 、
C 的对称点，线段AA ′、BB ′、CC ′与直线MN 有什么关系？
（1）设AA ′交对称轴MN 于点P ，将△ABC 和△A ′B ′C ′沿MN 折叠后，点A 与A ′重合吗？
于是有PA
＝ ，∠MPA ＝ ＝ 度
（2）对于其他的对应点，如点B ，B ′；C ，C ′也有类似的情况吗？ （3）那么MN 与线段AA ′，BB ′，CC ′的连线有什么关系呢？ 2、垂直平分线的定义：
经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 3、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 。
探究（二）
1、作出线段AB ，过AB 中点作AB 的垂直平分线l ，在l 上取P 1、P
2、P 3…，连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2… l 2、作好图后，用直尺量出AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…讨论发现什么样的规律．
总结线段垂直平分线的性质 ：
图（1）
探究（三）
1、作线段AB，取其中点P，过P作l，在l上取点P1、P2，连结AP1、AP
2、BP1、BP2．会有哪些可能?要使L与AB垂直，
AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？由此你得到什么结论？
2、你能证明这个结论吗？
新知应用：
例题：如图（3），在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。
例题反思：
四、双基检测
1、点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（）
图（3）A． PB=PC B.PA=PC C.PA=PB D.点P到∠ABC的两边距离相等
2、下列说法错误的是（）
A. D、E是线段AB的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BE
B．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D.若PA=PB,则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
3、如图（4），AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
图（4）
13.1 轴对称（3）
一、学习目标
1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴；
2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。
二、温故知新（口答）
1、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。
2
、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对 所连 的 线
.
3、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。
三、自主探究 合作展示
【问题】
1、 如果我们感觉两个图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证？
2、 两个成轴对称的图形，不经过折叠，你有什么方法画出它的对称轴？ 归纳：
作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对 ，作出连接它们的 的 线，就可以得到这两个图形的对称轴． 【新知应用】
例题1：如图（1），点A 和点B 关于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗?
1、请同学们按照以下作法在图（1）中完成作图。 作法：
（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于1
2
AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 和D 两点； （2）作直线CD ．
直线CD 即为所求的直线．
图（1）
（2）在上面作法的基础上，连接AB ， 直线CD 是线段AB 的垂直平分线吗？并说明理由．
例题反思：
例题2：如图（2），在五角星上作出它的一条对称轴。
例题反思：
四、双基检测
1、如图（3），下面的虚线中，哪些是图形的对称轴，哪些不是?
2、如图（4），画出图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的对称轴一样吗?
3、如图（5），角是轴对称图形吗?如果是，画出它的对称轴。
4、如图（6），与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．
图（3）
图（4）
图（5）
图（6）
图（2）
13.2.1 作轴对称图形（1）
一、学习目标
1、认识轴对称图形，探索并了解它的基本性质；
2、能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形;
3、能利用轴对称进行图案设计。
二、温故知新（口答）
1、什么是轴对称图形?
2、请画出下列图形的对称轴。
三、自主探究合作展示
探究（一）
自学：认真阅读教材P39的四辐图。
1、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
2、归纳：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形
的、完全相同；
（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的点；
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴。
探究（二）
1、请同学们尝试解决以下问题；
如图（1），实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。
问题：(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确?
(2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单的吗?
2、如图（2），已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′。
图（1）
图（2）
3、例题：如图（3）已知△ABC ，直线l ，画出△ABC 关于直线l 的对称图形。
例题反思：
四、双基检测
1、把下列图形补成关于l 对称的图形。
2、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12：15，这时的实际时间应该是 。
3、为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，?要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成（三种几何图案的个数不限），并且使整个圆形场地成轴对称图形，请你画出你的设计方案．
l l l
l
l A B
C 图（3）
13.2.1 作轴对称图形（2）
一、学习目标
1、能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形；
2、能够用轴对称的知识解决生活中的实际问题。
二、温故知新
1、把下列图形补成关于l 对称的图形。
2、仔细观察第三个图形，你能尽可能多的从图中找出一些线段之间的关系吗？
三、自主探究 合作展示
探究（一） 1、 如图（1）．要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．?泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气
管线最短？
2、请同学们任意取点探究，并完成下列表格。
3、通过以上探究，你发现什么规律吗？
4、根据你发现的规律，在图（2）中完成本题。 探究（二） 问题
为什么在P 点的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢？
l l l
i AP i BP i i AP BP i =1 i =2 i =3
i =4
…
图（1）
图（2）
B
A
1、如图（3），在铁路l 的同侧有两个工厂A 、B ，要在路边建一个货场C ，使A 、B 两厂到货场C 的距离的和最小．问
点C 的位置如何选择？
2、如图（4），如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC 的中点D 处发出的球，能否依次经BC,AB 两边反射后回到D 处？如果认为不能，请说明理由；如果认为能，请作出球的运动路线。
3、如图（5），A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
l '
C '
B '
A C
B A B
图（3）（（99 A l
A D
B
C
图（4）
图（5）
13.2.2 用坐标表示轴对称
一、学习目标
1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
2、掌握关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特点。
二、温故知新
如图：（1）观察图（1）中两个圆脸有什么关系？
（2）若已知图（1）中圆脸右眼的坐标为（4，3），左眼 的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1）， 左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆 脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
三、自主探究 合作展示
探究（一）
1、 在如图（2）所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规
律？
已知点
A
(2，－3) B （－1，2） C （－6，－
5） D （0.5，1） E （4，0）
关于x 轴
对称的点 'A ( )
'B ( ) 'C ( ) 'D ( ) 'E ( ) 关于y 轴
对称的点
'A ( )
'B ( )
'C ( )
'D ( ) 'E ( )
2、归纳：点（x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是 ；
点（x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是
探究（二）
例题：
如图(3)，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－5，1），B （－2，1），C （－2，5），D （－5，4），分别作出四边形ABCD 关于y 轴和x 轴对称的图形。
图（2） 图（3） 图（1）
四、双基检测
1、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标。
（3，6）（-7
，9）（-3，-5）（6，-1）（0，10）关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
2、已知点P(2a+b,-3a)与点'P(8,b+2).(1)若点P与点'P关于x轴对称，则a=_____;b=_______.
(2)若点P与点'P关于y轴对称，则a=_____;b=_______.
3、如图（4），△OBC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标．
3、如图（5），利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形．
图（5）
图（4）
13.3.1 等腰三角形（1）
一、学习目标
1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；
2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
二、温故知新
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（） A、圆 B、长方形 C、线段D、三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫
4、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称
三、自主探究合作展示
（一）操作、实践：
取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表：
A A A
B C B（C） B D C
（1）（2）（3）
重合的线段重合的角
【问题1】根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。
【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？
（二）【新知应用】
例1：填空：（1）如图（1）所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC中，AB=AC时，
①∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
②∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
（3）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
例2：如图（2）所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数．
分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=______，∠ABC=______=______，?再由∠BDC =∠A +______，就可得到∠ABC =______=______=2______．再由三角形内角和为180°，?就可求出△ABC 的三个内角． 解：例题反思：
四、双基检测
1、在△ABC 中，AB =AC ，
（1）如果∠A ＝70°，则∠C ＝_________，∠B ＝___________ （2）如果∠A ＝90°，则∠B ＝_________，∠C ＝___________ （3）如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是多少度？ （4）如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是多少度？
2、如图（3）所示，△ABC 是等腰直角三角形（AB =AC ，∠BAC =90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？
3、如图（4），在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =26°，求∠B 和∠C 的度数．
D
C
A
B
D
C A
B
图（3）
图（4）
13.3.1 等腰三角形（2）
一、学习目标
1、理解等腰三角形的判定方法；
2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
二、温故知新
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
3、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是
三、自主探究 合作展示 （一）【思考】
（1）如图（1），位于在海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，?能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，?那么它们所对的边有什么关系？ 已知：在△ABO 中，∠A=∠B
求证：AO=AO
证明：
【归纳】等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成 ） （二）【新知应用】
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
请同学们完成下列问题 （1）、已知：如图（2）， 是△ABC 的外角，∠1= ，AD ∥ 求证： ． 分析：要证明AB=AC ，可先证明∠B= ，因为∠1= ，所以可设法找出 ∠B 、∠C 与∠1、∠2的关系． （2）、请同学们完整的写出解题过程
证明： 例题反思：
2、如图（3），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C?向地面上与点B 距离相等的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，?绳子CD 和CE 要多长？
例题反思：
四、双基检测
1、把一张等腰三角形的纸片沿与底边平行的虚线裁剪后（如图（4）所示），你得到的三角形还是等腰三角形吗？为什么？
A
2
1
E
D A B 图（2） A B 0图（1） 图（3）
(1)E
C A B
2、如图（5），∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，?并说明图中有哪些等腰三角形．
3、如图（6），把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
4、如图（7），AC 和BD 相交于点O ，且AB ∥DC ，OA=OB ，求证：OC=OD ．
图（5）
2
1
D C A
B 图（6）
2
1
D
C
A
B
图（7）
13.3.2 等边三角形（1）
一、学习目标
1、了解等边三角形是特殊的等腰三角形；
2、理解等边三角形的性质与判定。
二、温故知新
1、在△ABC 中，AB=AC ，
（1）如果∠A ＝70°，则∠C ＝_________，∠B ＝___________； （2）如果∠A ＝90°，则∠B ＝_________，∠C ＝___________； （3）如果∠A ＝60°，则∠B ＝_________，∠C ＝___________。
2、在△ABC 中，如果AB=AC=BC ，则∠A ＝_________，∠B ＝___________，∠C ＝_________。
3、____________________________的三角形是等边三角形，等边三角形是一种特殊的________三角形。 三、自主探究 合作展示
【问题】1、把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
2、一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3、你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？如果是请说明理由。 【新知应用】
例题：如图（1），在△ABC 的边AB 、AC 上分别截取AD=AE ．△ADE 是等边三角形吗？试说明理由．
变式：如图（2），如将上述条件改为作∠ADE=60°，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，结论还成立吗？改为过边AB 上点D 作DE ∥BC ，交边AC 于点E 呢？ E D C
A
B
图（1）
E A
例题反思： 探究（三）
等边三角形三条中线相交于一点。请在图（3）中画出图形，找出图中所有的全等三角形，并选择其中一组全等三角形进行证明。
四、双基检测
1、等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么？
2、如图(4)，等边三角形ABC 中，AD 是BC 上的高，∠BDE=∠CDF=60°，?图中有哪些与BD 相等的线段？
3、已知：如图（5），△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE=CD ． 求证：DB=DE ． 图（3）
C
A
B
图（5）
D
C A
B
图（4）
E D
C
A B F
13.3.2 等边三角形（2）
一、学习目标
1、理解含30°锐角的直角三角形的性质；
2、能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。
二、温故知新（口答）
1、等边三角形三边 ，三个角都等于 ，
2、等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴，它的对称轴 。三、自主探究 合作展示 探究（一）
1、如图（1），将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？
2、你能用所学的知识验证以上结论吗？
方法1：如图(2)，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC 于D ，∠BAD= °,BD= BC= AB 。
方法2：如图(3)，△ABC 中，延长BC 到D 使BD=AB ，连接AD ，则△ABD 是 三角形, BC=12 =1
2
。
探究（二）
例题：如图（4）是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BC 、DE 要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE= ，BC= ，又由D 是AB 的中点，所以DE= ．
例题反思： 探究（三）
例题：如图（5），要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C ＝90°， ∠A ＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来. A
B
D C
A
E
B 图（4）
A
C
B
D
图（2）
B A
C D
图（1）
B
A D
C
图（3）
例题反思：
四、双基检测
1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30°，则此三角形中腰与底边的关系（ ）
A 、腰大于底边
B 、腰小于底边
C 、腰等于底边
D 、不能确定
2、在Rt △ABC 中，∠C=90度，∠A=30°，CD ⊥AB 于点D ，AB=8cm,则BC= ，
BD= ， AD=
3、如图（6）,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于M,且BD=8㎝,求AC 之长.
┓
图（6）
M C
B
D
A M
D
B
C
A