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必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)

必修一 数学  定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)
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函数的定义域

(1)函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 (2)求函数定义域的注意事项

☉分式分母不为零;☉偶次根式的被开方数大于等于零;

☉零次幂的底数不为零; ☉实际问题对自变量的限制

若函数由几个式子构成,求其定义域时要满足每个式子都要有意义(取“交集”)。 (3)抽象复合函数定义域的求法

☉已知y=f (x )的定义域是A ,求y=f (g (x ))的定义域,可通过解关于g (x )∈A 的不等式,求出x 的范围

☉已知y=f (g (x ))的定义域是A ,求y=f (x )的定义域,可由x ∈A ,求g (x )的取值范围(即y=g (x )的值域)。 例1.函数()4x

f x -=

的定义域为 ( ) A. (-∞,4) B. [4,+∞) C. (-∞,4] D. (-∞,1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足:40{

10

x x -≥-≠,即x 4≤且1x ≠

所以函数()4x

f x -= 的定义域为(-∞,1)∪(1,4]故选:D 例2.函数2211y x x =

-+-的定义域为( )

A. {|11}x x x ≥≤-或

B. {|11}x x -≤≤

C. {1}

D. {-1,1} 【答案】D 【解析】函数2

2

11y x x =

-+-可知:22

10

{ 10

x x -≥-≥,解得:1x =±.

{-1,1}.故选D.

例3.已知函数()

2

1y f x =-的定义域为()2,2-,函数()f x 定义域为__________.

【答案】[]

1,3-【解析】由函数()

21y f x =-的的定义域为(?2,2),得:2

113x -≤-≤,

故函数f (x )的定义域是[]1,3-.

例4.若函数()y f x =的定义域为[]

0,2, )

A. [)0,1

B. []0,1

C. [)(]

0,11,4? D. ()0,1 【答案】A 函数()y f x =的定义域是[]

0,2,022

{

10

x x ≤≤∴-≠,解不等式组:01x ≤<,故选A.

例5.已知函数()1y f x =+的定义域是[]

2,3-,则()

2

y f x =的定义域是( ) A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []

1,4

【答案】C 【解析】解:由条件知:()1f x +的定义域是[]

2,3-,则1x 14-≤+≤,

所以2

14x -≤≤,得[]

x 2,2∈-

例6.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23,,则y f x =-()21的定义域是() A .[]052

, B.[]-14, C.[]-55, D.[]-37,

【答案】A 【解析】523,114,1214,02

x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤

例7.函数212y x x =+-的定义域为___________.

【答案】[]

3,4-【解析】要使函数有意义,则2120x x +-≥,即2

120x x --≤,即34x -≤≤,故函

数的定义域为[]3,4-,故答案为[]

3,4-.

函数值域

定义:对于函数y=f (x ),x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值,函数值得集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

(2)求函数值域的常用方法

☉观察法:通过解析式的简单变形和观察(数形结合),利用熟知的基本初等函数的值域,求出函数的值域。

☉配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax 2+bx+c(a=0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最值得求法(可结合图像)。

☉换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数划归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。

☉分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分数转化为“反比例函数”的形式,便于求值域。y=ax +b cx +d 型 y=a c +k cx +d 值域:{y |y ≠a

c }

☉判别式法:它主要适用于分式型二次函数,或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而容易出错。

☉充分利用函数的单调性,对单调性未知的,应该先判断其单调性。在通过定义域进行判断其函数取值范围。

注意:值域对基础函数、不等式、开方,绝对值等的要求较高,学生需要注意这些方面的掌握。

例1.函数()2

4f x x =-的值域为( )

A. (),4-∞-

B. (],4-∞-

C. ()4,-+∞

D. [

)4,-+∞ 【答案】D ()2

44f x x =-≥-,故函数的值域为[

)4,-+∞,故选D.

例2.若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ,值域为25,44??

--????

,则m 的取值范围是( )

A .(]0,4

B .25,44??--????

C .3,32??????

D .3,2??

+∞????

【答案】C 【解析】试题分析:函数234y x x =--对称轴为32x =,当32

x =时25

4y =-,当0x =时0y =,

所以结合二次函数图像可知m 的取值范围是3,32??

????

例3.函数29y x =-+的值域为( )

A.{|3}x x ≤

B.{|03}x x ≤≤

C.{|3}x x ≥

D.{|3}x x ≤-

【答案】B 【解析】试题分析:由于2

099x ≤-+≤,所以 B.

例4_________.

例6.求函数

的值域。 【解析】思路分析:

1)题意分析:这是求分式型函数的值域,而且分子、分母是同次幂。 2)解题思路:分离出常数,使问题简化。

解:分离常数,得

。 由,得

,即有. 所以函数的值域是。

解题后的思考:该方法适用于分式型函数,且分子、分母是同次幂,这时可以通过多项式的除法,分离出

常数,使问题简化。

例7求函数3

221

2

2+-+-=x x x x y 的值域。 解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y (*)

(1)当21

=y 时,方程(*)无解; (2)当2

1≠y 时,∵R x ∈,∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ,解得21

103<≤y 。 由(1)、(2)得,此函数的值域为)2

1

,103[

例8求函数1++

=x x y 的值域。

解 令1-=x t ,则t ≥0,得12

+=t x ,∴432112

2

+??

?

??+=++=t t t y ,

又 t ≥0,∴14321012

2=+??

? ??

+≥++=t t y ,故原函数的值域为[

)+∞∈,1y 函数解析式的表达方式

☉待定系数法:若已知函数模型(如一次函数、二次函数等),可用待定系数法求解。 ☉换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,但此时要注意换元法之后自变量的组织范围。

22

21

1x y x -=+222

213211x y x x -==-++2

11x +≥23

031x <

+≤12y -<≤[)12-,

☉解方程组法:已知函数f (x )满足某个等式,这个等式除f (x )是未知量外,外出现其他未知量,如f (-x ),f (1

x )等,必须根据已知等式(如用-x 或者1

x 替换x )再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求f (x )的解析式。

例1.已知()f x 是一次函数,且3(1)2(2)5f f -=-,2(0)(1)1f f --=,则()f x 的解析式为( ) A .()32f x x =- B .()32f x x =+ C .()23f x x =+ D .()23f x x =-

【答案】A 试题分析:设一次函数()f x kx b =+,依题意有()()3225k b k b +-+=-,()21b k b --+=,联立方程组,解得3,2k b ==-,所以()32f x x =-. 考点:待定系数法求解析式. 例2.已知)(x f 是一次函数,且满足,172)1(3+=+x x f 则=)(x f

A.

532+x 13

2

+x C. 32-x D. 52+x 【答案】A 【解析】因为)(x f 是一次函数,且满足f (x)ax b,3f (x 1)3a(x 1)b 2x 17,=++=++=+则

A 例3.已知(

)

11f

x x +=+,则函数()f x 的解析式为( )

A.2

()f x x = B.()

2()11f x x x =+≥

C.

()2()221f x x x x =-+≥ D.

()

2()21f x x x x =-≥

【答案】C 【解析】试题分析:设

1x t +=则

()2

1,(1)

x t t =-≥代入已知可得()()22

2(1)

112f t t t t t =+-=-+≥函数()f x 的解析式为

()

2()221f x x x x =-+≥考点:函数的解析式

例4.若[()]63,()21,()f g x x g x x f x =+=+且则的解析式为 ( )

A .3

B .3x

C .3(21)x +

D .61x +

【答案】B 试题:令12)(+==x x g t ,则=t 3,故x x f 3)(=,选B. 练习题

1.函数f(x)=

2+x?x 2|x |?x

的定义域是 ( )

A. {x|-1≤x≤2}

B. {x|-1≤x<0或0

C. {x|-1≤x<0}

D. {x|0

【答案】C 【解析】由题设可得 x 2

?x ?2≤0x <0

?{x |?1≤x <0},应选答案C 。

2.函数的定义域是 ( )

A .

B .

C .

D .

【答案】C 【解析】试题分析:?

??≠≥+00

1x x ,解得:{1-≥x x 且}0≠x ,故选C.考点:函数的定义域

3.如果函数()y f x =的值域为[]

,a b ,则()1f x +的值域为( ) A. []1,1a b ++ B. []1,1a b -- C. []

,a b D. (),a b 【答案】C 【解析】函数()y f x =的值域为[]

,a b ,

而函数()y 1f x =+

是把函数()y f x =向左平移1个单位得到的,纵坐标不变,

()1f x +的值域为[],a b .所以C 选项是正确的.

4.函数y =x 2-2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( )

A.{-1,0,3}

B.{0,1,2,3}

C.{y |-1≤y ≤3}

D.{y |0≤y ≤3}

【答案】A 【解析】把x =0,1,2,3分别代入y =x2-2x ,即y =0,-1,3.

5.定义在上的函数的值域为,则函数的值域为( )

A .;

B .;

C .;

D .无法确定

【答案】 B 【解析】函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到,所以,它们的值域是一样的

6.函数的值域是()

A. B. C. D.【答案】C

【解析】

7.已知()2

145f x x x -=+-,则()f x 的表达式是( )

A. 26x x +

B. 287x x ++

C. 223x x +-

D. 2

610x x +-

【答案】A 【解析】令1x t -=,1x t ∴=+.()()()2

2

14156f t t t t t ∴=+++-=+.

()26f x x x ∴=+.故A 正确.

R ()y f x =[,]a b (1)y f x =-[1,1]a b --[,]a b [1,1]a b ++(1)y f x =-()y f x =224y x x =--+[2,2]-[1,2][0,2][2,2]-22224(2)44,042,240x x x x x x x -+=--+≤≤-+≤-≤--+≤

点睛:在求解析式时,一定要注意自变量的范围,也就是定义域.如已知f

=x +1,求函数f (x )的解析式,通过换元的方法可得f (x )=x 2+1,函数f (x )的定义域是[0,+∞),而不是(-∞,+∞).

8

故选A.考点:函数的解析式.

9.已知2(1)1f x x -=+,则()f x 的表达式为( ) A .2()1f x x =+B .2()(1)1f x x =++ C .2()(1)1f x x =-+ D .2()f x x =

【答案】B 【解析】试题分析:由题意得,设1t x =-,则1x t =+,所以()22

(1)122f t t t t =++=++,

所以函数的解析式为2()(1)1f x x =++,故选B . 考点:函数的解析式.

10.已知1(

)1x

f x x

-=+,则f(x)的表达式为 A .11x x -+ B .11x x +- C .11x x -+D .21

x x -

【答案】A 【解析】试题分析:设1111x t t x x t --=∴=++()()1111t x

f t f x t x

--∴=∴=++ 考点:换元法求函数解析式

11.设函数,则下列关系中正确的是 (). A. B. C. D.

【答案】B 【解析】

试题分析:函数是开口向上的抛物线,对称轴是2-=x ,离对称轴越远,函数值越大,所以

()()()201->>f f f ,故选B.考点:二次函数的单调性

12.若一次函数()x f 满足()8923+=+x x f ,则()x f 的解析式是 A.()89+=x x f B.()23+=x x f

C.()43--=x x f

D.()23+=x x f 或()43--=x x f

【答案】B 分析:()()()3298962332232f x x x x f x x +=+=++=++∴=+

c x x x f ++=4)(2

)2()0()1(-<>f f f )2()1()0(->>f f f )1()2()0(f f f <-<

考点:函数求解析式

13.函数()(0)f x kx b k =+>,若[0,1],x ∈[1,1]y ∈-,则函数()y f x =的解析式是( ) A.21y x =- B.C.21y x =-或21y x =-+ D.21y x =--

【答案】A 【解析】试题分析:由函数解析式可知函数为增函数,所以12

2111b k y x k b b =-=??∴∴=-??+==-??

考点:函数求解析式

14.函数),12()(,32)(-=+=x g x f x x g 则=+)1(x f () A.12+x B.54+x C.54-x D.14+x

【答案】B 【解析】试题分析:()()()14312212+=+-=-=x x x g x f ,()()541141+=++=+x x x f ,故选B.考点:复合函数 15.已知(

)

11f

x x +=+,则函数()f x 的解析式为()

A.2

()f x x = B.()

2()11f x x x =+≥

C.

()2()221f x x x x =-+≥ D.

()

2()21f x x x x =-≥

【答案】C 【解析】试题分析:设

1x t +=则

()2

1,(1)

x t t =-≥代入已知可得()()22

2(1)

112f t t t t t =+-=-+≥函数()f x 的解析式为

()

2()221f x x x x =-+≥

16.若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)-f(-x)=3x +1,则f(x)=( )

A .x -1

B .x +1

C .2x +1

D .3x +3

【答案】B 【解析】∵2f(x)-f(-x)=3x +1,①

将①中x 换为-x ,则有2f(-x)-f(x)=-3x +1,② ①×2+②得3f(x)=3x +3,∴f(x)=x +1. 考点:复合函数解析式求法

17.已知,则等于 ( )

A. B. C. D. 【答案】D ,所以()()743222+=++=t t t f ,因为所以 考点:函数解析式的求法。

点评:用换元法求函数的解析式一定要注意新元的取值范围。

32)12

1

(+=-x x f 6)(=m f m 2323-414

1-6)(=m f

18.已知??

?>-<+=0

4

4

)(x x x x x f ,则)3([-f f ]的值为 ( ) A .-2 B .2 C .-3 D .3

【答案】C 【解析】本题考查分段函数的概念.求分段函数的函数值,首先确定自变量在哪一段的自变量取值范围内,然后把自变量代入该段的对应关系式求出函数值。

(3)341,(1)143,((3)) 3.f f f f -=-+==-=-∴-=-故选C

19.若函数2

2

1(1)()2(1)x x f x x x x ?-≤?=?+->??,则1()(2)f f 的值为( ▲ )

A.

1516

B. 2716-

C. 8

9 D.18

【答案】A 【解析】21115

(2)4224,()1().4416

f f =+-==-=

故选A 20.设()21g x mx x =

++

(1)若()g x 的定义域为R ,求m 的范围;(2)若()g x 的值域为[

)0,+∞,求m 的范围. 【答案】(1) 1,4??+∞????;(2)10,4

?? ??

?

.

【解析】试题分析:(1)讨论0m =与0m ≠,两种情况,使得2

10mx x ++≥恒成立,列出关于m 的不

等式,从而可得结果;(2)讨论0m =与0m ≠,两种情况,()f x 能取到一切大于或等于0的实数,解不等式即可得结果.

试题解析:(1)由题知()2

1f x mx x =++恒成立.

①当0m =时,()10f x x =+≥不恒成立; ②当0m ≠时,要满足题意必有0{

140

m m >?=-≤,∴1

4

m ≥

, 综上所述,m 的范围为1,4??+∞????

.

(2)由题知,()2

1f x mx x =++能取到一切大于或等于0的实数.

①当0m =时,()1f x x =+可以取到一切大于或等于0的实数; ②当0m ≠时,要满足题意必有0{

140

m m >?=-≥,∴,综上所述,m 的范围为 21.已知二次函数f (x )=mx 2+4x +1,且满足f (?1)=f (3).

(1)求函数f (x )的解析式;

(2)若函数f (x )的定义域为(?2,2],求f (x )的值域.

【答案】(1)f (x )=?2x 2+4x +1. (2)f (x )在(?2,2]上的值域为(?15,3] 【解析】试题分析:(1)利用函数值相等,确定函数的对称轴,由此计算得到m 的值,确定函数的解析式;(2)利用函数已知,定义域已知,直接求解函数的值域.

试题解析:(1)由f (?1)=f (3)可得该二次函数的对称轴为x =1,

即?

42m

=1从而得m =?2,

所以该二次函数的解析式为f (x )=?2x 2+4x +1. (2)由(1)可得f (x )=?2(x ?1)2+3, 所以f (x )在(?2,2]上的值域为(?15,3].

22.函数y=- 1?x 2的定义域为_________;.最大值为________. 【答案】[-1,1]0

【解析】由1?x 2≥0得x ∈[-1,1],所以定义域为[-1,1] ∵1?x 2∈[0,1]∴y ∈[?1,0]∴最大值为0 23.函数21x y =

-的定义域是__________(用区间表示)

. 【答案】[

)0,+∞【解析】x 需满足的条件为:21021

x 0x

x

-≥≥∴≥,即,, ∴定义域为:[)0,+∞故答案为:[

)0,+∞

24.已知()1y f x =+的定义域是[]

1,2,则()3y f x =-的定义域是________. 【答案】3113,,2222

????--??????

???

【解析】()1y f x =+ 的定义域为[]

1,1,11x -∴-≤≤,012x ≤+≤,032,13x x ∴≤-≤≤≤,,则()3y f x =-的定义域是[]1,3.

25.函数()1

2

x f x x +=

-的定义域为_____________.【答案】{}|1 2 x x x ≥-≠且 【解析】要使函数有意义需满足10{ 20

x x +≥-≠得{}|1 2 x x x ≥-≠且,

则函数的定义域为{}|1 2 x x x ≥-≠且,故答案为{}|1 2 x x x ≥-≠

且.

26________. 【答案】(0,1)∪[?3,+∞)

②x?1时,f(x)=?x?2;∴?x??1;∴?x?2??3;即f(x)??3;

∴函数f(x)的值域为(0,1)∪[?3,+∞).

故答案为:(0,1)∪[?3,+∞).

27.函数y=2?2x+8的定义域为A,值域为B,则A∩B=____________.【答案】[0,2]

【解析】A={x|?x2?2x+8≥0}=[?4,2],B={y|y=9?(x+1)2}=[0,3]

∴A∩B=[0,2]

28.函数y=x-的值域是________________.

【答案】(?∞,1

2

]

【解析】令t=1?2x(t≥0),则:x=1?t2

2,换元可得:f(t)=1?t2

2

?t(t≥0),

结合二次函数的性质可得函数的值域为(?∞,1

2

] . .

求值域经典例题

四、经典例题 例1、求下列函数的值域: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 分析:对于形如(1)(2)(3)的函数求值域,基本策略是(ⅰ)化归为的值域;(ⅱ)转化为sinx(或cosx)的二次函数;对于(4)(5)(6)之类含有绝对值的函数求值域,基本策略则是(ⅰ)在适当的条件下考察y2;(ⅱ)转化为分段函数来处理;(ⅲ)运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解: (1) ∵ ∴, 即所求函数的值域为. (2)由

∴ ∴ 注意到这里x∈R,, ∴ ∴所求函数的值域为[-1,1]. (3)这里 令sinx+cosx=t 则有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此,所求函数的值域为. (4)注意到这里y>0,且 ∵

∴ 即所求函数的值域为. (5)注意到所给函数为偶函数, 又当 ∴此时 同理,当亦有. ∴所求函数的值域为. (6)令 则易见f(x)为偶函数,且 ∴是f(x)的一个正周期.① 只需求出f(x)在一个周期上的取值范围. 当x∈[0,]时, 又注意到, ∴x=为f(x)图象的一条对称轴②∴只需求出f(x)在[0,]上的最大值. 而在[0,]上,递增.③ 亦递增④∴由③④得f(x)在[0,]上单调递增.

∴ 即⑤ 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为. 点评:解(1)(2)运用的是基本化归方法;解(3)运用的是求解关于sinx+cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法;解(4)借助平方转化;解(5)(6)则是利用函数性质化繁为简,化暗为明.这一点在解(6)时表现得淋漓尽致. 例2、求下列函数的周期: (1); (2); (3); (4); (5) 分析:与求值域的情形相似,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为+k的形式,而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况下,设法转化为分段函数来处理. 解: (1) = = ∴所求最小正周期. (2)

值域经典题型

值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11, -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。

值域的求法加强练习题 解答题(共10小题) 1.已知函数的定义域为集合A,函数的值域为集合B,求A∩B和(C R A)∩(C R B). 2.已知函数f(x)=x2﹣bx+3,且f(0)=f(4). (1)求函数y=f(x)的零点,写出满足条件f(x)<0的x的集合; (2)求函数y=f(x)在区间(0,3]上的值域. 3.求函数的值域:. 4.求下列函数的值域: (1)y=3x2﹣x+2;(2);(3); (4);(5)(6); 5.求下列函数的值域 (1); (2); (3)x∈[0,3]且x≠1;

(4). 6.求函数的值域:y=|x﹣1|+|x+4|. 7.求下列函数的值域. (1)y=﹣x2+x+2;(2)y=3﹣2x,x∈[﹣2,9];(3)y=x2﹣2x﹣3,x∈(﹣1,2];(4)y=.8.已知函数f(x)=22x+2x+1+3,求f(x)的值域. 9.已知f(x)的值域为,求y=的值域. 10.设的值域为[﹣1,4],求a、b的值.

判别式法求函数值域

判别式法求函数值域 [6] 把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =,通过方程有实根,判别式0?≥,从而求得原函数的值域,这种方法叫做判别法。形如 2111122222 (,0)a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为的函数常用此法。此类问题分为两大类:一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式0?≥解得,但要注意判别式?中二次项系数为零和不为零两种情况;另一类为分子和分母中有公因式,约去因式回到上述方法解决。但值得注意的是函数的定义域问题。 例1、求函数22y=3 x x +的值域。 分析:函数22y=3x x +形如2111122222 (,0)a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为,且定义域为全休实数,因此可用判别式法求解。 解:由22y=3 x x + 得 2320yx y x +-= 当y = 0 时, x = 0 当0y ≠时,由0?≥ 得24120y -≥ ∴33 y -≤≤ ∴函数22y= 3x x +的值域为|33y y ??-≤≤?????。 例2、求函数22(1)(2)(1) x y x x +=--的值域。 分析:察看函数22(1)(2)(1)x y x x += --可知,分子和分母存在公因式1x +,因为分母不为0,则有10x +≠,因此可以分子和分母同时约去公因式1x +。从而原函数就等价为2(2)(1) y x x =--,再用判别式法去解。 解:由22(1)(2)(1)x y x x +=--=2(2)(1)x x --=2232 x x -+ 得

23220yx yx y -+-= ∵当0y =时,-2 = 0 ,不成立 当0y ≠时,由0?≥,得2(3)4(22)y y y ---=280y y +≥ ∴8y ≤-或0y ≥ 由于0y ≠ ∴函数22(1)(2)(1)x y x x +=--的值域为{}|80y y y ≤->或。

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、(观察法)求下列函数的值域 (1)求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 (2)求函数y1=2-x 的值域。 (]2-,∞ 2、(配方法)求下列函数的值域 (1)求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84, (2)求函数y =的值域: ][20, (3),x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是( ) C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、(换元法)求下列函数的值域 (1)21y x =+[)∞+,3 (2)4y x =++ ][234,1+ (3)求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 (4)求函数y = ][2,1 (5)求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、(分离常数法)求下列函数的值域 (1)求值域(1)1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞,,251- (2)求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -, 5、(判别式法)求下列函数的值域 (1)求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51, (2)求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -, (3)已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1,3 ],求实数a , b 的值. a=2或-2,b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域 (1)求函数32()2440f x x x x =+-,[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = (2)设函数f(x)=ln(2x +3)+x 2.求f(x)在区间???? ??-34,14上的最大值和最小值. max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 (1)求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-, (2)求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

正确用判别式法求值域着重点辨析

正确用判别式法求值域“着重点”辨析 用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一,它主要适用于分式型二次函数,或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错,下面针对“着重点”一一加以辨析 着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论 例1 求函数3 22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解 原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y (*) ∵R x ∈,∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ,解得 21103≤≤y 。 故所求函数的值域是]21,103[ 分析 把21=y 代入方程(*)显然无解,因此21=y 不在函数的值域内。事实上,21=y 时,方程(*)的二次项系数为0,显然用“?”来判定其根的存在情况是不正确的,因此要注意判别式存在的前提条件,即需对二次方程的二次项系数加以讨论。 正解 原式变形为0)13()12()12(2 =-+-+-y x y x y (*) (1)当2 1= y 时,方程(*)无解; (2)当2 1≠y 时,∵R x ∈,∴0)13)(12(4)12(2≥----=?y y y ,解得2 1103<≤y 。 由(1)、(2)得,此函数的值域为)21,103[ 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形 例2 求函数1++=x x y 的值域。 错解 移项平方得:()011222=+++-y x y x , 由()014)]12([22≥+---=?y y 解得43≥y ,则原函数的值域是?? ????+∞,43. 分析 由于1-= -x x y 平方得()011222=+++-y x y x ,这种变形不是等价变

函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳: 1. 求函数的解析式 (1)求函数解析式的常用方法: ①换元法( 注意新元的取值范围) ②待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) ③整体代换(配凑法) ④构造方程组(如自变量互为倒数、已知f (x )为奇函数且g (x )为偶函数等) (2)求函数的解析式应指明函数的定义域,函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围,同时也要注意变量的实际意义。 (3)理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y =f (x )表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: ①若f (x )是整式,则函数的定义域是实数集R ; ②若f (x )是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集; ③若f (x )是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合; ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑤若f (x )是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域(最值)的一般方法: (1)利用基本初等函数的值域; (2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); (3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数) (4)函数的单调性:特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 (5)部分分式法、判别式法(分式函数) (6)换元法(无理函数) (7)导数法(高次函数) (8)反函数法 (9)数形结合法 4. 求函数的单调性 (1)定义法: (2)导数法: (3)利用复合函数的单调性: (4)关于函数单调性还有以下一些常见结论: ①两个增(减)函数的和为_____;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______; ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性; ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性; (5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等 (6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f (x ) 与f (-x )的关系。f (x ) -

函数值域的求法及例题

函数值域的求法 在函数概念的三要素中,定义域和对应法则是最基本的,值域是由定义域和对应法则所确定,因此,研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约,以下试举例说明常用方法. [例1]:求下列函数的值域 (1)y =1-2x (x ∈R ) (2)y =|x |-1 x ∈{-2,-1,0,1,2} (3)y =x 2+4x +3 (-3≤x ≤1) (4)y =|x +1|-|x -2| (5)y =2x -3+134-x (6)y =2 224)1(5 +++x x x (7)y =5 21+-x x (8)y =1223222++--x x x x (9)y =3-2x -x 2 x ∈[-3,1] (10)y =2 1322+-x x 分析:求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域,即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域. 对于(7)可将其分离出一个常数,即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析,即利用“判别式”法求得其值域. 对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域. 解:(1)y ∈R (2)y ∈{1,0,-1} (3)画出y =x 2+4x +3(-3≤x ≤1)的图象,如图所示,当x ∈[-3,1] 时,得y ∈[-1,8] (4)对于y =|x +1|-|x -2|的理解,从几何意义入 手,即利用绝对值的几何意义可知,|x +1|表示在数轴上表示x 的点到点-1的距离,|x -2|表示在数轴上表示x 的点到点2的距离,在数轴上任取三个点x A ≤-1,-1<x B <2,x C ≥c ,如图所示,可以看出|x A +1|-|x A -2|=-3 -3<|x B +1|-|x B -2|<3,|x C +1|-|x C -2|=3,由此可知,对于任意实数x ,都有-3≤|x +1|-|x -2|≤3所以函数y =|x +1|-|x -2|的值域为y ∈[-3,3] (5)对于没有给定自变量的函数,应先考查函数的定义域,再求其值域. ∵4x -13≥0 ∴x ∈[4 13 ,+∞)令t =134-x 则得:x =4132+t

函数定义域、值域经典习题及答案88322

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: 2) y = 1 + (2 x - 1)0+ 4 - x 2 1+ 1 x -1 2、设函数 f (x )的定义域为[0,1],则函数f (x 2)的定义域为_ _ _;函数 f ( x -2) 的定义域为 _______ 3、若函数 f (x +1)的定义域为[-2,3],则函数 f (2x -1)的定义域是 ;函 数 f (1 + 2)的定义域为 。 x 4、 已知函数f (x )的定义域为[-1, 1],且函数F (x )= f (x +m )-f (x -m )的定义域存在, 求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴ y = x 2 +2x -3 (x R ) ⑵ y = x 2 +2x -3 x [1,2] ⑶y =3x -1 x + 1 ⑷y = 3x -1 (x 5) x +1 三、求函数的解析式 1、 已知函数 f (x -1) = x - 4x ,求函数 f (x ), f (2x +1) 的解析式。 2、 已知 f (x )是二次函数,且 f (x +1)+ f (x -1)=2x -4x ,求 f (x )的解析式。 ⑴y = x 2 -2x -15 x +3-3 y = 2x - 6 x +2

3、已知函数f(x)满足2f(x)+ f(-x)=3x+4,则f(x)= 。 4、设f(x)是R 上的奇函数,且当x[0,+)时,f(x)=x(1+3x),则当x(-,0)时f(x)= ________ _ f(x)在R 上的解析式为 5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x R,且x1},f(x) 是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=1,求f(x)与g(x) 的解析表达式 x - 1 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ y= x2+2x+3 ⑵ y = -x2+2x +3 ⑶ y = x2- 6x -1 7、函数f(x)在[0,+)上是单调递减函数,则f(1-x2)的单调递增区间是 8、函数y = 2-x的递减区间是;函数y = 2-x的递减 3x + 6 3x + 6 区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴y1=(x+3)(x-5),y2=x-5;⑵y1= x+1 x-1 ,y2= (x+1)(x-1) ; x+3 ⑶f (x) = x,g(x) = x2 ;⑷f (x) = x,g(x)= 3x3 ;⑸f1(x) = ( 2x-5)2 , f (x) = 2x - 5。 A、⑴、⑵ B 、⑵、 ⑶ C 、⑷D、⑶、⑸ 10、若函数f(x)= x - 4的定义域为R ,则实数 m mx2+ 4mx + 3 的取值范围是 ( ) A、(-∞,+∞) 3 B 、(0,3 ] 3 C 、(3,+∞ ) 3 D 、[0, 3 ) 11、若函数f (x) = mx2+mx+1的定义域为R,则实数m的取值范围是( )

关于判别式法求值域增根的研究

关于判别式法求值域增根的研究 文章来源:2008年下半年度《试题与研究》 我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的,若分子分母有公因式时,我们须先 约去公因式,化成f(x) =的形式,然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时,会出现什么情况呢?让我们比较吧! 例:求二次分式函数y = 的值域.

y = y = = , = 通过比较,我们发现用判别式法求值域的结果,比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。这就是说,

用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢?下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧! 函数是定义域到值域的映射,在定义域内任何一个x值,在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来,值域内每一个y 值,都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x 的方程(将y看作是x的系数),只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来,其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。 将二次分式函数的分母乘到另一侧,得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0,此方程为关于x的一元二次方程。其中,当△≥0时(△是含字母y的式子),将这个范围内的y 值代入方程,都能够得到一个或两个与之对应的x值;而当△<0时,方程无解,这说明在此范围内的y值没有x值与之对应,因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0,此方程为关于x的一次方程,将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值,如果所得x值在定义域内,则该y值属于值域;如果所得x值不在定义域内,或所得解析式根本没有意义,则该y值不属于值域。

求值域的方法,带例题

1.直接观察法:利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 44|2-≥};当a<0时,值域为{a b a c y y 44|2 -≤}. 练习1.求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y 2.分离常数法:分离常数法在含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式(不等式或方程)中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量的取值范围。 练习2.求函数1 1)(+-= x x e e x f 的值域。 3.有解判别法: 有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例1.求函数y=1 1 22+++-x x x x 值域 解:原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y ≠1,由题?≥0,

即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得33 1 ≤≤y 且 y ≠1. 综上:值域{y|33 1 ≤≤y }. 例2.求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢?) 解:把已知函数化为(2)(3)36 1(2)(3)33 x x x y x x x x ---===- -+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1 ∵ x=2时 51-=y ∴ 5 1 -≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5 1 -} 练习3(1)31 (1)2 x y x x +=≤- (2)22 1x x y x x -=-+ 4.二次函数在给定区间上的值域。 例3. 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②]4,3[,142 ∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 注:对于二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值 321-1-2-3 654321-1-2x O y

函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案

函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域,掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 (1) 定义:定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 (2) 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时,函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数定义域要使函数有意义,同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据: ①f(x)是整式(无分母),则定义域为 ; ②f(x)是分式,则定义域为 的集合; ③f(x)是偶次根式,则定义域为 的集合; ④对数式中真数 ,当指数式、对数式底中含有变量x 时,底数 ; ⑤零次幂中, ,即x 0中 ; ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数,则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域(难点) (1)已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可 得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 (2)已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

如何用判别式法求函数值域

如何用判别式法求函数值域 用判别式法求值域是求函数值域的常用方法,但在教学过程中,很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做,二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法,哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。 一、判别式法求值域的理论依据 例1、 求函数1 22+--=x x x x y 的值域 象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。 解:由1 22+--=x x x x y 得: (y-1)x 2+(1-y)x+y=0 ① 上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程 ?? ????-+--=∴≠≤≤-≥?---=?13111,13 10) 1(4)1(222,x x x x y y y ,y y y 的值域为又解得令 为什么可以这样做?即为什么△≥0,解得y 的范围就是原函数的值域? 我们可以设计以下问题让学生回答: 1、 当x=1时,y=? (0) 反过来当y=0时,x=?(1) 当x=2时,y=? (32) 当y=3 2时,x=?(2) 以上y 的取值,对应x 的值都可以取到,为什么? (因为将y=0和y=3 2代入方程①,方程的△≥0) 2、 当y=-1时,x=? 当y=2时,x=? 以上两个y 的值x 都求不到,为什么求不到?(因为将y 的值代入方程①式中△<0,所以无解) 3、 当y 在什么范围内,可以求出对应的x 值? 4、 函数1 22+--=x x x x y 的值域怎样求? 若将以上问题弄清楚了,也就理解了判别式求值域的理论依据。 二、判别式法求值域的适用范围 前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域?

高一数学《函数的定义域值域》练习题

函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法: 例1:求函数y = 例2:求函数1y 的值域。 2、配方法: 例1:求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 例2:求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3:求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法: 例1:求函数125 x y x -=+的值域。 例2:求函数1 22+--=x x x x y 的值域. 例3:求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法: 例1:求函数2y x = 例2: 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。 例1:求函数y x = 例2:求函数()x x x f -++=11的值域。

例3:求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1:求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1:已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域. 例2:若()f x 的定义域为[]35-,,求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域. 例3:求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-= x x f ; ② 23)(+=x x f ; ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4:求下列函数的定义域: ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1:已知 :23)1(2 +-=+x x x f ,求f(x);

求函数最值常用的方法及经典例题讲解

求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点: 一、函数最大(小)值定义 最大值:一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; (2)存在0x I ∈,使得0()f x M =. 那么,称M 是函数()y f x =的最大值. 思考:依照函数最大值的定义,结出函数()y f x =的最小值的定义. 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在0x I ∈,使得0()f x M =; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x I ∈,都有()(())f x M f x m ≤≥. 二、求函数最大(小)值常用的方法. 案例分析: 例1、画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈-

类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 1、求函数 1 ,[1,2] y x x =∈ 的值域 A、单调递减,无最小值 B、单调递减,有最小值 B、单调递增,无最大值 D、单调递增,有最大值小试牛刀: 1、求函数 2 1 y x = - 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. 2

()5522++=x x x f 类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例: 求函数3456x y x +=+值域。 实战训练场: 1) 求函数2 13-+= x x y 的值域; 2) 函数.11的值域是x x y +-= 类型三、倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 例1 、求函数 y = 的值域。 例2、求函数 的值域。

高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题

函数专题之值域与最值问题 一.观察法:通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域. 例1:求函数) + =的值域. y- 3x 3 2( 点拨:根据算术平方根的性质,先求出) -的值域. 3 2(x 解:由算术平方根的性质,知) 2(x -≥3。∴函数的值域为) 3 -≥0,故3+) 2(x 3 ,3[+∞ . 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算 术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法:当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})三.配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域. 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。 此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4:求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域. 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。

求函数值域典型例题

求函数值域典型例题 一、函数点调性法 对于一些比较简单的函数,通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例1. 求函数 1 y x = 的值域。解:∵0x ≠ ∴ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域。解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是:]3,[-∞ 练习1:求函数 , 故 。 ∴函数的值域为[ 3 ,+∞) 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 练习2:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 练习3:① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+= x x y ④x x y += 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴,2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1111111+-=+-+=+= x x x x x y ∵01 1 ≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法) ④当x>0,∴x x y 1 + ==2)1(2+- x x 2≥, 当x<0时,)1 (x x y -+ --==-2)1(2----x x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法)函数 x x y 1 +=的图像为: 例3 求函数y = +-2 5 x log 3 1-x (2≤x ≤10)的值域 解:令y 1= 2 5 -x ,2y = log 3 1-x ,则 y 1 , 2y 在[ 2, 10 ]上都是增函数。 所以y= y 1 +2y 在[ 2 ,10 ]上是增函数。 当x = 2 时,y min = 3 2-+log 3 12-=8 1 , 当x = 10 时,max y = 52+log 39=33。

高中函数值域的经典例题 12种求法

一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。 五.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。 当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。

用判别式法求函数值域的方法

用判别式法求函数值域的方法 例1求函数y=1 223222++--x x x x 的值域 解:∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+2 1>0 ∴函数的定义域为R , 将原函数等价变形为(2y-1)x 2+(2y+2)x+y+3=0, 我认为在此后应加上:关于..x .的方程(....2.y .-.1.).x .2.+(2y+2)x+y+3=0..............有实数解.... 例2求函数y=6 3422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3 ∴函数的定义域为{x|x ∈R ,x ≠2,x ≠-3} 由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0 我认为在此之后应加上:关于..x .的方程(....y .-.1.).x .2.+(y ...-.4)x ...-.6y ..-.3=0...有实数根且至少....... 有一根不为.....2.且不为...-.3. 例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用.... ,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。 思考之二:对于形如y=f ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值,该文中是这样的说明的:由于函数变形为方程时不是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y 值在值域内,否则舍去。 但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢 我认为有关形如y=f ex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可, 例3 求函数求函数y=6 3422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3 ∴函数的定义域为{x|x ∈R ,x ≠2,x ≠-3} 由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0 我认为在此之后应加上:关于..x .的方程(....y .-.1.).x .2.+(y ...-.4)x ...-.6y ..-.3=0...有实数根且至少....... 有一根不为.....2.且不为...-.3. (1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x ≠-3,因此y ≠1 (2)当y ≠1时关于x 的方程(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法 (一)一次函数型 或利用:=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式,利用三角函数的有界性或单调性求解; (2)2sin(3)512 y x π =-- +,x x y cos sin = (3)函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 . (4)函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ (二)二次函数型 利用二倍角公式,化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法、 换元及图像法求解。 (2)函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43. (3).当2 0π <

(三)借助直线的斜率的关系,用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法: ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值; ②利用万能公式求解; ③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。 例1:求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象,当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值,由几何知识,易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知,此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2:将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=,∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+,解得:3333 y - ≤≤,故值域是33 [,]33- 解法3:利用万能公式求解:由万能公式2 12sin t t x +=,221cos 1t x t -=+,代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知:当0t =,则0y =,满足条件;当0t ≠,由2 4120y =-≥△,3333 y ?-≤≤,故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4:利用重要不等式求解:由万能公式2 12sin t t x +=,221cos 1t x t -=+,代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时,则0y =,满足条件;当0t ≠时, 22 113(3) y t t t t = =---+,如果t > 0,则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+, x Q P y O

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