第四章 圆与方程小结与复习(学案)
【知识归类】
1.圆的两种方程:(1)圆的标准方程
222()()x a y b r -+-=,表示_________________________________.
(2)圆的一般方程
022=++++F Ey Dx y x .
①当D 2+E 2-4F >0时,方程 ② 表示(1)当0422>-+F E D 时,表示_______________;
②当0422=-+F E D 时,方程只有实数解2D x -=,2
E y -=,即只表示____________; ③当0422<-+
F E D 时,方程__________________________________________________.
综上所述,方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆.
2.点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:
(1)2200()()x a y b -+->2r ,点在__________;(2)2200()()x a y b -+-=2r ,点在___________;
(3)2200()()x a y b -+-<2r ,点在___________.
3.直线与圆的位置关系
方法一:几何法
设直线l :0=++c by ax ,圆C :022=++++F Ey Dx y x ,圆的半径为r ,圆心)2
,2(E D --到直线的距离为d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当r d >时,直线l 与圆C ___________;(2)当r d =时,直线l 与圆C _____________;
(3)当r d <时,直线l 与圆C ____________.
方法二:代数法
方程组?
??=++=-+-0y )()(2
22C B Ax r b y a x 消去y (或x ),整理得到关于x (或y )的一元二次方程,设其判别式为?,于是有: ①当0?=时,直线l 与圆C ; ②0?>时,直线l 与圆C ;③当0?<时,直线l 与圆C . 弦长问题:弦长=222d r -=212
1x x k -+(其中d 表示圆心到直线的距离,k 表示弦所在直线斜率)
4.圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C _______; (2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C ______;
(3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C ____; (4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C ___;
(5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C ______.
5.圆的切线方程:先判断点与圆的位置(①点在圆内,没有切线;②点在圆上,只有一条切线;③点在圆外,有两天切线)
⑴点在圆上:
①过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+
②若点(x 0 ,y 0)在圆222)()(r b y a x =-+-上,则圆的切线方程为(x –a)(x 0–a)+(y –b)(y 0–b)=r 2
③过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为:0220000=++++++F y y E x x D y y x x ⑵点在圆外:用点斜式设切线方程()00x x k y y -=-,然后化成一般式方程,再利用圆心到直线的距离等于半径求得k 。若k 的解只有一个,则另一条切线的斜率不存在,即0x x =。
7.空间直角坐标系
⑴已知点P(x,y,z),则它在面xoy 的射影是(x,y,0),在面yoz 的射影是(0,y,z),在面xoz 的射影是(x,0,z)。
⑵已知点P(x,y,z),则它关于x 轴的对称点是(x,-y,-z),关于y 轴的对称点是(-x,y,-z),关于z 轴的对称点是(-x,-y,z),关于原点的对称点是(-x,-y,-z)。
⑶任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示,该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记M ),,(z y x ,x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标.
⑷空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式__________ ______.
【题型归类】
题型一:求圆的方程:例1 .求过三点A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标.
题型二:圆的切线问题:例2 .过圆(x -1)2+(y -1)2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.
变式练习:自点A (-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线m 所在直线与圆C :x 2 + y 2 -4x -4y +7 = 0相切,求光线L 、m 所在的直线方程.
题型三:与圆有关的动点轨迹问题:例3.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆上()2
214x y ++=运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
题型四:直线与圆的位置关系:例4:已知圆C :22
(1)(3)16x y -+-=,直线:(23)(4)220l m x m y m ++++-=
(1) 当m=1时,直线l 与圆C 时怎么样的位置关系?
(2) 当m 取任意实数时,直线l 和圆的位置关系有无不变性,试说明理由
(3) 请判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短,并求截得的弦最短时,m 的值以及弦的长度。
【思想方法】
1.数学思想:数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法,借助图形可以将问题生动直观地加以解决,避免了一些代数上的繁琐的运算.同时等价转化和.函数的思想也是常用的思想,如联立直线和圆的方程组,用判别式或韦达定理加以解决
2.数学方法: 圆的方程的求解,主要利用待定系数法,要适当选取圆的方程的形式,与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程,已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式.
【自我检测】
1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a 、b 、c 的值依次为( ).
(A )2、4、4; (B )-2、4、4; (C )2、-4、4; (D )2、-4、-4
2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( ).
(A)22 (B)4 (C)24 (D)2
3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部,则a 的取值范围是( ).
(A) 11<<-a (B) 10<- 4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线,则切线长为( ). (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5 5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) . (A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x 6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切,则a 的值为( ). (A) 1,-1 (B)2,-2 (C)1 (D )-1 7.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( ). (A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33= (D )x y 3 3-= 8.过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ). (A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 (D )(x+1)2+(y+1)2=4 9.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是( ). (A) 6π (B)4π (C)3π (D )2 π 10.M (x 0,y 0)为圆x 2+y 2=a 2(a>0)内异于圆心的一点,则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是( ). (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D )相切或相交 11.点P(a,b,c)关于z 轴的对称点为1P ,点1P 关于xOy 平面的对称点为2P ,则2P 的坐标是 。 12.与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 。 13.已知点M 在y 轴上,A(1,0,2),B(1,-3,1),且MA MB =,则点M 的坐标是 。 14.已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若?=∠90APB .求m 的值. 15.已知直角坐标平面内点Q(2,0),圆C :x 2+y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0),求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 第二章 圆与方程小结与复习 (教案) 【知识归类】 1.圆的两种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=,表示圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程. (2)圆的一般方程 022=++++F Ey Dx y x . ①当D 2+E 2-4F >0时,方程 ② 表示(1)当0422>-+F E D 时,表示以(-2D 为半径的圆; ②当0422=-+F E D 时,方程只有实数解2D x -=,2 E y -=,即只表示一个点(-2D ,-2E ); ③当0422<-+ F E D 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 综上所述,方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆. 2.点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法: (1)2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外;(2)2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上; (3)2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内. 3.直线与圆的位置关系 设直线l :0=++c by ax ,圆C :022=++++F Ey Dx y x ,圆的半径为r ,圆心)2 ,2(E D -- 到直线的距离为d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当r d >时,直线l 与圆C 相离;(2)当r d =时,直线l 与圆C 相切; (3)当r d <时,直线l 与圆C 相交. 4.圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当21r r l +>时,圆1C 与圆2C 相离;(2)当21r r l +=时,圆1C 与圆2C 外切; (3)当<-||21r r 21r r l +<时,圆1C 与圆2C 相交;(4)当||21r r l -=时,圆1C 与圆2C 内切;(5)当||21r r l -<时,圆1C 与圆2C 内含. 5.空间直角坐标系 任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示,该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记M ),,(z y x ,x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标. 空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-= . 【题型归类】 题型一:求圆的方程 例1 .求过三点A (0,0),B (1,1),C (4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标. 【审题要津】据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程. 解:设所求的圆的方程为:022=++++F Ey Dx y x . ∵(0,0),(11A B ,),C(4,2)在圆上, 所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组, 即?? ???=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组,可得:0,6,8==-=F E D . ∴所求圆的方程为:06822=+-+y x y x . 542 122=-+=F E D r ;32,42-=-=-F D .得圆心坐标为(4,-3). 或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程,25)3()4(2 2=++-y x . 【方法总结】条件恰给出三点坐标,不妨利用代定系数法先写出圆的一般方程再求解. 题型二:圆的切线问题 例2 .过圆(x -1)2+(y -1)2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程. 【审题要津】此题考察过切点的直线的求法,但是要与切点在圆上的切线求法区别开来,此题不要通过求切点的方法来求直线方程,这样计算会很繁琐. 解:设圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为1O ,由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程. 5)20()2 3(22=-+-y x ① 已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1② ①②作差得x+2y -4 1=0, 即为所求直线l 的方程. 【方法总结】通过两圆作差来求公共弦,是非常简便的求法. 变式练习:自点A (-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线m 所在直线与圆C :x 2 + y 2 -4x -4y +7 = 0相切,求光线L 、m 所在的直线方程. 解:已知圆的标准方程是,1)2()2(22=-+-y x 它关于x 轴的对称圆的方程为 ,1)2()2(22=++-y x 设光线L 所在的直线方程是y -3=k(x+3),由题设知对称圆的圆心)2,2(1-C 到这条直线的距离为1,即 ,0122512115522 =++?=++=k k k k d 解得3 4k 43-=-=或k .故所求入射光线L 所在的直线方程为:033y 4x 0343=++=-+或y x 这.时反射光线所在直线的 斜率为3 4k 4311==或k ,所以反射光线m 所在的直线方程为:3x -4y -3=0或4x -3y +3=0. 题型三:与圆有关的动点轨迹问题 例3.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆上()2 214x y ++=运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 【审题要津】如图点A 运动引起点M 运动,而点A 在已知圆上运动,点A 的坐标满足方程()2 214x y ++=。建立 点M 与点A 坐标之间的关系,就可以建立点M 的坐标满足的条件,求出点M 的轨迹方程. 解:设点M 的坐标是(x,y ),点A 的坐标是),(00y x ,240+=x x 2 30+=y y ,,420-=x x 320-=y y ① ,因为点A 在圆()2214x y ++=上运动,所以点 A 的坐标满足方程()2214x y ++=,即()220014x y ++=.()220014x y ++= ② 把①代入②,得()()22241234,x y -++-=22312y ????+-= ? ???? ?3整理,得x-2 M ?? ??? 33所以,点的轨迹是以,为圆心,半径长为1的圆22. 【方法总结】此题属于相关点问题,相关点问题的求轨迹方法利用代入法. 题型四:练习册教师版P130 19题 【思想方法】 1.数学思想:数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法,借助图形可以将问题生动直观地加以解决,避免了一些代数上的繁琐的运算.同时等价转化和.函数的思想也是常用的思想,如联立直线和圆的方程组,用判别式或韦达定理加以解决 2.数学方法: 圆的方程的求解,主要利用待定系数法,要适当选取圆的方程的形式,与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程,已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式. 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a 、b 、c 的值 依次为( B ). (A )2、4、4; (B )-2、4、4; (C )2、-4、4; (D )2、-4、-4 2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( C ). (A)22 (B)4 (C)24 (D)2 3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部,则a 的取值范围是( A ). (A) 11<<-a (B) 10<- 4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线,则切线长为( B ). (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5 5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( D ) . (A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x 6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切,则a 的值为( D ). (A) 1,-1 (B)2,-2 (C)1 (D )-1 7.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( C ). (A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33= (D )x y 3 3-= 8.过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( C ). (A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 (D )(x+1)2+(y+1)2=4 9.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是( C ). (A) 6π (B)4π (C)3π (D )2π 10.M (x 0,y 0)为圆x 2+y 2=a 2(a>0)内异于圆心的一点,则直线x 0x+y 0y=a 2与 该圆的位置关系是( C ). (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D )相切或相交 11.练习册教师版P123 9 12. 练习册教师版P129 14 13. 练习册教师版P125 9 14.已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若?=∠90APB .求m 的值.解:由题设△APB 是等腰直角三角形,∴圆心到y 轴的距离是圆半径的22倍,将圆方程02422=++-+m y x y x 配方得:m y x -=++-5)1()2(22.圆心是P(2,-1),半径r=m -5 ∴225?=-m 解得m= -3. 15.已知直角坐标平面内点Q(2,0),圆C :x 2+y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0),求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:M 的轨迹方程为(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4x 2)=0,当λ=1时,方程为直线x=45.当λ≠1时,方程为(x-1222 -λλ)2+y 2=222)1(31-+λλ它表示圆,该圆圆心坐标为(1222 -λλ,0)半径为1 3122-+λλ. 第四章 圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径。 2、圆的方程 (1)标准方程()()22 2 r b y a x =-+-,圆心 ()b a ,,半径为r ; 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系: 当2200()()x a y b -+->2 r ,点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内 (2)一般方程022=++++F Ey Dx y x 当042 2 >-+F E D 时,方程表示圆,此时圆心为? ? ? ? ? --2,2 E D ,半径为 F E D r 42 122-+= 当0422 =-+F E D 时,表示一个点; 当042 2<-+F E D 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出D ,E ,F ; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线0:=++C By Ax l ,圆()()222:r b y a x C =-+-,圆心()b a C ,到l 的距离 为2 2B A C Bb Aa d +++= ,则有相离与C l r d ?>; 相切与C l r d ?=;相交与C l r d ?< (2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k ,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆上一点为(x 0,y 0),则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-,()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离,此时有公切线四条; 当r R d +=时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当r R d r R +<<-时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 课题:第二章 学习目标1.掌握直线与圆、圆与圆的位置关系与数量关系,并会进行有关推理和计算证明. 2.掌握弧长和扇形面积公式并会有关计算. 学习重点:直线与圆相切的有关计算和证明. 学习难点:直线与圆相切的有关计算和证明. 学习过程: 知识回顾 1.直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 (1)直线与⊙O相切?; (2)直线与⊙O相交?; (3)直线与⊙O相离?. 2.圆的切线的性质与判定 ; . 3.切线长定理 . 4.Rt△ABC,∠C=90°,三边长为a、b、c,它的外接圆半径等于它的内切圆半径等于 . 5.弧长计算公式:扇形面积公式: . 圆锥侧面积公式: 【例题探究】师生互动、揭示通法 问题1如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,过点Q作 QR与OA延长线交于点R , 且PR=QR. (1)求证:QR是⊙O的切线;(2)若OP=PA=1,试求RQ的长. R 问题2. 如图,圆心角都是90o的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起,连结AC 、BD . (1)求证:AC=BD ; (2)若图中阴影部分的面积是2 4 3cm π,OA=2cm ,求OC 的长. 问题3. 如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=°,D 是AB 边上一点,以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ,连结DE 并延长,与BC 的延长线交于点F . (1)求证:BD BF =; (2)若64BC AD ==,,求O ⊙的面积. 问题4. 如图是一个圆锥的三视图,求它的母线长和侧面积.(结果保留π)第四章 圆与方程知识点总结及习题答案
九年级数学上册2对称图形—圆小结与思考导学案2无答案新版苏科版
圆与方程基础练习题.