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高中数学之合情推理与演绎推理含答案

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专题08 合情推理与演绎推理

1.在中,若则外接圆半径,将此结论拓展到空间,可得到的正确结论是在四面体中,若两两互相垂直,,则四面体的外接球半径( )

A.B.C.D.

2.电脑上显示,按这种规律往下排,那么第个图形应该是()A.三角形B.圆形

C.三角形可能性大D.圆形可能性大

3.下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是;③由,满足,推出是奇函数;④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是.

A.①②B.①③④C.①②④D.②④

4.如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排列下去,那么第39颗珠子的颜色是( )

A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大

5.下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的有关性质;

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是归纳出所有三角形的内角和都是;③由

,满足,推出是奇函数;

④三角形内角和是,四边形内角和是,五边形内角和是,由此得凸多边形内角和是

.

A.①②B.①③④C.②④D.①②④

6.如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来,则第n+1个图形的顶点个数是 ( )

(1)(2)(3)(4)

A.(2n+1)(2n+2)B.3(2n+2)C.(n+2)(n+3)D.(n+3)(n+4)

7.斐波纳契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,,在数学上,斐波纳契数列定义为:,斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据可得,所以

,类比这一方法,可

A.714B.1870C.4895D.4896

8.下面几种推理过程是演绎推理的是()

A.某校高二年级有10个班,1班62人,2班61人,3班62人,由此推测各班人数都超过60人

B.根据三角形的性质,可以推测空间四面体的性质

C.平行四边形对角线互相平分,矩形是平行四边形,所以矩形的对角线互相平分

D.在数列中,,计算由此归纳出的通项公式

9.“所有4的倍数都是2的倍数,某数是4的倍数,故该数是2的倍数”上述推理()

A.小前提错误B.结论错误C.大前提错误D.正确

10.杨辉三角,又称帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列,若数

列的前项和为,则()

A.B.C.D.

11.图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为()

A.B.C.D.

12.平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…,则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为()A.16B.20C.21D.22

13.观察下列等式:

……

照此规律,_________.

14.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”.仿此,52的“分裂”中最大的数是______,若m3的“分裂”中最小的数是211,则m的值为______.

15.观察下列事实:

(1)的不同整数解的个数为4;

(2)的不同整数解的个数为8;

……

则的不同整数解的个数为__________.

16.边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值等于,将这个结论推广到空间是:棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于________.

17.平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体,直角三角形也可以推广到直角四面体,如果四面体中棱两两垂直,那么称四面体为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质,并给出证明.(请在结论中选择1个,结论4,5中选择1个,写出它们在直角四面体中的类似结论,并给出证明,多选不得分,其中表示斜边上的高,分别表示内切圆与外接圆的半径)

直角三角形直角四面体

18.数学研究性学习是高中学生数学学习的一个有机组成部分,是在基础性、拓展性课程学习的基础上,进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习,是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动.某同学就在一次数学研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

①;

②;

③;

④;

⑤.

(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,归纳出一个三角恒等式;

(3)利用所学知识证明这个结论.

19.在△中,内角有关系在四边形中,内角有关系在五边形中,内角有关系

(1)猜想在边形有怎样的关系(不需证明);

(2)用你学过的知识,证明△中的关系:,并指出等号成立的条件.

20.一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案,按照此规律,第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为.

(1)求出的值;

(2)利用归纳推理,归纳出的关系式;

(3)猜想的表达式,并写出推导过程.

21.(1)如图(a),(b),(c),(d)为四个平面图形,数一数每个平面图形含有多少个顶点、多少条边,它们将平面分成多少个区域?

(2)由(1)推断一个平面图形的顶点数、边数和分平面所得区域的个数之间有什么关系?

(3)现已知某个平面图形有999个顶点,且将平面分成了999个区域,试根据上述关系确定这个平面图形有多少条边?

22.给出如图数阵的表格形式,表格内是按某种规律排列成的有限个正整数.

(1)记第一行的自左至右构成数列的前项和,试求的表达式;

(2)记为第行与第列交点的数字,观察数阵,若,试求出的值.

高中数学-合情推理与演绎推理测试题

合情推理与演绎推理测试题 本卷共100分,考试时间90分钟 一、选择题 (每小题4分,共40分) 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,写出后一种化合物的分子式... 是 (A )94H C (B )114H C (C )104H C (D )124H C 2. 四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上(如图),第一次前后排动物互换位置,第二次左右列互换座位,……,这样交替进行下去,那么第2010次互换座位后,小兔的位置对应的是( ) 开始 第一次 第二次 第三次 A.编号1 B.编号2 C.编号3 D.编号4 4. 记集合3124234{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},{,1,2,3,4}10101010 i a a a a T M a T i ==+++∈=,将 M 中的元素按从大到小排列,则第2011个数是( ) 2345573. 10101010A +++ 2345572.10101010B +++ 2347989.10101010C +++ 2347991.10101010 D +++ 5. 黑白两种颜色的正六边形地面砖如图的规律拼成若干个图案,则第2011个图案中 , 白 色 地 面 砖 的 块 数 是 ( ) A .8046 B .8042 C .4024 D .6033

6. 如图.五角星魅力无穷,移动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动,当第一次结束回到A 处时,数字为6,按此规律无限运动,则数字2010应在 A. B 处 B. C 处 C. D 处 D. E 处 7. 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数 都超过50人; B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质; C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平 分; D.在数列}{n a 中,)1 (21,11 11--+= =n n n a a a a ,由此归纳出}{n a 的通项公式. 8. 已知0x >,由不等式322211444 22,33,,2222x x x x x x x x x x x x +≥?=+=++≥??=L 可以推出结论:*1(),n a x n n N a x +≥+∈则=( ) A .2n B .3n C .n 2 D .n n 9. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息,设定原信息为}{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中 201100,a h h a a h ⊕=⊕=,⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信 息为111,则传输信息为01111,传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错,则下列接受信息一定有误的是 .A 11010 .B 01100 .C 10111 .D 00011 10. 下列推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若,A B 行是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则180A B ???

合情推理演绎推理(带答案)

合情推理 1:与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式:3 321 23+=,33321236++=,33332123410+++=,…,根据上述规律,第五个... 等式.. 为 。 解析:第i 个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+...+(i+1)的平方所以第五个... 等.式. 为3333332 12345621+++++=。 2:与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式,猜想一个一般性的结论。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习:观察下列等式: ① cos2α=2 cos 2 α-1; ② cos 4α=8 cos 4 α-8 cos 2 α+1; ③ cos 6α=32 cos 6 α-48 cos 4 α+18 cos 2 α-1; ④ cos 8α= 128 cos 8α-256cos 6 α+160 cos 4 α-32 cos 2 α+1; ⑤ cos 10α=mcos 10α-1280 cos 8α+1120cos 6 α+ncos 4 α+p cos 2 α-1; 可以推测,m -n+p= . 答案:962 3:与不等式有关的推理 例1、观察下列式子: 213122+<,221151,233 ++<22211171, 2344............. +++< 由上可得出一般的结论为: 。 答案: 22211121 1......,23(1)1n n n ++ ++<++ 练习、由 331441551 ,,221331441 +++>>> +++。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是: 。

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点) 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点) 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: 归纳推理: 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 2.归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想). 思考探究: 1.归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ;….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________. 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 [解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.类比推理的一般步骤: 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想. 思考探究: 1.类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法,即h r ar ah S 3121321=??== ,类比问题的解法应为等体积法, h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结:(1)不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比;等差数列与等比数列类比;实数集的性质向复数集的性质类比;圆锥曲线间的类比等

(整理)合情推理和演绎推理》.

第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提---已知的一般原理;(2)小前提---所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<;…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2:已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真命题为 . 点拨:圆锥曲线有很多类似性质,“通径”最短是其中之一,答案可以填:过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短(22 2||a b AB ≥) 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3:定义[x]为不超过x 的最大整数,则[-2.1]= 点拨:“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++;23150sin 90sin 30sin 0 20202=++; 23165sin 105sin 45sin 020202=++;23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(1)结构的一致性,(2)观察角的“共性” [解析]猜想:2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明:左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】(1)先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周期性) [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理 教学目标: 结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点: 了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学过程 一、引入新课 1归纳推理 (一)什么是归纳推理 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题,而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围,因此,归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的。也就是说,其前提真而结论假是可能的,所以,归纳推理乃是一种或然性推理。 拿任何一种草药来说吧,人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来,这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病,第二次,第三次,……都治好了这一种病,于是人们就把这几次经验积累起来,做出结论说,“这种草能治好某一种病。”这样,一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。 (二)归纳推理与演绎推理的区别和联系 归纳推理与演绎推理的主要区别是:首先,从思维运动过程的方向来看,演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论,即从一般过渡到特殊;而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论,即从特殊过渡到一般。其实,从前提与结论联系的性质来看,演绎推理的结论不超出前提所断定的范围,其前提和结论之间的联系是必然的,即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确,那么,其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然的,而只具有或然性,即其前提真而结论假是有可能的。也就是说,即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。 归纳推理与演绎推理虽有上述区别,但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的,两者互相依赖、互为补充,比如说,演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来,从这个意义上我们可以说,没有归纳推理也就没有演绎推理。当然,归纳推理也离不开演绎推理。比如,归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的,这只有借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导,而这本身就是一种演绎活动。而且,单靠归纳推理是不能证明必然性的,因此,在归纳推理的过程中,人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说,没有演绎推理也就不可能有归纳推理。 (三)观察与实验 归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然,人们在进行归纳推理的时候,总是先要搜集到一定的事实材料,有了个别性的、特殊性的知识作为前提,

苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1

高考中的类比推理 大数学家波利亚说过:“类比是某种类型的相似性,是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉,是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π,周长r r C ?=π2)(,若将r 看作),0(+∞上的变量,则r r ?=?ππ2)'(2, ①,①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子:_________________,②,②式可用语言叙述为___________. 解:由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立, ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案:①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评:主要考查类比意识考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有等式a 1+a 2+……+a n =a 1+a 2+……+a 19-n (n <19,n ∈N *)成立。类比上述性质,相应地:在等比数列{b n }中,若b 9=1,则有等式 成立。 分析:这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物(等比数列)间的类比。在等差数列{a n }前19项中,其中间一项a 10=0,则a 1+a 19= a 2+a 18=……= a n +a 20-n = a n +1+a 19-n =2a 10=0,所以a 1+a 2+……+a n +……+a 19=0,即a 1+a 2+……+a n =-a 19-a 18-…-a n +1,又∵a 1=-a 19, a 2=-a 18,…,a 19-n =-a n +1,∴ a 1+a 2+……+a n =-a 19-a 18-…-a n +1= a 1+a 2+…+a 19-n 。相似地,在等比数列{b n }的前17项中,b 9=1为其中间项,则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17-n (n <17,n ∈N * )。 例3 在平面几何里,有勾股定理:“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直,则AB 2+AC 2= BC 2。”拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得到的正确结论是:“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直,则 ________________”。 分析:这是由低维(平面)到高维(空间)之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中(当然必须经过论证其正确性),像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中,则有S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是,勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中,过A 作AH ⊥BC 于H ,则由AB 2=BH ·BC ,AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2+AC 2=BC 2;在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中,过A 作AH ⊥平面BCD 于H ,类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ,S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ,S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2+S △ACD 2+S △ADB 2= S △BCD 2。

高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案

推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 (1)归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 (2)类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式:三段论 “三段论”可以表示为:①大前题:M 是P②小前提:S 是M ③结论:S 是 P。其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 (1)综合法就是“由因导果” ,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。 (2)分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式:要证 A,只要证 B,B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。 4反证法 (1)定义:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 (2)一般步骤:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正

6-5第五节 合情推理与演绎推理练习题(2015年高考总复习)

第五节合情推理与演绎推理 时间:45分钟分值:75分 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.下列说法正确的是() A.合情推理就是归纳推理 B.合理推理的结论不一定正确,有待证明 C.演绎推理的结论一定正确,不需证明 D.类比推理是从特殊到一般的推理 解析类比推理也是合情推理,因此,A不正确.合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,有待进一步证明,故B正确.演绎推理在大前提,小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确,否则就不正确,故C的说法不正确.类比推理是由特殊到特殊的推理,故D的说法也不正确. 答案 B 2.观察下式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,则第n个式子是() A.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2 解析方法1:由已知得第n个式子左边为2n-1项的和且首项为n,以后是各项依次加1,设最后一项为m,则m-n+1=2n-1,∴m=3n-2. 方法2:特值验证法.n=2时,2n-1=3,3n-1=5, 都不是4,故只有3n-2=4,故选C.

答案 C 3.观察下图中图形的规律,在其右下角的空格内画上合格的图形为( ) A. B. C. D. 解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列,规律是每一行中只有一个图形是空心的,其他两个都是填充颜色的,第三行中已经有正三角形是空心的了,因此另外一个应该是阴影矩形. 答案 A 4.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC 的内切圆面积为S 1, 外接圆面积为S 2,则S 1S 2 =14,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2 =( ) A.18 B.19 C.164 D.127 解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 ,故V 1V 2=127. 答案 D 5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A .设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n =2n -1,求出S 1=12,S 2

合情推理与演绎推理的意义

合情推理与演绎推理的意义 (1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 (2)在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养。例如,在研究球体时,我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方,即都具有完美的对称性,都是到定点的距离等于定长的点的集合,因此我们推测圆的一些特征,球也可能有。 圆的切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于圆的半径,类似地,我们推测可能存在这样的平面,与球只交于一点,该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆,类似地,我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具,在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式,前提和结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的。 例如,三角函数都是周期函数,sinx是三角函数,因此推导证明出该函数是周期函数。又如,这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在(-0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义,小前提是推导函数f(x)在(-c,1)上满足增函数的定义,进而得出结论。 合情推理从推理形式上看,是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。 就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理。因此,合情推理与演绎推理是相辅相成的。

高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题修订稿

高中数学合情推理与演 绎推理专题自测试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题 【梳理自测】 一、合情推理 1.(教材习题改编)数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27 2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式:S=底×高 2 ,可推知扇形面积公式 S 扇 等于( ) A.r2 2 B. l2 2 C.lr 2 D.不可类比 3.给出下列三个类比结论: ①(ab)n=a n b n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n; ②log a(xy)=log a x+log a y与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2. 其中结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________.(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°; ③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分; ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸n边形内角和是(n-2)·180°. 答案:1.B 2.C 3.B 4.①②④ ◆以上题目主要考查了以下内容: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体,个别到一般的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.

合情推理和演绎推理训练

合情推理和演绎推理训练

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推理与证明 ★知识网络★ 第1讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由 已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之,归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提---已知的一般 原理;(2)小前提---所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判 断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别推 理 推 证合情演绎归类直接间接 数学综 分 反

与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1:观察:715211+<; 5.516.5211+<; 33193211-++<;…. 对于任意正实数,a b ,试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2:已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与 抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真 命题为 . 点拨:圆锥曲线有很多类似性质,“通径”最短是其中之一,答案可以填:过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短(22 2||a b AB ≥) 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3:定义[x]为不超过x的最大整数,则[-2.1]= 点拨:“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++;23150sin 90sin 30sin 020202=++;23165sin 105sin 45sin 020202=++;23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(1)结构的一致性,(2)观察角的“共性” [解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明:左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】(1)先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循环型”(周 期性) [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组 蜂

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

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合情推理演绎推理专题练习及答案

合情推理、演绎推理 一、考点梳理:(略) 二、命题预测: 归纳、类比和演绎推理是高考的热点,归纳与类比推理大多数出现在填空题中,为中、抵挡题,主要考察类比、归纳推理的能力;演绎推理大多出现在解答题中,为中、高档题,在知识的交汇点出命题,考察学生的分析问题,解决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此,重点考察逻辑推理能力。 三、题型讲解: 1:与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 例2、观察1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=(1+2+3),1-4+9-16= -(1+2+3+4)…猜想第n 个等式是: 。 练习:观察下列等式:3 321 23+=,33321236++=,33332123410+++=,…,根据上述规律,第五个... 等式.. 为 。 。 练习:在计算“”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k 项: 由此得 … 相加,得 类比上述方法,请你计算“”,其结果为 . 2:与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式,猜想一个一般性的结论,并证明结论的真假。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习:观察下列等式: ① cos2α=2 cos 2 α-1; ② cos 4α=8 cos 4 α-8 cos 2 α+1; ③ cos 6α=32 cos 6 α-48 cos 4 α+18 cos 2 α-1; ④ cos 8α= 128 cos 8α-256cos 6 α+160 cos 4 α-32 cos 2 α+1; ⑤ cos 10α=mcos 10α-1280 cos 8α+1120cos 6 α+ncos 4 α+p cos 2 α-1; 可以推测,m -n+p= .

3 第3讲 合情推理与演绎推理

第3讲 合情推理与演绎推理 1.推理 (1)定义:根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程. (2)分类:推理? ? ???合情推理 演绎推理 2.合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些 特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由 个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. (3)模式: 三段论???? ?①大前提:已知的一般原理;②小前提:所研究的特殊情况;③结论:根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( ) (3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (教材习题改编)已知数列{a n }中,a 1=1,n ≥2时,a n =a n -1+2n -1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( ) A .a n =3n -1 B .a n =4n -3 C .a n =n 2 D .a n =3n - 1

高二数学选择进修2-2第二章推理与证明

高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是( ). ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A .①②③; B .②③④; C .②④⑤; D .①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 ( ). A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ (c ≠0) ” D.“n n a a b =n (b )” 类推出“n n a a b +=+n (b )” 3、 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b ?/平面α,直线a ≠ ?平面α,直线b ∥平面α,则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的, 这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。 (A)假设三内角都不大于60度; (B) 假设三内角都大于60度; (C) 假设三内角至多有一个大于60度; (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?,那么在5进制中数码2004折合成十进制为 ( ) A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1+a +a 2+…+a n +1=a a n --+112 , (a ≠1,n ∈N)”时,在验证n=1 成立时,左边应该是 ( ) (A)1 (B)1+a (C)1+a +a 2 (D)1+a +a 2+a 3 7、某个命题与正整数n 有关,如果当)(+∈=N k k n 时命题成立,那么可推得当1+=k n 时

高中数学《合情推理—归纳推理》公开课优秀教学设计

《合情推理—归纳推理》教学设计 (人教A版高中课标教材数学选修1—2第二章2.1第一课时) 2016年10月

《归纳推理》教学设计 一、教学内容分析 本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修1—2第二章《推理与证明》2.1《合情推理与演绎推理》的第一课时《归纳推理》,归纳推理为合情推理的一个类型.本课作为本章节的起始课要了解推理的含义,通过实例进一步了解归纳推理的含义,通过对归纳推理过程的感知,了解推理过程,进而能利用归纳进行简单的推理. 归纳推理是合情推理的一个重要类型,数学发现的过程往往包含有归纳推理的成分,在人类文明、创造活动中,归纳推理也扮演了重要的角色.归纳推理是作为一种思维活动存在的,教学的内容不是学习某一具体知识,而是感悟一系列的思维过程,逐步形成一种“思维习惯”,作为起始课形成习惯是困难的,但体验“过程”是相对容易的,“体验之旅”将成为本节课的主线.归纳推理的过程我们概括为“观察—分析—归纳—猜想”,对于“证明”我们暂不做要求,因此重点感悟归纳推理的过程,证明做适当引导. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,这本身就体现了特殊与一般的数学思想,由于猜想结果超出了前提界定的范围,前提与结论之间的联系不是必然的,这又体现了必然与或然的数学思想.本课中的实例在数学史中都是赫赫有名的,“四色猜想”、费马数、哥德巴赫猜想、问题4中的毕达哥拉斯平方数等,这些实例展现了一代代数学家对于数学的好奇心和想象力体现了他们不畏困难,坚持不懈的探索精神,抓住这些内容可以培养学生“勇于探究”的精神,这一精神正是新一轮课程改革强调的学生核心素养中“科学精神”的重要体现。新一轮的课程改革即将到来,作为普通教师也有必要在教学中未雨绸缪,避免大寒索裘.数学思想和数学文化将作为本课的一条暗线穿插于教学内容之中. 本节课的教学重点:了解归纳推理的含义,通过实例,掌握“观察—分析—归纳—猜想”的推理过程. 二、教学目标设置

高考数学推理与证明

第十二章推理与证明 考纲解读 分析解读 本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.

五年高考 考点一合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;

②该小组人数的最小值为. 答案①6 ②12 3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 答案1和3 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: π- +π - =×1×2; π- +π - +π - +π - =×2×3; π- +π - +π - +…+π - =×3×4; π- +π - +π - +…+π - =×4×5; …… 照此规律, π- +π - +π - +…+π - = . 答案 5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 据此规律,第n个等式可为. 答案1-+-+…+ - -=++…+ 6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

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