25.3（1）解直角三角形
一、教学内容分析
本课时的内容是解直角三角形，首先是了解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高学生分析问题和解决问题的能力.
二、教学目标设计
1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力．
3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．
三、教学重点及难点
教学重点：直角三角形的解法．
教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用．
四、教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以，
大树在折断之前的高为36米.
2．思考
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这
五个元素间有哪些等量关系呢？
3．讨论复习
师白：Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系分别是什
么？
总结：直角三角形的边与角之间的关系
(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；
(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2；
(3)边与角关系sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝b c
， tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a
. 二、学习新课
1．概念辨析
师白：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．
定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形.
2．例题分析
例题1 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.
分析：本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.
解：∵∠A+∠B=900
∴∠A=900－∠B=900－380=52
0 ∵cosB=
c a ∴C=B a cos =15.1038
cos 80≈ ∵tanB=a
b ∴b=atanB=8tan380≈6.250
例题2 在Rt △ABC 中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.
分析：本题已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.
解：在Rt △ABC 中，
∵∠C=900，∴a 2＋b 2＝c
2 ∴b=099.528.534.72222≈-=-a c
∵sinA=7193.034
.728.5≈=c a ∴∠A=460
∴∠B=900－∠A ≈900－460=440.
[说明] 我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
3．问题拓展
例题3 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l 米). 分析：本题中，已知条件是什么?(AB ＝2000米， ∠CAB ＝90°－ ∠CAD ＝50°)，那么求AC 的长是用
“弦”还是用“切”呢?求BC 的长呢?显然，AC 是直
角三角形的斜边，应该用余弦，而求BC 的长可以用正切，也可以用余切.
讲解后让学生思考以下问题：
(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC ； (2)在这题中，是否可用正弦求AC ，是否可以用余切求得BC.
[说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的.
从上面的几道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个B C
A
锐角，若知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况：
(1)已知两条边，求其他边和角.
(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角
三、巩固练习
1、课本P73练习1、2
2、由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8，求c ．(c=54)
（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．
（3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．
四、课堂小结
本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角.
五、作业布置
练习册25.3（1）按照学生情况分层选作
反思：
解直角三角形是整个章节的重点，要求前几节课的基础，而且要运用于实际，基础知识掌握的比较牢固的学生对于例题的理解相对好一点，前面基础没有打好的学生相对薄弱，所以针对这点我课后罗列了一些分层题，帮助不同层次的学生来提高。 3320,3310==c a 10
,310==b a
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本课教学反思 英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。因此 , 写作教案具有重要地位。然而 , 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。 在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。 在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。 课堂设计 一、目标展示 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、预习检测 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ==== cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B = ===cot ;tan ;cos ;sin 如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边 ；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠= ∠∠=∠=∠= cot tan cos sin (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 三、质疑探究 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形． 四、精讲点拨 已知一边一角，如何解直角三角形？ 五、当堂检测 1、Rt △ABC 中，若sinA= 4 5 ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2、在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 3、在△ABC 中，∠C=90°，sinA=3 5 ，则cos A 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916 .2525 D 六、作业布置 板 书 设 计 28.2解直角三角形及其应用1 边角之间关系 例1. 三边之间关系 例2 锐角之间关系 教学反思
第1章 解直角三角形 专项练习 一、锐角三角函数： 1、各三角函数之间的关系： ⑴sin ＝cos ; ⑵sin 2＋cos 2＝ ; ⑶tan ＝ . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 2 2 cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 2、（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 （3）在ABC Rt ?中，C ∠＝90，c = 8 , sinA = 4 1 ，则b = . 3、选择：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，3 1 tan = A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 （2）Rt ABC ?中，C ∠＝90，43AC BC ==，,cos B 的值为 （ ） 15A 、 35B、 43C、 34 D、 （3）ABC ?中，C ∠＝90，tan 1A =，则sin B 的值是 （ ） 3A 、 2B、1C、 2 D、4、计算： （1)sin 30o+cos 45o; (2) s in260o+cos260o-tan 45o. （3）???-??+?60tan 60sin 45cos 230sin (42453(sin 602cos30)tan30?-?+? 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。本题图中有三个三角形， 直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为解Rt △BDE 提供条件。 解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈4.20. 在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= 6.20, ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈7.96 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26 tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=3 3326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）. 三、构造直角三角形
九年级下册第一章 解直角三角形 1.1从梯子的倾斜程度谈起 2课时 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 1课时 1.3三角函数的有关计算1课时 1.4测量物体的高度2课时 1.5船有触礁的危险吗1课时 第一教时 【教学内容】从梯子的倾斜程度谈起（一） 【教学目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联 系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 【教学用具】三角板 【教学方法】引导—探索法. 【教学过程】 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△A B 2C 2有什么关系? ⑵ 2 22111B AC C B A C C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习： 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 修改与批注
《解直角三角形复习》教案 单位：泸县一中 年级： 九 学科： 数 学 设计者：_______ 时间：2015年 4月14日 【学习目标】： 1. 巩固三角函数的概念,巩固用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数. 2. 熟记30°，45°, 60°角的三角函数值.会计算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. 3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 【教学重点】：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化。 【教学难点】：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题。 【教学过程】： 一、考点梳理： 1.锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 2、特殊角的三角函数值 三角函数 角α sin α cos α tan α 30° 45° 60° 1sin =A A A ∠=∠———— ——— ————的、正弦函数：的=A A A ∠= ∠———— ——— ———— 的2、余弦函数：cos 的=A A A ∠=∠———— ——— ———— 的3、正切函数：tan 的
3、解直角三角形的定义及类型 (1)定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即______条边和______个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 4、解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. (2）方位角 一般以观察者的位置为中心，南北方向线与目标方向线之间的夹角叫方位角。如下图： OA 方向用方位角表示为 ；OB 方向用方位角表示为 。 （3）坡角、坡度 坡角：指坡面与水平线的夹角，如图中的 坡度：指坡面的垂直高度与水平距离的比，如图中的i =1:表示AF 与BF 的比 坡角与坡度的关系： 二、基础巩固： 1. 如图,在Rt △ABC 中, ∠ C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( ) 2.河堤横断面如图所示,堤高BC=6 m,迎水坡AB 的坡度为 ,则AB 的长为( ) 3 . 4A 4. 3B 3. 5 C 4. 5 D 3.12A m .43B m .53C m .63D m
解直角三角形单元测试题 一、判断题 1、ctgl5°·ctg75°＝ctg45°（）； 2、（2sin3O°－1）2＝1（）； 3、sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°＋sin30°（）； 4、在△ABC中，，则∶∶＝3∶6∶8（）； 5、锐角A＞B，则sinA＞cosB （）； 6、若α，β均为锐角，sinα－cosβ＝0，则α＋β＝90°（）； 7、三角形的一锐角A满足关系式，则A＝45°（）； 8、sinα的值随角α的不断增大而增大，cosα的值随角α的不断增大而减小（）； 9、直角三角形ABC中，sinA／sinB＝a／b，故直角三角形中，边长与其对角成正比（）； 10、在0°＜α＜90°时，tgα＜sinα（）。 二、填空题： 11、可用三角形内锐角的正弦表示成__________。 12、A为一锐角，若sinA＝，则cosA＝__________，又若cosA＝，则tgA ＝__________。 13、三边长分别为5、12、13的三角形的外接圆半径为________，内切圆半径为________。
14、顶角为锐角的正弦值为，周长为18cm的等腰三角形的底边长是 __________，腰长是__________。 15、A、B为直角三角形ABC的两锐角，sinA和sinB是方程的两个根，则＝__________，sin2A＋sin2B＝__________。 16、在直角三角形ABC中，∠C＝60°，斜边BC＝14 cm，则BC边上的高为 __________ cm 。 三、选择题 17、α为锐角，则＝（）。 （A）1－sinα－cosα（B）l＋sinα＋cosα （C）0 （D）sinα＋cosα－1 18、正六边形的两条对边相距12cm，那么这个正六边形的边长为（）。 （A）7.5 cm （B）cm （C）cm （D）cm 19、A、B为Rt△ABC的两锐角，∠C＝90°，则有（）。 （A）sinA＝sinB （B）cosA＝cosB （C）sinB＝cosC （D）sinA＝cosB 20、正三角形边长为，则其外接圆半径等于（）。 （A）（B）（C）（D） 21、若0°＜α＜90°，则的值等于（）。 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 四、计算和解答题 22、计算：
解直角三角形复习课教案 教学目标: 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三 角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数 解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 思想方法： 1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研 究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之 间的关系去进行数的运算. 2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使 问题变得清楚明了. 3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的 意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化. 教学重点： 1、锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3、直角三角形的解法． 教学难点： 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 四、考题透视 锐角三角函数在中考中考查的难度不大，分数约4-6分，主要以填空题、选择题出现；解直角三角形方面的应用题历来都是中考的重点和热点内容之一，分数达到8～12分不等，分值占的比例较大，应引起足够的重视。 考点一：锐角三角函数的概念 例1（郴州市2007年）如图1在直角三角形 B 3
ABC 中，则______． 考点二：特殊角的三角函数值的计算 例2：计算 考点三：解非直角三角形 例3 ：如图所示，已知:在△ABC中，∠A=60,∠B=45,AB=8.求△ABC的面积（结果可保留根号）。 考点四：解直角三角形的实际问题 例4、一高速铁路即将动工，工程需要测量某一段河的宽度。如图1，一测量员在河岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°. （参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）； 1）求所测之河的宽度 2）除图1的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图2中画出图形。
第1章解直角三角形专项练习 一、锐角三角函数： 1、 各三角函数之间的关系： ⑴ sin = cos _____ ; ⑵ sin 2 + cos 2 = ; ⑶ tan = ________ . ____ 2、 在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, AC = 12, BC = 15。 (1 )求 AB 的长； (2 )求 si nA 、cosA 的值; 2 2 (3)求 sin A cos A 的值； (4)比较 sinA 、cosB 的大小。 2、 (1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, a =,；5 , b =2，贝U si nA =_____________ 。 (2) 在 Rt △ ABC 中，/ A = 900,如果 BC = 10, sinB = 0.6，那么 AC = _________ 1 (3) 在 RUABC 中，一 C = 90, c = 8 , sinA = ，则 b = . 4 1 3、 选择：(1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, tanA , AC = 6，则 BC 的长为( 3 (3) sin 30 ..2 *cos45 —sin 60 *tan60 4 2sin4 5 - 3(sin60 -2cos30 ) tan30 二、解直角三角形 1、如图，身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是 30o 和60o 的三角尺测量一棵树的高度 .已知她与树之间的 距离为5m,那么这棵树大约有多高 ？ (2) Rt ABC 中， C = 90, AC =4, BC =3, cosB 的值为 1 r 3 4 r 3 A 、- B — C - D - 5 5 3 4 A 、6 B 、5 C ( (3) ABC 中， C = 90, tan A =1，则sin B 的值是 A > . 3 B .2 c 、1 D 鱼 2 4、计算: ( (1)sin 30o+cos45o; ⑵s in260o+cos250o-tan 45o.
第1章 解直角三角形 专项练习 一、 细心选一选 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=5 3 ，那么tanB=( ) A. 53 B. 54 C. 34 D. 4 3 2. 在△ABC 中， tan A ＝1，cos B ＝2 1 ，则∠C 的度数是（ ） A. 75° B.60° C. 45° D.105° 3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =1，BC =3，则sinA ，cosA 的值分别为( ) A. 21，33 B. 23，21 C. 2 1，3 D. 23，33 4．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( ) A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定 5．已知α是锐角，且sin α+cos α= 3 3 2,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 6 1 D. 1 6．化简：140tan 240tan 2 +-? ? 的结果为( ) A.1+tan40° B. 1－tan40° C. tan40°－1 D. tan 2 40°+1 7.已知β为锐角，cos β≤ 2 1 ，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 8.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( ) A. cos43°＞cos16°＞sin30° B. cos16°＞sin30°＞cos43° C. cos16°＞cos43°＞ sin30° D. cos43°＞sin30°＞cos16° 9．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α, 且cos α= 5 3 ，AB=4，则AD 的长为( ) A.3 B. 516 C. 320 D. 3 16 10．在平行四边形ABCD 中，已知AB=3cm ，BC=4cm ，∠B=60°，则S ABCD 等于( ) A. 63 cm 2 B. 123 cm 2 C.6 cm 2 . D.12 cm 2 二、精心填一填（共6小题；每小题5分，共30分） 11.若2sin （α+5°）=1，则α= °。 12.边长为8，一个内角为120°的菱形的面积为 。 13. 一等腰三角形的腰长为3，底长为2，则其底角的余弦值为 。 14.在△ABC 中，∠BAC=120°, AB=AC, BC=4,建立如下图的平面直角坐标系，则A 、B 、C 个点的坐标分别是;A( ， )、B( ， )、C( ， )。 15.如右下图，把矩形纸片OA BC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结O B 将 A B
2017-2018学年九年级数学下册第1章解直角三角形测试卷 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23 ，则BC 的长为( ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313 ,第1题图) ,第2题图) ,第3 题图) ,第4题图) 2．如图①是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt △ABC 中，sin B 的值是( ) A.12 B.32 C ．1 D.32 3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是( ) A.12 B.22 C.32 D.33 4．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( ) A ．3 m B ．3 5 m C ．12 m D ．6 m 5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0 A ．3 B.13 C.83 D ．3或13 7．如图，在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则?ABCD 的面积是( ) A.12ab sin α B ．ab sin α C ．ab cos α D.12 ab cos α ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) 8．如图，AC ⊥BC ，AD ＝a ，BD ＝b ，∠A ＝α，∠B ＝β，则AC 等于( ) A ．a sin α＋b cos β B ．a cos α＋b sin β C ．a sin α＋b sin β D ．a cos α＋b cos β 9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( ) A.53 B.23 C.255 D.52 10．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°.将纸片折叠，点A ，D 分别 落在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F ⊥CD 时，CF FD 的值为 ( ) A.3－12 B.36 C.23－16 D.3＋18 九年级下解直角三角形训练1 九年级下第一章解直角三角形教材分析 锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用.锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础.因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一. 一、教学内容 本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用. 研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想. 现实生活中与边角有关的实际问题 锐角三角函数 锐角三角函数的计算 锐角三角函数的运用 解直角三角形 解决与直角三角形有关的实际问题 本章内容之间的相互关系可用如下的结构框图表示： 框图说明： (1)现实生活中的边角之间存在着确定的数量关系，例如当斜面的倾斜角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系. (2)锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦(sinA)、余弦(cosA)和正切(tanA)三种. (3)三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30、45和60这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算. (4)锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形. 第一章解直角三角形达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1.cos 30°的值为() A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 3 2．如图，已知Rt△BAC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝1 2，则BC的长是() A.2 B.8 C.2 5 D.4 5 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD等于() A. 5 3 B. 2 3 C. 25 3 D. 5 2 4．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是() A.20° B.30° C.40° D.50° 5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于() A.14.7° B.14°7′ C.75.3° D.75°3′ 6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的式子中正确的是() A.CD＝b sin 33°＋a B.CD＝b cos 33°＋a C.CD＝b tan 33°＋a D.CD＝ b tan 33°＋a 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是() A.2 B.25 5 C. 5 5 D. 1 2 8．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝2(1＋3)，则BC等于() A.2 B. 6 C.2 2 D.1＋ 3 9．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为() A.82 m B.163 m C.52 m D.30 m 10．如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3 3 m，则鱼竿转过的角度是() A.60° B.45° C.15° D.90° 二、填空题(每题3分，共30分) 11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________． 12．若反比例函数y＝k x的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则k＝________． 13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝2 3，则AB＝________. 14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙． 15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时， 第一章 解直角三角形测试卷 班级 __________ 学号 姓名 得分____ 1、 填空：（16分） （1） 三角函数的定义：sinA ＝ ， cosA= ，tanA = 。 （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5 sin = B ，则cosB ＝___________. （3）Rt △AB C 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． （4）△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4 sin == AB A ，则AC ＝_________. （5）已知△ABC 中，AB ＝24，∠B ＝450，∠C ＝600，AH ⊥BC 于H ，则AH ＝ ； CH ＝ ． 2、选择：（18分） （1）在Rt △ABC 中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ） A 、都缩小 5 1 B 、都不变 C 、都扩大5倍 D 、无法确定 （2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） A 、6 B 、32 3 C 、10 D 、12 （3）已知∠A 是锐角，且A 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° （4）在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知α和A ，则下列关系式中正确的是( ) A 、c=a ·sinA B 、c= A a sin C 、c=a ·cosA D 、c=A a cos （5）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:11=i ，坝外斜坡的坡度1:12=i ， 则两个坡角的和为 （ ） A 、090 B 、060 C 、075 D 、0105 （6）在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有 B A cos sin =，则这个三角形是 （ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 北师大版9年级下 第一章 解直角三角形全章测试（B ）卷 一、填空: 1.如图1,在Rt ΔABC 中,∠C=900,b=2,c=3,则sinA 的值为______. 2.如图2,在Rt ΔABC 中,∠C=900,tanA=4 7,b=2,则a=____. 3.若α为锐角,且sin(α－200)= 2 3 ,则α的度数为_______. 4.如图3,ΔABC 中,∠450,∠C=600,高AD=3,则BC=____. 5.如图4,ΔABC 中,AB=3,AC=6,∠A=450,则S ΔABC =_____. 6.等腰ΔABC 中,AB=AC=9,cosB=3 1,则BC=____. 7．△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC= 2 2则 BC= 8．P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（3，4），则sin α= ，cos α= 9．（2007南充）一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西50o的方向行驶40海里到达B 地，再由 B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达 C 地，则A 、C 两地相距为 海里。 ， 10．如图，一台起重机它的机身高AB 为20m 吊杆AC 的长为36m ，吊杆对水平线的倾角可以 从30°转到80°，则这台起重机工作的吊杆端点C 离机身的最远水平距离是 。 11．在△ABC 中，三之比为a:b:c=1：3：2，则sinA+tan 2B= . 12. ,在Rt ΔABC 中,∠C=900,BC:AC=3:4,则cosA= 。 13．反比例函数x k y 的图像经过点（tan45°,cos60°）,则k= 。 14．小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们 的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道____m ． （结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97） 二、选择题: 1.在Rt ΔABC 中,∠C=900,下列等式,一定成立的是( ) (A)sinA=cosA. (B)sinA=sinB. (C)sinA=cosB. (D)sin(A+B)=cosC. 2.在Rt ΔABC 中,∠C=900,下列等式,错误的是( ) (A)b=ccosA. (B)a=btanB. (C)a=csinA. (D)b=a/tanA. 3.ΔABC 中,∠C=900,cosB=4∶5,则AB ∶BC ∶CA=( ) (A)3∶4∶5 (B)3∶5∶4 (C)5∶4∶3 (D)4∶3∶5. 4.在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是a ，测得斜坡的倾角是α，则斜坡上相邻两树间是坡面距离是（ ）A 、a ?sin α B 、a ?cos α C 、a a sin D 、a a cos 5.已知α为锐角,则sin α+cos α的值一定( ) (A)大于1. (B)小于1. (C)等于1. (D)无法确定. 6.如图,ΔABC 中,∠C=900,CD ⊥AB,BD=8,AD=2,则tanA=( ) (A)4. (B)2. (C)2 1 (D)4 1 7.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠C=900,∠D=α,AD=b,DC=a,则AB=( ) (A)a －bcos α. (B)a+bcos α. (C)a+bsin α. (D)a －bsin α. 8．已知：α,β都是锐角，且α＞β，则下面式子中，错误的是( ) （A ）cos α＜cos β（B ）tan α＞tan β（C ）sin α＞sin β（D ） αtan 1＞β tan 1 9．已知：α,β都是锐角,且α,β满足关系式丨sin α-0.5丨+丨tan β-1丨=0,则下列式子中,正确的是( )（A ）α+β=75°（B ）α+β=60°（C ）α+β=105° （D ）α+β=90° 10．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为 ( ) A 、 a sin 1 B 、a cos 1 C 、sina D .1 第一章 解直角三角形 【本检测题满分:120分，时间:120分钟】 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.计算： A. B. 232+ C.23 D.2 3 1+ 2.在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13，则cos B （ ） A ． 125 B ．512 C ．135 D ．13 12 3.（2015·浙江丽水中考）如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ， CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ） A . B. C . D. 第3题图 第4题图 第5题图 4.（2015?湖北荆门中考）如图，在△ABC 中，∠BAC =90゜,AB =AC ,点D 为边 AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ,则tan ∠DBC 的值为（ ） A. B. -1 C.2- D. 5.(2015·山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ,B ,C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A.2 B. C. D. 6.已知在Rt ABC △中，3 90sin 5C A ∠==°， ，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45 C. 54 D.3 4 7.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ，此时小球距 离地面的高度为( ) A.5 m B.25 m C.45 m D. 3 10 m 8.如图，在菱形中， ，3 cos 5 A =， ，则tan ∠的值是（ ） A ． 12 B ．2 C ．52 D ．5 5 9.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 10.（2015·哈尔滨中考）如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC ＝1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为（ ） A.1 200 m B.1 200 m C. 1 200 m D.2 400 m 第10题图 解直角三角形专项练习(含答案) 一、 填空题： 1. （广东03/6）若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. （陕西03/12）在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝21 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 60cos 4522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. （宁夏03/19）在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米， 那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米。 5. （上海闵行区03/14）已知等腰三角形的周长为20，某一内角 的余弦值为 3 2，那么该等腰三角形的腰长等于 。 6. （黑龙江03/10）如图：某同学用一个有60°角的直角三角板 估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米，3取1.732） 7. （四川03/3）如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且 BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. （上海03/13）正方形ABCD 的边长为1。如果将线段BD 绕着点 B 旋转后，点D 落在B C 延长线上的点 D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. （四川03/8）在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. （黄冈03/9）在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. （扬州03/11）为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得 楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为（ ） E D C B A 四川03/3 D A B C α 公开课--解直角三角形的方 法和技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 教师 学生 公开课 时间和时段 年 月 日 （ ： — ： ） 学科 数学 年级 九年级 教材名称 北师大版 授课题目 解直角三角形的方法和技巧 课 次 第（ 1 ）次课 锐角三角函数揭示了直角三角形中锐角与边之间的关系，运用锐角三角函数可以解决许多与直角三角形有关的问题，下面就如何运用三角函数解决问题的方法与策略 一、寻找直角三角形 图形中往往会有众多的图形存在，首先我们要找到所求元素所在的直角三角形，然后分析这个直角三角形已具备那些已知条件，还需要哪些条件，需不需要别的直角三角形为其提供条件。 例1、如图，∠B=90°，∠CDB=40°，DB=5，EC=2，求ED 的长。 分析：首先寻找直角三角形，其次是在直角三角形中求解。本题图中有三 个三角形，直角三角形有两个，而根据条件，Rt △BCD 可以先直接解，然后为 解Rt △BDE 提供条件。 解：在Rt △BCD 中，∵BD=5, ∴BC=5 40tg ≈. 在Rt △BDE 中，BE=BC+CE= , ∴ DE=22DB BE +=2544.38+ =44.63≈ 二. 借助代数方程 这些题型中的有些条件,不能直接代入直角三角形中边与边、边与角、角与角之间的公式进行求解，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后列方程求解。 例1、如图，已知∠Ｃ=90°,ＡＢ＝26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求ＢＣ的长． 分析:图形中有 Rt △DAC 和Rt △DBC ，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=32不属于任一个直角三角形，可以通过设BC=x ，则AC=x+26，让字母参与运算, 最后立方程求解。 解：设BC=x ∵∠CBD=45°，∠Ｃ=90° ∴BC=CD=x 在Rt △DAC 中，∠DAC=30°，AC=x+26 tan30°=26+x x ，3x= 3 （x+26），x=33326-, x=13（ 3 +1）∴BC=13（ 3 +1）. 三、构造直角三角形 在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需要你根据条 【易错题解析】浙教版九年级数学下册第一章解直角三角形单元测试卷 一、单选题（共10题；共30分） 1.在中，°, °，AB=5，则BC的长为( ) A. 5tan40° B. 5cos40° C. 5sin40° D. 【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴cosB= ， ∵AB=5，∠B=40°， ∴BC=AB·cosB=5cos40°. 故答案为：B. 【分析】根据余弦函数的定义得出cosB=，故BC=AB·cosB=5cos40°. 2.在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】∵∠C=90°，sinA=， ∴sinA==， 设AB=5x，BC=3x， ∴AC=4x， ∴tanB ==. 故答案为：A. 【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可得出答案. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4， 根据正切的定义知： tanB=. 故选A. 4.如图所示,热气球探测器在A点处,点B为楼顶,点C为楼底,AD为水平线,EF为经过点A的铅垂线,则下列说法正确的有( ) ①∠1为仰角; ②∠2为仰角; ③∠3为俯角; ④∠4为俯角. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题 【解析】【解答】解：正确的说法是②∠2为仰角，③∠3为俯角； 故答案为：B 【分析】根据仰角与俯角的定义，视线在水平线上方，由视线和水平线所形成的夹角就是仰角；视线在水平线下方，由视线和水平线所形成的夹角就是俯角；根据定义即可一一判定。 5.在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB= ，则∠C的正弦值等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC， ∵sinB= ， ∴= ， ∵AB=5， ∴AD=3， ∴BD==4， ∵BC=6， ∴CD=2， ∴AC== ， ∴sinC=== ， 故选C． 【分析】过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可． 6.如图，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东70°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（） A. 95° B. 85° C. 60° D. 40°九年级下第一章 解直角三角形教材分析
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