八年级上册第二章 特殊三角形
一、将军饮马
例 1 如图，在正方形 ABCD 中， AB=9，点 E 在 CD 边上，且 DE=2CE ，点 P 是对
角 线 AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是（ ）
A 、 3
B 、 10
C 、 9
D 、 9
【变式训练】
1、如图，在矩形 ABCD 中， AD=4，∠ DAC=30°，点 P 、E 分别在 AC 、 AD 上，则
PE+PD 的最小值是（
）
2、如图，∠ AOB=30°， P 是∠ AOB 内一定点， PO=10， C ，D 分别是 OA ，OB 上的动点，则△ PCD 周长的最小 值为
3、如图，∠ AOB=30°，C ，D 分别在 OA ，OB 上，且 OC=2，OD=6，点 C ，D 分别是 AO ，BO 上的动点， 则 CM+MN+DN
最小值为
4、如图， C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B ，D 作 AB ⊥BD ，DE ⊥ BD ，连结 AC ，CE ．
（1）已知 AB=3，DE=2， BD=12，设 CD=x ．用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长；
（2）请问点 C 满足什么条件时， AC+CE 的值最小？并求出它的最小值；
（3）根据（ 2）中的规律和结论， 请构图求出代数式
的
最小值 二、等腰三角形中的分类讨论
例 2（ 1）已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm ，则它的周长为
（ 2）已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm ，则它的腰长为
（ 3）已知等腰三角形的周长为 28cm 和 8cm ，则它的底边为
【变式训练】
1、已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm ，则周长为
2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍，则它的各个内角的度数为
3、已知等腰三角形的一个外角等于 150°，则它的各个内角的度数为
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25°，则它的各个内角的度数
5、已知等腰三角形底边为 5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm ，则腰长为
6、在三角形 ABC 中， AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 40°，则底角∠ B 的 A 、2 、2 第 1 题 D 、4 第2题 M D B 第3题
度数为
7、如图，A、B是4×5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置
三、两圆一线定等腰
例 3 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点
P，使得△ AOP是等腰三角形，则这样的点P 共有个
【变式训练】
1、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，），在坐标轴上找一点P，
使得△AOP是等腰三角形，则符合条件的点P 的个数为（）
A．5 B ．6 C ．7 D ．8
2、在平面直角坐标系中，若点A（2，0），点B（0，1），在坐标轴上找
一
点C，使得△ ABC是等腰三角形，这样的点 C 可以找到个．
3、在坐标平面内有一点A（2，），O为原点，在x 轴上找一点B，使O，A， B 为顶点的三角形为等腰三角形，写出 B 点坐标
4、平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，-3），试在y 轴上找一点P，使△ APB为等腰三角形，求点P的坐标
5、如图1，已知一次函数分别与x、y 轴交于A、B两点，过点B的直线BC交x 轴负半轴与点C，且OC=OB．
1）求直线BC的函数表达式；
2）如图2，若△ ABC中，∠ ACB的平分线CF与∠ BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠ AFC= ∠ ABC；
P，使△ ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说
A
3）在x 轴上是否存在点
明理由
F 分别是 AD 、BC 的中点， M 在 DC 上，将△ ADM 沿折痕 AM 折叠，使点 D 折叠后恰好 落在 EF 上的 P 点处．
（1）求点 M 、 P 的坐标；
（2）求折痕 AM 所在直线的解析式；
（3）设点 H 为直线 AM 上的点，是否存在这样的点 H ，使得以 H 、A 、P 为顶点的三
角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由．
例 5 如图，在△ ABC 中， BD 、CE 分别是边 AC 、AB 上的高线．
（1）如果 BD=CE ，那么△ ABC 是等腰三角形，请说明理由；
（2）如果∠ A=60°，取 BC 中点 F ，连结点 D 、E 、F 得到△
DEF ， 判断该三角形的形状，并说明理由；
四、折叠问题
例 4：如图，在矩形 ABCD 中， AB=6，BC=8，将矩形折叠，使得点 D 落在
线段 BC 的点 F 处，则线段 DE 的长为
变式训练】
B 落在对角线 A
C 的点 F 处，则线段 BE 的长
3、如图，在矩形 ABCD 中， AB=6， ABCD 中， AB=6， A 、C 重合，若，则折痕 BC=8，沿 AC 将矩形折叠，使得点
4、如图，将边长为 4 的正方形纸片， 置于平面直角坐标系内， EF 的长为 B 落在点 E 处，则线段 EF 的长为 顶点 A 在坐标原点， AB 在 x 轴正方向上， E 、 1、如图，在矩
形 ABCD 中， AB=6， 2、如图，在矩形 BC=8，将矩形折叠，使得点
BC=8，沿 EF 将矩形折叠，使
3）如果点G 是ED的中点，求证：FG⊥DE
变式训练】
1、如图，点M是Rt△ ABC斜边BC的中点，点P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥ QM．
（1）如图1，若P、Q分别是AB、AC的中点，求证：PQ2=PB2+QC2；
（2）如图2，若P、Q 分别是线段AB、AC的动点（不与端点重合）（1）中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由
2、问题发现：如图1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：△ ACD≌△ BCE；
（2）填空：∠ AEB的度数为；
拓展探究：如图2，△ ACB和△ DCE均为等腰三角形，∠ ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，点M
为AB的中点，连接BE、CM、EM，求证：CM=EM．