教学目标:
1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点、难点:
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程:
一、课堂引入：
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理
二、问题情境
案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
案例2、三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540?由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180
n-??
案例3、221222221
,,,
331332333
+++
<<<
+++
L，由此我们猜想：
a a m
b b m
+
<
+
（,,
a b m均为正
实数）
二、学生活动
案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
由此猜想：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
案例2、三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540?由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180
n-??
由此猜想：凸n边形的内角和是 (n-2) ×1800。
案例3、221222221,,,331332333
+++<<<+++L ，由此我们猜想：a a m b b m +<+（,,a b m 均为正由此猜想：
,().b b m a b m a a m +<+，，均为正实数 三、建构数学
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理。(简称：归纳)
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
S 1具有P ，
S 2具有P ，
……
Sn 具有P ，(S1,S2,…,Sn 是A 类事物的对象）
所以A 类事物具有P 。
练习1、下列推理是归纳推理吗？为什么?
金受热后体积膨胀，
银受热后体积膨胀，
铜受热后体积膨胀，
铁受热后体积膨胀，
金、银、铜、铁都是金属。
所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
练习2、当n=0时，n 2-n+11=11；
当n=1时，n 2-n+11=11；
当n=2时，n 2-n+11=13；
当n=3时，n 2-n+11=17；
当n=4时，n 2-n+11=23；
当n=5时，n 2-n+11=31；
11,11,13,17,23,31都是质数。
第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系
难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1< ；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直 线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
合情推理 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．． 等．式． 为3333332 12345621+++++=。 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 答案：962 3：与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 213122+<，221151,233 ++<22211171, 2344............. +++< 由上可得出一般的结论为： 。 答案： 22211121 1......,23(1)1n n n ++ ++<++ 练习、由 331441551 ,,221331441 +++>>> +++。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。
一、创设情境，引入新知 1、出示柯南图片 师：同学们，认识他吗？那喜欢他吗？为什么喜欢他？ 师：是的，名侦探柯南就是靠他敏锐的观察力和严密的逻辑推理解决了一个又一个扑朔迷离的案件。你想成为名侦探吗？今天我们先当当数学小侦探，有信心当好吗？ 2、出示：A、 B 、C 代表爷爷、爸爸、孙子三人，你能确定A、B 、C分别代表谁吗？﹙不能确定，如果学生说了也只是猜测，并不是推理﹚师：如果C是7岁，现在能确定了吗？为什么？ 生：只能确定C是孙子，因为当爷爷和爸爸的不可能只有7岁，A和B分别是谁还不能确定。 师：A的年龄更接近C的年龄，现在可以确定了吗？说说理由？ 3、引出课题 像这样，借助有力的信息或依据，一步一步的作出判断,推出正确的结论，这种方法数学上称之为“推理”，这类判断推理问题叫做“逻辑推理”问题。今天我们就一起研究逻辑推理问题。 二、活动体验，内化新知 1、体验简单的逻辑推理 ⑴玩趣味抢答游戏。﹙我说一句话，请你们根据我所说的话进行推理，说出你想到的结论。﹚ A、小红不是女生。 B、不是男生的同学请站起来。 C、数学考试考了前三名的小红既不是第一名也不是第三名。 D、小华是明明的哥哥，但是明明却不是小华的弟弟。 师：同学们对简单的推理问题分析的有理有据，得出了正确的结论，这节课我们学习较复杂的推理问题。希望同学们积极开动脑筋，做出正确的推断。 2、探究复杂一点的逻辑推理 ⑴出示题目 六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。请问哪两位班长是同班的？ ⑵引导学生理解题意 师：谁知道答案，怎么没有人举手？（较前面的题条件多一些，复杂一些，都还没有看懂题目的意思，不能一下得出答案。） 师：请同学们再读一读题。你从题中都知道了什么？（每次每班只要一个班长参加说明开会时候同一个班级的两位班长不同时参加。一共有6名班长。。。）谁能告诉我答案！（如果能答上来就让学生口述一遍，答不上来就出示学习指南）师：没听出头绪，有点乱的原因是因为题中反应的信息很多，这些信息都孤立的放在那里，不便于观察和思考，那有没有什么方法能使复杂的条件一目了然呢？（画图，列表格） 师：可以，下面我们根据学习指南利用表格进行学习探索。 （2）合作探究 出示学习指南
一、教学目标： 合情推理教案 （1）结合已学过的数学事例实例和生活中的实例，了解合情推理的含义。 （2）能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 二、教学重点、难点 1.重点：归纳推理和类比推理的理解和应用. 2.难点：合情推理的应用，尤其是类比推理的应用，能根据已知类比出一些数学结论. 三、教学方法： 启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的课堂教学方法。 一、归纳推理 1.导入新课：1.举一些日常生活中常常用到的推理：如走到家门口闻到菜香，猜想已经做好饭了等。 2.介绍数学史（预习） 简单介绍课本出现的歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想，2.分析特例：问题 1：你了解哥德巴赫是怎么提出猜想的吗？ 歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，· ····· 改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11, 18 =7+11, …，1000＝29+971，1002=139+863, ······ 歌德巴赫猜想:“任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数 3.得出结论： 归纳推理定义： 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的特点 1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. 2.人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行。 3.归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段。 归纳推理的一般步骤⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理 ⑵ 在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想 (3）检验猜想 说明: 由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠,（如：费马猜想）但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识性能,对于提供科学的发现方法,确实是非常有用的 4.例题 例题 1：已知数列{a }的第 1 项a = 2 ，且a=a n(n = 1, 2, ) ，试归纳出通项公式. n 1 n+1 1 1 +a n 分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想a n = n 。 5.反馈练习 1 1 1 1 * 3 5 f ( n) =1+ + + L + ( n ?N ) 得得f ( 2 = , f ( 4) >2 f ( 8 > , f ( 16 >3 2 3 n 2 2 7
合情推理教案 一、教学目标： （1）结合已学过的数学事例实例和生活中的实例，了解合情推理的含义。 （2）能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 二、教学重点、难点 1.重点：归纳推理和类比推理的理解和应用. 2.难点：合情推理的应用，尤其是类比推理的应用，能根据已知类比出一些数学结论. 三、教学方法： 启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的课堂教学方法。 一、归纳推理 1. 导入新课：1.举一些日常生活中常常用到的推理：如走到家门口闻到菜香，猜想已经做好饭了等。 2.介绍数学史（预习） 简单介绍课本出现的歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想， 2.分析特例：问题1：你了解哥德巴赫是怎么提出猜想的吗？ 歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， · ····· 改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3， 8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11, 18 =7+11, …，1000＝29+971， 1002=139+863, ······ 歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数 3.得出结论： 归纳推理定义： 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的特点 1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. 2.人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行。 3.归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段。 归纳推理的一般步骤⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理 ⑵ 在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想 (3）检验猜想 说明: 由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠,（如：费马猜想）但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识性能,对于提供科学的发现方法,确实是非常有用的 4.例题 例题1：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+L ，试归纳出通项公式. 分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a =1n 。 5.反馈练习1 ?L *11135f(n)=1+ +++(n N )算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,23n 22
(整理)合情推理和演 绎推理》. -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1< ；….对于任意正实数,a b 立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22 a +b = 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征
《推理》教学设计 龙岩实小陈莉花指导老师：郑雪影郭笑静教学内容： 新人教版小学数学第四册第九单元《数学广角》的第一课时推理教学目标： 1、经历简单推理的过程，初步获得一些简单推理的经验。培养学生初步的观察、分析、推理能力。 2、进行简单地、有条理地思考，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。 3、培养学生大胆猜想、积极思维的学习品质；体会数学思想方法在生活中的用途，激发学生学好数学的信心。 教学重难点： 重点：经历简单推理的过程。 难点：推理依据的叙述。 教具准备：教学课件. 教学过程 一、创设情境，引入推理。 师：小朋友们好。瞧，老师把谁请来了？（喜羊羊）你们喜欢“喜羊羊”吗？喜羊羊给我们带来了一个好消息“羊羊侦探训练营招生啦!”你们想做一名小侦探吗？那就让我们一起去参加”侦探训练营“的训练吧！ 【设计意图：通过创设猜一猜的游戏情境，充分激发学生的学习兴趣，初步体验盲目瞎猜的不确定性与根据条件合情推理的科学性。初步感知数学中的推理是由此及彼的合理猜想的过程。】 二、师生互动，感受推理。 1、基础训练 猜猜慢羊羊村长得年龄，这种根据已经知道的条件，逐步推出结论的过程，我们把它叫做——推理。今天，这节课我们就一起来学习简单的推理！ 师：生活中像这样只有两种情况的推理还有很多。根据提示，一种情况不是的，那肯定就是另一种情况了。我们一起来看看吧。 课件出示题目：生活中的推理 师：小结：两种情况的推理，只要一个相关的提示，想不是什么就是什么推出结果。
【设计意图：在情境中再次让学生体验合情推理的思维过程，借助“不 是……就是……”的引导，帮助学生学会用准确完整地语言表达推理的思维 过程。】 2、升级训练。 师：看来，美羊羊的基础训练难不住我们的。我们一起看看暖羊羊的升 级训练给我们带来了什么？例题教学： （1）说一说推理的结果，并说说你是怎么想的？ （2）用自己喜欢的方式在纸上把推理的结果表示出来。 （3）小结方法。 【设计意图从扶到放地引导学生自主探究，层层深入，帮助学生掌握了推理的一般方法，有利于难点的突破。掌握包含三个条件的推理的一般方法】 3、综合训练。 师：大家真棒。接连通过了两轮训练。我们赶紧进入第三场综合训练吧。 （1）猜：１００米跑步比赛中沸羊羊、美羊羊、懒羊羊分别得了金牌、 银牌、铜牌，请根据提示猜一猜他们各得了什么奖牌。 （2）破密码救懒羊羊 （3）小结推理方法：侦探工作守则。 【设计意图：以游戏的形式使学生自己梳理思路，并能完成表述自己的 推理过程。】 三、练习拓展，巩固方法。 终极训练： （1）侦探辨一辨 （2）侦探连一连 （3）侦探选一选。 （4）侦探抓小偷。 【设计意图：在各种情境中体验推理的乐趣，掌握推理的过程，会用排 除法进行有序的推理。】 四、全课总结，运用推理。 今天这节课我们参加了有趣的“侦探训练营”，请你们谈谈你有什么收 获和体会？
0(1,2,,)i a i n >=2.1合情推理与演绎推理 姓名班级 【学习目标】 （1）结合已学过地数学实例，了解归纳推理、合情推理地含义，通过生活中地实例和已学过地教学地案例，体会演绎推理地重要性；（2）能利用归纳、类比进行简单地推理，体会并认识合情推理、演绎推理在数学发现中地作用.掌握推理地基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.【教学重点】能利用归纳、类比、演绎地方法进行简单地推理. 【教学难点】用归纳和类比进行推理，作出猜想；分析证明过程中包含地“三段论”形式. 【教学过程】 问题一：归纳推理 一、创设情境 1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 1000=29+971，, ……猜测：任一不小于6地偶数都等于两个奇质数之和.2.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对 2 0213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4 242165537F =+=地观察，发现其结果都 是素数，于是提出猜想：任何形如12 2+=n F （*∈N n ）地数都是素数.后来瑞士数学家欧拉， 发现5 252142949672976416700417F =+==?不是素数，从而推翻费马猜想.3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学地弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣地现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界地国家着上不同地颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注地问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学地两台不同地计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4.哥尼斯堡城七桥问题：18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)地普莱格尔河上有7座桥，将河中地两个岛和河岸连结，如图1所示.城中地居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点.这就是七桥问题，一个著名地图论问题.这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里.欧拉以深邃地洞察力很快证明了这样地走法不存在.欧拉是这样解决问题地：既然陆地是桥梁地连接地点，不妨把图中被河隔开地陆地看成A 、B 、C 、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点地线，如图2所示. 图1图2图3 于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形地一笔画问题了.欧拉注意到，每个点如果有进去地 边就必须有出来地边，从而每个点连接地边数必须有偶数个才能完成一笔画.图3地每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次地走法.二、合作探究： 1、归纳推理地概念：由某类事物地部分对象具有某些特征，推出该类事物地全部对象都具有这些特征地推理，或者由个别事实概括出一般结论地推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般地推理.讨论：(i)归纳推理有何作用？ (ii)归纳推理地结果是否正确？ 2. 练习： (1)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ （2）已知，考察下列式子： 111()1i a a ?≥；1212 11()()()4 ii a a a a ++≥；123123 111 ()()( )9iii a a a a a a ++++≥. 可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立地类似不等式为. (3). 观察等式：222 1342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样地结论？ 三、例题讲解 例1.已知数列{}n a 地第1项a 1=1，且),3,2,1(11 =+= +n a a a n n n ，试归纳出这个数列地通项公式. 例2:汉诺塔问题 有三根针和套在一根针上地若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大地金属片不能放在较小地金属片上面. 试推测:把n 个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 1 2 3
合情推理和演绎推理训练
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推理与证明 ★知识网络★ 第１讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ １.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理． 从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由 已知推出的判断,叫结论. ２、合情推理： 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: （1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般 原理；（2)小前提--－所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判 断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别推 理 推 证合情演绎归类直接间接 数学综 分 反
与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题１:观察：715211+<; 5.516.5211+<； 33193211-++<;…. 对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与 抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真 命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一,答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论）进行推理 问题3:定义[ｘ]为不超过ｘ的最大整数，则[-2.１］= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]＝-3 ★热点考点题型探析★ 考点１ 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 ［例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(１）结构的一致性，(２)观察角的“共性” [解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα＝右边 【名师指引】(1）先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周 期性） ［例2 ] (0９深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组 蜂
《推理》教学设计 李文昌 教学目标： 1.通过观察、猜测等活动，让学生经历简单的推理过程，初步获得一些简单推理经验。 2.培养学生初步的观察、分析及推理能力。 3.感受推理在生活中的广泛应用。 教学重点： 根据已知条件，感受简单的推理过程。 教学难点： 初步培养学生有序的地思考问题及数学表达的能力。 教学过程： 一、游戏导入 （小石子、橡皮擦、信封） 师：同学们，我们来玩一个猜一猜地游戏，想玩吗？ 生：想玩。 师：老师手里有东西，猜一猜是什么？ 生：乱猜。 师：到底是什么呢？能确定吗？ 生：不能确定。 师：给个提示：“我拿的是小石子和橡皮擦”，能猜出来吗？
生1：左手是石子右手是橡皮擦。 生2：左手是橡皮擦右手是石子。 师：还有两种答案，再给提示：右手不是橡皮擦。 生猜：右手是石子，左手是橡皮擦。 师：恭喜你们，答对了，你是怎样猜出结果的！ 生：老师说“右手不是橡皮擦”，右手不是橡皮擦，可以肯定左手拿的就是橡皮擦。 师：同学们讲的真有道理，其实同学们刚才在玩游戏时，根据老师的提示，经过分析猜出了结果，这样的过程在数学中叫做推理。板书：提示、结果；今天我们就一起来学习推理（板书）。 老师还给你们带来了一位侦探家，看看他是谁？ 生：黑猫警长。 师：你们想成为侦探家吗? 生：想。 师：警长到了学校，看看学校给警长出了什么难题？二、探究新知 师：出示例1文字和人物。观察屏幕，你知道了那些信息。 生：有3个人，和三本书，还知道了他们每个拿一本书。 师：你观察的真仔细，是哪三个人呢？哪三本书呢？ 生：语文数学品德与生活小红小刚小丽
师：把图片贴在黑板上。三个人各拿一本，是什么意思？ 生：每个人只能拿一本书。 师：小红拿什么？小丽拿什么？小刚拿什么？能确定吗？ 生：不能。 师：看看两位同学的提示。（课件出示提示） 师：现在你能推理出他们到底拿了什么书吗？下面我们就小组合作完成，看看合作要求: （1）小组讨论，猜一猜。 （2）说说你是怎样推理的？ （3）用你喜欢的方式把推理的过程记录下来，并选派一个人汇报。 （4）活动时间5分钟 生：进行推理活动。 师：请一个小组上来展示你们的结果和想法？法1 法2（展示完作对比） 我们看，第一小组用文字记录了推理的过程，我们可以把它叫做文字记录法。 第二小组通过连线帮助我们推理，我们可以把它叫做连线法。 比较这两个小组的方法，谁能清晰地看出推理的过程。 生：连线法。
一、教学目标： （1）结合已学过的数学事例实例和生活中的实例，了解合情推理的含义。 （2）能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 二、教学重点、难点 1.重点：归纳推理和类比推理的理解和应用. 2.难点：合情推理的应用，尤其是类比推理的应用，能根据已知类比出一些数学结论. 三、教学方法： 启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的课堂教学方法。 1. 导入新课：1.举一些日常生活中常常用到的推理：如走到家门口闻到菜香，猜想已经做好饭了等。 2.介绍数学史（预习） 简单介绍课本出现的歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想， 2.分析特例：问题1：你了解哥德巴赫是怎么提出猜想的吗？ 歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，· 改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11, 18 =7+11, …，1000＝29+971，1002=139+863, · 歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数 3.得出结论： 归纳推理定义： 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的特点 1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.
2.人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行。 3.归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段。 归纳推理的一般步骤⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理 ⑵ 在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想 (3）检验猜想 说明: 由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠,（如：费马猜想）但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识性能,对于提供科学的发现方法,确实是非常有用的 4.例题 例题1：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+，试归纳出通项公式. 分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a =1n 。 1.问题引入： 鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇。 2.分析特例 火星上有生命吗？为什么人们会猜测火星上有生命呢？ 问题2：用以上方法，类比圆的特征，填写下表球的特征，说说推理的过程。 并回答下面两个问题： 1.为什么圆可以和球类比？ 2.圆和球类比的规律是什么？ 圆的概念和性质 球的概念和性质 圆的周长 球的表面积 圆的面积 球的体积 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于 截面
第3讲 合情推理与演绎推理 1．推理 (1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程． (2)分类：推理? ? ???合情推理 演绎推理 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式： 三段论???? ?①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n － 1
数学广角——推理 台江第五中心小学钱婷婷教学内容：教科书第109页 教学目标： 1、知识与技能：能根据已知条件通过活动判断出结论，培养学生初步的观察、分析及推 理能力 2、过程与方法：经历简单推理的过程，初步获得一些简单的推理经验 3、情感态度与价值观：体会数学思想方法在生活中的用途，激发学生学好数学的信心和 探索数学的兴趣 教学重、难点： 据已知条件通过活动判断出结论，感受简单的推理过程 教学准备： 投影仪，粉笔、磁扣、纸盒 教学过程： 一、创设情境，揭示课题 出示柯南图片：同学们，请看大屏幕，看看谁来了？ 你们喜欢柯南吗？ 你知道柯南是做什么的吗？ 让孩子说说柯南的厉害之处，预设：孩子能点到推理 今天这节课，我们就一起和柯南来学习一些推理的知识（板书推理） 二、讲授新课 （一）粉笔游戏 （出示较短的一根粉笔）这是一根粉笔，老师把它藏在老师的其中一只手里，来，猜猜，在哪只手里？ 谁来举手告诉我？（教师做举手的姿势，松开左手） 预设：学生异口同声说在另一只手里 为什么在这只手里呢？ 因为老师就两只手，那现在排除了这只手，就肯定在另一只手中（摊开手让学生看看粉笔）渗透排除法（板书排除） （二）猜磁扣游戏
这有1、2、3三个盒子，一个装红磁扣，一个装黄磁扣，还有一个是空的，猜猜黄磁扣在哪号盒子里。 老师给提示摇两下3号盒子，没有声音 教师再提示：取出1号盒子的红球 在游戏中请学生说说想法 打开来看看，验证学生的推理是正确的 小结强调提示信息 （三）讲解例题1 出示：有语文、数学和品德与生活三本书，下面三人各拿一本 小红说：我拿的是语文书小丽说：我拿的不是数学书 小红、小丽和小刚拿的分别是什么书？ 1、找数学信息？ “三人各拿一本”这句话是什么意思？ 2、同桌合作，把你们的推理用你们喜欢的方式记录在这张白纸上 3、展示学生的作品 （1）、文字法 学生讲解推理过程 全班反馈 （2）、连线法 学生讲解推理过程 全班反馈 （3）、比较文字法和连线法 你更喜欢哪种方法 方法优化 （4）强化连线法 师生共同完成连线 （5）小结推理的方法，板书：抓关键，巧排除 三、巩固练习——动物王国的小侦探
教学目标: 1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点、难点: 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程: 一、课堂引入： 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、问题情境 案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 案例2、三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540?由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180 n-?? 案例3、221222221 ,,, 331332333 +++ <<< +++ L，由此我们猜想： a a m b b m + < + （,, a b m均为正 实数） 二、学生活动 案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 由此猜想：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 案例2、三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边形的内角和是540?由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180 n-?? 由此猜想：凸n边形的内角和是 (n-2) ×1800。
合情推理与演绎推理
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合情推理与演绎推理 目标要求:1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发展中的作用．2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 考查角度[合情推理] 1．（2014·课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过Ａ,B,C三个城市时， 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市; 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为＿_＿_＿__＿. 解:由题意可推断:甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A，C城市，而乙没去过Ｃ城市,说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A. 【答案】 A 2．(2０13·陕西高考)观察下列等式： (１＋１)＝2×1， (2+１)(2+２)=22×１×3, (3＋1）(3＋2)(３＋3)＝２3×1×3×5， …… 照此规律，第n个等式可为________． 解：从给出的规律可看出,左边的连乘式中,连乘式个数以及每个
连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项,２为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致,则照此规律,第ｎ个等式可为(n+1）(n＋2）…（ｎ+n）=２n×１×3×…×(2n-1）． 【答案】（ｎ＋1)(n+2）…(n+ｎ)=2n×１×3×…×(２n-1) 3．(２０1３·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数１,3，６,1０,…,第ｎ个三角形数为错误!=１ 2＋错误!ｎ.记第ｎ个k边形数为Ｎ(n,k)(k≥3),以下列出了部分k 2n 边形数中第n个数的表达式： 三角形数N(ｎ,3)＝错误!n２+错误!n, 正方形数N（n,4）=n2, 五边形数N(ｎ，5）=错误!ｎ2－错误!n, 六边形数N(n,６）=２n2-n， …… 可以推测N（n，k)的表达式，由此计算N(１０，2４)=＿____＿＿＿． 解：由N(ｎ,４)=n2,N（n，6）＝2n2-n,…,可以推测:当ｋ为偶数时,N （n,ｋ)＝错误!n２－错误!n，于是N（n,24)＝1１ｎ2-10n．故N （10，２４)＝11×102-10×10=１００0. 【答案】 1 0０0
合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。
２．１．１合情推理 教学目标： 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点： 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学过程 一、引入新课 １归纳推理 （一）什么是归纳推理 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。 拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢？原来，这是经过我们先人无数次经验（成功的或失败的）的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一
般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。 （二）归纳推理与演绎推理的区别和联系 归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理（完全归纳推理除外）的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。 归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。 （三）观察与实验 归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，然后才能进行归纳推理。而搜集事实材料则必须运用经验的认识方法，主要是观察和实验的