选修2-21.3.1函数的单调性与导数
一、选择题
1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()
A．b2－4ac>0B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0
[答案] D
[解析]∵a>0，f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.
2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析]考查导数的简单应用．
f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)
[答案] B
[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．
4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)
的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 当0 ∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数 当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C. 5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.? ????－π，－π2和? ?? ??0，π2 B.? ????－π2，0和? ?? ??0，π2 C.? ????－π，－π2和? ?? ??π2，π D.? ????－π20和? ?? ??π2，π [答案] A [解析] y ′＝x cos x ，当－π 时， cos x <0，∴y ′＝x cos x >0， 当0 时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 6．下列命题成立的是( ) A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0 B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数 C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在 D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存在，则f (x )必为单调函数 [答案] B [解析] 若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内是单调函数与f ′(x )是否存在无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数为f ′(x )＝0存在，但f (x )无单调性，故D 错． 7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 [答案] B [解析] f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0. 8．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a A ．af (a )≤f (b ) B ．bf (b )≤f (a ) C ．af (b )≤bf (a ) D ．bf (a )≤af (b ) [答案] C [解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，且x >0，f (x )≥0， ∴f ′(x )≤－f (x )x ，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又0＜a ＜b ，∴af (b )≤bf (a )． 9．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1) [答案] C [解析] 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数， 故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C. 10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为 ( ) [答案] A [解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A. 二、填空题 11．已知y ＝13 x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________． [答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋ 2)≤0，∴－1≤b ≤2， 由题意b ＜－1或b ＞2. 12．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________． [答案] a ≥1 [解析] 由已知a ＞1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x 2＜0 (x ＞1)， ∴g (x )＝1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g (x )＜g (1)， ∵g (1)＝1， ∴1＋ln x x ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1. 13．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________． [答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)， 令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12 ， ∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)． 14．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________． [答案] [3，＋∞) [解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立， 即a >32 x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 三、解答题 15．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b . 由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12， 即????? 1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12， 解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得 f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 16．求证：方程x －12 sin x ＝0只有一个根x ＝0. [证明] 设f (x )＝x －12 sin x ，x ∈(－∞，＋∞)， 则f ′(x )＝1－12 cos x ＞0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数． 而当x ＝0时，f (x )＝0， ∴方程x －12 sin x ＝0有唯一的根x ＝0. 17．已知函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间． [分析] 可先由函数y ＝ax 与y ＝－b x 的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间． [解析] ∵函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0. 由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′＞0，得3ax 2 ＋2bx ＞0，∴－2b 3a ＜x ＜0. ∴当x ∈? ?? ??－2b 3a ，0时，函数为增函数． 令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0， ∴x ＜－2b 3a ，或x ＞0. ∴在? ?? ??－∞，－2b 3a ，(0，＋∞)上时，函数为减函数． 18．(2010·新课标全国文，21)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12 ，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． [解析] (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12 x 2， f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f (x )＝x (e x －1－ax )． 令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a . 若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0. 当a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0. 综合得a 的取值范围为(－∞，1]． 1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间； 导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。 例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。 1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时， 底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程. 《导数及其应用》全章复习与巩固 编稿:李 霞 审稿: 张林娟 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题. 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题. 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题. 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一:有关切线问题 直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上； ②切点在曲线上； ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释: 通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组. 要点二:有关函数单调性的问题 设函数()y f x =在区间(a,b)内可导, (1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a,b)内为增函数； (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a,b)内为减函数； (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a,b)内为常数函数. 要点诠释: (1)若函数()f x 在区间(a,b)内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a,b)内单调递减,则 '()0f x ≤. (2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤. ② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使min (,)0f x m ≥. (或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使max (,)0f x m ≤) 要点三:函数极值、最值的问题 函数极值的问题 (1)确定函数的定义域； (2)求导数)(x f '； (3)求方程0)(='x f 的根； (4)检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释: ①先求出定义域 ②一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点； 若由负变正,则该点为极小值点. 注意:无定义的点不用在表中列出 ③根据表格给出结论:注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； (3)求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ； (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 要点诠释: ①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值. 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立． 第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？ 小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。 高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值 选修2-2第一章单元测试（一） 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx 2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则() A . a = 1, b = 1 B . a =— 1, b = 1 C . a = 1, b =— 1 D . a =— 1, b =— 1 3. 设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =( ) In2 A . e 2 B . e C^^ D . ln2 4. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( ) B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂 C . f (x)= 2 x + x cosx D . f ‘ sinx 厂 (x)= 2 x — x cosx 1 -3 -3 6. 如图是函数y= f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断: ①f(x)在区间［—2,—1］上是增函数； ②x=—1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数； ④x= 2是f(x)的极小值点. 其中，所有正确判断的序号是() A .①② B .②③C.③④ D .①②③④ 7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是() A. O w a w 21 B. a= 0 或a = 7 C. a<0 或a>21 D. a= 0 或a= 21 8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q,则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q= 8 300—170P—P2，则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)() A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元 x 9. 函数f(x) = —g(a 导数应用 一．复习目标： 1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 2．熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x, lnx, log x的导数）。 a 掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。 二．考试要求： ⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。 ⑵熟记基本导数公式（c,x m(m为有理数)，sin x, cos x, e x, a x,lnx, log x的导数）。掌 a 握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微）； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。 2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 4．曲线的切线 在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推 l与曲线C有惟广是不妥当的．如图3—1中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sinx．直线 1 本卷第1页（共22页） 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 导数的综合应用题 编稿：赵 雷 审稿：李 霞 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一、有关切线问题 直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上 ②切点在曲线上 ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。 要点诠释： 通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组。 要点二、有关函数单调性的问题 设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导， （1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数。 要点诠释： （1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ） 内单调递减，则'()0f x ≤。 （2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤。 ② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使 min (,)0f x m ≥。 （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使）max (,)0f x m ≤） 要点三、函数极值、最值的问题 1.函数极值的问题 ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： （1）先求出定义域 （2）一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点。 注意：无定义的点不用在表中列出 （3）依表给结论：注意一定指出在哪取得极值。 2.函数最值的问题 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值 1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： 一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 ２.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ３.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 ４.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ ５.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-７.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1 导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f知识点一-导数与函数的单调性
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