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有限元 1-概论

有限元 1-概论
有限元 1-概论

《有限单元法》讲义

《有限单元法》讲义

第1章 概论

计算力学是根据力学中的理论,利用现代电子计算机和各种数值方法,解决力学中的实际问题的一门新兴学科。它横贯力学的各个分支,不断扩大各个领域中力学的研究和应用范围,同时也逐渐发展自己的理论和方法。

有限单元法是计算力学的重要分支,是一种将连续体离散化,以求解各种力学问题的数值方法。在大学里学习过四大力学(理、材、结、弹)。众所周知,结构力学的研究对象是杆件结构(如框架、桁架);弹性力学的主要研究对象是板、壳、实体结构(如平板、水坝)。

在结构力学的位移法中,是将计算对象转换成若干已知的单跨超静定梁(如图1-1)。

图 1-1 位移法计算简图

在有限单元法的刚度法中,是将计算对象划分成有限个容易求解的单元(“Elements ”,又称元素“Components ”或元件)。如图1-2所示深梁,可划分成若干个矩形单元、三角形单元,?单元与单元之间用结点联结,常以结点的位移分量作为基本未知量。根据结构受力特性的不同,确定相应的位移分量,如图示深梁,则取每个结点的u,v 位移为基本未知量。而图示平板则每个结点取3个位移分量(y x w ??,,)

图 1-2 有限元法的单元划分

在结构力学位移法中,是利用已知的单跨超静定梁的内力计算公式的成果(固定求固端力,放松求单元的杆端力),由结点的平衡条件─附加约束上的反力=0,?建立求解未知位移的平衡方程组)。

在有限元刚度法中,先分析各元素的自身特性,?然后利用在结点相交的平衡条件、变形协调条件、物理条件,建立求解各结点位移(u i 、v i )的联立方程。

在工程领域,许多情况下都是利用有限个已知的元件得到一个合理的模型,以此求解原来的复杂的问题,这种求解问题的方法就叫作“离散”。

利用“离散(discrete)”方法求得的解答是 近似解

反之,若问题只有利用无穷小(无限个元件)才能定义,便称它为连续问题, 利用“连续(continuous)”方法求得的解答是 精确解。

连续问题一般都是通过数学方程式的运算和求解获得精确解。但在实际工程中,可用的数学方法通常使得能用连续化处理的问题极为有限,或者使其过于简化。

相反,由于计算机的出现,使得求解离散问题比较容易,利用离散法求解复杂问题最有效的方法就是有限单元法。几乎可以说,一切弹性力学问题都可以利用有限元法求解。

1.1 有限单元法发展概况

一、起源

有限单元法(The Finite Element Method)一词是R.W.Clough 于1960年首次提出(R.W.Clough, The Finite Element in ?plane ?stress ?an ?analysis,?proc.2nd ASCE conf. on Electronic Computation, pittsburgh,pa., sept. 1960).

但有的学者认为,有限元法的基本思想在1941年就已产生(《有限元法概论》,邹仲康等译,湖南科技社,1988年版)。

1941年, Horenikoff提出所谓网格法──将平面弹性体看成一批链杆和梁。

1943年报告了Courant著作中使用的一组三角形单元,提出了单元的概念。1943年出版的Courant 1941年作的报告“Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration”。他用变分原理和分片插值方法来求扭转问题的近似解。他在论文题目上把后来称为有限元的这种解法归结为“变分解法”。由于计算机尚未出现,这篇论文没有引起应有的注意。

其次,工程技术界第一篇有限元论文是1956年Turner,Clough,Martin和Toop的论文“Stiffness and deflection analysis of complex structures”。他们把刚架的矩阵位移法推广用于弹性力学平面问题作近似分析,在题目上把这种解法归结为复杂结构的刚度法(或直接刚度法),随后Clough定名为有限元法。

而O.C.Zienkiewize在他的“The Finite Element Method”一书中(参考书5),一开头便称: The limitation of the human mind are such that it can not grasp the behaviour of its complex surroundings and creations in one operation. Thus the process of subdividing all systems into their individual components or 'elements', whose behaviour is readily understood, and then rebuilding the original system from such components to study its behaviour is a natural way in which the engineer, the scientist, or even the economist proceeds.

这段文字的大意是:人类大脑是有限的,?以致不能一次就弄清周围许多(自然存在的和创造出的)复杂事物的特性。因此,我们先把整个系统分成特性容易了解的单个元件或‘单元’,然后由这些元件重建原来的系统以研究其特性,这是工程师、科学家甚至经济学家都采用的一种自然的方法”。许多经典的数学近似方法以及工程师们用的直接近似法都属于这一范畴。因此,从这一意义上说确定有限单元法的准确起源时间是困难的。尽管如此, 有限单元法从应用意义上讲,它的发展始于20世纪60年代。

二、三个黄金时代

一般认为有限元法的发展经历了三个黄金时代

第一个黄金时代:

1960年起。最重要的工作来自结构工程师,第一次解决了诸如汽车、飞机、水坝等复杂结构的力学分析。尽管当时有限元法的数学基础尚未完全建立(尽管与今天相比,当时的成就十分有限),

但该方法获得了巨大成功。论文统计:1961年10篇、1965(67)、?68(303)(详参考书5序)。

第二个黄金时代:

始于1965年前后,属于数值分析家(which has now adopted the method and made a great contribution to understanding of finite element method). 1963年开始出现数值分析家的论文,他们终于认识了有限元法的基本原理,事实上是逼近论、偏微分方程及变分形式和泛函分析的巧妙结合。并得出结论:直接刚度法(即有限元法)的基础是变分原理,它是基于变分原理的一种新型里兹法(采用分区插值方案的新型里兹法)。这样就使数学界与工程界得到沟通,获得共识。从而使有限元法被公认为既有严密理论基础、又有普遍应用价值的一种数值方法。

在有限元的这一发展时期,还有必要说明两件事:一个是有限单元法与变分原理之间的关系,另一个是我国学者对有限单元法的贡献。

第一个问题

从有限元法的创立过程看两者的关系:

能量变分原理是有限元法的理论基础,这是学术界的共识。但这个共识的形成,当初还有过一段历史过程。

首先,应用数学界第一篇有限元论文是前面提到的1943年出版的Courant 1941年作的报告“Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration”。他用变分原理和分片插值方法来求扭转问题的近似解。他在论文题目上把后来称为有限元的这种解法归结为“变分解法”。由于计算机尚未出现,这篇论文没有引起应有的注意。

其次,工程技术界第一篇有限元论文是1956年Turner,Clough,Martin和Toop的论文“Stiffness and deflection analysis of complex structures”。他们把刚架的矩阵位移法推广用于弹性力学平面问题作近似分析,在题目上把这种解法归结为复杂结构的刚度法(或直接刚度法),随后(1960年)Clough 定名为有限元法。这些作者与当时的工程师一样,可能不太注意Courant那篇被冷落的论文,不太注意他们的直接刚度法与Courant的变分解法有何联系。

最后,1963年开始出现论文,包括Melosh的论文“Basis for derivation for the Direct Stiffness Method”,并得出如下结论:直接刚度法(即有限元法)的基础是变分原理,它是基于变分原理的一种新型里兹法(采用分区插值方案的新型里兹法)。这样就使数学界与工程界得到沟通,获得共识。从而使有限元法被公认为既有严密理论基础、又有普遍应用价值的一种数值方法。

从1943年和1956年两种构思的独立提出,到1963年的交汇融合,这正是有限元创立的真实和曲折过程。通过这种曲折,正好看出两者关系的密切难分。

从单元的分类方法来看两者的关系:

由有限单元法的基本理论,我们已经得知,不同性质的单元对应于不同的变分原理。下面列出几种单元及其对应的变分原理:

(1)协调位移元(采用的位移插值函数在单元间精确协调)——最小势能原理。

(2)非协调位移元(采用的位移插值函数在单元间不精确协调)——分区势能原理。

(3)广义协调位移元(采用的位移插值函数在单元间广义协调)——分区势能原理的退化形式。

(4)应力杂交元(采用应力试函数,满足平衡微分方程)——最小余能原理。

(5)混合元(采用混合试函数,含位移、应力和应变)——广义变分原理。

(6)分区混合元(部分单元采用位移试函数,其余单元采用应力试函数)——分区混合能量原理。

第二个问题(我国学者对有限单元法的贡献)

我国数学家冯康等人从1960年前后开始,也创造了系统化的有限元算法(65年文“基于变分原理的差分格式”)编写了程序,解决了当时国防和经济建设中的一些重大课题,并奠定了数学理论基础。因此可以说,有限元法是在欧、美和中国被独立发展的。

有限元及变分原理的研究领域是我国学者的研究强项。胡海昌于1954年提出的弹性力学广义变

分原理为有限元法的发展提供了理论基础。冯康提出的基于变分原理的差分格式实质上就是今天的有限元法。龙驭球提出的分区和分项能量原理(1980),分区混合有限元(1982),样条有限元(1984),广义协调元(1987)和四边形面积坐标理论(1997)等,使有限元方法的分析能力和应用领域得到很大提升。

在专著方面,钱伟长于1980年出版的专著(变分法与有限元. 北京: 科学出版社, 1980)和胡海昌于1981年出版的专著(弹性力学的变分原理及其应用. 北京: 科学出版社, 1981)是变分原理与有限元法的两本经典之作。朱伯芳于1979年初版和1998年再版的专著(有限单元法原理与应用. 北京: 中国水利水电出版社, 第1版1979, 第2版1998)是兼备科学性和实用性的巨著。在学术界影响广泛的国内著作还有:

龙驭球. 有限元法概论. 北京: 高等教育出版社, 第1版, 1978, 第2版, 1991

龙驭球. 新型有限元引论. 北京: 清华大学出版社, 1992

(2004年出版“新型有限元论”,参考书11)

龙驭球. 变分原理·有限元·壳体分析. 沈阳: 辽宁科学技术出版社, 1987

王勖成, 邵敏. 有限单元法基本原理和数值方法. 北京: 清华大学出版社, 第1版1988, 第2版1997 龙志飞, 岑松. 广义协调元理论与四边形面积坐标方法. 中国矿业大学出版社, 2000

龙志飞, 岑松. 有限元法新论: 原理. 程序.进展. 北京: 中国水利水电出版社, 2001

国外著作则以Zienkiewicz OC, Taylor RL.“The finite element method”Oxford: Butterworth-Heinemann, (2000,Fifth edition)的影响最为广泛。

第三个黄金时代:

有限单元法的广泛应用。自1970年代开始,有限元法被迅速应用到各领域。

三、有限单元法的现状与发展趋势

下面通过介绍有限元的主要研究领域和在有限元理论与应用研究方面的一些热点问题,谈谈有限单元法的现状与发展趋势。

1.变分原理与数值方法

针对有限元发展需要而提出的变分原理的新形式,例如分区势能、余能、混合能量变分原理,分区变分原理的退化形式及其应用,含参数变分原理及其应用,压电复合材料结构变分原理,基于应变梯度理论的细观力学变分原理。

2.新型单元构造方法

对单元构造的现有模式作进一步开拓,如杂交元、混合元、拟协调元、应变元、样条元、无限元、高精度单元(带转角元)、大单元、超(巨型)单元 ,子结构、?土壤→结构→流体的相互作用等。

发展新的构造模式,如基于广义协调理论的广义协调元、基于分区混合变分原理的分区混合元,理性有限元,基于四边形面积坐标的四边形元,基于解析试函数的有限元等。

参考文献:

龙驭球,《新型有限元引论》清华社92版。针对板壳元要求具有连续这一难题,在协调元与非协调元之间开辟一条新路。

卞学璜,用于解决板壳单元的协调问题和提高协调元精度。

3.疑难现象及破解对策

有限元学科发展中,还遗留一些疑难现象和问题,有的长期未得到破解。这些尚待破解的疑难问题自然就成为关注的焦点。例如

多种闭锁现象(剪切闭锁、薄膜闭锁、不可压缩闭锁);

网格畸变敏感现象;

有的非协调元不收敛现象;

虚假零能模式现象;

解的晃动现象;

精度损失现象(位移元的应力,层合板的层间应力);

应力奇点现象;

数值计算病态现象;

这些现象像谜一样,既令人困惑,又使人兴奋。

4.复杂深层问题

材料非线性和几何非线性有限元分析;

壳体结构屈曲稳定性分析;

塑性成型有限元分析;

撞击破坏过程数值模拟;

基于应变梯度理论的有限元法。

解的精度的研究:数值方法的误差估计、收敛性、可靠性、自适应性和优化。

自适应有限元方法(参考书:《固体力学发展趋势》)

有限元的数学理论原理表明,若单元构造适当,当网格无限加密时其解应收敛到精确解,但对于一个特定网格(含单元)在缺乏精确解的情况下很难估计其精度,此问题近十来年所进行的研究已取得重要进展。其方法思路是:?在求得给定网格下的有限元位移解和应力解后,采用应力恢复法得到结点应力的改进值,然后利用形函数求改进估计,或称为最佳猜测应力。当按此求得的误差大于允许值时,可根据误差预测出结构各区域中单元的合理尺寸(网格尺寸)。据此,重新划分网格(由计算机自动完成),可反复多次──近似于迭代过程。

算法(并行算法、子结构法)

尽管现今计算机的运算速度很高,但追求计算效率高,内、外存要求低的方法仍然是计算力学算法研究的焦点。

结构控制

5.耦合交叉问题

耦合问题有流-固耦合、气-液-固耦合、土-结构-流体耦合、力-电耦合等。

学科交叉问题有生物力学、微电子科学、材料科学中的数值模拟与优化设计等。

6.与其他方法的联合沟通

例如:有限元—边界元;有限元~有限差分;有限元法—无网格法;数值法—解析法。

边界单元法又称边界有限单元法(Boundary Element Method, BEM)是七十年代兴起的一种新的计算方法。它将边界上的广义位移和广义力作为独立变量且同时满足场方程的奇异函数作为加权函数,所以有人称它是一种特殊格式的加权余量法。边界元法只需将求解域的边界划分成单元,故可将问题降低一维。?而域内变量可由解析式的离散形式直接求得,因此可提高计算精度。边界元法对无限区域问题、三维问题有明显优越性。工程中的断裂力学、流体力学等常可见到用边界元求解的应用实例。

参考书: 《工程实用边界单元法》邝国能等,铁道社89版

《有限元法和边界元法基础》饶寿期,北航90版(71.2118 RSQ)

7. 向新领域的扩展

从本领域上讲,有限元法在应用上已远远超过了原来的范围。?它已由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板、壳问题等整个固体力学,能对原子能反应堆、堤坝、飞机、船体、齿轮叶片等复杂结构进行应力分析。

由静力平衡问题扩展到稳定与动力问题,由弹性力学扩展到弹塑性、粘弹性、断裂力学等,由结构分析扩展到结构优化。

其它领域:

化工、电子、热传导、磁场、建筑声学,流体动力学、医学(骨骼力学、血液力学、脑流)、偶合场(结构—热、流体—结构、静电—结构、声学—结构)...。——有分析就有有限元。

8.软件开发与CAD/CAE技术

有限元软件与有限元理论几乎是同时诞生的。只有得到工程应用,理论才会具有生命力,这就是软件的作用往往大于论文的理由。计算力学要不断吸收计算机科学技术的成果,与CAD/CAE技术共同发展。

(1)通用程序的进一步完善

增加(强)前、后处理功能,重新包装(用户界面,多媒体),扩充单元库、动力及非线性等。

(2)大型有限元程序微机化、网格化。

(3)由专业研究转向普及应用(科学成果转化成生产力)

(4)向高层次发展

科学计算与可视化(仿真)

95.5 厦门第一届“科学计算与工程设计可视化会议”

95.11 湖大首届“工程计算与计算机仿真”国际会议

可视法的三种处理方式(三个层次(level)):事后处理(post processing);跟踪(tracking) 实时显示;驾驭(steering) 实时干预,在线修改(且继续)

三种处理方式,可对应三种程序设计方法,即顺序程序设计、多道程序设计和实时程序设计。驾驭(实时干预),需要采用实时软件设计方法,是必须满足严格时间约束条件的软件,是目前应用软件开发中技术难度最高的。

仿真、医学、人体、外科、军事、航空、穿甲、鸟撞、车祸、三维视野……

参考书16:工程结构计算机仿真分析, 江见鲸等,清华社96版

附:结构分析通用程序简介

自1980年代开始,世界各国,特别是发达国家,都花费巨大的人力和物力开发大型、通用的结构分析程序。比如:

ANSYS

ANSYS是由美国ANSYS公司开发的大型通用有限元分析软件,ANSYS公司自1970年成立以来,不断吸取世界最先进的计算方法和计算机技术,引导世界有限元分析软件的发展,以其先进性,可靠性、开放性等特点,被全球工业界广泛认可,拥有全球最大的用户群。1995年,在分析设计类软件中第一个通过ISO9001国际质量体系认证。

ANSYS采用三维实体描述法建立几何摸型,几十种图素库可以模拟任意复杂的几何形状,强大

的布尔运算实现模型的精雕细刻;提供多种网格划分方法,可以实现网格密度及形态的精确控制。具体划分方法有拉伸网格划分,智能自由网格划分,映射网格划分,自适应网格划分等。

ANSYS可对结构进行静、动力线性和非线性分析、流体分析、热分析、电磁场分析、声学分析等。结构非线性分析包括几何非线性、材料非线性、状态非线性,单元非线性分析等。具有先进的优化功能、灵活快速的求解器、丰富的网格划分工具、与CAD及CAE软件的接口等功能。

强大的后处理功能可使用户很方便地获得分析结果,其形式包括彩色方图、等值面、梯度、动画显示、多种数据格式输出、结果排序检索及数学运算等。因此,ANSYS软件被广泛应用于土木工程、机械、电子、交通、造船、水利、地矿、铁道、石油化工、航空航天、核工业等领域。

近年来,ANSYS通过收购、合并其他的软件公司,是其规模和领域得以进一步扩大。

SAP

SAP是S tructural A nalysis P rogram 的英文缩写,SAP程序由美国加里福尼亚大学伯克利分校的威尔逊(Wilson)、巴瑟(Bath)和彼特森(Pertson)等人在1970年代初开始研制完成的,经过二十多年的不断发展、完善,成为一个在国际上普遍受欢迎的通用结构分析软件。(80年代由北大几位老师引入我国,SAPⅤ)。

ADINA

ADINA是由国际上著名的美国麻省理工学院K.J. Bathe教授领导的,ADINA R & D公司研究开发的商用工程软件。全世界有很多家企业、市政单位在使用ADINA。ADINA八十年代初进入中国以来,在国内各个领域得到了大量应用。

·广泛的适用领域,如所有机械工业领域,建筑工程,水利电力,航空、航天,电子,生物医学等

·全集成环境下建模、解算、广泛的结果可视化后处理

·广泛的工程问题求解类型:线性、非线性,静力、动力,传热,计算流体动力学,流-固耦合等

·大型工程问题的高效求解,以及多CPU并行处理求解功能

·丰富的单元库、材料模式库

程序主要模块:

ADINA 结构分析程序

ADINA-F 不可压缩和完全可压缩流体流动分析程序

ADINA-T 传热和场类问题分析程序

ADINA-FSI 耦联结构的流体流动分析程序

ADINA-TMC 热-力耦合分析程序

AUI ADINA 用户界面

MARC

MARC Analysis Research Corporation(简称MARC)始创于1967年,总部设在美国加州的Palo Alto,是全球第一家非线性有限元软件公司。创始人是美国著名布朗大学应用力学系教授,有限元分析的先驱Pedro Marcel。MARC 公司在创立之初便独具慧眼,瞄准非线性分析这一未来分析发展的必然,致力于非线性有限元技术的研究、非线性有限元软件的开发、销售和售后服务。对于学术研究机构,MARC公司的一贯宗旨是提供高水准的CAE分析软件及其超强灵活的二次开发环境,支持大学和研究机构完成前沿课题研究。对于广阔的工业领域,MARC软件提供先进的虚拟产品加工过程和运行过程的仿真功能,帮助市场决策者和工程设计人员进行产品优化和设计,解决从简单

到复杂的工程应用问题。经过三十余年的不懈努力,MARC 软件得到学术界和工业界的大力推崇和广泛应用,建立了它在全球非线性有限元软件行业的领导者地位。

MARC/Mentat 2000 主要新功能

对求解器和接触算法作多处改进,使线性和非线性的求解速度有明显提高。

从轴对称分析到完全3-D分析的数据转化。对许多工程问题,虽然在最后是完全3-D问题但在开始阶段可先进行轴对称模拟,这样可以节约大量的计算。MARC软件新增的从轴对称分析到完全3-D 分析的数据转化功能,使用户在进行轴对称模拟分析后,在3-D分析模型中的初始条件子菜单中激活AXI_TO_3D选项,定义读入的变量如应力、应变等,输入重复次数,输入含有轴对称数据的后处理文件名及3-D分析开始的增量步号,即可完成从轴对称分析到完全3-D分析的数据转化。

接触功能的加强。对于载荷控制的刚体,允许刚体在受力矩时可转动;对于速度和位置控制的刚体,不需用户子程序UMOTION就能定义刚体位移/转动向量变化。此功能对于齿轮、传扭轴等分析很有用。

增加三角形和四面体低阶单元,它们可用于不可压和近似不可压材料如橡胶、金属大塑性变形等,收敛性也很好而且便于网格划分。

增加了高阶和低阶单元连续体复合材料单元。使用户能有效地对非薄壁的层状复合材料结构进行分析。

断裂力学分析方面,可在Mentat中激活选项,由程序自动确定积分路径,J积分结果可在输出文件中直接得到。

新增动力隐式算法--- single step Houbolt 法,该法无条件稳定并具有二阶精度。它与纽马克法相比,在动力接触分析时更稳定;它允许变步长求解。

增加了两种橡胶材料本构模型Boyce-Arruda 和Gent 模型。它们可考虑应变率、热和损伤的影响。研究表明,即使只用简单拉伸试验数据拟合材料参数,用这些模型也能很好地模拟材料的各种行为。

增加了五种塑性硬化模型:Additive Power Law, Multiplicative Power Law, Johnson-Cook, Cowper-Symonds 和Kumar。

大应变塑性乘分解算法稳定性有很大改进,这对高分子材料或弹性应变也很大的材料特别适用。

刚塑性分析时允许部分材料定义为弹塑性。

并行计算的功能有所增加,质量提高。

对于超塑成型分析,程序能自动施加理想的压力载荷保证材料有最佳的超塑性。

前处理功能多处增强,如增加与CAD软件接口、网格划分更好等。

后处理功能多处增强,如梁的剪力、扭矩、弯矩图,广义XY绘图,变形流线图,晶粒追踪等。

NASTRAN

在美国宇航局的资助下,于1969年开始使用的,花费数百万美圆完成的NASTRAN 结构分析程序,因为和NASA(National Aeronautics and Space administration,国家航空和宇宙航行局)的特殊关系,NASTRAN (又名MSC NASTRAN)在航空航天领域有着崇高的地位。MSC.NASTRAN —是世界上功能最全面、应用最广泛的大型通用结构有限元分析软件之一,同时也是工业标准的FEA 原代码程序及国际合作和国际招标中工程分析和校验的首选工具,,可以解决各类结构的强度、刚度、屈曲、模态、

动力学、热力学、非线性、声学、流体-结构耦合、气动弹性、超单元、惯性释放及结构优化等问题。通过MSC.NASTRAN的分析可确保各个零部件及整个系统在合理的环境下正常工作。此外,程序还提供了开放式用户开发环境和DMAP语言,及多种CAD接口,以满足用户的特殊需要。

自1970年代开始,国内多家单位也开发出了若干很好的通用结构分析软件,这些单位有:中科院、大连理工、上海工业建筑设计院、建研院以及湖南大学等。

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ABAQUS

ABAQUS 公司成立于1978年,总部位于美国罗德岛州博塔市,是世界知名的高级有限元分析软件公司,其主要业务为非线性有限元分析软件 ABAQUS 的开发、维护及售后服务。ABAQUS 软件已被全球工业界广泛接受,在技术、品质以及可靠性等方面具有非常卓越的声誉,并拥有世界最大的非线性力学用户群,是国际上最先进的大型通用非线性有限元分析软件。

ABAQUS 是一套功能强大的模拟工程问题的有限元软件,可以分析复杂的力学、热学和材料学问题,分析的范围从相对简单的线性分析到非常复杂的非线性分析,特别是能够分析非常庞大的模型和模拟非线性问题。它包括一个十分丰富的、可模拟任意实际形状的单元库,并与之对应拥有各种类型的材料模型库,其中包括金属、橡胶、高分子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩有弹性的泡沫材料以及类似于土和岩石等地质材料。作为通用的模拟计算工具, ABAQUS 可以模拟各种领域的问题,例如热传导、质量扩散、电子部件的热控制(热电耦合分析)、声学分析、岩土力学分析(流体渗透和应力耦合分析)及压电介质分析。

四、有限单元法的优点

前已提及,有限单元法是一种数值解,先于有限元的数值解是有限差分法(微分方程的数值解)。为什么有限元得到比差分法更为广泛得多的应用?可总结如下几处优点: 1. 物理概念清晰

有限单元法一开始就从力学角度进行推导(平衡、几何、物理方程)研究,使初学者易于入门。 2. 可以从不同的水平上得出相同的有限元法成果

例如,可以从通俗易懂的结构力学方法出发,阐述其基本原理和公式的推导,也可利用变分原理为其建立起严格的数学解释。如熟知的平面杆系单元刚度矩阵,可从转角位移方程出发获得单刚的每列元素。在左端单位水平位移和单位竖向位移单独作用下的杆端力便构成了单刚的第一、二列(见右图)。

(上述单刚,后面将用能量原理推导。)

3. 有极强的灵活性与适用性(适应一切连续介质和场问题)

4. 采用矩阵表达式、适应计算机编程。

但是,对从事应用科学的人员来说,有限元法是与电子计算机联系在一起的,有一点是清楚的,离开计算机谈有限元,对我们从事工程专业的人来说恐怕意义不大。因此,本课程的目的是通过学习有限元的基本原理和方法,学会编制计算机程序来解决结构工程中的力学分析问题。因此,本课程实际上包括三方面:有限元、计算机、程序设计。

由于计算机的普及,有限元的应用已越来越广泛,在结构工程领域,几乎很少有不借助计算机来完成毕业论文的,而要用计算机解决的问题,绝大部分与有限元有关。

五、本课程的要求

1. 完成一定数量的习题,以巩固对有限元基本方法的理解

2. 完成一个包含以下所列部分的完整的有限元程序( Project)

须提供如下内容的文字材料(1500字以上):

①程序编制说明;

②方法的基本理论和基本公式;

③程序功能说明;

④程序所用主要标识符说明及主要流程框图;

⑤ 1~3 个考题:考题来源、输出结果、与他人成果的对比结果(误差百分比);

⑥对程序的评价和结论(包括正确性、适用范围、优缺点及其他心得等)。

须提供源程序、可执行程序和算例的电子文档或文字材料。选题可根据各自的论文选题等决定。

3. 笔试,程序答辨、评分。

六、课程主要内容

有限元法所涉及的领域极为广泛,土木、机械、电机、化工等几乎无所不包,就土木工程而言亦包括上十个学科,甚至就结构工程领域也不可能一一介绍,只能就基本的和应用较广的内容加以介绍,其讲授内容和参考书如下:

主要参考书

1.《有限元法及其应用》,江见鲸,何放龙,何益斌等,机械社2006版(土木工程研究生系列教材)

2.《有限元法概论》龙驭球, 高教社1978第一版,1991第二版

3.《结构矩阵分析原理》赵超燮, 人教社1982版

4.《有限单元法原理与应用》朱伯芳, 水电社1979版, 71.211/ZBF

5.《有限元法基本原理与数值方法》王勖成,邵敏,清华大学社1988版

6.《The Finite Element Method》Zeinkiewicy O C,Taylor R L,O xford: Butterworth-Heinemann, 2000

7.《The Finite Element Method》(third edition) Zeinkiewicy O C. 52.54/ZOC(3)( 中译本: <<有限元法>> 科学社1985版, 52.4/JKW)

8.《变分法及有限元》上册钱伟长著,科学出版社1980版

9.《Concepts and Applications of Finite Element Analisis》Cook R D,

10.《弹性塑性有限元》欧阳鬯、马文华, 湖南科技社1983版

11.《结构分析的有限条法》Y.K.CHEUNG, 王贻荪等译, 交通社1982版

12.《工程结构抗震动力学》李国豪, 上海科技社1980版, 86.213/LGH

13.《有限元法新论—原理、程序、进展》龙志飞等,中国水利水电社,2001

14.《新型有限元论》龙驭球,龙志飞,岑松,清华大学社2004版

15.《有限元法与板壳分析》袁驷,崔京浩主编,清华大学社2005版

16.《钢筋混凝土有限元与板壳极限分析》 沈聚敏等, 清华大学社1993版 17.《固体力学发展趋势》 黄克智等, 北京理工大学社1995版 18.《工程结构计算机仿真分析》 江见鲸,贺小岗 清华大学社1997版

19.《钢筋混凝土房屋结构计算机辅助设计》尚守平,何放龙,刘光栋,建工社1999版 20.《广义协调元理论与四边形面积坐标法》,龙志飞等,中国矿业大学社,2000版

1.2 有限元方法及解题步骤

一、有限元的力学分析方法

1. 方法特点

从方法论看,有限元法是分析综合法的一种应用:先将结构分解为单元,再将单元合成结构,在一分一合中求得结构问题的解答。

或曰:

化整为零难化易 —— 分解

积零为整复原型 —— 合成

从力学渊源看,有限元法是由刚架计算的矩阵位移法演变而来的。由刚架分析移植到弹性力学,矩阵位移法就变成了有限元法。

这里,矩阵位移法与有限元法共同的特点就是分解、合成法。

从数学角度看,有限元法是连续问题的一种离散化近似解法。把原来属于无限自由度的问题近

似地按有限自由度的问题来处理。把原来的微分方程问题转化为代数方程问题。

2 方法分类

力学问题的解法可分为下列三类: (1) 解析法; (2) 数值法; (3) 半解析法。

常用的数值解法有下列几类:

(1)有限差分法——将微分方程化为差分形式,求近似解。

[]?????

????????

?

???????????????

?--

--=== 2

3

23

116012006012001V 1 U l

EI l EI l EA l EI l EI

l EA K e (2)加权残值法——将微分方程化为加权积分形式,求近似解(加权残值法的五种常用作法是配点法,子域法,加辽金法,最小二乘法,矩法)。

(3)有限单元法——将微分方程问题化为能量驻值问题,采用插值函数,求近似解。 (4)边界元法——只在边界上进行离散。

常用的半解析法主要有:有限条法和有限元线法等方法。

3 有限元推导方法

从采用的力学工具分,主要有直接法和变分法两种。 直接法——刚度法

变分法——能量法,求泛函极值问题

直接法的优点是不拘泥于严格的数学形式,而侧重于易懂的物理概念,刚度法是直接法的典型代表。

例如熟知的平面杆系单元刚度矩阵,可从转角位移方程出发获得单刚的每列元素。在左端单位水平力和单位竖向力单独作用下的杆端力便构成了单刚的第一、二列(见右图)。

变分法是把有限元法归结为求泛函的极值问题,使有限元建立在更加坚实的数学基础上(《变分法及有限元》钱伟长,科学社,1980版,)

从选择基本未知量的角度分。

位移法 ── 取结点位移作为基本未知量(displacement/stiffness method) 力 法 ── 取结点力作作为基本未知量 (Force/Flexibility method) 混合法 ── 同时取力和位移作为基本未知量 (mixed method) 本课程主要介绍的是有限元位移法。

二、离散方法与计算简图

前已叙及,有限元的解题过程可归纳为四个字:先分后合。 分──即离散──单元分析 合──装 配──整体分析

使问题在一分一合的过程中得到解决。钱令希老师称其为:先修改、后复原。这是结构分析的

一种策略思想。

杆系结构是由若杆根杆件组成的,结构力学中的位移法实际上就是一个离散和装配的过程,只是未象有限元中一样明显提出。如用位移法求解图1-3示结构:

图1-3 位移法基本结构及其离散体

首先是将三根杆件看成三个独立的单跨超静定梁,?先求出各自的固端弯矩和剪力,然后根据结点1、2的平衡条件建立求解结点1、2转角的位移法典型方程。

有限元法与此类似。如分析图1-4示深梁的步骤是:

图1-4 平面问题图1-5 薄板弯曲问题

第一步:离散成若干小三角形─划分网格;其计算简图为由若干个三角形拼装成的组合体(三角形之间仅在其顶点铰结)。

第二步:取出其中一个或几个典型单元加以研究──单元分析。又如图1-5示薄板,可视其为由若干个小矩形板在结点相互联结而成。每个单元有12个位移分量。

第三步:如何将离散的单元装配成整体结构──整体分析

这与结构力学中基本结构与原结构保持一致的道理一致。

如力法:原结构→基本结构→位移条件

位移法:原结构→基本结构→平衡条件

有限元法则一般要同时考虑这些因素,即所谓的解题三条件:

1. 静力平衡条件:各单元结点力应与该结点的外力平衡。(见深梁图)

2. 几何条件:各单元在同一结点上产生的位移应协调一致

3. 物理条件:单元结点位移与结点力关系(应力、应变等)

据此便可获得与原结构情形相同的解答。

三、解题步骤的程序框图

一个完整的有限元位移法解题过程(程序),用框图表示则为:

此图常称其为有限元程序的总框图。下面将逐一讨论各框图的具体内容。

1.3 单元分析(element analysis)

1.3 单元分析(element analysis)

一、对象、任务

对象:研究有限大小的个体(element)

任务:1. 建立应变与结点位移分量之间的关系;

2. 建立应力与结点位移分量之间的关系;

3. 建立结点力与结点位移分量之间的关系;

4. 把作用在单元内的外载转化成结点荷载。

下面通过用能量原理推导梁单元刚度矩阵的具体过程来说明有限单元法的单元分析。

二、用能量原理推导梁单元刚度矩阵

在有限元法中,各种单元的单刚常采用能量原理推导,下面以平面杆单元为例,介绍用这种方法推导单刚的过程。

1. 杆端力和杆端位移列阵。

从结构中取出一典型单元e, 假定其杆端力和杆端位移的正向如图1-5所示:

图 1-5 平面杆单元

杆端移列向量

T

j j j i i i e

v u v u d ] [} {??= (1-3-1) 杆端力列向量

{F}=[N i , Qi, Mi, Nj,Qj,Mj]T

(1-3-2) 杆端力与杆端位移之间的关系 {F}=[K]e {d}

[K]e 即为要推导的单元刚度矩阵。

2. 设定单元位移函数

①轴向位移描述

已知杆系在弹性阶段轴向变形与剪、弯变形互不藕联,故假定按线性变化,任意点轴向位移变化规律:

x u 21αα+= (1-3-3) 由边界条件确定常数1α、2α: 当 0=x 时, 1α=i u 当 l x = 时,l u j 21αα+=

由此解得:

i u =1α;l

u u i

j -=

代入(a)式 得:

j i u l

x

u l x u +-=)1(

②切向位移v 和转角?的描述

设位移函数v 为三次多项式:

3

42

321x x x v αααα+++= (1-3-4)

由微分关系, 转角 243232x x dx

dv

ααα?---=-

= (1-3-5) 由边界条件确定常数i α: 切向位移

当 0=x 时,i v v =

当 l x =时,j v v = 转角

当 0=x 时,i ??= 当 l x =时,j ??=

将上述边界条件代入式(c)、式(d)可得: i v =1α

i ?α-=2

j j

i i l v l l v l ??α13232

23+++-

= j j i i l v l l

v l ??α233412122---=

将其代回式(1-3-4)、(1-3-5)式并与(1-3-3)组合,经整理后得到以矩阵形式表示的单元位移函数:

???

??

???

????????????????????????????????---+-+----+-+--=??

????????=j j j i i i v u v u l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x x l x l x l x l x v u x f ???22322223222323322232332232 66 0 341 66 0 23 0 2 231 0 0 0 0 0 1)}({ e e v u e d N d N N N d N N N N N N N N N N }]{[}{][][][}{ 0 0 0 0 0 0 0 0 ''''6543216543=?

??

???????=?????????

?=? (1-3-6)

[N] 称为形函数矩阵;

N 1~N 6是梁单元的形状函数(shape functions of the displacement field),数学上称为插值函数, 它的物理意义是:

当单元相应位移分量为1, 其它全为零时的变形曲线方程,如:

23133

223l x l x N +-=表示当 Vi=1时的曲线方程

33

242l

x l x x N -+-=表示当 φi=1时的曲线方程

3.几何矩阵[B]

已知杆件的轴向应变: dx

du

x =ε;由弯曲变形引起的曲率:22dx v d -=κ。由此可得单元的几何

方程:

e e

e v u x d B d N N N N N N d dx N d dx N d dx v d dx du }]{[}{ 0 0 0 0 0 0 }{][][ }{"

6"5"4"3'

2'22221=???

?????----=???

????

???????-=??????????????-=??????=κεε (1-3-7) 式中几何矩阵:

?????

?

??????+-+-+---=????????----=232232"6"5"4"3'

2

'

62 126 0 64 126 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ][1l x l l x l l x l l x l l

l N N N N N N B

4. 应力矩阵 {σ}

已知由轴向应变引起的应力: x E εσ=1;由弯曲应变(曲率)引起的应力:κσEy =2。由此可

得单元的应力矩阵:

e

x d B D dx v Eyd dx Edu Ey E }]{][[//}{2

221=?

?????-=??????=??????=κεσσσ (1-3-8) 式中:

??

????=E E D 00 ][ 称为弹性矩阵。需要说明的是,此时式(1-3-8)的几何矩阵[B]的第二行元素中仍包含有变量y 。

5. 单元刚度方程 (1) 虚功原理

由《结构力学》知,变形体的虚功原理可表述为:设变形体在力系作用下处于平衡状态,又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形,则外力在位移上所作外虚功T 恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的内虚功W 。

设单元在杆端力{F}(为简便计,不考虑节间力)的作用下处于平衡状态,在某种可能的虚位移影响下,杆端虚位移为{d}*,相应的虚应变为{ε}*。由虚功原理:

外力虚功的总和为:

T={d}*T {F} (a)

实际应力{σ}在虚应变上所做的内力虚功总和为:

?=V

T dV W }{}{*σε

将{ε}和{σ}的表达式(1-3-7)、(1-3-8)代入上式得:

}){]][[][}({*d dV B D B d W V

T T ?=

由虚功原理(T=W ),将(a)、(b)代入,并考虑到{d}*T 为任意已知虚位移,整理可得:

}){]][[][(}{d dV B D B F V

T ?=

简写成:

e e e d K F }{][}{= (1-3-9)

式中

dV B D B K V

T e ?=]][[][][ (1-3-10)

为单元刚度矩阵的一般表达式。

(2) 梁单元刚度矩阵

对于矩形截面梁单元,积分:

??=A dydz 为单元横截面面积,I dydz y

=??2

为单元横截面对

主轴Z 的惯性矩。于是,式(1-3-10)可改写成:

dx B EA B K l T e ???

?

???=0

][EI 0 0 ][][ (1-3-11) 此时几何矩阵[B]只与x 有关。将几何矩阵[B]代入并作矩阵乘运算后得:

积分,可得上述梁单元的刚度矩阵为:

dx l x l x l I l x l x l I l x l x l I l x l x l I l x l x l I l x l x l I l x l x l I l A l A symmetric l

x l x l I l x l x l I l x l x l I l A E K l e ?????????

?????????

???????????????????+-+-+--+-+-+--+--+--+-+-=0423252434232524362

545243625

4242

32524362

54 )36244( )726012( 0 )36368( )726012( 0 )14414436( 0 )728424( )14414436( 0 0 0 )364816( )728424( 0 )14414436( 0 ][2

2

有限元概述

有限元 百科名片 有限元法(FEA,Finite Element Analysis)的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后 再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解,然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件),从而得到问题的解。这个解不是准确解,而是近似解,因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解,而有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,因而成为行之有效的工程分析手段。 目录 简介 1)物体离散化 2)单元特性分析 3)单元组集 4)求解未知节点位移 5)有限元的未来是多物理场耦合 编辑本段简介 英文:Finite Element 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法,随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下: 编辑本段1)物体离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型,这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来;单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质,描述变形形态的需要和计算进度而定(一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确,即越接近实际变形,但计算量越大)。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物,而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样,用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理,则所获得的结果就与实际情况相符合。 编辑本段2)单元特性分析 A、选择位移模式

Abaqus-基础与应用-第一章概述

Abaqus-基础与应用-第一章概述

第1章概述 有限元分析是使用有限元方法来分析静态或动态的物体或系统。在这种方法中一个物体或系统被分解为由多个相互联结的、简单、独立的点所组成的几何模型。在这种方法中这些独立的点的数量是有限的,因此被称为有限元。 1.1有限元分析简介 本节首先简要介绍有限元分析的基本概念,然后简要阐述其发展和应用概况。 1.1.1有限元分析的基本概念 在工程技术领域内,有许多问题归结为场问题的分析和求解,如位移场、应力场、应变场、流场和温度场等。这些场问题虽然已经得出应遵循的基本规律(微分方程)和相应的限制条件(边界条件),但因实际问题的复杂性而无法用解析方法求出精确解。 由于这些场问题的解是工程中迫切所需要的,人们从不同角度去寻找满足工程实际要求的近似解,有限元方法就是随着计算机技术的发展和应用而出现的一种求解数理方程的非常有效的数值方法。 有限元分析的基本思想是用离散近似的概念,把连续的整体结构离散为有限多个单元,单元构成的网格就代表了整个连续介质或结构。这种离散化的网格即为真实结构的等效计算模型,与真实结构的区别主要在于单元与单元之间除了在分割线的交点(节点)上相互连接外,再无任何连接,且这种连接要满足变形协调条件,单元间的相互作用只通过节点传递。这种离散网格结构的节点和单元数目都是有限的,所以称为有限单元法。 在单元内,假设一个函数用来近似地表示所求场问题的分布规律。这种近似函数一般用所求场问题未知分布函数在单元各节点上的值及其插值函数表示。这样就将一个连续的有无限自由度的问题,变成了离散的有限自由度的问题。根据实际问题的约束条件,解出各个节点上的未知量后,就可以用假设的近似函数确定单元内各点场问题的分布规律。 有限元方法进行结构分析主要涉及三个问题: (1)网格剖分和近似函数的选取

有限元法发展综述

有限元法发展综述 随着现代科学技术的发展,人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能,需要对结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响,看看是否会发生破坏性事故;分析计算核反应堆的温度场,确定传热和冷却系统是否合理;分析涡轮机叶片内的流体动力学参数,以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析(FEA,Finite Element Analysis)方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。 有限元法是一种高效能、常用的计算方法.有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系. 一、有限元法的孕育过程及诞生和发展 大约在300年前,牛顿和莱布尼茨发明了积分法,证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然,积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的,前者进行无限划分而后者进行有限划分,但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。 在牛顿之后约一百年,著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式,后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。在18世纪,另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。 在19世纪末及20世纪初,数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年,数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法,该方法被广泛地用于有限元。1943年,数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。 所以,到这时为止,实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。 20世纪50年代,飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组,首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析,经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。20世纪

有限元网格剖分方法概述

有限元网格剖分方法概述 在采用有限元法进行结构分析时,首先必须对结构进行离散,形成有限元网格,并给出与此网格相应的各种信息,如单元信息、节点坐标、材料信息、约束信息和荷载信息等等,是一项十分复杂、艰巨的工作。如果采用人工方法离散对象和处理计算结果,势必费力、费时且极易出错,尤其当分析模型复杂时,采用人工方法甚至很难进行,这将严重影响高级有限元分析程序的推广和使用。因此,开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是一项重要而紧迫的任务。 有限元网格生成技术发展到现在, 已经出现了大量的不同实现方法,列举如下: 映射法 映射法是一种半自动网格生成方法,根据映射函数的不同,主要可分为超限映射和等参映射。因前一种映射在几何逼近精度上比后一种高,故被广泛采用。映射法的基本思想是:在简单区域内采用某种映射函数构造简单区域的边界点和内点,并按某种规则连接结点构成网格单元。也就是根据形体边界的参数方程,利用映射函数,把参数空间内单元正方形或单元三角形(对于三维问题是单元立方体或单元四面体)的网格映射到欧氏空间,从而生成实际的网格。这种方法的主要步骤是,首先人为地把分析域分成一个个简单可映射的子域,每个子域为三角形或四边形,然后根据网格密度的需要,定义每个子域边界上的节点数,再根据这些信息,利用映射函数划分网格。 这种网格控制机理有以下几个缺点: (1)它不是完全面向几何特征的,很难完成自动化,尤其是对于3D区域。 (2)它是通过低维点来生成高维单元。例如,在2D问题中,先定义映射边界上的点数,然后形成平面单元。这对于单元的定位,尤其是对于远离映射边界的单元的定位,是十分困难的,使得对局部的控制能力下降。 (3)各映射块之间的网格密度相互影响程度很大。也就是说,改变某一映射块的网格密度,其它各映射块的网格都要做相应的调整。 其优点是:由于概念明确,方法简单,单元性能较好,对规则均一的区域,适用性很强,因此得到了较大的发展,并在一些商用软件如ANSYS等得到应用。 2 。拓扑分解法 拓扑分解法较其它方法发展较晚, 它首先是由Wordenwaber提出来的。该方法假设最后网格顶点全部由目标边界顶点组成, 那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。这些三角形主要是由目标的拓扑结构决定, 这样目标的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构。该方法生成的网格一般相当粗糙, 必须与其它方法相结合, 通过网格加密等过程, 才能生成合适的网格。该方法后来被发展为普遍使用的目标初始三角化算法, 用来实现从实体表述到初始三角化表述的自动化转换。 单一的拓扑分解法因只依赖于几何体的拓扑结构使网格剖分不理想,有时甚至很差。 3.连接节点法 这类方法一般包括二步:区域内布点及其三角化。早期的方法通常是先在区域内布点, 然后再将它们联成三角形或四面体, 在三角化过程中, 对所生成的单元形状难于控制。随着Delaunay三角化(简称为DT ) 方法的出现, 该类方法已成为目前三大最流行的全自动网格生成方法之一。 DT法的基本原理:任意给定N个平面点Pi(i=1,2,…,N)构成的点集为S,称满足下列条件的点集Vi为Voronoi多边形。其中,Vi满足下列条件: Vi ={ X:|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi为凸多边形,称{ Vi}mi=1为Dirichlet Tesselation

有限元分析报告大作业

基于ANSYS软件的有限元分析报告 机制1205班杜星宇U201210671 一、概述 本次大作业主要利用ANSYS软件对桌子的应力和应变进行分析,计算出桌子的最大应力和应变。然后与实际情况进行比较,证明分析的正确性,从而为桌子的优化分析提供了充分的理论依据,并且通过对ANSYS软件的实际操作深刻体会有限元分析方法的基本思想,对有限元分析方法的实际应用有一个大致的认识。 二、问题分析 已知:桌子几何尺寸如图所示,单位为mm。假设桌子的四只脚同地面完全固定,桌子上存放物品,物品产生的均匀分布压力作用在桌面,压力大小等于300Pa,其中弹性模量E=9.3GPa,泊松比μ=0.35,密度ρ=560kg/m3,分析桌子的变形和应力。

将桌脚固定在地面,然后在桌面施加均匀分布的压力,可以看作对进行平面应力分析,桌脚类似于梁单元。由于所分析的结构比较规整且为实体,所以可以将单元类型设为八节点六面体单元。 操作步骤如下: 1、定义工作文件名和工作标题 (1)定义工作文件名:执行Utility Menu/ File/Change Jobname,在弹出Change Jobname 对话框修改文件名为Table。选择New log and error files复选框。 (2)定义工作标题:Utility Menu/File/ Change Title,将弹出Change Title对话框修改工作标题名为The analysis of table。 (3)点击:Plot/Replot。 2、设置计算类型 (1)点击:Main Menu/Preferences,选择Structural,点击OK。

有限元分析基础

有限元分析基础 第一章有限元法概述 在机械设计中,人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件,这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远,有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因,人们也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大,而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。 近年来,数值计算机在工程分析上的成功运用,产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领域大大改善。 §1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来 一,历史 有限元法的起源应追溯到上世纪40年代(20世纪40年代)。1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中,诞生了结构分析的矩阵方法。1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语,从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。 60、70年代计算机技术的发展,极大地促进了有限元法的发展。具体表现在: 1)由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。 2)由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。 3)由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。 二,现状 现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学,扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷,如: SAP系列的代表SAP2000(Structure Analysis Program) 美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件 美国航天航空局的NASTRAN系列软件 除此以外,还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。 三,将来 有限元的发展方向最终将和CAD的发展相结合。运用“四个化”可以概括其今后的发展趋势。那就是:可视化、集成化、自动化和网络化。 §1.2 有限元法的特点 机械零构件的受力分析方法总体说来分为解析法和数值法两大类。如大家学过的材料力学、结构力学等就是经典的解析力学分析方法。在这些解析力学方法中,弹性力学的分析方法在数学理论上是最为严谨的一种分析方法。 其解题思路是:从静力、几何和物理三个方面综合考虑,建立描述弹性体的平衡、应力、应变和位移三者之间的微分方程,然后考虑边界条件,从而求出微分方程的解析解。其最大的有点就是,严密精确。缺点就是微分方程的求解困难,很多情况下,无法求解。 数值方法是一种近似的计算方法。具体又分为“有限差分法”和“有限元法”。 “有限差分法”是将得到的微分方程离散成近似的差分方程。通过对一系列离散的差分

1有限元法简介

1有限元法简介 1.1有限单法的形成 在工程技术领域内,经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题,可以归结为有限个已知单元体的组合。例如,材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题,称为离散系统。如图1-1所示平面桁架结构,是由6个承受轴向力的“杆单元”组成。尽管离散系统是可解的,但是求解图1-2所示这类复杂的离散系统,要依靠计算机技术。 图1-1 平面桁架系统

图1-2 大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计(曾攀教授) 第二类问题,通常可以建立它们应遵循的基本方程,即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题,热传导问题,电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元,这类问题称为连续系统。 图1-3 V6引擎的局部 下面是热传导问题的控制方程与换热边界条件: t T c Q z T z y T y x T x ??=+??? ??????+??? ? ??????+??? ??????ρλλλ (1- 1) 初始温度场也可以是不均匀的,但各点温度值是已知的: () 00 x,y,z T T t == (1- 2) 通常的热边界有三种,第三类边界条件如下形式: ()f T-T h n T λ=??- (1- 3) 尽管我们已经建立了连续系统的基本方程,由于边界条件的限制,通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题,还无法给出精确的解答,例如,图1-3所示V6引擎在工作中的温度分布。这为解决这个困难,工程师们和数学家们提出了许多近似方法。 在寻找连续系统求解方法的过程中,工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果,即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代,来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看,桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp 在纽约举行的航空学会年会上介

ansys有限元分析基本流程

第一章实体建模 第一节基本知识 建模在ANSYS系统中包括广义与狭义两层含义,广义模型包括实体模型和在载荷与边界条件下的有限元模型,狭义则仅仅指建立的实体模型与有限元模型。建模的最终目的是获得正确的有限元网格模型,保证网格具有合理的单元形状,单元大小密度分布合理,以便施加边界条件和载荷,保证变形后仍具有合理的单元形状,场量分布描述清晰等。 一、实体造型简介 1.建立实体模型的两种途径 ①利用ANSYS自带的实体建模功能创建实体建模: ②利用ANSYS与其他软件接口导入其他二维或三维软件所建立的实体模型。 2.实体建模的三种方式 (1)自底向上的实体建模 由建立最低图元对象的点到最高图元对象的体,即先定义实体各顶点的关键点,再通过关键点连成线,然后由线组合成面,最后由面组合成体。 (2)自顶向下的实体建模 直接建立最高图元对象,其对应的较低图元面、线和关键点同时被创建。 (3)混合法自底向上和自顶向下的实体建模 可根据个人习惯采用混合法建模,但应该考虑要获得什么样的有限元模型,即在网格划分时采用自由网格划分或映射网格划分。自由网格划分时,实体模型的建立比较1e单,只要所有的面或体能接合成一体就可以:映射网格划分时,平面结构一定要四边形或三边形的面相接而成。 二、ANSYS的坐标系 ANSYS为用户提供了以下几种坐标系,每种都有其特定的用途。 ①全局坐标系与局部坐标系:用于定位几何对象(如节点、关键点等)的空间位置。 ②显示坐标系:定义了列出或显示几何对象的系统。 ③节点坐标系:定义每个节点的自由度方向和节点结果数据的方向。 ④单元坐标系:确定材料特性主轴和单元结果数据的方向。 1.全局坐标系 全局坐标系和局部坐标系是用来定位几何体。在默认状态下,建模操作时使用的坐标系是全局坐标系即笛卡尔坐标系。总体坐标系是一个绝对的参考系。ANSYS提供了4种全局坐标系:笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、Y-柱坐标系。4种全局坐标系有相同的原点,且遵循右手定则,它们的坐标系识别号分别为:0是笛卡尔坐标系(cartesian),1是柱坐标系 (Cyliadrical),2是球坐标系(Spherical),5是Y-柱坐标系(Y-aylindrical),如图2-1所示。

有限元法的基本思想及计算步骤

有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体,简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接,称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于:组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件,即不能出现裂缝,也不允许发生重叠。显然,单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力,作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时,组成它的各个单元也将发生变形,因而各个结点要产生不同程度的位移,这种位移称为结点位移。在有限元中,常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想,假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律,再利用力学理论中的变分原理或其他方法,建立结点力与位移之间的力学特性关系,得到一组以结点位移为未知量的代数方程,从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然,如果单元满足问题的收敛性要求,那么随着缩小单元的尺寸,增加求解区域内单元的数目,解的近似程度将不断改进,近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多,其中最主要的计算步骤为: 1)连续体离散化。首先,应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有:杆单元,梁单元,三角形单元,矩形单元,四边形单元,曲边四边形单元,四面体单元,六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次,进行单元划分,单元划分完毕后,要将全部单元和结点按一定顺序编号,每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上,并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2)单元分析。所谓单元分析,就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示,三角形有三个结点i,j,m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u,v和两个结点力分量F x,F y。三个结点共六个结点位移分量可用列阵(δ)e表示: {δ}e=[u i v i u j v j u m v m]T 同样,可把作用于结点处的六个结点力用列阵{F}e表示: {F}e=[F ix F iy F jx F jy F mx F my]T 应用弹性力学理论和虚功原理可得出结点位移与结点力之间的关系

有限元法的概述

有限元法的概述 有限元方法(Finite Element Method)是力学,数学物理学,计算方法,计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。在人类研究自然界的三大科学研究方法(理论分析,科学试验,科学计算)中,对于大多数新型领域,由于科学理论和科学实践的局限性,科学计算成为一种最重要的研究手段。在大多数工程研究领域,有限元方法是进行科学计算的重要方法之一;利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析,获取结构的各种机械性能信息,对工程结构进行评判,对工程事故进行分析。有限元法在设计过程中有极为关键的作用。 人们对各种力学问题进行分析求解,其方法归结起来可以分为解析法(Analytical Method)和数值法(Numeric Method).如果给定一个问题,通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答,这样的求解方法就称为解析法。但是由于实际结构物的复杂性,除了少数极其简单的问题外,绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式极其困难的。因此,数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法,并取得了不断的发展,如有限元法,有限差分法,边界元方法等都是属于数值求解方法。其中有限元法式 20 世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法,它的数学逻辑严谨,物理概念清晰,应用非常广泛,能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。有限元方法采用矩阵式来表达基本公式,便于计算机编程,这些优点赋予了它强大的生命力。 有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体,化无限自由度问题为优先自由度问题,将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。用有限元方法分析工程结构的问题时,将一个理想体离散化后,如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一,而

1.1有限元分析过程

1-1有限单元法的分析过程 土木工程、岩土工程等学科中的弹塑性、粘弹性、粘塑性力学,水利、码头工程等的流体力学和流固耦合作用,交通工程等学科中的层状介质路面力学等都是力学学科的重要分支,其研究结果最终归结为求解数学物理方程边值或初值问题。但这些学科传统的研究成果只对较为简单、规则的问题才能获得解析解答,大量的实际科学、工程计算问题,由于数学上的困难无法得到解决。 从有限单元法命名至今已经历了40年左右的发展,用有限单元法来解决问题,从理论上讲,无论是简单的一维杆系结构,还是受复杂荷载和不规则边界情况的二维平面、轴对称问题、三维空间块体等问题的静力、动力和稳定性分析,考虑材料具有非线性力学行为和有限变形的分析,温度场、电磁场,流体、液-固体、结构与土壤相互作用等工程复杂问题的分析都可得到满意的解决,而且其基本思路和分析过程是基本相同的。作为本科教材,本书将只介绍应用最广泛的、以结点位移作为基本未知量的“位移型有限元(简称位移元)”,讨论范围仅限于最基本的线弹性问题。 一、结构离散化 应用有限元法来分析工作问题的第一步,首先是将结构进行离散化。其过程就是将待分析的结构(或更数学化一点也可称为求解域)用一些假想的线或面进行切割,使其成为具有选定切割形状的有限个单元体(注意单元体跟材料力学中的微元体是根本不同的,它的尺度是有限值而不是微量)。这些单元体被认为仅仅在单元的一些指定点

处相互连接,这些单元上的点则称为单元的结点。这一步的实质也就是用单元的集合体来代替原来待分析的结构。 为了便于理论推导和用计算程序进行分析,一般来说结构离散化的具体步骤是:建立单元和整体坐标系、对单元和结点进行合理的编号,为后续有限元分析准备出所必需的数据化信息。目前市面上有各种类型的有限元分析软件,一般都具有友好的用户图形接口和图形直观输入、输出计算信息的强大功能,使用者应用这些软件越来越方便。即便如此,使用这些大型软件的第一步仍需“建模”工作,即建立离散化模型的准备所需的数据。 二、确定单元位移模式 结构离散化后,接下来的工作就是对结构离散化所得的任一典型单元进行所谓单元特性分析。为此,首先必须对该单元中任意一点的位移分布做出假设,即在单元内用只具有有限自由度的简单位移代替真实位移。对位移元来说,就是将单元中任意一点的位移近似地表示成该单元结点位移的函数,该位移称为单元的位移模式或位移函数。位移函数的假设合理与否,将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。目前比较常用的方法是以多项式作为位移模式,这主要是因为多项式的微积分运算比较简单,而且从泰勒级数展开的意义来说,任何光滑函数都可以用无限项的泰勒级数多项式来展开。位移模式的合理选择,是有限单元法的最重要内容之一,所谓创建一种新型的单元,位移模式的确定是其核心内容。本书后续各章将结合具体的单元进行较详细的讨论。

有限元综述

有限元综述 蔡璟、吕丹丹、李川 摘要:有限元法(Finite Element Method)是一种高效能、常用的数值计算方法。1965年“有限元”这个名词第一次出现,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。如今,有限元在工程上得到广泛应用。本文首先介绍了有限元的研究背景和意义,其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念,再讨论传统有限元算法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现状与特点,最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。 关键词:有限元法,FEM,经典算法,优化算法,网格优化,Herrmann算法,时域有限元,混合算法,矩量法,时域有限差分,应用研究,边界元法,光滑粒子法,发展趋势

前言 有限元法(Finite Element Method)是一种高效能、常用的数值计算方法,其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程,解决了物理场应用中的限制。经历几十年的发展,有限元法已经被广泛用于各个领域。 1.研究背景和意义 有限元法的思想首先由 R. Courant 在 1943 年提出,十九世纪六十年代数值分析科学家认识了有限元基本思想,建立了有限元方法的数学基础。其中,我国数学家冯康独立地提出了有限元方法,将其命名为“基于变分原理的差分格式”,对有限元方法的创始及奠基工作做出了重要贡献。 以变分原理为基础建立起来的有限元法,因其理论依据的普遍性,不仅广泛地被应用于各种结构工程,而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中的问题,例如热传导!渗流!流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。 有限元法由于可以模拟任意几何模型和各种特性的复杂材料而且具有的适应性强、程序较为通用等优势而得到了长足的发展。同时,结合其他方法和理论呈现出广阔的应用前景,如自适应网格剖分、三维场建模求解、耦合问题、开放域问题等领域取得较多成果。现阶段,为了进一步拓宽求解问题的广泛性以及适应求解问题对高精度,高复杂程度的要求,有限元还需要进行突破性的工作。2.有限元研究概况 2.1有限元的诞生 1943年,数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数,最早提出有限元法基本思想。20世纪50年代,飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组,首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析,经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。20世纪50年代,大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作,这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年前后,美国的R.W.Clough教授及我国的冯康教授分别独立地在论文中提出了“有限单元”这样的名词。此后,这样的叫法被大家接受,有限元技术从此正式

★★★★★有限元法的讲解

第四章求解导热问题的有限单元法 第节概述 第节泛函变分原理 第节有限单元法 第节概述 粗略地讲:有限元法是获得微分方程近似解的一种方法,是一种适合计算机来求解的数值计算方法。(元素特性方程和总体合成方程的建立可以采用直接法,变分法,加权余数法和能量平衡法等四种方法之一,所以粗略地说有限元法是获得微分方程近似解的一种方法也有道理) 比较严格的定义:有限单元法是求解泛函变分问题的一种近似方法。 那么这两种说法有什么联系,或者说是共同之处呢? 变分和微分是对未知函数的不同描述,同一连续介质问题往往都可以找到微分和变分的等价表达方式。变分和微分几乎是同时发展起来的两个数学分支,其目的是相同的,都是求解未知函数,但是方法上有很大差别。 在已知边界条件的情况下,求微分方程的精确解析虽然已有完整的理论,但是真正能解出的只有极少数的几种简单情况,因为在很多情况下,微分方程并不存在初等函数解析解。(对于各种各样的映射,初等函数的表达能力实在太有限了,初等函数包括:冥函数、指数函数、对数、三角函数,以及它们的四则运算等。)由于寻求微分方程的初等函数解析解有困难,所以我们在前一章讲述了微分方程的近似解法,即差分法。 泛函变分原理虽然也可以用解析法(即积分)求得未知函数,但是因为有很多被积函数根本无法找到初等原函数,也就不能积分,尤其是对于二维和三维问题,解析法更加困难。所以我们也要寻求泛函变分的近似解法。泛函变分的近似解法包括里兹法和有限元法(里兹法是有限元法的前身),这两种方法的原理完全相同,即:构造一个近似的初等函数,用近似的初等函数去逼近未知函数。因为任何未知函数都可以找到它的近似初等函数(如:包含待定系数的多项式或三角函数),所以从根本上克服了解析法(无法找到初等原函数)的局限性—牺牲极小的理论计算精度,却换回了对大量复杂二维和三维工程问题的适用性。 微分方程的近似解法:差分法 泛函变分的近似解法:里兹法,有限元法 第节泛函变分原理 一、泛函的概念(借助讲解) 二、变分的概念 借助普通函数微分的概念,用类比法讲解 三、泛函的极值条件 借助普通函数的极值条件,用类比法讲解 四、里兹法(补充内容,但是很重要)

【CAE】汽车结构有限元分析 第1讲 概述

汽车结构有限元分析合肥工业大学 车辆工程系 谭继锦编制并主讲 2010年元月 课件仅作为学习交流之用,不能用 于商业用途

第一讲概述 1.汽车产品设计流程的变化 2.产品研发流程 3.开发方法 4.“V字形”开发流程 5.结构有限元分析重要性 6.汽车CAE技术的应用热点 7.汽车结构有限元分析 8.有限元法概述 9.结构有限元模型 10.有限元方法学习

1.汽车产品设计流程的变化 —昨天—今天—现代—将来 设计制造试验 再设计 设计(CAD)虚拟试验 (CAE) 制造试验 再设计 再设计 设计 (CAD) 虚拟试验 (CAE) 制造试验 再设计 优化 概念设计优化

2.世界一流的产品研发流程 世界一流的产品研发流程–30个月 步骤 关键点 布置 项目计划 概念开发 系列开发与准备 产能爬坡 项目启动 概念决策 试生产 开始生产 -35 -30 -23 -5 0 造型 内外部设计 原型 测试 CAE 工程 虚拟步骤/工艺开发 部件测试 综合测试 验证 耐久性测试 样车循环 生产前测试 工业化 布置 确定布置(-23) 设计冻结 (-23) 布置 冻结(-19) 设计循环 CAD 100% (-17) 大量使用虚拟仿真 基于最优化的测试策略的跨功 能汽车 重要的鉴定测试仅使用一次样车循环

3.开发方法 人机工效 环境舒适性 安全性 结构分析 工程设计 虚拟试验 工艺分析 以功能与性能设计为主线,强化概念设计阶段的虚拟开发能力,对性能进行预测和控制。实现协同设计,在操纵性、平顺性、安全性、可靠性等方面,在车身设计、工程设计、产品验证、生产准备的全过程实现分析设计与试验的协调。

有限元法

有限元分析课程期末论文----浅谈对有限元法的认识 现代工业、生产技术要求高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。为此目的,人们必须预先通过有效的计算手段,确切的预测即将诞生的机械和工程结构,在未来工作时所发生的应力。应变和位移。但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际文艺的有效分析。弹性力学的经典理论,由于求解偏微分方程边值问题的困难,只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变,以及几何非线性,材料非线性等问题往往遇到很多麻烦,试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的,甚至是不可能的。因此,需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。有限单元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。 一、有限元法概述 有限单元法早在40年代初期就有人提出,但当时由于没有计算工具而搁置,一直到50年代中期,高速数字电子计算机的出现和发展为有限元法的应用提供了重要的物质条件,才使有限单元法得以迅速发展。 有限单元法在西方起源于飞机和导弹的结构设计,发表这方面文章最早而且最有影响的是西德的J.H.Argyris教授,于1954--1955年间,他在《Aircraft engineerring》上发表了许多有关这方面的论文,并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》,此书成为有限单元法的理论基础。美国的M.T.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin和L.J.Topp等人与1956年发表了一篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文,此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法,说明了如何利用计算机进行分析。美国R.W.Clough于1960年在Zienlliewice教授及其合作者解决了将有限元应用与所有场的问题,是有限单元法的应用范围更加广泛。 有限单元法的优点很多,其中最突出的优点是应用范围广。发展至今,不仅能解决静态的、平面的、最简单的杆系结构,而且还可以解决空间问题、板壳问题、结构的稳定性问题、动力学问题、弹塑性问题和粘弹性问题、疲劳和脆性断裂问题以及结构的优化设计问题。而且不论物体的结构形式和边界条件如何复杂,也不论材料的性质和外载荷的情况如何,原则上都能应用。 二、有限单元法的基本思想 有限单元法的基本思想,是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力,对于每个单元,根据分块近似的思想,选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律,并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。最后,把所有的单元的这种关系式集合起来,就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组,解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。 有限单元分析计算的基本步骤可归纳为以下五点: 1、结构的离散化 结构的离散化是有限单元法分析的第一步,它是有限元法的基础。将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型,这一步称作单元划分。离散后单元与单元之间利用单元节点相互连接起来,将求解区域变成为用点、线或面划分的有限组数目的单元组合成的集合体。单元的形状原则上是任意的。例如,在平面问题中通常采用三角形单元,有时也采用矩形或任意四边形单元。在空间问题中,可以采用四面体,长方体或任意六面体单元。可见,不管

Abaqus 基础与应用 第一章概述

第1章概述 有限元分析是使用有限元方法来分析静态或动态的物体或系统。在这种方法中一个物体或系统被分解为由多个相互联结的、简单、独立的点所组成的几何模型。在这种方法中这些独立的点的数量是有限的,因此被称为有限元。 1.1有限元分析简介 本节首先简要介绍有限元分析的基本概念,然后简要阐述其发展和应用概况。 1.1.1有限元分析的基本概念 在工程技术领域内,有许多问题归结为场问题的分析和求解,如位移场、应力场、应变场、流场和温度场等。这些场问题虽然已经得出应遵循的基本规律(微分方程)和相应的限制条件(边界条件),但因实际问题的复杂性而无法用解析方法求出精确解。 由于这些场问题的解是工程中迫切所需要的,人们从不同角度去寻找满足工程实际要求的近似解,有限元方法就是随着计算机技术的发展和应用而出现的一种求解数理方程的非常有效的数值方法。 有限元分析的基本思想是用离散近似的概念,把连续的整体结构离散为有限多个单元,单元构成的网格就代表了整个连续介质或结构。这种离散化的网格即为真实结构的等效计算模型,与真实结构的区别主要在于单元与单元之间除了在分割线的交点(节点)上相互连接外,再无任何连接,且这种连接要满足变形协调条件,单元间的相互作用只通过节点传递。这种离散网格结构的节点和单元数目都是有限的,所以称为有限单元法。 在单元内,假设一个函数用来近似地表示所求场问题的分布规律。这种近似函数一般用所求场问题未知分布函数在单元各节点上的值及其插值函数表示。这样就将一个连续的有无限自由度的问题,变成了离散的有限自由度的问题。根据实际问题的约束条件,解出各个节点上的未知量后,就可以用假设的近似函数确定单元内各点场问题的分布规律。 有限元方法进行结构分析主要涉及三个问题: (1)网格剖分和近似函数的选取 选用合适单元类型和单元大小的问题。合适的单元类型能在满足求解精度的

1有限元法简介

1有限元法簡介 1.1有限單法的形成 在工程技術領域內,經常會遇到兩類典型的問題。其中的第一類問題,可以歸結為有限個已知單元體的組合。例如,材料力學中的連續梁、建築結構框架和桁架結構。我們把這類問題,稱為離散系統。如圖1-1所示平面桁架結構,是由6個承受軸向力的“杆單元”組成。儘管離散系統是可解的,但是求解圖1-2所示這類複雜的離散系統,要依靠電腦技術。 圖1-1 平面桁架系統

圖1-2 大型編鐘“中華和鐘”的振動分析及優化設計(曾攀教授) 第二類問題,通常可以建立它們應遵循的基本方程,即微分方程和相應的邊界條件。例如彈性力學問題,熱傳導問題,電磁場問題等。由於建立基本方程所研究的物件通常是無限小的單元,這類問題稱為連續系統。 圖1-3 V6引擎的局部 下面是熱傳導問題的控制方程與換熱邊界條件: t T c Q z T z y T y x T x? ? = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ρ λ λ λ(1- 1)初始溫度場也可以是不均勻的,但各點溫度值是已知的: () x,y,z T T t = = (1- 2)通常的熱邊界有三種,第三類邊界條件如下形式: () f T-T h n T λ= ? ? -(1- 3) 儘管我們已經建立了連續系統的基本方程,由於邊界條件的限制,通常只能得到少數簡單問題的精確解答。對於許多實際的工程問題,還無法給出精確的解答,例如,圖1-3所示V6引擎在工作中的溫度分佈。這為解決這個困難,工程師們和數學家們提出了許多近似方法。 在尋找連續系統求解方法的過程中,工程師和數學家從兩個不同的路線得到了相同的結果,即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀50年代,來源於固體力學中矩陣結構法的發展和工程師對結構相似性的直覺判斷。從固體力學的角度來看,桁架結構等標準離散系統與人為地分割成有限個分區後的連續系統在結構上存在相似性。

有限元理论与方法-第1讲

青岛大学讲稿 学院:机电工程学院 教研室:车辆工程 课程名称:有限元法基础 任课教师:张洪信

备 讲授内容 注第1讲(第1周) 第一章有限元法及ANSYS概述 CAE即计算机辅助工程,指工程设计中的分析计算与仿真。CAE软件可分为专用和通用两类,前者主 要是针对特定类型的工程或产品用于产品性能分析、预测和优化的软件。它以在某个领域中的应用深入而见 长,如美国ETA公司的汽车专用CAE软件LS/DYNA3D及ETA/FEMB等。通用软件可对多种类型的工 程和产品的物理力学性能进行分析、模拟、预测、评价和优化,以实现产品技术创新。它以覆盖的应用范围 广而著称,如ANSYS、PA TRAN、NASTRAN和MARC等。 目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有:有限单元法(Finite Element Method,FEM)、边界元法(Boundary Element Method,BEM)和有限差分法(Finite Difference Method,FDM)等,但就其实用性和 应用的广泛性而言,主要还是有限单元法。作为一种离散化的数值解法,有限单元法首先在结构分析,然 后又在其他领域中得到广泛应用。 1.1 发展与现状 离散化的思想可以追溯到20世纪40年代。1941年A.Hrennikoff首次提出用离散元素法求解弹性力学 问题,当时仅限于用杆系结构来构造离散模型,但能很好地说明有限元的思想。如果原结构是杆系,这种方 法的解是精确的,发展到现在就是大家熟知的矩阵分析法。究其实质这还不能说就是有限单元法的思想, 但结合以后的有限元理论,统称为广义有限单元法。1943年R.Courant在求解扭转问题时为了表征翘曲函 数而将截面分成若干三角形区域,在各三角形区域设定一个线性的翘曲函数,这实质上就是有限单元法的 基本思想(对里兹法的推广),这一思想真正用于工程中是在电子计算机出现后。 20世纪50年代因航空工业的需要,美国波音公司的专家首次采用三节点三角形单元,将矩阵位移法用 到平面问题上。同时,联邦德国斯图加特大学的J. H. Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文,

有限元分析的基本原理

有限元分析的基本原理 有限元原理和基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解,然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件),从而得到问题的解。这个解不是准确解,而是近似解,因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解,而有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,因而成为行之有效的工程分析手段。 有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用,例如用多边形(有限个直线单元)逼近圆来求得圆的周长,但作为一种方法而被提出,则是最近的事。 有限元法最初被称为矩阵近似方法,应用于航空器的结构强度计算,并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力,随着计算机技术的快速发展和普及,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域,成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。 有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。 20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫(Clough)教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh-Ritz法+分片函数”,即有限元法是Rayleigh-Ritz法的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh-Ritz法,有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。 对于不同物理性质和数学模型的问题,有限元求解法的基本步骤是相同的,只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为:第一步:问题及求解域定义 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。 第二步:求解域离散化 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的

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