1.Players A and B take turns in answering trivia questions, starting with player A answering the ?rst question. Each time A answers a question, she has probability p 1 of getting it right. Each time B plays, he has probability p 2 of getting it right.
(a)If A answers m questions, what is the PMF of the number of questions she gets right?
The r.v.is Bin(m,p 1),so the PMF is m
k
p k 1(1 p 1)m k for k 2{0,1,...,m }.(b)If A answers m times and B answers n times,what is the PMF of the total number of questions they get right (you can leave your answer as a sum)?Describe exactly when/whether this is a Binomial distribution.
Let T be the total number of questions they get right.To get a total of k questions right,it must be that A got 0and B got k ,or A got 1and B got k 1,etc.These are disjoint events so the PMF is
P (T =k )=k X j =0?m
j ◆p j 1(1 p 1)m j ?n k j
◆p k j 2(1 p 2)n (k j )for k 2{0,1,...,m +n },with the usual convention that n k is 0for k >n .
This is the Bin(m +n,p )distribution if p 1=p 2=p ,as shown in class (using the story for the Binomial,or using Vandermonde’s identity).For p 1=p 2,it’s not a Binomial distribution,since the trials have di ?erent probabilities of success;having some trials with one probability of success and other trials with another probability of success isn’t equivalent to having trials with some “e ?ective”probability of success.(c)Suppose that the ?rst player to answer correctly wins the game (with no prede-termined maximum number of questions that can be asked).Find the probability that A wins the game.
Let r =P (A wins).Conditioning on the results of the ?rst question for each player,we have r =p 1+(1 p 1)p 2·0+(1 p 1)(1 p 2)r,
which gives r =p 11 (1 p 1)(1 p 2)=p 1p 1+p 2 p 1p 2
.1
SI 241 Probability & Stochastic Processes, Fall 2016
Homework 3 Solutions
随机过程2016
作业及答案
2.A message is sent over a noisy channel.The message is a sequence x1,x2,...,x n of n bits(x i2{0,1}).Since the channel is noisy,there is a chance tha t any bit might be corrupted,resulting in an error(a0becomes a1or vice versa).Assume that the error events are independent.Let p be the probability that an individual bit has an error(0 To help detect errors,the n th bit is reserved for a parit y check:x n is de?ned to be 0if x1+x2+···+x n 1is even,and1if x1+x2+···+x n 1is odd.When the message is received,the recipient checks whether y n has the same parit y as y1+y2+···+y n 1. If the parity is wrong,the recipient knows that at least one error occurred;otherwise, the recipient assumes that there were no errors. (a)For n=5,p=0.1,what is the probabilit y that the received message has errors which go undetected? Note that P n i=1x i is even.If the number of errors is even(and nonzero),the errors will go undetected;otherwise,P n i=1y i will be odd,so the errors will be detected. The number of errors is Bin(n,p),so the probability of undetected errors when n=5,p=0.1is?52◆p2(1 p)3+?54◆p4(1 p)?0.073. (b)For general n and p,write down an expression(as a sum)for the probability that the received message has errors which go undetected. By the same reasoning as in(a),the probability of undetected errors is X k even,k 2?n k◆p k(1 p)n k. (c)Give a simpli?ed expression,not involving a sum of a large number of terms,for the probabilit y that the received message has errors which go undetected. Hint for(c):Letting a=X k even,k 0?n k◆p k(1 p)n k and b=X k odd,k 1?n k◆p k(1 p)n k, the binomial theorem makes it possible to?nd simple expressions for a+b and a b, which then makes it possible to obtain a and b. 2 Let a,b be as in the hint.Then a + b =X k 0?n k ◆p k (1 p )n k =1, a b = X k 0?n k ◆( p )k (1 p )n k =(1 2p )n . Solving for a and b gives a =1+(1 2p )n 2and b =1 (1 2p )n 2 .X k even,k 0 ?n k ◆p k (1 p )n k =1+(1 2p )n 2.Subtrac ting o ?the possibility of no errors,we have X k even,k 2 ?n k ◆p k (1 p )n k =1+(1 2p )n 2 (1 p )n .Miracle check :note that letting n =5,p =0.1here gives 0.073,which agrees with (a);letting p =0gives 0,as it should;and letting p =1gives 0for n odd and 1for n even,which agai n makes sense. 33.Let X be a r.v. whose possible values are 0, 1, 2,...,with CDF F .In some countries, rather than using a CDF, the convention is to use the function G de?ned by G (x )=P (X Write G (x )=P (X x ) P (X = x )=F (x ) P (X = x ). If x is not a nonnegative integer, then P (X = x )=0so G (x )=F (x ). For x a nonnegative integer,P (X = x )=F (x ) F (x 1/2) since the PMF corresponds to the lengths of the jumps in the CDF. (The 1/2was chosen for concreteness; we also have F (x 1/2) = F (x a )for any a 2 (0, 1].)Thus,G (x )=(F (x )if x /2{0,1,2,...}F (x 1/2)if x 2{0,1,2,...}. t More compact ly, we can also write G (x )=lim !x F (t ), where the denotes taking a limit from the left (recall that F is right continuous), and G (x )=F (d x e 1),where d x e is the “ceiling” of x (the smallest integer greater than or equal to x ). 4.There are n eggs, each of which hatches a chick with probability p (independently).Eac h of these chicks survives with probability r , independently. What is the distri-bution of the number of chicks that hatch? What is the distribution of the number of chicks that survive? (Give the PMFs; also give the names of the distributions and their parame ters, if they are distributions we have seen in class.)?? ??? x ?? ?? ?? ??? ??? x ?? ??? ?? ?Let H be the number of eggs that hatch and X be the number of hatchlings that survive.Think of each egg as a Ber noulli trial,where for H we de?ne “success”to mean hatching,while for X we de?ne “success”to mean surviving.For example,in the picture above,where ?? ?denotes an egg that hatches with the chick surviving,?? x denotes an egg that hatched but whose chick died,and ?? denotes an egg that hatch,the events H =7,X =5occurred.By the of the Binomial,H ?Bin(n,p ),with PMF P (H =k )= n k p k (1 p )n k for k =0,1,...,n . The eggs independently have probability pr each of hatching a chick that survives.By the story of the Binomial,we have X ?Bin(n,pr ),with PMF P (X =k )= n k (pr )k (1 pr )n k for k =0,1,...,n .5.A scientist wishes to study whether men or women are more likely to have a certain disease, or whether they are equally likely. A random sample of m women and n men is gathered, and each person is tested for the disease (assume for this problem that the test is completely accurate). The numbers of women and men in he sa B n(n,w p ho ha He ve re p h e di and seas p e ar are e X unkno and Y wn,re p s and ec w tiv e e r a ly,Y i 2.1 2 e w in ith tereste d ?Bi in n(testin g p 1) a the le mp t t X ,m nd ?) “null hypothesis” p 1 = p 2. (a) Consider a 2 by 2 ta ble listing with rows corresponding to disease status and columns corresponding to gender, with each entry the count of how many people have that disease status and gender (so m + n is the sum of all 4 entries). Supp ose that it is observed that X + Y = r .The Fisher exact test is based on conditioning on both the row and column sums, so m, n, r are all treated as ?xed, and then seeing if the observed value of X is “extreme” compared to this conditional distribution. Assuming the null hypothesis, use Ba yes’ Rule to ?nd the conditional PMF of X given X + Y = r .Is this a distribution we have studied in class? If so, say which (and give its paramet ers).First let us build the 2 ? 2 table (conditioning on the totals m, n, and r ). 4 Women Men Total Disease x r No Disease m x r r x +n x m +n r Total n m m +n Next,let us compute P (X =x |X +Y =r ).By Ba yes’rule, P (X =x |X +Y =r )=P (X +Y =r |X =x )P (X =x ) P (X +Y =r ) =P (Y =r x )P (X =x )P (X +Y =r ) .Y Assum Bi i n n (g n,th p e )w nu i l t l h h X ypot inde h p esi e s nde an n d t l of etti Y ng ,s p o =X p +1Y =p 2Bi ,w n(e n h +ave m,X p ).?T Bi h n us (, m,p )and ??r x p r x p p )r n (1 r +x n m x p x (1 p )m x (1m + n r p )m +n r P (X =x |X +Y =r )== m n x m +r n r x .So the conditional distribution is Hypergeometric with parameters m, n, r. (b) Give an intuitive explanation for the distribution of (a), explaining how this problem relates to other problems we’ve seen, and why p 1 disappears (magica lly?) in the distribution found in (a). This problem has the same structure as the elk (capture-recapture) problem. In the elk problem, we take a sample of elk from a population, where earlier some were tagged, and we want to know the distribution of the number of tagged elk in the sample. By analogy, think of the women as corresponding to tagged elk, and men as corresponding to unta gged elk. Having r people be infected with the disease corresponds to capturing a new sample of r elk the number of women among the r diseased individuals corresponds to the number of tagged elk in the new sample.Under the null hypothesis and given that X + Y = r ,the set of diseased people is equally likely to be any set of r people.It makes sense that the conditional distribution of the number of diseased women does not depend on p ,since once we know tha t X + Y = r ,we can work directly in terms of the fact that we have a population with r diseased and m + n r undiseased people, without worrying about the value of p that originally generated the population characteristics.5 随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(； 山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ） 二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。 三． 简答题（每小题5分，共10分） 1． 简述马氏链的遍历性。 答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？ 答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分） 解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分） 解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程 随机过程-期中考试试卷答案 一、填空题（每题4分，共20分） 1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数?(t)=eλ(e it?1) 2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的参数集 3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t)) 4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=E(N(t)) t 5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。则{X n,n≥1}的状态空间E={1,2,3,4,5,6} 二、判断题（每题4分，共20分） 1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). Ⅹ 2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有 C X(s,t)=σX2(min(s,t))√ 3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). √ 4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)?W(3)与W(4)?W(2)独立. Ⅹ 5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)?N(2)服从参数为3λ的泊松分布. √ 三、计算题（每题20分，共60分） 1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为 （1）求X(t)的均值函数、方差函数； （2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。 解 (1) 根据概率论知识，E (V )=0.2,E (V 2)=1，由此可得 ……2分 均值函数 μX (t )=E (tV )=tE (V )=0.2t ……4分 方差函数 σX 2(t )=E(tV)2?(μX (t ))2 =t 2?(0.2t )2=0.96t 2 ……4分 (2) X (2)=2V 的分布律为 于是得一维分布函数F(x;2) F (x;2)={0, x 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 随机过程-期中考试试卷 一、填空题（20分） 1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数?(t)= 2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的 3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)= 4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ= 5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。则{X n,n≥1}的状态空间E= 二、判断题（20分） 1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). 2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有 C X(s,t)=σX2?min?(s,t) 3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). 4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)?W(3)与W(4)?W(2)独立. 5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)?N(2)服从参数为3λ的泊松分布. 三、计算题（60分） 1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为 （1）求X(t)的均值函数、方差函数； （2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。 2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0. 3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。试求 （1）前6年平均维修次数； （2）前6年维修次数超过1次的概率。 3. 设{W(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动，记随机过程X(t)=W(t+2)?W(t),t≥0，试求随机过程X(t)的相关函数R X(1,4)和R X(1,2). 第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为 应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为 ！ 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ￥ ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ? ? ?? ? ，；， 。 】 解： 00 11101222 11 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24，共12小题，每空1分） 1、数字通信系统的有效性用 传输频带利用率 衡量，可靠性用 差错率 衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可 连续 取值的信号，数字信号是指信号的参量可 离散 取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与 时间 无关，自相关函数只与时间间隔有关。 4、一个均值为零方差为2n σ的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布，相位的一维分布服从均匀分布。 5、当无信号时，加性噪声是否存在？ 是 乘性噪声是否存在？ 否 。 6、信道容量是指： 信道传输信息的速率的最大值 ，香农公式可表示为：)1(log 2N S B C +=。 7、设调制信号为f （t ）载波为t c ωcos ，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 t t f c ωcos )(，频域表达式为)]()([2 1c c F F ωωωω-++。 8、对最高频率为f H 的调制信号m （t ）分别进行AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调信号的带宽分别为 2f H 、 2f H 、 f H 。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为 2W 波特。 10、PSK 是用码元载波的相位来传输信息，DSP 是用前后码元载波的 相位差 来传输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的 码间串扰，二是传输中叠加的 加性噪声 。 12、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时，A 律对数压缩特性采用 13 折线近似，μ 律对数压缩特性采用15 折线近似。 二、填空题 1、模拟通信系统中，可靠性最好的是（FM），有效性最好的是（SSB）。 2、在FM通信系统中，采用预加重和去加重技术的目的是（提高解调器输出信噪比）。 3、时分复用的话路数越多，信息速率（越大）。 4、在2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK通信系统中，可靠性最好的是（2PSK），有效性最好的是（2ASK、2PSK） 5、均匀量化器的量化信噪比与编码位数的关系是（编码位数增加1位，量化信噪比增大6dB），非均匀量化器可以提高（小）信号的量化信噪比。 (式9.4.10) 信号量噪比：（S/N）dB=20lgM=20lg2N (N为编码位数) 编码位数增加一位，（S/N）dB=20lgM=20lg2（N+1）-20lg2N=20lg2=6dB 6、改善FM系统抗噪声性能的有效措施是（采用预加重技术和去加重技术） 7、若信息速率为Wbit/s,则2PSK、4PSK信号的谱零点带宽分别为（）和（）Hz PSK信号为双极性不归零码，对基带信号RB=1/Ts=fs=Rb/log2M, B=fs= Rb/log2M 对调制信号：带宽为B调=2B=2 Rb/log2M=2W/ log2M 习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求： （1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ； （2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ； （3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ， 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n = 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 随机过程例题 例1 求正态随机变量),0(~2σN X 的特征函数和各阶矩。 解：),0(~2σN X 的概率密度函数为 +∞ <<∞-= - x x f x ,e 21 )(2 22σσ π 2 j 2j 222 2e d e e 21 d e )()(ωσωσωσ πω- ∞ ∞ -- ∞ ∞ -===Φ? ? x x x f x x x ?? ?-????=Φ-==为偶数（为奇数n n n X E n n X n n n ,)1531 ,0d ) (d )j ()(0σωωω 例2 设随机变量X 服从标准正态分布N(0, 1)，定义随机变量Y = X2，求Y 的概率密度函数和 数学期望。 解：X 的概率密度为： y -x y x h(y) = x ， x = g(x) =y 112==，， Y 的概率密度函数为： 0 ,e 21 2)(2)(d d )()(2≥= -+==-y y y y f y y f y x x f y y πψ Y 的数学期望为： 1 d e 2d )()(0 2 ===? ?∞ - ∞+∞ -y y y y y Y E y π ψ 1d e 2d )()()]([)(2 22 ====? ?∞ +∞ --∞+∞ -x x x x f x g X g E Y E x π 例3 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X ω)，其中 a >0，ω为常数，Θ 为在 ），（π20内均匀分布的随机变量。求随机过程} ) (0, t (t), X {∞∈的均值函数)t (m X 和相关函数 t)(s,R X 解： f ( 随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a ）分别写出随机变量和的分布密度 （b ）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a ）试求和的相关系数； （b ）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a ）利用的独立性，由计算有： （b ）当的时候，和线性相关，即 3、 设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数 为 ，且是一个周期为T 的函数，即， 试求方差函数 。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a ）求的均值、方差和相关函数； （b ）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a ） （b ） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数， 为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数 ，因此有一维分布： P35/4. 解： (1) 其中 由题意可知， 的联合概率密度为： 利用变换： ，及雅克比行列式： 我们有 的联合分布密度为： 因此有： 且 V 和 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于 独立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且 所以 。 （4） 由于： 所以 因此 当时， 当 时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时 ；否则 令 ，则有 （2） 平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ??? ??? ? ? ??=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内， 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t )，-∞ 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解： 1 当0cos 0t ω=，02t k π ωπ=+，即0112t k πω??=+ ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02t k π ωπ≠+，即0112t k πω??≠+ ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω-=；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ??? ；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ?? ???，；， 。 解： 随机矢量()112? ??? ? ????? ，X X 的可能取值为()01-，，()12，. 而()1101122????==-=?? ?????，P X X ，()1111222 ????===?? ?????，P X X . 3. 设随机过程(){} X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线 ()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=， 且()()()12313 P P P ωωω=== 。试求数学期望()EX t 和相关函数()12X R t t ，。 解： ()()11111sin cos 1sin cos 3333 EX t t t t t =?+?+?=++. ()1211cos 3=+-??? ?t t . 4. 设随机过程()Xt X t e -=，（0t >），其中X 是具有分布密度()f x 的随机变量。试求()X t 的一维分布密度。 解： ()X t 的一维分布函数为： 111ln 1ln ????=-<-=--?? ????? P X x F x t t . X 具有分布密度()f x ， ()∴X t 的一维分布密度为： ()()11111ln ln ??????'==--??-=-?? ? ? ?????????；；f x t F x t f x f x t x t tx t . P40 5. 在题4中，假定随机变量X 具有在区间()0T ，中的均匀分布。试求随机过程的数学期望()EX t 和自相关函数()12X R t t ，。最新随机过程考试试题及答案详解1
(完整版)答案应用随机过程a
随机过程期中考试试卷答案
随机过程习题答案A
随机过程期中考试试卷
第十二章 平稳随机过程
应用随机过程试题及答案
随机过程作业题及参考答案(第一章)
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案
随机过程复习题(含答案)
通信原理期末考试试题及答案
应用随机过程习题课二
随机过程习题和答案
随机过程试题
随机过程习题答案
平稳随机过程及其数字特征
随机过程考试真题
随机过程作业题及参考答案第一章
相关主题
文本预览