第五章 定 积 分
§5—1 定积分概念
一、填空题
1． )(x f 在[a,b]上可积的充分条件是 。
2． n
n k
n
k n ∑
=∞
→1
lim
用定积分表示可表示成 。
3． 由定积分的几何意义知?-
π
π
xdx sin = ，?-π
π
xdx sin = 。
4． 定积分
dx x a a
a
?
--22的几何意义是 。
二．判断题。
1．若f(x)在[ a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积。 （ ） 2．若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[ a,b]上有界。 （ ） 3．若f(x)、g(x)在[a,b]上都不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上必不可积。 （ ） 5． 若f(x)在[a,b]上可积，则g(x) )在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上一定不可积。（ ） 三．单项选择题。 1． 定积分?
b
a
dx x f )(表示和式的极限是 。
（A ）、))((1lim a b n
k
f n a
b n
k n --∑
=∞
→ （B ）、
))(1
(
1
lim a b n
k f n a
b n
k n ---∑=∞
→
（C ）
∑=∞
→?n
k k
k
n x f 1
)(lim ξ
（i ξ为i x ?中任一点）
（D ）、
∑=∞
→?n
k k
k
x f 1
)(l i m ξλ
（}{max 1i n
i x ?=≤≤λ，i ξ为i x ?中任一点）
2．定积分
?
b
a
dx x f )(=
∑=∞
→?
n
k k
k
x
f 1
)(
lim ξ
λ
表明
（A ）、[b a ,]必须n 等分,
k
ξ是[x k-1,x k ]的端点。 （B ）、[b a ,]可以任意分,
ξ
k
必是[x k-1,x k ]的端点。
（C ）、[b a ,]可以任意分, }m ax{1x k n
k ?≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取。
（D ）、[b a ,]必须等分, }m ax{1x k n
k ?≤≤=λ，k ξ可在[x k-1,x k ]上任取
四．利用定积分定义计算 ?
b
a
xdx )(b a <
§5—2 定积分的性质 中值定理
一、判断题
1．若函数)(x f 在[b a ,]上连续，且
0)(2=?
dx x f b
a
则在[b a ,]上f(x)0≡ （ ）
2．若f(x),g(x)在[b a ,]上可积且f(x) dx x g dx x f b a b a ?? <)()( （ ） 3．若函数)(x f 在[b a ,]上可积且[d c ,]? [b a ,] 则 ?? ≤b a d c dx x f dx x f )()( （ ） 4．若函数)(x f 在[b a ,]上可积，则至少有一点∈δ[b a ,],使? -b a a b f ))((δ （ ） 5．不等式 3 2a r c t a n 9 3 3 1π π ≤ ≤?x d x x 成立。 （ ） 二、单选题 a) 积分中值定理 ))(()(a b f dx x f b a -=? ξ中ξ是[b a ,]上 （A ）任意一点 （B ）必存在的某一点 （C ）唯一的某点 （D ）中点 b) 设 I 1= ? x e tdt ln I 2=dt t x e ?2ln （x>0）。则 （A ）仅当x>e 时I 1 (C) 仅当x c) I=dx x x a n n n ?+∞→1sin lim （a 为常数）积分中值定理=?∞→δ δ1 sin a (A) =?∞→δδ1s i n lim a n 2 a sin a 1 (B) =?∞→δ δ1sin lim a n 0 (C) =?∞ →δ δ1sin lim a n a ( D) =?∞ →δ δ1 sin lim a n ∞ 三、比较下列积分的大小。 1．??+-1 1 )1(dx x dx e x 与 2.??40 40 cos sin π π xdx xdx 与 四、估计积分dx e x x ? -2 2的值。 五、证明：若函数)(x f 在[b a ,]上连续，非负，且)(x f 0≠ 则0)(>? b a dx x f 六、设函数)(x f 在[b a ,]上连续，证明： ?? ??????????≤?????????b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f 2 22 )()()()( 七、设函数)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且)0(f =3 ? 1 3 2 )(dx x f 证明：在（0，1）内至少存在一点C ，使0)(='c f §5.3 微积分基本公式 一、填空题 1．dx x dx d ?202 sin π = 。2．=?dt t dx d x 0 2sin 。 3．= ?dt t dx d x 202 sin 。4．=? dt t dx d x 22 sin 。 5．=? →3 2 sin lim x dt t x x 。6．()=+?∞ →1 arctan lim 2 2 x dt t x x 。 7．()?-2 sin x tdt t x dx d =- 。8。?+1 01x e dx = 。 9． =? 2 )(dx x f 。其中)(x f =???-x x 22 2 11 0≤<≤≤x x 10. 函数)(x f =2x 2+3x+3 在 [1，4] 上的平均值为 。 二． 判断题 1．0)(2=???? ??-?x a dt t x dx d ( ) 2. 1cos cos 3 03 -='?? ? ???x tdt x ( ) 3.若函数)(x f 在[b a ,]上连续，则)(x F =? x a dt t f )( 在[b a ,]上可导。 （ ） 4． 2cos 2cos 22cos 10 20 ===+?? ? ππ π xdx dx x dx x sinx π =0 ( ) 5．函数f(x)=????? ????<=>--?x x x x dt t x x x e e 0 2)0(cos 21)0(2)0(1) 1(2sin 在R 上处处连续 （ ） 三．单项选择题 1． 设)(x f 为连续函数，且F(x)= ? x x dt t f ln 1 )(，则)(x F '等于 （A ） x 1f(x)+)1(12x f x (B) )1()(ln x f x f + (C) )1(1)(ln 12x f x x f x - (D) )1()(ln x f x f - 2． 设F(x)= ?-x a dt t f a x x )(2，其中)(x f 为连续函数，则)(lim x F a x →等于 （A ）2 a (B) )(2 a f a (C) 0 (D) 不存在 3． )(x f =???????≤<≤≤)2(sin 1)0(cos 1 22πx b x b x x 且2)(20 =?πdx x f 则b= (A) 2π (B)3π (C)4π (D)6 π 四．设)(x f y =由方程 01 2 =-? +-y x t dt e x 确定，求曲线)(x f y =在x=0处的切线。 五.计算下列定积分 1．dx x x 22 1 )1(? + 2. ? +3 2 1x dx 3. ? 40 4tan π xdx 4. 设)(x f =?-???≤>12 )()0(cos ) 0(πdx x f x x x ex 求 5. ? 20 }cos ,max{sin πdx x x 6. ? -20 2sin 1π dx x 四、 设 )(x f =x x -2 ?? +1 2 )(2)(dx x f dx x f , 求 )(x f 五．求b a ,的值，使 ?=+-→x x dt t a t x bx 0 2 01sin 1lim 六．设)(x f =?????1 sin 21x ππ ><≤≤x x x 或00 求F(x)=?x at t f 0)(在(+∞∞-,)内的表达式. 七． 设)(x f 为连续函数,证明:???-=??? ??x x t dt t x t f dt du u f 000))(()( §5.4 定积分的换元法 一、填空题 1．若函数)(x f 在[a a ,-]上连续，则=--? -a a dx x f x f )]()([ 。 2．设)(x f '连续，则 ='? b a dx x f )2( 。 3．=-?x dt x t dx d 0 )cos( 。 4． =-+? -3 3 239)4(dx x x 。 5．设)(x f 是以T 为周期的连续函数，且,1)(0 =? T dx x f 则? +T dx x f 200211 )(= 。 二、判断题 1．若)(x f 为(+∞∞-,)上的连续函数，且?? =-x x x dt t f dt t f 0 )(2)(则f(x)必为偶函数。（ ） 2．由于I = I t dt t x x dx -=+-=+??--1121 12111令 0=∴I ( ) 3 ???? +=+=--2 1 22 1 1 1 2 1 0dx x dx x x dx x x dx x x （ ） 三、单项选择题 1． 定积分 dx e x x 1 2 1 21 ? -的值是 （A ）2 1 e (B) 2 1e e - (C) 1 （D ）不存在 2． I=dx x f x a ? 23)( （0>a ）,则I= (A) ? 2 )(a dx x xf (B)? a dx x xf 0 )( (C) ?20)(21a dx x xf (D) 2 1 ? a dx x xf 0 )( 四、计算下列定积分 1．? +3 1 ln 1e x x dx 2. ? ?2 5cos 2sin π xdx x 3．?-++0 222 2x x dx 4.?---112 2)2(dx x x 5．.)2() 0()0(1)(3 12 ?-?????≥<+=-dx x f x e x x x f x 求设 五、证明：?? +=+2020 cos sin cos cos sin sin ππ θθθθθ θθθd d ，并利用结果计算?+20cos sin sin π θθθ θd 之值。 六、设函数)(x f 为[a a ,-]上连续的偶函数。求证： ??=+-a a a x dx x f dx e x f 0)(1)( 并利用结果计算xdx e e x x 4 22 sin 1?-+π π 七．设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续、可导，且? -=x dt t f t x x F 0 )()2()(，证明： （1）若)(x f 是偶函数，则)(x F 也是偶函数； （2）若0)(<'x f ，则)(x F 在),(+∞-∞内单调增加。 §5.5 定积分的分部积分法 一、判断题 1．若)(x f '连续，则???-=='1 1 01 1 )2()2()2()2(dx x f x xf x xdf dx x f x ( ) 2． )ln 1(11ln 1ln ln 111e e e e e e e dx x x x x dx x x e e e e e e -=+--=? -=?? （ ） 二、填空题 1．=? 2 7sin π xdx 。 2． ? =π 10sin xdx 。 3．F （x ）= ? -x t dt te 0 2 有极值，则当x= 时，取极小值 。 三、单项选择题 1．)(x f ''在[b a ,]上连续，则?''b a dx x f x )(= . （A ）[a )()([)]()(b f b f b a f a f -'--'] (B) )]()([)]()([a f a f a b f b f b -'+-' (C) )]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--' (D) [a )()([)]()(b f b f b a f a f -'+-' 2． =? dx x x 2 1 2log （A ）21 2212 2 4log 2x x x -???? ?? （B ）212212 2 )42ln (log 2x x x -??? ? ? ? （C ）21 2212 2 2ln log 2x x x -??? ? ? ? （D ）21 2212 2 2ln 4log 2x x x -??? ? ? ? 四、计算下列定积分 1．? 1 arcsin xdx x 2. xdx e x cos 20 2? π 3．xdx x x arctan 11 22 ? + 4.dx e x ?-12 11 2 5．dx x x ?34 2 sin ππ 6. ? ++20 cos 1sin π dx x x x 五．设? -=x t dt e x f 1 2 )(，求?1 )(dx x f 六．若)(x f ''在[0,π]上连续，且,2)0(=f 1)(=πf 证明：[]3sin )()(0 =''+?xdx x f x f π 七．计算I m =? π sin xdx x m (m 为自然数) §5.6定积分的近似计算 一、用三种积分近似计算方法,计算 ? 2 1 x dx 以求ln2的近似值。（取n=10被积函数值取四位小数） §5.7广义积分 一、判断题 1．因为x sin 为奇函数，所以 ? +∞ ∞ -=0sin xdx （ ） 2．012lim 1222=+=+? ?-+∞→∞ +∞-dx x x dx x x a a a （ ） 3． 3 4 31 )3(4 4 2 -=-- =-? x x dx （ ） 二、填空题 1．若112=+?∞ +∞-x Adx ，则A= 。 2． ?∞ +-2 )1(p x dx ，当p 时收敛，当p 时发散。 3． ? -2 1 ) 1(p x dx ， 当p 时收敛，当p 时发散。 4．， ? ∞ +2 )(l n p x x dx 当p 时收敛，当p 时发散。 三、单项选择题 1．以下各积分不属于广义积分的是 。 （A ）、 ?-∞ +0)1ln(dx x （B ）、? 1 0s i n dx x x （C ）、?-112x dx （D ）、?-+031x dx 2. 已知广义积分 ? +∞ ∞ -dx e x k =1，则k= 。 （A ）、21 （B ）、2 1- （C ）、2 （D ）、2- 3． ? -b a dx x b dx （其中b a <）是 。 （A ）、发散 （B ）、收敛于)(22 1a b - （C ）、收敛于)(21 2a b - （D ）、收敛于)(2 a b - 四、判断下列广义积分的收敛性，若收敛，计算其值。 1．?∞ +∞-++2 22x x dx 2。?+∞-0dx e e pt kt （k p >） 3. ? -1 2 1x xdx 4. ? -e x x dx 1 2 ) (ln 1 五、设函数)(x f =()???? ?? ???>≤<≤20)20(4 1)0(21x x x e x ，求：F （x ）= ? ∞ -x dx t f )( 第五章自测题一 一、填空题 1．设函数)(x f 在(+∞∞-,)上连续，则=?2 sin 3)(x x dt t f dx d 。 2．设函数)(x f 在[0,4]上连续，且3)(2 1 2-=? -x dt t f x ，则f(2)= 。 3． =+?3 1 ln 1e x dx 。 4． =+? ∞ +dx x x dx 1 2) 1( 。 5． =? π 10sin xdx 。 6．=?? ????++++??-dx x x x x x π πcos 1)13(sin 2224 。 7．=>++++∞→)0(21lim 1p n n p p p p n 。 8．=?302 2sin x dt t dx d 。 9．dt t x dx d x ?-202)sin(= 。 10．函数)(x f =? +1 )(dt x f x xe x 则)1(f = 。 二、单项选择题 1．=??? ? ?++++++∞→n n n n n 12211 lim （A ）0 （B ）2 （C ）2ln （D ）2 e 2．若函数)(x f =?-x dx x t dx d 0 )sin(，则)(x f 等于 （A ）、x s i n - (B)、x cos 1+- （C ）、x s i n (D)、0. 3．定积分 dx e x x x )(2 2 +? -的值是 。 （A ）、0 （B ）、2 （C ）、222 +e (D)、26 e 4．设)(u f 连续，且 ? ≠2 0)(dx x xf ，若??=2 10 )()2(dx x xf dx x xf k ，则k = . (A)、1/4 （B ）、1 （C ）、2 （D ）、4 5．若连续函数)(x f 满足关系)(x f = ? x dt t f 20 )2 (+ln2，则)(x f = 。 （A ）、2ln 2e (B)、2ln 2x x (C)、12ln 2-+e (D)、12ln 2-+x e 三、计算下列积分。 1．dx x x ? -2 234 2. dx x x ? -4 1 3． dx x x x ? --21 212 1arcsin 3.?- +22 3)cos (π πdx x x 5． dx x b a ? 6.dx x ?-20 2sin 1π 四、已知函数)(x f 在 x=12 的邻域内可导，且997)(lim ,0)(lim 12 12 ='=→→x f x f x x ，求： 3 12 12 12 ) 12(])([lim x dt du u tf x t x -??→。 五、设函数)(x f 在[a,b]上连续，且)(x f >0,)(x F = ]),[() ()(b a x t f dt dt t f x b x a ∈+? ? ，证明： （1）.F '(x)≥2. (2).方程0)(=x F 在区间（),b a 内有且只有一个根。 六、证明方程 x ln =?--π 2cos 1xdx e x ,在区间（0，+∞）内有且仅有两个不同的根。 七、求函数)(x f = dt te x t ? -0 的极值和它的图形的拐点。 八、证明：xdx xdx x m m m m ? ? -=20 20 cos 2 cos sin π π 。 第五章自测题二 一、填空题 1．=++ +++ +∞ →)12 11 1( lim 2 2 2 n n n n n 。 2．如果函数)(x f 在],[b a 上的最大值与最小值分别为M 与m ，则 ? b a dx x f )(有如下估计式: ≤?b a dx x f )(≤ 。 3．设m 为奇数，则 xdx ? π 2sin = 。 4． ? 2 )(dx x f = 。其中)(x f =???-x x 22 )21()10(≤<≤≤x x 5．比较积分大小 xdx ? 2 3sin π ? 20 2sin π xdx 6．=? 3 22 sin x dt t dx d 二、判断题 1．0sin 4=?- xdx x π π （ ） 2． ???+-=e e e e dx x dx x dx x 1 1 11)(ln )ln (ln （ ） 3．??? ==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()( （ ） 4． = ? b a dx 00)(=? a a dx x f （ ） 5．由于被积函数为奇函数，因此有012 =+? ∞ +∞ -dx x x ( ) 三、选择题 1．=+?x dt t dx d sin 0 21 （A ）cosx （B ）x cos （C ）-cos 2x （D ）x x cos cos ? 2．设)(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(? b a =')(?则?='''b a dx x x )()(?? （A ）b a - （B ） 21(b a -) （C ）)(2122b a + （D ）)(2 122b a - 3．设)(x f = tdt x ? -cos 10 2 sin )(x g =7 67 6x x +,当x 0→时，)(x f 比)(x g 是 无穷小 （A ）低阶 （B ）高阶 （C ）同阶不等价 （D ）等价 4. )(x f ==????? ?++++++∞→)2()4()2(1lim n n x n x n x n n (A) 1+x (B)2 1 1+x (C)12+x (D)22+x 5．设连续函数)(x f 满足：)(x f = 2 x x +?10)(dx x f 则)(x f = (A) 243x x + (B)x+243x (C)223x x + (D)x +22 3x 四、计算下列积分 1． ?--3 ln 2ln x x e e dx 2. ? +3 1 2 1 x x dx 3． ? -20 2sin 1π dx x 4. dx x x ?-+4 4sin 1π π 五、求连续函数)(x f 满足： x x x f dt tx f arctan )()(1 +=? 六、设f （x ）=???? ???>=<-?x x dt t x x x x x 0 22)0(cos 1)0(1)0)(cos 1(2 试讨论)(x f 在x=0处的连续性与可导性 七。设)(x f 在b a ,]上二阶连续可导，0)(<''x f ，求证： )2 ( )()(b a f a b dx x f b a +-≤? 八．设)(x f 、)(x g 在[b a ,]上连续，求证： 存在),(b a ∈ξ使得 ? ?=ξ ξ ξξa b dx x f g dx x g f )()()()( 不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案：B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （ ） A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=，所以= )(x f x x cos 答案：C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形 解：1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分 1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解：1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为?udv ；②代公式，?udv ?-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分?vdu 解：?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos ( 《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。 第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二．是非判断题 1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=，则f(x)=______. 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？ 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2 不定积分内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解：53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? （ ） ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ?? ★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。 解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ? 第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。 48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec 15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[] 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将 第五、六章 定积分及其应用 （１） 一．判断题 （ ）1．函数)(x f 在区间],[b a 上有界，则)(x f 在],[b a 上可积． （ ）2．若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）3．设)(x f 在),(+∞-∞内连续，则? =x a dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数. （ ）4． ? ?=b a b a dx x f k dx x kf )()(,??=dx x f k dx x kf )()(都对. （ ）5．函数)(x f 在],[b a 上有定义，则存在一点],[b a ∈ξ，使 )()()(a b f dx x f b a -=? ξ． ( ). 二．填空题 1．设?= x x tdt x f 2 ln )(，则=')2 1(f . 2．?=x tdt dx d 1sin , dx d ?b a x 2 s i n dx = . 3．若),1(2) (0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 4．1 1xdx -? ＝ . 5． ? +21 42 )1 (dx x x ＝ , ?-10241dx x ＝ . 三．计算题 1． ? -e e dx x 1 ln 2．dx x x ?-π 53sin sin 3．设???? ?>-≤=1 , 11, )(2 x x x x x f ，求 ? 20 )(dx x f ． 4．dt t dx d x x ?+32411 5．20 0arctan lim x tdt x x ?→ 四．对任意x ，试求使 ? -+=x a x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a ． 五．证明题：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≤x f ，证明 作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11；2、dx e x ?+-23；3、dx x x x ?+--22)83(32；4、dx e e x x )sin(?； 5、dx e x ?-2； 6、dx x a x ?-2 2 1； 7、dx x x x ? -3 ； 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2；9、dx x e x ?+22)1(tan ；10、dx x x ?++)1ln(2； 11、?-xdx e x cos ；12、dx x x x x x ?+++-232223；13、dx x ?+sin 451 ； 14、dx x x x -+?111；15、dx x x ?+)1(124； 16、dx b x a x ?++) )((1 。 作业习题参考答案： 1、解：dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解：dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解：dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解：dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解：dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解：dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解：dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解：dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解：dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222 《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数，且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2，则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x，则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30 高等数学测试试题 一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （ ） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （ ） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （ ） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （ ） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （ ） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（ ） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （ ） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（ ） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（ ） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（ ） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（ ） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （ ） h 0 f ( h) f (0) 2 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a高数不定积分例题
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