线性代数第一章行列式
--电商1201
一、填空题
1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8
2.行列式2
131
32
3
21= -18 .
解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18
(陈冲)
3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a
分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：()(1234)(2431)
41(1)1ττ+-=-=
12243143a a a a 的系数：()
(1234)(2413)
31(1)1ττ+-=-=-
因此，符合条件的项是12243341a a a a
4、2
2
2
111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______
答案：()()()b a c a c b ---
分析：2
2
2
111a a b b c c =222222()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=---
（陈思宇）
5.行列式
1
13
610420
4
7
10501λ--中元素λ的代数余子式的值为 42
解析: 元素λ的代数余子式的值为6
42
0710
01-3
41+-?）（=(－1) ×7
×6×(－1)=42
6.设3
1-20
3
1222
3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0
解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3
1211
1
222
-=0
（崔宇轩） 二、 单项选择题
1、设x
x
x x x
x f 1
11
12
3111212)(-=
，则x 3
的系数为（C ）
A. 1
B. 0
C. -1
D. 2
解：x 3的系数为
）（）
（）（1-21341234λλ+=-1
2、 设33
32
31232221
131211
a
a a a a a a a a =m ≠0,则33
32
3131
23222121
13121111
423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ）
A.12m
B. -12m
C.24m
D. -24m 解：33
32
31232221
131211
a
a a a a a a a a
)4(2-?j →33
32
31
232221
131211
4-4-4-a
a a a a a a a a =-4m
212j j +?→33
32
3131
23222121
13121111
4-24-24-2a
a a a a a a a a a a a =-4m
31?j →33
32
3131
23222121
13121111
4-234-234-23a
a a a a a a a a a a a =-12m
（耿佳丽） 3.行列式
k-12
2k-1
≠0的充分必要条件是（C ）
(A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式
0000000
a b c d e f g
h
中元素g 的代数余子式的值为（B ）
（A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf
41A =4+1
(1
-）00
00
b c d e
f
=-(bcf-bde)=bde-bcf
所以答案为B （郭雅芝）
5.设D=
, (2)
1
2222111211nn
n n n n a a a a a a a a a 则
nn
n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)
1
2222111211=( )
(A)-kD (B)-k n D (C)k n D (D)(-k)n D 答案:D
解:由行列式性质3:将
nn
n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)
1
2222111211的每行提出一个-k,
得到(-k)n D,即为选项D.
6.行列式D
10
=10
00
(00)
00
0...09000...80..................002 (000)
1
(00)
=( ) (A)50 (B)-(10!) (C)10! (D)9! 答案:C
解:由行列式的定义,每个因式的元素取自不同行不同列,且不为零,则每行依次取出1,2,…,10,得到10!.又因为
=)09876543211(τ36
为偶数,所以结果为正数.最终结果为10!
（何玲玲）
三、计算题 1、计算行列式12341
1
2
31101205
D =
---.
解
D=11
332012-3110-42
05-=10002270--32103---42129
---=1*()
)
(111+-270--2103---2129---=-610013115
3
=
24-
2、计算行列式1111120010301004
D =
.
解、D=
1111120010301004
=
10001111--1121--1113
--=1*()()
111+-111--121--113
--=2-
（黄天恒）
3.计算行列式1114
1131
1211
1111
D =
解
1114
11311211
1111
D =
=0003
002001001111
= -6
4.计算行列式1234
234134124123
D =
解
1234234134124123
D =
111023410234103410113(2,3,4)
(2,3,4)
10412004
410123
4
i i c c i r r i -+=-=--
=160 （解心悦） 5. 计算n 阶行列式
n
D i c n i +==
1c )
,...,3,2(x a a a n x a
a x a n x a
a a a
n x ...)1(...
...............)1(...)1(-+-+-+=[x+(n-1)a]
x a a a
a x a a a ...1..................1...1i x x n i +-?==
)1()
,...,3,2(1[
x+(n-1)a]
a
x a x a a a
-- (00)
...
...
0
00...
1
=[x+(n-1)a] 1)(--n a x
6.当k
为何值时，方程组?????=+-=-+=-+0
20270
2332
1321321x x x x x kx x x x 有非零解.
解由题知
D=
213
1)2(r 33
1
-22-7
k
1-23
r r r +-?+?=0
5
11
03
61
23--k =
5
11
36)1()1(3
1--?-+k =-5(k-6)+33=0
得k=5
63 (康慧敏)
四.解答题
1.写出D=
1
1
1
214012
---中第3列元素的余子式和代数余子式的
值，并求出D 的值。 解：M 31=
2
1
01-=-2 A 31=(-1)13+ ×(-2)=-2 M 32=2
402=4 A 32=(-1)23+×4=-4 M 33=
1
4
12-=6 A 33=(-1)33+×6=6
D=-1×(-2)+1×(-4)+(-1)×4=-8
2、用Cramer
法则解线性方程组?????=+-=-=++36521
3232132321x x x x x x x x
解D=11612
312
--=8401
2
0312
---=-40
且D 1=1
1312
5
311
--=-40 D 2=1
3
6150312-=-80 D 3=3
165
2
112
-=40
所以1x =1 2x =2 3x =1- (李新林) 五、证明题
1.设21i =-，试证：11111111222222
223333
3
3
3
3
2a b i
a i
b
c a b c a b i
a i
b
c a b c a b i a i b c a b c ++++=++
1111
1111111112222
2222222223333333333333
=a b i a i b c a a i b c b i a i b c a b i a i b c a a i b c b i a i b c a b i a i b c a a i b c b i a b c +++++++++++++证：
1111111111112
222222222223
33333333333
a a i c a
b
c b i a i c b i b c a a i c a b c b i a i c b i b c a a i c a b c b i a i c b i b c =+++1
11111
22
222
223
3
3
3
3
3
00a b c a b c a b c i a b c a b c a b c =+-+
又因为2i =-1, 所以原式1
112
2233
3
=2a b c a b c a b c ，
所以证毕
2.设
12,,n
a a a L 互不相同，证明：线性方程组
12112222
2
211221111
11
2
21n
n n n n n n n n n
n
x x x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ----+=??+=??+=????+=?L L L L L L L L L
证：系数行列式为范德蒙行列式
1
22
2
2
1
211
1
1
1
2
111=()n i j n i j n
n n n n
a a a D a a a a a a a a ≤≤≤---=
-∏
L L L M
M
M M
L
因为1a ,2a ,L ,n a 互不相同， 所以0D ≠，
故该线性方程组有唯一解，
证毕 (李亚芳)
3
、设
111213
212223313233
a a a a a a a a a =a,
11122122
b b b b =b,
证
明：
11
111212111211
11
11
12
1211121221212222
212221212122
22
21
22
22
2222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+-+---=72ab.
解:
12111321222331323311122122
002220022200222330003300
a a a a a a a a a
b b b b =7212111321222331323311122122
00
0000
0000
a a a a a a a a a
b b b b
由拉普拉斯展开定理可知
12111321222331323311122122
000000000000
a a a a a a a a a
b b b b =111213
21
222331
32
33
a a a a a a a a a ?1112
2122
b b b b =ab
所以121113
21222331323311122122
0022200
22200
2223300033000
a a a a a a a a a
b b b b =72ab
B 卷
一、填空题 1、已知A
=
111211122122
2122
22a a a a a a a a +-+-=6，则B =
1112
2122
a a a a =-2。 解：
A
=
111211122122
2122
22a a a a a a a a +-+-=
111112
121112212122222122
22a a a a a a a a a a a a --+
--
=
1111
11121211121221212122
22
21
22
22
2222a a a a a a a a a a a a a a a a -
+-
=-3
11
12
2122
a a a a =6
所以B =
11
12
2122
a a a a =-2.
（刘菲）
2、 n 阶行列式()()1
110
1
...11110...111......11 (0111)
1 (101)
11...110---==
n n n D
解原式
()
n i i c c ..4,3,21=+()
()n i i r r n ..3,2101
...11110...111 (1)
1 (0111)
1...10111...1111=+--
()
10
...00001...000......00 (10000)
...
1011...1111-----n ()()
1
...
01...000 (00)
(10000)
...
1
000 (001)
1..3,21-----+-=n c c n i i ()11-?r
()
()()
1
1110
(000)
01...000 (00)
(10000)
(01)
00...0011---=------n n n
3、设=
D 2
23500702
2
2
2
403--,则余子式之和 44434241M M M M +++=28-
解
1D =
1
1-11-007-02
2220403=4444434342424141A a A a A a A a +++=44434241A A A A +-+-=-28
又
44
434241M M M M +++Θ=
()()()()44444334422441141-1-1-1-A A A A +++++++
=44434241A A A A +-+-
28-44434241=+++∴M M M M
(刘晓宁)
4.行列式D=
1
-11-1x 1-11-x 11-1x 1-11-x 11-1++=4x
解:D=
1
-1
1
-1
x 1-11-x 11
-1x 1-11-x 1
1
-1
++=x
-0
x
x -0x 0x -x 001-x 11-1=x
00
x
x 0x 0x x 00111-1x ----+=
x
00x 00x 00
x 111x -+=x^4
5.齐次线性方程组?????=++=++=++0
x x x 0x x x 0
x x x 321
321321λλλ只有零解，
则λ应满足的条件是2-1≠≠λλ且
解：因为齐次线性方程组只有零解 所以方程组的系数行列式不为0
即λ
λ
λ
11
11
11
≠0
又
λ
λλ
11111
1
=001111112
λ
λλλλ----=0
1
11212
----λλλλλ=）
所以（1-λ）（22λλ--）≠0
所以21-≠≠λλ且 （罗剑） 二、选择题 1、如果11
121321
22233132
33
a a a a a a a a a =1，则行列式31323321
222311
12
13
333222a a a a a a a a a ---=( )
(A) -6 (B) 6 (C) 4 (D)
-4 答：B 解：31323321
2223111213333222a a a a a a a a a ---=11121321222331
32
33
-222333a a a a a a a a a ---（1）=11121321222331
32
33
--1a a a a a a a a a ???（1）（）23=6
2、82764125
49162523451
1
1
1
=( )
(A) 12 (B) -12 (C) 16 (D) -1 答：A 解：
827641254
9162523451
1
1
1
=2
1
1112345(1)
4
9
16
25
82764125-=1
1110
1230
5
12
21
01956117=11
110
1
2300
2
6
001860
=1111
12300260006
=
12
（苏梦颖）
3.设f(x)=
3
475344535423333
22212223
2
1
2
-x --------------x x x x
x x x x x x x x x x x ,则方程
f(x)=的根的个数为
（ B ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解：因为
3475344535423333
22212223
2
1
2
-x --------------x x x x x x x x x x x x x x x =3
44-x 0353x 3
23
2121312
1----x x x x
=
6
7-x 6012100003121+-+---x x x x
x =x 7
-x 6
02
10121---x =x
7
-x 62-x 1--=x[(7-x)-6(x-2)]
所以f(x)=5x(x-1) 显然，使方程f(x)=0成立的根有0和1两个，所以答案选择B
4.若行列式 b a a b a a b a a 31
32
31
21
22
21
11
12
11
=m, a
a a a a
a 32
32
31
22
22
21
12
12
11
ｂｂｂ=n,则行列式
b
b
a a
b b a a b
b
a a 32
31
31
32
222121
22
121111
12
+
++=( C ) . (A)m+n (B)-(m+n) (C)n-m (D)m-n
解：因为
b b
a a
b b a a b b
a a 32
31
31
32
22
2121
22
12
1111
12
+
++= — b
b
a a
b b a a b
b a a 32
31
32
31
222122
21
121112
11
+
++ = —b a a b a a
b a a
31
32
31
21
22
21
11
1211
—b a a b a a b
a a 3232
31
2222
21
121211
= —b a
a
b a a
b a a
31
32
31
21
22
21
11
1211
+ a
a a a a a 32
32
31
2222
21
121211
ｂ
ｂｂ = —m+n 所以答案选择C （ 陶然） 5.x=-2是21
111
x
12
4
x -=0的（ D ）
(A)充分必要条件 （B ）既不充分也非必要条件
（C ）必要而非充分条件 （D ）充分而非必要条件 解析：原式=4x+2x -2-x+22x -4=32x +3x-6=0 解得1x =1,2x =-2
Q 当x=-2时，行列式等于0 ∴x=-2为充分条件 又Q 行列式等于0时，x=1或-2 ∴x=-2为非必要条件 三．计算行列式
1.D=
11
122123323344
0000000
a a a a a a a
解原式=(1324)(2134)1123324412213344(1)(1)a a a a a a a a ττ-+- =1123324412213344a a a a a a a a --
(徐丹丹)
2.D =
10
-7-825
-51-37139-131
-5
2
-+
解
10
-7-8
2
5
-51-37139-131
-5
2
-=
24
-33-26
26-34-2607
13
9-1172513-0=24
-33-26
26
34
26
-172513-=312
3.D =
x
y
y
x y y x x y x y x y x +++++)
(2)(2)(2
解x
y
y
x y y x x y x y x y x +++++)(2)(2)(2=
x
y
y
x y y x x y x ++220=－2(x 3﹢y 3)
4.n D =
x
a a
a
a
a x a a a a a x a a a a a x a ----......
..................
解
x
a a
a
a
n x a a x a a a n x a a a x a a n x a a a
a
a
n x a --+---+---+--+-...)1(...
.......
.....
)1(...)1(...
)1(=[]
a n x a )1(-+-x
a a a a x a a a a x a a
a a ---...1...............1...1...1=()()1---n x x na （徐杰）
5.α
β
βαβαβ
α000000000000ΛΛ
M M M M M M ΛΛ=n D
解
Dn )()
()
()(１ｎ，ｎ－１，ｎ－２ｎ１，ｎ３，ｎ－１，ｎ－２，ｎ－ｎ－１＋－１＝ΛΛττβα )()(1)2()1(1)3()2(1-1++-+-++-+-+-=ΛΛn n n n n n βα
)()(2/)1(2/)1)(2(11----+-=n n n n n n βα
四、计算n+1阶行列式
D 1+n n
n b b b a a a 1
010
001
02121Λ
M M M M M ΛΛΛ= 解
)
()1(1
)
1()(1
0011-100010
001
0)(10
010001a -1
00010
001
0)(D 33221111
122111
132
21143
2
322
211312321132
212121n n n n
n n n n i i n
n n n n n n
n n b a b a b a b a b b a b a b a a r a r b b b a b a a a a b b b b a b a a a r a r b b b b a a a b b b a a r a r ++++-=-----+-?-----+-?-+-?----+ΛΛΛΛ
M M ΛM M ΛΛ
Λ
M M Λ
M M ΛΛΛ
M M M
ΛM M Λ
ΛΛΛM M ΛM M ΛΛΛ
）
（按第一列展开按第一列展开
(徐俪榕)
五、计算n
阶行列式01
21
10001000010
0n n n a a x D a x a x
----=-L L M
M M M M M L L
. 解、111121
021100
100(1)(1)010*******n n n a x D a a x x a x
x
+++----=-+---L
L M M L M M
M M L M M L L L
L
=
12301221n n n n n a x a x a x a x a -----+++++L
六、证明：五阶行列式
5100011000
110
00110
11a a a a D a a
a a a
---=------=23451a a a a a -+-+-
证明：
5D 21314151
,,,c c c c c c c c ++++1
0001000110
00110
11a
a a a a
a a a
a
--------
以第一列展开
1001
100
110
1
1a
a a a a a a
-------()
00100110
1
1a
a a a a a
a a
-+-----
10
00100110
1
1a
a a a a
a
a
-=-----5a -
510001
1100
1
11
1a
a a a a a a
a
a a
a a
---+------以第一行展开
23451a a a a a =-+-+- =右边原行列式可证
(徐雅文)
七、解方程x
n x x ----）（1…111.........
...1
...2111 (1111)
…
1
1
1
=0
解：原式
2
2,1,00)2()2)(1)((200
0010020
1
00010000111-=====-----=----=----=n x x x x x n x x x x
n x x x
n x x ΛΛM
ΛM M ΛΛM
ΛM M M ΛΛΛ八、已知齐次线性方程组??????
???=++++=++++=++++=++++0
)(0)(0(0
)(3322113332211332)22113322111n n n n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛ，其中
∑=≠n
i i a 1
0，试讨论n a a a ,,2,1Λ和b 满足何种关系时，方程组仅有零
解？ 解：
∑∑∑=-==≠+=+=++++=+++++++++++++++++++=+++++=n
i i n n n
i i n n n
n n
i i n n
n
n
n n n n i n n n n b a b
b
a b b a a b a b
a a a a a a
b a a a b a a a b a b
a a a a a a
b a a a b a a b a a a a b a b a a a a a b a a a n i
c c b a a a a a a a b a a a a b a a a a b a D 1
1
321
1
3
2
323
2323221322132213221,13
2
1
3213213210
))((00
00001))((1
1
11))((3,21*M ΛM M M ΛΛΛM ΛM M M ΛΛΛM ΛΛM M M
ΛΛΛΛΛΛΛΛM M M
ΛΛΛ即)(21n a a a b Λ++-≠且0≠b
（徐增增） C 卷:
一﹑证明:(1)奇数阶反对称矩阵的行列式的值为零. (2)设A 为n 阶方阵，
=2T A A -，求()
31
-1n -.
解 （1）设A 是n 阶反对称矩阵，其中n 为奇数 ,T
A A ∴=-
T A A
=- ①
T A A =Q
②
()-1n
A A A =-=-Q 又 ③
∴由①②③得:A A =- 解得：0A = (2)()
()T
T T T A A A A A A -=-=--Q
T A A ∴-是反对称矩阵
2T A A -=Q 又
且由（1）中结论可知：n 不可能是奇数，
n ∴是偶数，
()
31
-11n -∴=-
(许晴怡)
二、已知n （n ≥3）阶实矩阵A=*()ij n n a 满足条件：（1）ij ij a A =（i,j=1,2,…n ）,其中ij A 是元素ij a 的代数余子式；（2）11a ≠0. 求
2A .
解：2
2T
A A AA ==Q
又ij ij a A =Q
*T A A ∴=
2*n
A AA A E A
∴===
2
2
(1)0n A A
--=
0A ≠Q 1A ∴= 222n n A A ∴==
（严丽华） 三、设n 阶行列式A 的第一行元素全为1，证明：这个行列式的全部元素的代数余子式之和等于该行列式的值。 证明：
A
=
212111n n nn
a a a a L L L M O O M L =11a 11A +12a 12A +…+1n a 1n A
=111A +112A +…+11n A =11A +12A +…+1n A 又Q 对任意2i ≤≤n ，
12121110i i in i i in A A A A A A +++=+++=L L
∴行列式全部元素的代数余子式之和为11A +12A +…+1n A ，即行
列式的值。
得证。
（杨菁菁 ） 五、设A 是n 阶対合矩阵（即A 2=E ），|A|＜0,证明：|A+E|=0 解：
由题意得：因为A 2=E 两边取行列式得： |A 2|=|E|=1，所以|A|=±1； 又因为|A|＜0，所以|A|=﹣1=﹣E ； 所以|A+E|=|﹣E+E|=0。 即|A+E|=0
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
《线性代数A》教学大纲 课程中文名称：线性代数A 课程性质: 必修 课程英文名称：Linear Algebra A 总学时：48学时,其中课堂教学48学时 先修课程：初等数学 面向对象：全校理工科学生（包括财经类等文科专业） 开课系(室)：数学科学系 一.课程性质、目的和要求 线性代数是理工科及财经管理类本科生必需掌握的一门基础课，通过本课程的学习使学生掌握行列式的计算、矩阵理论、向量组和向量空间基本概念，用矩阵理论求解线性方程组、及用线性方程组解的结构理论讨论矩阵的对角化并进一步研究二次型，使学生掌握本课程的基本理论和方法，培养和提高逻辑思维和分析问题解决问题的能力，并为学习相关课程与进一步扩大知识面奠定必要的、必需的基础。 二、课程内容及学时分配 1. 行列式(6学时) 教学要求:了解行列式的定义、掌握行列式的基本性质。会应用行列式性质和行列式按行（列）展开定理进行行列式计算。 重点：行列式性质 难点：行列式性质和行列式按行（列）展开定理的应用 2.矩阵（12学时） 教学要求:理解矩阵的概念、掌握单位矩阵、对角矩阵与对称矩阵的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、方阵行列式、转置的定义及其运算规律。理解逆矩阵的概念及其性质，熟练掌握逆矩阵的求法。熟练掌握矩阵的初等变换及其应用。理解矩阵秩的概念并掌握其求法。了解满秩矩阵的定义及其性质。了解分块矩阵及其运算。 重点：矩阵的线性运算、矩阵的乘法、逆矩阵的求法、矩阵的初等变换 难点：矩阵的秩，矩阵的分块 3.向量组和向量空间（10学时） 教学要求:理解n维向量的概念及其运算。理解向量组的线性相关、线性无关与线性表示等概念，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。了解向量组的极大线性无关组和秩的概念，并会求向量组的秩。了解n维向量空间及其子空间、基、维数与坐标等概念。了解向量的内积、长度与正交等概念，会用施米特正交化方法把向量组正交规范化。了解规范正交基、正交矩阵的概念、以及它们的性质。 重点：n维向量的概念、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组秩的概念难点：线性无关的相关证明、向量组秩的概念、向量空间 4. 线性方程组（8学时）
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λ s αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择
1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线…………………………………………………
8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
同济大学课程考核试卷(A 卷) 2010—2011学年第一学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷 年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 （注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空与选择题(均为单选题)(27分) 1、 已知4阶方阵1234 567890 54 a b A c d ????? ? =?????? ，函数()||f x xE A =?,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________. 2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式 1231,,,m αααβ=，又 1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m ?_______________. 3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=?=?=，其伴随矩阵为* A ，则行列式 *A =_____36_________. 4、 已知α是3维实列向量，且111111111T αα?????=????????? ，则α=5、设α是3 R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,T x x x ，则α在基 1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx ?________________. 6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________. 1(). ). (). ().n A A A A B C n cE c D ?若矩阵可逆，则与可交换 (可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换 7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2 AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______. ()2 2 2 (). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E ==?== 8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____ (). 0 (). 0 (). 0 ().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======?=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解 9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________. ()()()()()()()()()()()()()() (). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D ??,, ( 二、(10分) 已知n 阶行列式1 231 200 1 0301 00n n D n ="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和.
线性代数部分 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 6．设行列式 n a a a a =22 2112 11 ， m a a a a =21 2311 13 ，则行列式 23 2221131211--a a a a a a 等于（） A. m n - B.)(-n m + C. n m + D.n m - 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111.
2．行列式010...0002... 0......... 00 0 (10) 0 0 n n = -. 3．如果M a a a a a a a a a D ==333231 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 4．行列式= --+---+---1 1 1 1 111111111111x x x x . 5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为 . 6．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 7．若齐次线性方程组?? ? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 三、计算题 2．y x y x x y x y y x y x +++； 3．解方程 00 11 01110111 0=x x x x ； 6. 111...1311...1112... 1 ... ...... 1 1 1 ...(1)b b n b ----
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式
||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且
所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。
例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=
方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。
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二·计算题（每题 18 分，合计 54 分） 9．设 3 阶实对称矩阵A 有 3 个特征值3, 3,?3，已知属于特征值? 3的特征向量为 T )1,2,1(1?=α，求矩阵A 及． 1?A 10．设321,,ααα是3维线性空间V 的一个基，σ是V 上的线性变换，已知 321122)(αααασ++?=，321222)(αααασ??=，321322)(αααασ??=， （1） 求线性变换σ在基321,,ααα下的矩阵； （2） 设由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为，向量???? ???????=200010021P γ在基 321,,ααα下的坐标是，求()T X 2,1,0?=)(γσ在基321,,βββ下的坐标． 11．设元()齐次线性方程组 n 4≥n ???????=+++?=+=+=+++++000041 31 214321n n ax ax bx ax bx ax bx bx bx bx bx ax L L 其中．试讨论取何值时，方程组只有零解；取何值时，方程组有非零解？在有非零解时，写出方程组的基础解系． 0≠b n b a ,,三·证明题（第 12 题 8 分，第 13 题 6 分，共 14 分） 12．设A 是矩阵，n m ×β是m 维非零列向量，已知β是非齐次线性方程组的b Ax =一个解，r ααα,,,21L 是导出组0=Ax 的基础解系，试证明 （1）r αβαβαββ+++,,,,21L 线性无关； （2）的解集合的极大线性无关组含有b Ax =1+r 个向量． 13．设A 为任意阶实反对称矩阵（即n A A T ?=），试证明2A I ?是正定矩阵． 第2页/共2页
珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷 姓名：专业：学号：成绩： 一，填空题（每题3分，共24分） 1.在5 阶行列式中，含有a13a34a51且带有负号的项是________________ 2.设A是3阶方阵，| A |= 1/3 ，则|（3A）-1 + 2A*| = 1 1 0 0 1 1 1 1 3. 5 2 0 0 = ： 4 . x c b a = ; 0 0 3 6 x2c2b2a2 0 0 1 4 x3c3b3a3 5 . 已知矩阵 A = 1 1 , B = 1 0 , 则AB – BA T = ; 0 -1 1 1 1 0 2 6. 已知矩阵 A = 1 k 0 的秩为 2 ,则k = ; 1 1 1 2 1 1 1 7. 1 2 1 1 = ; 8. 若A = diag( 1 ,2 ,3 ,4 ) , 则A-1= ; 1 1 2 1 1 1 1 2 二. 判断题（每题2分，共10分） 1. 任一n 阶对角阵必可与同阶的方阵交换。（） 2. n 阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…a1n总是带负号的（） 3. 若A为n 阶方阵，则（A*）T = ( A T )* （） 4. 设A , B 为n 阶方阵，则有（AB）3= A3B3（） 5. 设A与B 为同型矩阵，则 A ~ B的充要条件是R（A）=R ( B ) ( ) 三,计算下列行列式( 每题8 分,共16 分) -2 -1 1 -1 0 1 0 …0 0 D4 = -2 2 4 8 1 0 1 …0 0 -2 1 1 1 D n = 0 1 0 …0 0 -2 -2 4 8 . . . . . 0 0 0 …0 1 0 0 0 … 1 0 -1 -1 0 四. 已知 A = -1 0 1 且AB = A – 2B , 求 B . 2 2 1
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：
（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）
考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、
伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、
例2计算 n 阶行列式副对角线以上的元素全为0 其中表示元素为任意数解由定义有递推关系递推公式由以上结论容易得到四n 阶行列式的性质行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式记性质1 行列式的行与列互换其值不变即 DT D 性质1说明行列式对行成立的性质都适用于列下面仅对行讨论由性质 1 和前面关于下三角行列式的结果马上可以得到上三角行列式主对角线以下的元素全为0 的值等于主对角元的积即性质2 行列式按任一行展开其值相等即其中是 D 中去掉第 i 行第 j 列的全部元素后剩下的元素按原来的顺序排成的 n－1 阶行列式称为的余子式称为的代数余子式即性质3 线性性质 1行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数k 等于用数 k 乘此行列式 2 若行列式的某一行列的元素都是两数之和那么该行列式可以写成两个行列式的和例如 1 若行列式的某一行列的元素都是 n 个数之和那么该行列式可以写成 n 个行列式的和例如说明 2 若行列式的某 m 行列的元素都是两例如说明个数之和那么该行列式可以写成个行列式的和由性质3马上得到推论1 某行元素全为零的行列式其值为零性质4 行列式中两行对应元素全相等其值为零对行列式的阶数用数学归纳法证明证明当D为二阶行列式时结论显然成立假设当 D 为 n－1 阶行列式时结论成立设行列式 D 的第 i 行和第 j 行元素对应相等则当D为 n 阶行列式时将D 按第k 行展开得其中为 k－1 阶行列式且有两行元素对应相等故由归纳假设知推论2 行列式中两行对应元素成比例其值为零由性质 3 和性质 4 马上得到性质5 在行列式中把某行各元素分别乘以数 k再加
到另一行的对应元素上行列式的值不变对行列式做倍加行变换其值不变即在行列式的计算中性质35以及下面的性质6经常用到为书写方便我们先引入几个记号用表示第 i 行表示第 i 列交换行列式的第 i j 两行列记作把行列式的第 j 行列的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行列对应的元素上去记作行列式的第 i 行列乘以数k 记作注意和含义不同性质6 反对称性质行列式的两行对换行列式的值反号证明课程简介线性代数是代数学的一个分支主要处理线性关系问题线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式来表达的最简单的线性问题就是解线性方程组行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具也推动了线性代数的发展向量概念的引入形成了向量空间的概念而线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论因此向量空间及其线性变换以及与此相联系的矩阵理论构成了线性代数的中心内容它的特点是研究的变量数量较多关系复杂方法上既有严谨的逻辑推证又有巧妙的归纳综合也有繁琐和技巧性很强的数字计算在学习中需要特别加强这些方面的训练第一章行列式第二章矩阵第三章线性方程组第四章向量空间与线性变换基础基本内容用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容第五章特征值与特征向量第六章二次型矩阵理论中心内容参考及辅导书目 1《线性代数学习指南》居余马林翠琴编著清华大学出版社 2《线性代数》第四版同济大学应用数学系编高等教育出版社一二阶行列式的引入用消元法解二元一次线性方程组§11 n阶行列式的定义与性质 1 2 1 a22 a11a22x1 a12a22x2 b1a22 2 a12 a12a21x1 a12a22x2 b2a12 两式相减消去x2 得a11a22 – a12a21 x1 b1a22 – b2a12 当 a11a22 – a12a21 0时方程