2017年天津文
1.(2017年天津文)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}，则(A∪B)∩C= ( )
A.{2}
B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6}
D.{1，2，3，4，6}
1.B 【解析】由题意可得A∪B ={1，2，4，6}，所以(A∪B)∩C={1，2，4}．故选B．
2. (2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
∵0≤x≤2?x≤2，x≤2?/ 0≤x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
3. (2017年天津文)有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）
A. 4
5 B.
3
5 C.
2
5 D.
1
5
3. C 【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，
4. (2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N ＝24
3＝8>3；第二次循环，8不能被3整
除，N ＝8－1＝7>3；
第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3； 第四次循环，6能被3整除，N ＝6
3＝2<3，结束循环，
故输出N 的值为2.
5. (2017年天津文)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A. x 24-y 2
12
=1
B. x 212-y 2
4
=1 C. x 23
-y 2=1
D.x 2
-y 2
3
=1
D ．
6. (2017年天津文)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a=-f(log 21
5),b=f(log 24.1),c=f(20.8)，则a,b,c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c
B.b ＜a ＜c
C.c ＜b ＜a
D.c ＜a ＜b
＞b ＞c ，即c ＜b ＜a.故选C.
7. (2017年天津文)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f(5π8)=2，f(11π
8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( ) A. ω=23，φ=π12
B. ω=23，φ=-11π
12 C. ω=13，φ=-11π24
D. ω=13，φ=7π24
8. (2017·天津高考)已知函数f (x )＝????
?
|x |＋2，x ＜1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式
f (x )≥????
x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．[－23，2]
C ．[－2,2 3 ]
D ．[－23，2 3 ]
[解析] 选A 法一：作出f (x )的图象如图所示．
当y ＝????
x 2＋a 的图象经过点(0,2)时，可知a ＝±2. 当y ＝x 2＋a 的图象与y ＝x ＋2
x 的图象相切时，
由x 2＋a ＝x ＋2
x ，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0， 并结合图象可得a ＝2.
要使f (x )≥????
x 2＋a 恒成立，
当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0， 当a ＞0时，需满足a ≤2，即0＜a ≤2， 综上可知，－2≤a ≤2.
法二：∵f (x )≥????x
2＋a 在R 上恒成立， ∴－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x
2在R 上恒成立．
①令g (x )＝－f (x )－x
2.
当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2， g (x )＝－x －2－x 2＝－3
2x －2≤－2，
即g (x )max ＝－2.
当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，g (x )＝x －2－x 2＝x
2－2，
即g (x )＜－2. 当x ≥1时，
f (x )＝x ＋2x ，
g (x )＝－x －2x －x 2＝－32x －2
x ≤－23，
即g (x )max ＝－2 3. ∴a ≥－2.
②令h (x )＝f (x )－x
2.
当0≤x ＜1时，
f (x )＝x ＋2，h (x )＝x ＋2－x 2＝x
2＋2≥2，
即h (x )min ＝2. 当x ＜0时，
f (x )＝－x ＋2，h (x )＝－x ＋2－x 2＝－3
2x ＋2＞2，
即h (x )＞2.
当x ≥1时，
f (x )＝x ＋2x ，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2
x ≥2，
即h (x )min ＝2. ∴a ≤2.
综上可知，－2≤a ≤2.
法三：若a ＝23，则当x ＝0时，f (0)＝2， 而????x 2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项C ，D.
若a ＝－23，则当x ＝0时，f (0)＝2，而????x 2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项B.故选A.
此题直接求解难度较大，但也有一定的技巧可取，通过比较四个选项，只需判断a ＝23，－23是否满足条件即可，这种策略在做选择题时经常用到．
9. (2017年天津文)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a-i
2+i 为实数，则a 的值为___________．
10. (2017年天津)已知a ∈R ,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为_________.
解析:由题可得f (1)＝a ,则切点为(1,a ).因为f ′(x )＝a －1
x ,所以切线l 的斜率为f ′(1)＝a －1,切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1),令x ＝0可得y ＝1,故l 在y 轴上的截距为1.
11. (2017年天津文)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．
12. (2017年天津文)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC=120°，则圆的方程为___________．
13. (2017年天津文)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1
ab 的最小值为___________．
14. (2017年天津文)在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若→BD =2→DC ，→AE =λ→AC -→AB （λ∈R ），且→AD ·→AE
=-4
，则λ的值为___________．
15. (2017年天津)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a sin A ＝4b sin B ,ac
＝5(a 2－b 2－c 2).
（1）求cos A 的值； （2）求sin(2B －A )的值.
【解析】（1）由a sin A ＝4b sin B 及正弦定理,得a ＝2b .
由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理,得cos A ＝b 2
＋c 2
－a 2
2bc ＝－55ac ac ＝－5
5
.
（2）由（1）可得sin A ＝255,代入a sin A ＝4b sin B ,得sin B ＝a sin A 4b ＝5
5.
由（1）知A 为钝角,所以cos B ＝1-sin 2
B ＝25
5.
于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45,cos 2B ＝1－2sin 2
B ＝3
5,
故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×????－55－35×25
5＝－255.
16. (2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（1）用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？
【分析】（1）由甲、乙连续剧总的播放时间不多于600分钟、广告时间不少于30分钟、甲连续播放的次数不多于乙连续播放的次数的2倍分别列出x ,y 满足的不等式,结合x ,y 为自然数建立不等式组,再画出平面区域.（2）列出目标函数,根据目标函数的几何意义求出最值.
解：（1）由已知x ,y 满足的数学关系式为???70x ＋60y ≤600，
5x ＋5y ≥30，
x ≤2y ，
x ∈N ，y ∈N ，
即???7x ＋6y ≤60，
x ＋y ≥6，x －2y ≤0，
x ∈N ，y ∈N .
该不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点(包括边界).
（2）设总收视人次为z 万,则目标函数为z ＝60x ＋25y . 由z ＝60x ＋25y ,得y ＝－125x ＋z
25. 当z
25取得最大值时,z 的值最大.
由图2可知当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时,z
25最大,即z 最大.
联立?????7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，解得M (6,3),
所以电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
17. (2017年天津)如图,在四棱锥P -ABCD 中,AD ⊥平面PDC ,AD ∥BC ,PD ⊥PB ,AD ＝1,BC ＝3,CD ＝4,PD ＝2.
（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；
（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
【解析】（1）如图,由已知AD ∥BC ,
∴∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角. ∵AD ⊥平面PDC ,∴AD ⊥PD .
在Rt △PDA 中,由已知得AP ＝AD 2＋PD 2
＝5,
∴cos ∠DAP =AD AP ＝5
5.
∴异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为5
5.
（2）∵AD ⊥平面PDC ,直线PD ?平面PDC ,∴AD ⊥PD . 又∵BC //AD ,∴PD ⊥BC . 又PD ⊥PB ,∴PD ⊥平面PB C .
（3）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ,连接PF , 则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角. ∵PD ⊥平面PBC ,∴PF 为DF 在平面PBC 上的射影, ∴∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角.
∵AD∥BC,DF∥AB,∴BF＝AD＝1.
由已知得CF＝BC－B F＝2.
又AD⊥DC,∴BC⊥DC.
在Rt△DCF中,DF＝CD2＋CF2＝25.
在Rt△DPF中,sin∠DFP＝PD
DF＝
5
5.
∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
5 5.
18. (2017年天津文)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．
（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（2）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．
18.解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．
由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q2+q-6=0．
又因为q＞0，解得q=2，所以b n=2n．
由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8①；由S11=11b4，可得a1+5d=16②，
联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n-2．
所以，{a n}的通项公式为a n=3n-2，{b n}的通项公式为b n=2n．
（2）设数列{a2n b n}的前n项和为Tn，由a2n=6n-2，有
T n=4×2+10×22+16×23+…+（6n-2）×2n，
2T n=4×22+10×23+16×24+…+（6n-8）×2n+（6n-2）×2n+1，
（3n-4）2n+2-16，得T n=（3n-4）2n+2+16.
所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n-4）2n+2+16.
19.4．(2017·天津高考)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝e x f(x)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)已知函数y＝g(x)和y＝e x的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线，
①求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；
②若关于x 的不等式g (x )≤e x 在区间[x 0－1，x 0＋1]上恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，
可得f ′(x )＝3x 2－12x －3a (a －4)＝3(x －a )[x －(4－a )]． 令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或x ＝4－a . 由|a |≤1，得a ＜4－a .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(4－a ，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a )． (2)①证明：因为g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]，
由题意知?????
g (x 0)＝e x 0，
g ′(x 0)＝e x 0，
所以?
????
f (x 0)e x 0＝e x 0，
e x 0[
f (x 0)＋f ′(x 0)]＝e x 0，
解得?
????
f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0.
所以f (x )在x ＝x 0处的导数等于0. ②因为g (x )≤e x ，x ∈[x 0－1，x 0＋1]， 由e x ＞0，可得f (x )≤1. 又因为f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0，
所以x 0为f (x )的极大值点，结合(1)知x 0＝a . 另一方面，由于|a |≤1，故a ＋1＜4－a ，
由(1)知f (x )在(a －1，a )内单调递增，在(a ，a ＋1)内单调递减，
故当x 0＝a 时，f (x )≤f (a )＝1在[a －1，a ＋1]上恒成立，从而g (x )≤e x 在[x 0－1，x 0＋1]上恒成立．
由f (a )＝a 3－6a 2－3a (a －4)a ＋b ＝1， 得b ＝2a 3－6a 2＋1，－1≤a ≤1. 令t (x )＝2x 3－6x 2＋1，x ∈[－1,1]， 所以t ′(x )＝6x 2－12x ，令t ′(x )＝0， 解得x ＝2(舍去)或x ＝0.
因为t (－1)＝－7，t (1)＝－3，t (0)＝1， 因此t (x )的值域为[－7,1]． 所以b 的取值范围是[－7,1]．
20. (2017年天津文)已知椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F （-
c ，0），右顶点为A ，点E 的坐标为（0，c ），△EFA 的面积为b 2
2． （1）求椭圆的离心率；
（2）设点Q 在线段AE 上，|FQ|=3
2c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． （i ）求直线EP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．
20.解：（1）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得12（c+a ）c=b 2
2．
又由b 2
=a 2
-c 2
，可得2c 2
+ac-a 2
=0，即2e 2
+e-1=0．又因为0＜e ＜1，解得e=1
2．
所以，椭圆的离心率为1
2．
（2）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my-c （m ＞0），则直线FP 的斜率为1
m ． 由（1）知a=2c ，可得直线AE 的方程为x 2c +y
c =1，即x+2y-2c=0，
与直线FP 的方程联立，可解得x=（2m-2）c m+2，y=3c
m+2，即点Q 的坐标为（（2m-2）c m+2，3c m+2）
．
由已知|FQ |=3c 2，有[（2m-2）c m+2+c]2+(3c m+2)2=(3c 2)2，整理得3m 2
-4m=0，所以m=-4
3，故直线FP 的斜率为3
4．
(ii)由a=2c ，可得b=3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 2
3c 2=1.
由（i ）得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立?????3x-4y+3c=0，x 24c 2+y 2
3c 2
=1， 消去y ，整理得7x 2
+6cx-13c 2
=0，解得x=-13c
7（舍去）或x=c.
因此可得点P （c ，3c
2），进而可得|FP|=（c+c ）2
+（3c 2）2
=5c
2，
所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c 2-3c
2=c ．
由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．
因为QN ⊥FP ，所以|QN|=|FQ|·tan ∠QFN=3c 2×34=9c
8，
所以△FQN 的面积为12|FQ||QN|=27c 232，同理△EPM 的面积等于75c 2
32，
由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232-27c 2
32=3c ，整理得c 2
=2c ，又由c ＞0，得c=2． 所以，椭圆的方程为x 216+y 2
12=1．