章节：人教A选修2-1第2章第4节抛物线及其标准方程
学校：厦门双十中学
姓名：陈锦荀
学段：高三
一、教学设计
1.内容和内容解析
“抛物线及其标准方程”是高中数学教材选修2-1第二章第四部分的第一节课。此节是建立在已学过圆、椭圆、双曲线（特别是后两者）的基础上，由圆锥曲线的第二定义展开，得到的一类特殊的曲线，同时也弥补了离心率为1的情况。同时，抛物线的定义也为后续抛物线的几何性质做了铺垫。所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启下的作用，同时也对圆锥曲线提出了统一的定义（第二定义：到焦点的距离与到相应准线的距离的比为常数（e））。该课时通过引导学生观察，寻找到几何和代数之间的桥梁——建系，再次巩固了学生对于几何问题代数化的一种同法，同时授课过程中，多种多媒体的介入，多次学生动手的操作让学生对数学产生兴趣。
2.目标和目标解析
⑴知识目标：
1.掌握抛物线的定义及其标准方程；
2.通过对抛物线标准方程的理解与探求，巩固求曲线方程的一般方法——建系。
⑵能力目标:
通过自我探究、操作、数学思想的运用等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。
⑶情感目标:生活实例的引入，让学生感受数学存在生活之中，生活实例的解决让学生感受到“生活中有数学”，最终引入数学中的例子反馈到生活中，让学生感受到“数学中有生活”。其次，在教学过程中充分揭示“数”与“形”的内在联系，以及标准方程的欣赏，引导学生体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。
3.教学问题诊断分析
（1）本课堂的引入列举生活实例时，由于现实生活中存在的实物几乎都是三维空间的，比如隧道，太阳灶等问题，适当引导学生从其截面上去感受。
（2）为了让学生能够有更形象的体会抛物线的形成过程，引导学生采用直尺、三角板、绳子和签字笔自己做抛物线时，由于学生动手经验的不到位和误差的存在，往往导致实验的失败，适当对道具进行提前的准备，在制作过程中对于点的选取等进行引导，以及现场进行适当操作进行引导。
（3）班级学生的学习习惯的差异导致学生课前准备有所差异，比如建系的过程，有课前预习的同学普遍会把坐标系建成满足标准方程的格式，而未预习的学生可能建系就有所差异，甚至于无从下手。建系时，引导学生回顾已学过的椭圆、双曲线的建系规则，向着最简、最美的方向想，充分考查曲线的对称性的特点。对于已预习的同学，建议可否还有其他建系方式等。
4.教学支持条件分析
（1）为了让学生对抛物线的感觉更具体，本课堂多次采用生活中的例子，多媒体的应用无可避免。
（2）学生自己动手画出抛物线能让学生能更贴近感受到抛物线的生成过程，同时也为后续工作：如建系等做好了准备工作。为了实验的成功率，相应的实验器材：直尺、三角板、绳子、签字笔等器材的准备和改以及教师利用幻灯机进行当场投影演示都是必要的。
5.教学过程
A ．设置情景，导入新课
（借助多媒体）先展示出三张詹姆斯的图片。（引起学生的兴趣）
师：现在我们来谈一谈大多数学生都感兴趣的一项体育运动——篮球。
提到篮球，我们就不得不说一说我们的“皇帝”——詹姆斯。詹姆斯
3次被评为NBA 最有价值的球员，获得NBA 冠军和总决赛MVP 以及奥
运金牌，达成了完美的“四双”，刷平了篮球大帝迈克尔.乔丹在1992
年创下的记录。詹姆斯能取得如此的成就，主要原因在哪呢？
生：（预测：身高、天赋、技巧……——）
师：对了，身高、天赋等都是不可避免的因素，但技巧却是不可缺少
的！大家有没有注意到投篮时，篮球的运动轨迹是什么？
生：（预测：抛物线！）
师：（展示第四张图片）对了，篮球的运动轨迹是条抛物线。今天我们
就一起来欣赏下抛物线。
（同时在黑板上写上课题：抛物线及其标准方程）
从感性认识入手，提出问题，为下面学生认识从感性认识逐步上升到理
师：其实除了篮球的运动轨迹是一条抛物线外，我们生活中也存在着
很多抛物线的影子，谁能列举下我们生活中的抛物线？
（请学生回答）：太阳灶、车灯、彩虹、桥拱……
（教师配合学生一起寻找生活中的抛物线，并课件展示部分有抛物线
轮廓的实物，特别是学生身边的实物）（学生焕然大悟！）
B ．授新课
师：抛物线其实就在我们身边，那抛物线的定义是什么呢？如何才能做出一条抛物线呢？现在我们自己来亲自做出一条抛物线。
师：现在每组同学桌面上都有一套实验器材，大家按照我的要求作图。
<1>把一根直尺固定在黑板上面
<2>把一块三角板地一条直角边紧靠在直尺的边缘
<3>取一根直线，它的长度与另一直角边相等
<4>取一个定点F，细绳的一端固定在三角板的A处，另一端固定在纸板上点F处。
<5>用粉笔扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直
尺上下滑动，画出图像。
（教师先对照多媒体说明画法，然后切换到幻灯片，演示
作图过程，成功画出一条抛物线）（学生感觉很棒，并跃
跃欲试）
师：现在请我们的同学动手做一条属于你们自己的抛物线。
（教师巡视全场，并指导学生作图，及时展示已经完成
的同学的图像。务必保证每组同学能够做出一条抛物线来，
为后续工作做准备）
师：现在我们同学都已经做出了抛物线的图像了（展示画
出的抛物线的图像），谁能告诉我抛物线的定义是什么呢？
（请学生回答）
师：抛物线上的点有什么共同的特征呢？
引导学生观察得出
1．|MF|，|MA|都在变化;
2.∣MF∣+∣MA∣的长度保持不变;
3.∣MF∣+∣MA∣=∣MH∣+∣MA∣
（请学生回答）
生：（预测）到定点F的距离等于到定直线l的距离相等的点的轨迹。
（若学生无法得出较完整的定义，不凡再次返回引导学生观察）
师：很好！（在黑板上板书定义，并把细节补充完整）
师：我们已经从几何的角度研究了抛物线的图像。现在我们来从代数的角度研究抛物线。要从代数的角度研究抛物线就必须先写出抛物线的方程。
（老师板书：抛物线的标准方程）
（老师与学生一起回顾曲线方程建立的过程：建系、设点、列式、化简、检验）
师：请每组同学在已经做好的抛物线上建系。
（教师巡视全场，并适当引导学生观察图像建系）
学生有可能出现的方案有一下几种
方案一：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，取线段KF 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ；
方案二：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，取l 为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ；
方案三：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，取F 点为原点，建立平面直角坐标系xOy ；
方案四：方案一的做法，但正方向相反或x 轴和y 轴互换（若有这种画法的，先肯定学生，然后后面再补充）
师：我们同学的建系大致有如下三种方案
（课件展示方案一~方案三）
师：现在我们(),,M x y F l p 设点到直线的距离为
（课件展示）
师：请依照你们所建的系列出抛物线的方程，并化简出最终结论。
（请学生回答三种建系方案所得到的曲线方程）
学生动手操作，一般可以得出上面三个方案的结论。
()
()()
22222202020y px p y px p p y px p p =>=+>=->方案一：方案二：方案三：
师：很好！观察三种方案得出的曲线方程，大家觉得哪一套方案的曲线方程最简洁、最美？ （通过引导观察，学生一般都可以肯定方案一的结论。）
（展示课件，隐去其他两种方案。引导学生观察曲线上的点都是方程的解，方程的解都在曲线上。）
师：我们把这个方程称为抛物线的标准方程。
师：观察图像，这个图像有什么特点？
师：那如果开口向左，或开口向上、开口向下时，它们的标准方程又是什么呢？它们的焦点坐标和准线方程有什么不同呢？
（课件展示四类抛物线的图像，引导学生观察）
C 、例题巩固
例1 已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程。
例2 已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程；
变式一：已知抛物线的焦点在x 轴上，且过()8,4A ，求抛物线的标准方程。
变式二：已知抛物线过()8,4A ，求抛物线的标准方程。
道。
（提出生活中的实例，根据学生对问题的研究而决定解答或留给学生思考。）
为什么二次函数的图像是条抛物线呢？
（引导学生对二次函数的图像进行化简，并整理成抛物线的标准方程）
D、总结
师：这节课我们都学了些什么内容？
E、布置作业
二、教学实践心得
抛物线及其标准方程的教学价值的挖掘与思考
“抛物线及其标准方程”是高中数学教材选修2-1第二章第四部分的第一节课。此节是建立在已学过圆、椭圆、双曲线（特别是后两者）的基础上，由圆锥曲线的第二定义展开，得到的一类特殊的曲线，同时也弥补了离心率为1的情况。同时，抛物线的定义也为后续抛物线的几何性质做了铺垫。所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启下的作用，同时也对圆锥曲线提出了统一的定义（第二定义：到焦点的距离与到相应准线的距离的比为常数（e））。
秉着“以人为本”的教育方针，思考数学这门学科有什么用，对学生的未来会带来什么影响为宗旨。本节课设计时，将课堂交给学生，由学生作图——建系——列式——化简，最终确定抛物线的标准方程。在整个教学过程中，教师始终处于一个引导的地位，所有结论均由学生得出，教师进行适当的归纳。在教学过程中，始终扣紧“生活中有数学，数学中有生活”的主题，从生活中引入数学，最终解答生活中的问题，使学生对数学进行全新的认识，颠覆学生“数学在生活中只是计算”的概念。多种手段的应用，多方面的启发，多角度的切入是这堂课能够活跃的根本。
当然，在教学过程中也暴露了一些问题
1.实验主体的能力差异
学生动手能力的参差不齐导致在抛物线画法的实验中，即使我们老师亲力亲为，现场指导下，还是有部分学生靠临摹都无法按规定独立完成作图。显然学生自己动手操作能加深学生对于知识的理解与掌握，让偶尔的实验无法锻炼学生的动手能力，从而也给教学带来极大
的困扰。加强数学教学中的学生动手实验是我们改革的一个目标。对于课堂的整体驾驭能力，以及同法情况的处理是本人今后要加强的一个方面。
2.教学设备的配置
为了确保实验能够成功却不占用过多的时间，本次课的实验器材都是老师预先进行细致的加工，其实这占用了老师很多的准备时间。按往常教学来说，我们老师根本没这么多时间对每一次的课堂进行器材的准备。数学实验室的建立和基本器材的充分准备以及多媒体设备的普及是我们数学改革面临的一个大问题，另外一些常用软件：比如几何画板、数学公式编辑器等的培训也是我们数学教学目前要解决的问题。同时，对于道具的选着和改进也是目前本人要改进的一个方面。
3.数学教学的目的
“我们教学时该传授的是什么？”是困扰我们教师的一大问题。“解决一类问题的通法”是我们要始终维持的一种理念。计算机程序的设计很好的解决了这个问题，那么我们教学生对于事物的探究过程是否也能时时处处贯彻这种理念？比如本次课堂中：数形结合的思想、方程的思想等的贯彻甚至于直接告诉学生“这样做都可以解决”的理念以及这些理念贯彻的最合适时间的选择是我在今后教学过程中要加强的方面。
4.数学建模的思想
数学的作用是将生活的实例帮到我们纸张上，再将纸张上的研究成果返回生活中，从而改造我们的世界。如何教会学生在现实和抽象之间构建起桥梁，是我们能够让学生对数学引起兴趣的根本所在。数学有什么用？数学怎么用？是我们永远思考的主题。
以上是我对这次教学的一些思考，请各位专家指导，谢谢！
三、专家点评
由于学生在初中已经学过二次函数，并且清楚二次函数的图象是抛物线，因此如何让学生自然地接受抛物线的定义、体会引入抛物线定义的必要性和合理性是教学的难点。
本节课分别从教和学的角度设计了两条的线索，引导学生理解掌握抛物线的定义。
线索一：教师通过生活实例引入——演示实验——得出结论——回归生活。让学生很自然地感受到生活中有数学，数学存在生活中，让学生深刻体会到数学在生活中的用处，极大引起学生对数学的兴趣。
线索二：学生通过自己做出抛物线——建系——列式——化简——自行比较得出结论。学生亲身经历整个过程，有自己的思考与领悟，在不停纠错的过程中得出自己的结论，记忆形象深刻。
在双线索的教学设计下，为了满足了不同层次的学生实际，培养学生的合作学习能力，设计了学生四人一组的合作方案，让学生相互帮助，共同完成图形的绘制和方程的推导，效果较好。
本节课教学目标明确，教学重点突出，教学手段多样且贴近学生实际，教学效果好。在
整个教学过程中，教师始终坚持以学生为本，较好地培养了学生运算推理能力、动手实践能力。让学生分组合作支手实验作出抛物线的轨迹，引导学生从作图实验中抽象出抛物线的定义，是一种很好的创新与尝试，符合“做中学”的数学课程理念。在学生实验用具的准备上，教师进行了精心的设计，对传统教具进行了改革，提高了实验的成功率，让整个教学过程顺利流畅。
在教学中教师注重学生对所学知识的建构，从多个角度解释了二次函数的图象与抛物线的一致性。本节课学生始终是在教师的指导下开展学习活动，教师没有把结论直接告诉学生，例如如何建立坐标系、如何列式、如何化简等，教师是通过对学生多种建系方法的分析评价，学生自行动手建系、列式、化简，最后教师与学生一起选出具有最简方程的建系方法。另外，在教学过程中，教师合理地使用了多媒体技术，将教学内容与信息技术有机整合，取得了很好的效果。当然，本节课也存在着一些不足之处。例如一些文字的表述不够规范，作业的布置没有选择性等。
总体上来讲，本节课是一堂较为成功的创新课。
点评人：厦门双十中学李海北
2.2.2双曲线与抛物线的参数方程（教学设计） 教学目标： 知识与技能目标：掌握双曲线与抛物线的参数方程，理解参数的几何意义。会用曲线的参数方程解决一些实际问题。 过程与方法：通过双曲线与抛物线参数方程的推导，进一步掌握求曲线方程的方法。 情感态度价值观：数学问题解法的多样性，思维多样性。 教学重点：双曲线与抛物线参数方程的应用。 教学难点：双曲线与抛物线参数方程的推导。 教学过程： 一、复习回顾： 1、椭圆的参数方程： 椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）参数方程 ???==θ θsin cos b y a x （θ为参数）； 椭圆2 2221(0)y x a b b a +=>>的参数方程是cos sin x b y a θθ=??=?（θ为参数） 二、师生互动，新课讲解： 1、双曲线的参数方程的推导： 1）双曲线122 22=-b y a x 参数方程 ? ??==θθtan sec b y a x （θ为参数） 双曲线 ???==θ θtan sec b y a x （θ为参数） 2、判断双曲线两种参数方程的焦点的位置的方法． 如果x 对应的参数形式是sec φ，则焦点在x 轴上． 如果y 对应的参数形式是sec φ，则焦点在y 轴上． 例1：如图，设M 为双曲线122 22=-b y a x （a>0,b>0）任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？ 2a 222y x -=1(a>0,b>0)的参数方程为：b
变式训练1：化下列参数方程为普通方程，并说明它们表示什么曲线?由此你有什么想法？ 小结：参数方程的表示不唯一，如何判断是哪种曲线，必须化为普通方程。 4、抛物线的参数方程的推导： 1）抛物线方程y 2＝2px(p>0)的参数方程为????? x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数). 2）抛物线方程x 2 =2py(p>0)的参数方程为222x pt y pt =??=? （t 为参数） 3）抛物线方程y 2 =-2px (p>0)的参数方程为2 22x pt y pt ?=-?=-?（t 为参数） 4）抛物线方程x 2 = -2py (p>0)的参数方程为222x pt y pt =-??=-? 例2：如图O 是直角坐标原点，A ，B 是抛物线y 2=2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 并 于AB 相交于点M ，求点M 的轨迹方程。 变式训练2（探究）在本例中，点A 、B 在什么位置时，?AOB 的面积最小？最小值是多少？ 课堂练习： a 1(2()1()2x t t t b y t t ?=+????=-?? ）为参数,a>0,b>0()2(b )()2t t t t a x e e t b y e e --?=-????=+??为参数,a>0,>02 1212121212121221(),,211x pt t M M t t M M y pt A t t B t t C D t t t t ?=?=?+-+-、若曲线为参数上异于原点的不同两点，所对应的参数分别是则弦所在直线的斜率是（ ）、，、，、，、20022(1,0)M y x M P M M P =-、设为抛物线上的动点，给定点，点为线段的中点，求点的轨迹方程。
抛物线及其标准方程 一、教学目标 1．知识目标：①掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；②掌握焦点、焦点位置与方程关系；③进一步了解建立坐标系的选择原则. 2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。 二、教学过程 （一）、复习引入 问题1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e 的取值范围各是什么？ 平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的轨迹，当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线。自然引出问题：那么，当1 e 时，轨迹是什么形状的曲线呢? （二）.创设情境 问题2、用制作好的教具实验：三角板ABC 的直角边BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F ，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C 的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC 在定直线l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？ 设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容． 师生活动： (1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔 尖滑动时，笔尖到定点F 的距离等于到定直线l 的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问题： （三）、新课讲授： （1）抛物线定义：平面内，到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，F 到直线l 的距离简 称焦准距。 特别提醒：定点F 在定直线l 外。（并假设F 在直线l 上）
<<抛物线的定义及标准方程>>教案 西乡二中陶小健 一．教学媒体的选择和设计 本课件需在多媒体教室完成，借助powerpoint、几何画板课件，从动态演示和实物模型入手，使学生对抛物线有一个初步的认识。 二．教学目标分析 1.知识目标 掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线标准方程；会推导抛物线标准方程，掌握Ｐ的几何意义，掌握开口向右的抛物线的标准方程的数形特点，并会简单的应用。 2.能力目标 通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力，提高数形结合和转换能力。 3.情感目标 通过学生们寻找生活中与抛物线有关的物体和形象，加强知识与实际的联系，增强学生的学习兴趣。 三．教材的重点和难点 掌握抛物线的定义及标准方程，进一步熟悉解析法的应用，会根据抛物线的标准方程、准线方程、焦点坐标、图象四个条件中一个求其余条件是本节课的教学重点。 教学难点是用解析法求抛物线的标准方程，及坐标系的选取。 四．教学过程 1、设置情境，引出课题 （借助多媒体）先给出一段悉尼海港大桥的视频和中国一古一今两张抛物线形大桥图片，让学生体会世界的古代文明和现代化建设成就。 再给出一幅抛球画面。
学生在学习了圆锥曲线中的椭圆后自然想到抛物线。借此教师点明并板书课题：今天我们就来学习抛物线，研究一下《抛物线的定义和标准方程》。 2．实验探索，归纳定义 为了加深对抛物线直观形象的认识，教师操纵微机，展示多媒体课件，顺序显示下列图形: 1)一条直尺和沿直尺一侧的一定直线Ｌ； 2)一个直角三角板并把其一直角边紧靠在直尺的一侧（即定直线Ｌ上）； 3)取一段细线一段固定在直角三角板另一条直角边上，把细线紧靠在直尺直角三角板一条直角边上，截取一段使其恰好等于到直尺一侧（即定直线Ｌ）的距离； 4)再取定直线L 外一个定点F ，把细线的另一端固定在这个定点F 上，取一支铅笔P 靠在三角板的直角边上并使细线扯紧； 5）让直角三角板一条直角边紧靠在直尺的一侧（即定直线Ｌ上） ，上下移动时铅笔P 就画出一段曲线-------抛物线。 教师展示完成多媒体课件后，找一至两个同学再一次来操作课件展示抛物线的形成过程，并提出问题让同学思考。 课堂上要充分发挥学生的主体作用，引导学生合作探究得出定义，这是本节课的第一个探究点。学生在此问题中，认为简单，其实很容易出错，并且在探究错因时，难于理解。我给提供平台、激发学生兴趣，首先要求学生独立思考、自主探究，然后引导学生小组交流讨论，最后让小组代表总结。这里学生容易忽视定义的两个前提—(1)在平面内，（2）点F 不能取在定直线L 上.教师要根据学生探究的情况恰当引导学生去发现这些问题，得出抛物线的定义后，要及时给于探究全面、分析问题到位的小组同学表扬，对定义描述尚有不足的同学也要及时鼓励，期待他们在下一个探究点能做的更好。得出抛物线的正确定义后，教师板书抛物线的定义。
教 案 授课课题：§8.5抛物线及其标准方程（一） 授课课型：新授课 教学目标： 知识目标：1.掌握抛物线定义及其标准方程 2.熟练掌握抛物线的四种标准方程、焦点坐标、准线方程间的相互关系 能力目标：1.训练学生的运算能力 2.培养学生的数形结合思想、分类讨论思想 情感价值观：1.学习用联系、对比的观点看问题 2.由圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育 教学重点：抛物线定义及抛物线的四种标准方程 教学难点：1.抛物线的标准方程的推导 2.把握抛物线的四种标准方程、图象、焦点坐标、准线方程间的联系 教学教具：多媒体 教学方法：启发引导 学习方法：运用已有知识探究、归纳、总结、运用 教学过程： 一、课题引入 1．生活中的抛物线 2．椭圆、双曲线的第二定义 与一个定点的距离和一条定直线的距离之比是常数e 的点的轨迹是什么？ 二、进行新课 １．抛物线的定义 在平面内,与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫抛物线。 定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线 的轨迹是抛物线则点若 M e d MF ),1(1== ２．标准方程的推导 2 )2 (),( 2 02),0(,,22 p x d y p x MF d MF d l M y x M p x l p F p p KF KF K l F x xoy + =+-==-==Θφ，则的距离为到点是抛物线上任意一点，设点的方程为），准线，的坐标为（那么焦点设的中点重合 并使原点与线段，垂足为且垂直与直线轴经过点使如图，建立直角坐标系 y
2 0,2)0(2)0(22 )2(2 222p x p p px y p px y p x y p x - ===+=+- ），它的准线方程是坐标是（在轴的正半轴上， 。它表示的抛物线焦点叫做抛物线的标准方程方程，得将上式两边平方并化简φφ 利用对称知识可得其它情况 ３．总结提升 相同点： （1）顶点为原点;（2）对称轴为坐标轴; （3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为 2 p . 不同点： （1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴; （2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方 记忆方法：P 永为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前系数为开口方向， 且开口方向坐标轴的正（负）方向相同 ４．尝试题一 (1)已知抛物线的标准方程是x y 62 =，求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F (0,-2),求它的标准方程. ５．练习：（1）根据下列条件，写出抛物线的标准方程： ①焦点是F （3，0）； ②准线方程 是x = 4 1 ； ③焦点到准线的距离是2. ④抛物线经过点P(-2,-4) （2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
抛物线的标准方程及性质2018/11/25 题型一、抛物线的标准方程： 例题： 1、 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 _______ 2、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 3、 以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为 4、 点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是 _______ 5、 抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______ 练习： 1、 抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,点(－到焦点距离是6,则抛物线的方程为 _______ 2、 顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y =12上的抛物线方程是 _______ 3、 已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ________ 4、 若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA |+|MF |取最小值的M 的坐标为 _______ 题型二、抛物线性质： 例题： 1、 抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 2、 抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |＝________ 3、 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322 --=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 4、 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2+y 2=4相交的公共弦长等于23，则这抛物线的方程是 练习： 1、 过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为 2、 边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，则以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是________ 3、 若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为2，则线段AB 的长 4、 过点Q (4,1)的抛物线y 2＝8x 的弦AB 恰被点Q 平分，则AB 所在直线方程是 题型三、抛物线的应用 例题： 1、 已知圆2290x y x +-=与顶点原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程。
14. 抛物线的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程： （1）2 23 x t y t t =-?? =+-?（t 为参数），答：2 53x x y --=； （2）224x m y m ?=?=?（m 为参数），答：2 8x y =. 2.将下列普通方程化为参数方程： （1）2 2x y =，其中1x t t =-（t 为参数），答：221224 x t t y t t ?=-???=+-? ； （2）2 34y x =，其中x t =（0t ≥为参数） ，答：x t y =???=?? . 二、新课导学： （一）新知： 抛物线的参数方程的推导过程： 如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22 ππ - 内变化时， 点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程. 根据三角函数的定义得，tan y x α=，即tan y x α=，联立2 2y px =，得 22tan 2tan p x p y α α?=??? ?=?? （α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1 tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞U ，则222x pt y pt ?=?=?（t 为参数 ）， 当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程. 注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2 2x py =的参数方程 .
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抛物线及其标准方程 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0) 3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+ 6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( ) A.y=3x2或y=-3x2 B.y=3x2 C.y2=-9x或y=3x2 D.y=-3x2或y2=9x 4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 5.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( ) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(4,0) 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.
7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为. 8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程. 10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小. 答案解析 1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y. 【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?
历年高考抛物线真题详解理科 1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上 任意一点，M 是线段PF 上的点，且 =2 ,则直线OM 的斜率的最大值为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）1 3.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2 2(p 0)y px =>上 任意一点，M 是线段PF 上的点，且 PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( ) （A （B ）2 3 （C （D ）1 4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、 E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 5.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线 24y x =相交于 A ， B 两点，与圆 () ()2 2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条， 则r 的取值范围是（） （A ） ()13， （B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ， B ， C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ?与ACF ?的面积之比是（）
` 课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B ; 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9 ＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于
( ) C ．2 D ．23 | 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近 线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即 b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝ c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝± 3 3 x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． · 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－12， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.
双曲线 、抛物线的参数方程 1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是??? ??x ＝a sec φy ＝b tan φ (φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠ π2，φ≠3π 2 ． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程是? ?? ??x ＝b tan φy ＝a sec φ(φ为参数)． 2．抛物线的参数方程 (1)抛物线y 2 ＝2px 的参数方程为? ??? ?x ＝2pt 2 y ＝2pt (t 为参数)． (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． 1．参数方程? ????x ＝2t 2 ， y ＝4t (t 为参数)表示的曲线不在( ) A ．x 轴上方 B ．x 轴下方 C ．y 轴右方 D ．y 轴左方 解析：选D.原参数方程可化为y 2 ＝8x ，故图象不在y 轴左方．选D. 2．下列不是抛物线y 2 ＝4x 的参数方程的是( ) A.?????x ＝4t 2 y ＝4t ，(t 为参数) B ．?????x ＝ t 2 4y ＝t ，(t 为参数) C.? ????x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数) D ．? ????x ＝2t 2 y ＝2t ，(t 为参数) 解析：选D.逐一验证知D 不满足y 2 ＝4x . 3．双曲线?? ?x ＝23tan α y ＝6sec α ，(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0) C ．(0，－3)，(0，3) D ．(－3，0)，(3，0) 解析：选A.tan α＝ x 23 ，sec α＝y 6，
抛物线的几个常见结论及其应用 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。 例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证： 11AF BF +为定值。 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦） 最短。 例：已知过抛物线 29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。AB 倾斜角为 3 π或23π。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证： （1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB
结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。 结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2 22x pt y pt =?? =?， ， 设抛物线22x py =上动点P 坐标为2 (22)pt pt ， ，O 为抛物线的顶点，显然222OP pt k t pt ==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． 例 直线2y x =与抛物线2 2(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直， 且线段AB 长为P 的值． 解析：设点A B ，分别为2 2(22)(22)A A B B pt pt pt pt ， ，，，则112A OA t k ==，12B OA OB t k k ==-=-． A B ，的坐 标 分 别 为 (84)2p p p p ??- ???，，，．AB =∴==2p =∴．
抛物线及其标准方程 一．知识回顾 二．教学目标 1.使学生掌握·抛物线的定义，理解抛物线标准方程的推导过程，能根据条件确定抛物线的标准方程． 2.，掌握抛物线的标准方程的推导方法，培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力． 三．教学过程 1.抛物线的定义 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫做抛物线的，直线l 叫抛物线的
四．例题分析 题型一抛物线的定义 题型二 抛物线的标准方程 [例2] 根据下列条件写出抛物线方程 （1）已知抛物线焦点坐标是F （2,0）； （2）已知抛物线的准线方程是X=-2 3。 变式2.根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点是()30F ， （2）准线方程是14 x =- （3）焦点在X 的正半轴上，焦点到准线的距离是2 题型三 求抛物线的焦点坐标及准线 [例3] （1）已知抛物线的标准方程是 y2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程。 （2）已知抛物线的焦点坐标是 F （0，－2），求抛物线的标准方程 1．抛物线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据抛物线的定义得p ，再写出抛物线的标准方程． (2)待定系数法：先设出抛物线的标准方程，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 变式3. 根据下列方程，写出抛物线的焦点和准线方程
(1).202x y = (2).0522=-x y 题型四. 抛物线定义求轨迹方程 [例4] 设P 为双曲线x 2 －y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点， 若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．63 B ．12 C ．12 3 D ．24 变式4若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“021=?PF PF ”，求△PF 1F 2的面积． 规律方法：在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用． 五．课后作业
抛物线方程 1 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴轴轴 顶点（0，0） 离心率 焦点 注：①顶点. ②则焦点半径;则焦点半径为. ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④（或）的参数方程为（或）（为参数）.
空间直线知识点总结 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行，也可能是点和直线等) ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图). (二面角的取值范围) (直线与直线所成角) (斜线与平面成角) (直线与平面所成角) (向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直. 是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. (或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)
一．课题：抛物线及其标准方程（1） 二．教学目标： 1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程． 2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力． 3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育． 三．教学重、难点： 1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)． 2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．) 四、教学过程 (一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思考两个问题： 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线． (二)抛物线的定义 1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 2．简单实验 如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置 上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳 子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子 的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定 在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板 的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右 滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反 复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结． 3．定义： 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线 的准线． (三)抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于 0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系， 才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小 结建立直角坐标系的几种方案： 方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．) 以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立 直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为 (x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：
课时作业(十二) [学业水平层次] 一、选择题 1．(2014·广东省茂名)准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y 【解析】 本题考查抛物线标准方程的求法．由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B. 【答案】 B 2．(2014·人大附中高二月考)以双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x 【解析】 因为双曲线x 216－y 2 9＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的 焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x . 【答案】 A 3．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2， 且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( )
A. 2 B. 3 C ．2 D ．23 【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由b a ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以 c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3. 【答案】 B 4．抛物线y 2 ＝12x 的准线与双曲线y 23－x 2 9＝－1的两条渐近线所 围成的三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．2 D.3 【解析】 本题主要考查抛物线和双曲线的基本量和三角形面积的计算．抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±3 3x ，它们所围成的三角形为边长为23的正三角形，所以面积 为33，故选A. 【答案】 A 二、填空题 5．(2014·绵阳高二月考)抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________． 【解析】 抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ? ?? ??12，0，准线方程为x ＝－1 2， 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋1 2＝5，解得x 1 ＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2. 【答案】 2 6．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
课题：2.4.1抛物线及其标准方程 探究一：叩 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的学生活动 学生观察实物图学生观察 画抛物线的过程，得出结论
一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线.反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结. 定义： 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F 不在定直线l上）.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 探究二： 抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p（p为已知数且大于0）.下面, 我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师启发辅导， 小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x 轴，x 轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图2-32）. 设pT|=P则焦点F的坐标为（§, 0）,准线1的方程为抛物线上的点M（x, y）到l的距离为d,抛物线是集合p=（M||MF|=d}. 学生思考讨论建系的各种形
线四种形式，完成下表 师：如何看焦点的确定焦点位置？ 椭圆：看分母。 双曲线：看符号。 抛物线：看一次项，再看一次项系数定开口 探究三： 二次函数y=ax 2 (a>0)的图像为以上四种形式的那一种？并求其焦 点和准线。 三. 巩固练习 例1 (1) 已知抛物线的标准方程是y 2=6x,求它的焦点坐标和准线方程; 练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2=20x ⑵y=2x 2; ⑶2y 2+5x=0;⑷ x 2+8y=0;. 例2.已知抛物线的焦点坐标是F(0 , 2),求它的标准方程. 小结：求抛物线的标准方程的步骤。 后 一…] 得： 定乂求抛 讨论 得出 抛物 根据以前 所学知识 将表格补 充完整。 学生回忆 椭圆和双 曲线的确 定焦点的 方法。 y2 =2物线的标 px(p > 准方程 0) .
抛物线知识点整理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
抛物线方程 1 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 焦点 准线 范围 对称轴轴轴 顶点（0，0） 离心率 焦点 注：①顶点. ②则焦点半径;则焦点半径为. ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④（或）的参数方程为（或）（为参数）. 空间直线知识点总结
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行，也可能是点和直线等) ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 ③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图). (二面角的取值范围) (直线与直线所成角) (斜线与平面成角) (直线与平面所成角) (向量与向量所成角 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交(共面)垂直和异面垂直. 是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内. (或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)
抛物线的标准方程及性质 一、抛物线定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系? 点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P>0 求抛物线的方程 解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴设︱KF ︱= p 则F （ 0,2p ），l ：x = -2 p 。 设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 |MF|=|MN| 即：2 )2(22p x y P x +=+- 化简得y 2 = 2px （p ＞0） 二、标准方程 把方程y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （ 2P ，0），l ：x = - 2 P 而p 的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离|FK| 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式. 1．四种抛物线的标准方程对比 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ) 0(22>=p px y ?? ? ??0,2p 2 p x - = ) 0(22>-=p px y ?? ? ??-0,2p 2 p x = ) 0(22>=p py x ? ?? ? ?2,0p 2 p y - = ) 0(22>-=p py x ??? ? ? -2,0p 2 p y =
2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？ 顶点在原点 三、抛物线的性质 设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则 （1）范围：抛物线上的点(x ,y )的横坐标x 的取值范围是x ≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. （3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。 （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为1. （5）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分 别为),2 (),,2(p p p p -，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p . （6）平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点. 但它不是双曲线的切线. （7）焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+++=++ 四、例题讲解 例1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y 2=6x （2）y x 2 1 2 =（3）2x 2+5y=0 解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（ 23，0）准线方程是x=-2 3 （2）因为2p=21，p=41，所以焦点坐标是（0，8 1 ），准线方程是Y=-81