2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合{|1}P x x =?，集合1|1Q x x ??=????
?，则(P Q =I )
A ．?
B ．{1}
C ．{|0}x x <
D ．{|0x x <或1}x =
2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -?=?>?
?，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )
A ．(-∞，1]-
B ．(0,)+∞
C ．(1,0)-
D ．(,0)-∞
4．（5分）已知椭圆22
143
x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为(
)
A ．3470x y ++=
B ．2570x y +-=
C ．3410x y -+=
D ．3470x y +-=
5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干
支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅??癸酉、甲戌、乙亥、丙子?
?癸未、甲申、乙酉、丙戌??癸巳??癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为(
)
A ．甲巳年
B ．壬辰年
C ．辛卯年
D ．癸巳年
6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α?，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ．
上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．（5分）在ABC ?中，1CA =，3CB =，
2
ACB π
∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r
，则(MA MB =u u u r u u u r g
) A ．3
B ．6
C ．9
D ．0
8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为(
) A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019
B ．2019-
C ．4037-
D ．4037
10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．
17
4
π B 1717
C ．
172
π
D 1717
11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x -=，[1y ∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2.5
12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()x
f x f x '+=
，12()22f e
=，若对
任意正数a ，b 都有222
1311(())224644
x ab
f b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞-
C ．1
(1,)2-
D ．1
(0,)2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为 ． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 种不同分法．（结果用数字作答）
15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ω?=++，[?π∈-，
]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3
分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为 ．
16．（5分）已知ABC ?的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3
(,0)8
M ，则存在ABC ?使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ?的重心；
②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ?为直角三角形； ③存在ABC ?，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ?的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ?的面积为23． 其中正确的序号为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，26b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．
18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．
（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；
（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45?，求二面角1D BC C --的大小．
19．（12分）已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点1(,n n A a a +在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(n b ，)n T 在直线1
12
y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求使得1
|1|2020
n T -<
成立n 的最小值； （3）若n n n c a b =g ，求证：数列{}n c 为递减数列．
20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；
（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ??=，求直线MN 的方程． 21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．
（1）若()f x a -?对0x ?>恒成立，求实数a 的取值集合；
（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；
（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224
n n ln ln ln n n +++?+>
+． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θ
θθ=??
=?
为参数）上任意一点(,)P x y
经过伸缩变换2x y y ?'?
?'=??
后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈． （1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199
()2
a b c a b b c c a +++++++…．
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设集合{|1}P x x =?，集合1|1Q x x ??=????
?，则(P Q =I )
A ．?
B ．{1}
C ．{|0}x x <
D ．{|0x x <或1}x =
【解答】解：Q 111
{|1}{|0}{|0}{|1x x Q x x x x x x x x
--====剟厖或0}x <
又{|1}P x x =Q ?， {|0P Q x x ∴=
故选：D ．
2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：复数1z i =，21z i =+，则复数12(1)1z z z i i i ==+=-+g ． 复数对应的点的坐标(1,1)-，复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B ．
3．（5分）设函数2,0
()1,0x x f x x -?=?>?
?，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )
A ．(-∞，1]-
B ．(0,)+∞
C ．(1,0)-
D ．(,0)-∞
【解答】解：函数2,0
()1,0
x x f x x -?=?>??，的图象如图：
满足(1)(2)f x f x +<，
可得：201x x <<+或210x x <+?， 解得(,0)x ∈-∞． 故选：D ．
4．（5分）已知椭圆22
143
x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为(
)
A ．3470x y ++=
B ．2570x y +-=
C ．3410x y -+=
D ．3470x y +-=
【解答】解：设(,)A x y ，(,)B x y ''，
由题意知22x x y y '+=??'+=?，则22
2214314
3x y x y ?+=???''?+=??， 两式相减得：2222
043
x x y y ''--+=，整理得：
3()34()4y y x x x x y y ''-+=-=-''-+， 所以34k =-，直线方程为：3
1(1)4
y x -=--，即3470x y +-=，
故选：D ．
5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干
支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅??癸酉、甲戌、乙亥、丙子?
?癸未、甲申、乙酉、丙戌??癸巳??癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为(
)
A ．甲巳年
B ．壬辰年
C ．辛卯年
D ．癸巳年
【解答】解：从1949年到2009年，总共经过了60年； 从2009年到2013年，总共经过了5年； 所以天干中的己变为癸，地支中的丑变为巳，
即2020年是“干支纪年法”中的癸巳年． 故选：D ．
6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α?，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ． 上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：若m α?，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；
若//αβ，//βγ，则由平行公理得//αγ，又因为m α⊥，所以m γ⊥，故②正确； 若n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β或m β?，故③错误； 若//m α，//n β，//m n ，则α与β平行或相交；故④错误， 故选：A ．
7．（5分）在ABC ?中，1CA =，3CB =，
2
ACB π
∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r
，则(MA MB =u u u r u u u r g
) A ．3
B ．6
C ．9
D ．0
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，
由题意知，(0,0)C ，(3,0)B ，(0,1)A ； ∴(3,0)CB =u u u r ，(0,1)CA =u u u r
， ∴3(3,3)CM CB CA =+=u u u u r u u u r u u u r
，
∴(3,2)MA CA CM =-=--u u u r u u u r u u u u r
， (0,3)MB CB CM =-=-u u u r u u u r u u u u r
，
则30(2)(3)6MA MB =-?+-?-=u u u r u u u r
g ．
故选：B ．
8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为(
)
A ．1
B ．2
C D 【解答】解：根据题意，设P 为直线1y x =-上一点，过点P 向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，T 为切线，
圆22(2)(3)1x y -+-=的圆心为C ，其坐标为(2,3)，半径1r =，
则切线长||PT ==， 要使切线长最小，必须是||PC 的值最小，
又由||PC 的最小值
d =
=
则切线长||PT 1=； 故选：A ．
9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019
B ．2019-
C ．4037-
D ．4037
【解答】解：(1)(21)n n a n =--，
可得20191357911(40341)(40361)(40381)S =-+-+-+-?--+--- 22240372100940372019=++?+-=?-=-．
故选：B ．
10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A．17
4
πB．
1717
πC．17
2
π
D．
1717
π
【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分如图：
底面BCD是等腰三角形，边长为：2，5，5，外接圆的半径为r，可得222
(2)1
r r
=-+，
解得
5
4
r=，三棱锥的外接球的半径为R，22
25934
(2)
1616
R r r
=+-=+=，
外接球的表面积为：
3417
4
162
π
π?=．
故选：C．
11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221
y x
-=，[1
y∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2.5
【解答】解：由题意画出曲线的图象，设小球的截面圆心为：0(0,)y ，
设双曲线上的点(,)x y ，点到圆心的距离的平方2222222
0000
()1()221r x y y y y y y y y y =+-=-+-=-+-，对称轴0
2
y y =
若2r 最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在1y =的左边，所以0
12
y ?，02y ?， 所以0211r <-=?， 故选：A ．
12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()x
f x f x '+12()22f e
=，若对
任意正数a ，b 都有2221311(())224644
x ab
f b e a -<++
，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞- C ．1
(1,)2
-
D ．1
(0,)2
【
解
答
】
解
：
令
2()()
x g x e f x =，则2()()x
g x f x e =
，且
222()2()()[2()()]x x x g x e f x e f x e f x f x e x '=+'=+'=
则22222()()2()2()2()
()()x x x x x g x e g x e g x g x e x g x f x e e '-'--'===g g ，
令()2()h x e
x g x =，则()2()22x x
h x e
x g x x
x
'=-'=
，
令()0h x '>，解得102x <<
；令()0h x '<，解得1
2
x >， ∴1
21112122()()2()2()02222e e e
h x h e g ef ==-==?，
()0f x ∴'?在(0,)+∞上恒成立，
()f x ∴在(0,)+∞上递减；
又
222222111114()4644464882ab ab ab f b e a b e a ++=+++==…， ∴131(())()222
x f f -<，
∴13()022
131()222
x x ?->???
?->??，解得1x <-． 故选：B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为
． 【解答】解：Q 双曲线的焦点在y 轴上，
∴设双曲线的方程为22
221(0,0)y x a b a b
-=>>
可得双曲线的渐近线方程是a
y x b =±，
结合题意双曲线的渐近线方程是2y x =±，得
2a
b
=， 2b a ∴=，可得：2224()c a a -=，即2245c a =，
此双曲线的离心率e =．
． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 60 种不同分法．（结果用数字作答）
【解答】解：第一步：一人三本的方法：13235554
333021
C C C ?==?
=?g g ， 第二步，剩余的分给另外两人：2
2
2A =， 所以共有：30260?=种方法； 故答案为：60．
15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ω?=++，[?π∈-，
]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3
分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为
250sin(
)6032
y t ππ
=-+ ．
【解答】解：（1）由题意， 50A =，60b =，3T =；
故23
πω=
， 故250sin(
)603
y t π
?=++； 则由50sin 6010?+=及[?π∈-，]π得，
2
π?=-；
故250sin(
)6032
y t ππ
=-+． 故答案为：250sin(
)6032
y t ππ
=-+． 16．（5分）已知ABC ?的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3
(,0)8
M ，则存在ABC ?使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ?的重心；
②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ?为直角三角形； ③存在ABC ?，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ?的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ?的面积为23． 其中正确的序号为 ①② ．
【解答】解：①若直线BC 过点3
(,0)8
M ，则当A 为坐标原点时，(0,0)A ，
设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则由重心坐标公式可得，
ABC ?的重心的横坐标为121131
(0)3344
x x ++=?=，纵坐标为0，
∴抛物线2y x =的焦点1(4
，0)为ABC ?的重心，故①正确；
②若直线BC 过点(1,0)N ，取(4,2)B ，则202
413
BC k -=
=-， 过B 且与BC 垂直的直线方程为3
2(4)2y x -=--，
联立2382y x y x ?
=-+???=?，解得42x y =??
=?或649
83x y ?
=????=-??
． ∴若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ?为直角三角形，故②正确；
设以1(4，0)为圆心的圆的方程为2221
()4x y r -+=，
联立222
21()4
x y r y x
?-+=???=?，得221681160x x r ++-=． Q 12102x x +=-<，∴方程221681160x x r ++-=至多有一个正根，即圆为222
1
()4
x y r -+=与抛物线2y x =至多有两个交点，
∴不存在ABC ?，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ?的外心，故③错误；
④如图，
根据题意设2(A a ，)a ，2(B b ，)b ，2(C c ，)c ，不妨设0a <，
M Q 为边AC 的中点，22(2a c M +∴，)2a c +，又//BM x 轴，则2a c
b +=， 故2222222
()()||||||22244a c a c a c a c BM b +++-=-=-==，
2()8a c ∴-=，即22a c -=-
设A 到BM 的距离为h ，故
122||2||2||||2222
ABC ABM a c
S S BM h a b a a c ??+==?=-=-=-=g D 错误．
∴正确的序号为①②．
故答案为：①②．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =
，b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．
【解答】解：（Ⅰ）ABC ?Q 中，3a =
，b =2B A =，
∴
由正弦定理得：
3sin sin 2A A =
，即2sin cos sin 3
A A A =
，
cos A ∴=
； （Ⅱ）由（1
）知cos A =
(0,)A π∈，
sin A ∴，又2B A =， 21
cos cos22cos 13
B A A ∴==-=，(0,)B π∈，
sin 3
B ∴=
， 在ABC ?
中，1sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，
3sin 5sin a C
c A
∴=
==． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．
（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；
（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45?，求二面角1D BC C --的大小．
【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．
以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设2AB AC ==，1AA t =，则(2B ，0，0)，(0C ，2，0)，1(2B ，0，)t ，(0D ，0，)2t ，
(1E ，1，)2
t
，
(2BC =-u u u r
，2，0)，1(0BB =u u u r ，0，)t ，(1DE =u u u r ，1，0)， Q 0BC DE =u u u r u u u r
g ，10BB DE =u u u r u u u r g ，BC DE ∴⊥，1BB DE ⊥， 1BC BB B =Q I ，DE ∴⊥平面11BCC B ．
（2）解：1(0A ，0，)t ，1(2B C =-u u u u r ，2，)t -，1(0AA =u u u r
，0，)t ， Q 直线1B C 与1AA 所成的角为45?，
21111211||2
|cos ,|||||8B C AA B C AA B C AA t t
∴<>===+u u u u r u u u r
u u u u r u u u r g u u u u r u u u r g g ，解得22t =
(0D ∴，02)，1(0C ，2，22)，
(2BC =-u u u r
，2，0)，(2BD =-u u u r ，02)，1(2BC =-u u u u r ，2，22)，
设平面BDC 的法向量(n x =r
，y ，)z ，
则220
220
n BD x z n BC x y ?=-+=??=-+=??u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，12)， 设平面1BCC 的法向量(m x =r
，y ，)z ，
则
1220 2222
m BC x y
m BC x y z
?=-+=
?
?
=-++=
??
u u u r
r
g
u u u u r
r
g
，取1
x=，得(1
m=
r
，1，0)，
设二面角
1
D BC C
--的大小为θ．
则
||2
cos
||||42
m n
m n
θ===
r r
g
r r
g g
，
4
π
θ
∴=．
∴二面角
1
D BC C
--的大小为
4
π
．
19．（12分）已知在正项数列{}
n
a中，首项
1
2
a=，点
1
(,
n n
A a a
+
在双曲线221
y x
-=上，
数列{}
n
b中，点(
n
b，)
n
T在直线
1
1
2
y x
=-+上，其中
n
T是数列{}
n
b的前n项和．
（1）求数列{}
n
a、{}
n
b的通项公式；
（2）求使得
1
|1|
2020
n
T-<成立n的最小值；
（3）若
n n n
c a b
=g，求证：数列{}
n
c为递减数列．
【解答】（1）解：由题意，点
1
(,)
n n
A a a
+
在双曲线221
y x
-=上，则
1
1
n n
a a
+
-=．
∴数列{}
n
a是以2为首项，1为公差的等差数列，
2(1)11
n
a n n
∴=+-=+
g，*
n N
∈．
又Q点(
n
b，)
n
T在直线
1
1
2
y x
=-+上，则
1
1
2
n n
T b
=-+．
当1
n=时，
111
1
1
2
b T b
==-+，解得
1
2
3
b=；
当2n …
时，1111
1122n n n n n b T T b b --=-=-++-， 整理，得11
3
n n b b -=．
∴数列{}n b 是以
2
3
为首项，13为公比的等比数列，
1212
()333
n n n b -∴==g ，*n N ∈．
（2）解：由（1），得11211112233
n n n n T b =-+=-+=-g ．
则111
|1||11|332020
n n
n T -=-
-=<， 即32020n >．
63729=Q ，732187=， n ∴的最小值为7．
（3）证明：由（1），得22(1)
(1)33n n n n n n c a b n +==+=
g g ． 111
2(2)2(1)42
0333n n n n n n n n c c ++++++∴-=
-=-<，*n N ∈． 1n n c c +∴<对任意*n N ∈恒成立．
∴数列{}n c 为递减数列．
20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；
（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ??=，求直线MN 的方程． 【解答】解：（1）由题意如图，由题意抛物线的对称轴为y 轴，可知(2,1)D -， 设直线MN 的方程为y x b =+，(,)M x y ''''，(,)N x y ''，
联立直线与抛物线的方程整理得：2440x x b --=，4x x '+=，4xx b '=-， 所
以
11(1)(2)(1)(2)2(1)()4(1)2(4)4(1)4(1)022(2)(2)(2)(2)(2)(2)
DN DM y y x b x x b x x x b x x b b b b k k x x x x x x x x '''''-''-+-''++''+-+''+++''+--+++-+=
+====''''+''++''++''++''+，
所以DN DM k k =-， 所以DA 平分MDN ∠；
（2）由2
4y x =，24x y =，所以2
x
y '=，
所以在M 处的切线方程为：22
()2424x x x x y x x x ''''''''=-''+=-
①， 同理在N 处的切线方程为：2
24x x y x ''=-②，
①②联立和（1）解得：22x x x '+''==，4x x y b '''
==-，
所以E 的坐标为：(2,)b -，
由（1）直线:0MN x y b -+=及题意得：22
=
，整理得：231450b b +-=，解得：1
3b =或5-，
又因为且M 、N 在直线AD 两侧，经检验1
3
b =符合题意， 所以直线MN 的方程为1
3
y x =+．
21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．
（1）若()f x a -?对0x ?>恒成立，求实数a 的取值集合；
（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；
（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224
n n ln ln ln n n +++?+>
+． 【解答】解：（1）()f x a -?对0x ?>恒成立，即0lnx ax a -+?对任意0x >都成立， 构造函数()(0)g x lnx ax a x =-+>，则()0max g x ?，11()ax
g x a x x
-'=-=
， 令()0g x '=，解得1
x a
=
， 当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1
(,)x a
∈+∞，()0g x '<；
故11
()()10max g x g ln a a a
==-+?，即10(0)lna a a -+>…，
设h （a ）1(0)lna a a =-+>，则11()1a
h a a a
-'=-=
， 令h '（a ）0=，解得1a =，
当(0,1)a ∈时，h '（a ）0>；当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0<； 故h （a ）max h =（1）0=，即h （a ）10lna a =-+?，
而又需10lna a -+…
，故1a =； （2）证明：作辅助函数211121
()()
()()()()f x f x F x f x f x x x x x -=--
--，则
2121
()()
()()f x f x F x f x x x -'='-
-，
显然12()()F x F x =，由导数的几何意义可知，存在01(x x ∈，2)x ，使得
210021
()()
()()0f x f x F x f x x x -'='-
=-，
即21021()()
()f x f x f x x x -'=-，即0()f x k '=，即得证．
（3）证明：由（1）知，1lnx x -?，则1
1ln x x
-…，
取11()n n N x n +=∈g ，则11
1
n ln n n +>
+，则2211111()(1)(1)(2)12n ln n n n n n n +>>=-+++++， ∴22
23111111111(2)()()2233412222(2)
n n
ln ln ln
n n n n n +++??+>-+-+??+-=-=++++，即得证．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θ
θθ
=??
=?为参数）上任意一点(,)P x y
经过伸缩变换2x y y
?'??'=??后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
2020年高三数学上期末试卷(及答案) 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D ．若a b < ，则a b < 2．数列{}n a 满足() 11n n n a a n ++=-?，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100 C ．-110 D ．110 3．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10 5 S S 等于( ) A ．－3 B ．5 C ．33 D ．－31 5．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967 a a a a +=+ A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．已知01x <<，01y <<，则 ()() () ()2 2 2 2 22221111x y x y x y x y +++-+-++ -+-的最小值为（ ） A ．5 B ．22 C ．10 D ．23 7．已知数列{}n a 中，( )111,21,n n n a a a n N S * +==+∈为其前n 项和，5 S 的值为（ ） A ．63 B ．61 C ．62 D ．57 8．在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a = ， 7 cos 8 A = ，则ABC ?的面积为（ ） A ．17 B ．3 C ．15 D ． 15 9．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶 B 处分别测得仰角为=60βo ，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
饶平二中2010—2011学年度高三理科数学试卷（2） 一、填空题(本题4小题，每小题5分，共20分) 1．复数2 2 )1(i i += 2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中有白色地面砖块。 3．若不等式121 +-≥+ a x x 对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是______； 4．已知关于x 的不等式12011x a x a ++-+>（a 是常数）的解是非空集合，则a 的取值范围是 ． 二、解答题(本题共6小题，第5，6小题每题12分，第7至第10小题每题14分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5．在ABC ?中，已知2 2 2 a b c ab +-=，且sin() 2cos sin A B A B +=， (1)求C ∠的大小; (2)证明ABC ?是等边三角形. 第1个 第2个 第3个
6．先阅读以下不等式的证明,再类比解决后面的问题： 若123 123,,,1a a a R a a a ∈++=,则22212313 a a a ++≥. 证明:构造二次函数2 2 2 123()()()()0,f x x a x a x a =-+-+-≥将()f x 展开得： 2222123123()32()f x x a a a x a a a =-+++++2222 12332x x a a a =-+++ 对一切实数x 恒有()0f x ≥，且抛物线的开口向上 222 123412()0a a a ∴?=-++≤，22212 313 a a a ∴++≥． （1）类比猜想： 若1212,, ,,1n n a a a R a a a ∈+++=,则22 2 12n a a a ++ +≥． （在横线上填写你的猜想结论） （2）证明你的猜想结论． 7．某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有 10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖． （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从 盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是 15 2 ，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求 ξ的分布列及ξE ．
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题 1. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1≤x≤3}，则图中阴影部分所表示的集合为（） A . [1，2） B . （1，3] C . [1，2] D . （2，3] 2. 若复数z 满足z（1+i）=﹣2i（i为虚数单位），是z 的共轭复数，则?z=（） A . B . C . 2 D . 1 3. 已知函数的最小正周期为π，将函数f（x）的图象向右平移个所得图象对应的函数为y=g（x），则关于函数为y=g（x）的性质，下列说法不正确的是（） A . g（x）为奇函数 B . 关于直线对称 C . 关于点（π，0）对称 D . 在上递增 4. 设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A . B . C . D . 5. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）
A . ， B . ， C . ， D . ， 6. 《九章算术?均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（） A . 钱 B . 钱 C . 钱 D . 钱 7. 已知函数f（x）= ，则函数y=f （1﹣x）的大致图象是（） A . B . C . D . 8. 在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
第一学期期中检测试卷 高 三 数 学（理） 考试时间：120分钟 试卷分值：150 分 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{} (5)4A x x x =-，{}|B x x a =≤，若A B B ?=，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.已知i 为虚数单位，若复数11ti z i -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A. [1,1]- B. (1,1)- C. (,1)-∞- D. (1,)+∞ 3.已知1sin 123πα?? - = ? ? ?，则17cos 12πα? ? + ?? ? 的值等于（ ） A. 13 B. 3 C. 13- D. 3 - 4.若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是（ ） A. 20192019log log a b > B. log log c b a a > C. ()()c b c b a c b a ->- D. ()()c b a c a a c a ->- 5.在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则 (1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）
A. 2[1,]3 - B. 1[1,]3 - C. [1,1]- D. 1[,1]3 7.如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且AM ?????? =45 AB ????? ，连接 ,AC MN 交于P 点，若AP ????? =411 AC ????? ，则点N 在AD 上的位置为（ ） A. AD 中点 B. AD 上靠近点D 的三等分点 C. AD 上靠近点D 的四等分点 D. AD 上靠近点D 的五等分点 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. 16 3 C. 7 D. 173 9.执行如图所示的程序框图，如果输出6T =，那么判断框内应填入的条件是（ ） A. 32k < B. 33k < C. 64k < D. 65k < 10.函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12 π 个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[ ,]63ππ上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调递减，则实数ω的值
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2
2020-2021高三数学上期末试题(及答案) 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D ．若a b < ，则a b < 2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 39522,1a a a a ?==，则1a = ( ) A ． 12 B ．2 C ．2 D ． 22 3．已知在 中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且， ， ，则 的面积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =， 则9 6S S =（ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 6．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤?? +≥??≥-? ，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 7．数列{}n a 中，对于任意,m n N * ∈，恒有m n m n a a a +=+，若11 8 a = ，则7a 等于( ) A ． 7 12 B ． 7 14 C ． 74 D ． 78 8．设实数,x y 满足242210 x y x y x -≤??+≤??-≥? ，则1 y x +的最大值是（ ） A ．-1 B ． 12 C ．1 D ．32 9．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?为锐角三角形，且满足 sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =
数学检测卷（理） 姓名----------班级----------总分------------ 一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ． 1．若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B = （ ） （A ）[1,0]- （B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） （A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下： 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ） (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. ．直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D ．1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区 （第6题）
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
高三数学上册期末试卷 一、填空题（4x12=48分） 1．若函数()2 x f x x = +的反函数是y f x =-1 ()，则f -?? ???=113________________ 2．方程2 lg x 2lg x 3=0--的解集是________ 3．在等比数列{}n a 中，4732 a a π=，则()38sin a a =___________ 4．在无穷等比数列{a n }中，n n n n T a a a a T q a ∞→++++===lim ,,2 1,1222624221则记Λ等于 ____________ 5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()21A ， ，()x,y B 若点B 满足OA AB ⊥u u u r u u u r ，则点B 的轨迹方程为____________ 6．在ABC ?中，43 AB B π == ，，ABC ?AC =______ 7．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外15人选修B 课程，其它人不选任何课 程，从中任选两名学生，则他们选修不同课程的学生概率为_________ 8．用一张长宽分别为8cm 、4cm 的矩形硬纸板折成正四棱柱的侧面，则四棱柱的对角线长为 9．（理）若3y x π =+，则sinx ·siny 的最小值为___________ （文）sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α,β在第三象限，则cos β= 10．将正奇数按如下规律填在5列的数表中： 则xx 排在该表的第 行，第 列 （行是从上往下数，列是从左往右数） 11．已知函数b ax x a x f +++=2 )((a ，b 为实常数)，若f(x)的值域为[0，＋∞)，则常数a ，b 应满足的条件________________________________ 12．设函数()x f 的定义域是D ，a,b D ∈任意的，有()()a+b a b ,1+ab f f f ?? += ??? 且()x f 的反函数为()x H ，已知()()a ,b H H ，则()a b H +=_____________________ （用()()a ,b H H 的代数式表示）；
黄州区一中高三理科数学综合测试题（十二） 命题：杨安胜 审题：高三数学组 考试时间：-11-20 第I 卷（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设，且， ，，设，则（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2．已知函数()f x 是奇函数，当0,()(01)x x f x a a a >=>≠时且，且12 (log 4)3,f =- 则a 的值为（ ） A ．3 B ．3 C ．9 D ． 3 2 3．如右图，在ABC ?中，||||BA BC =，延长CB 到D ，使 ,AC AD AD AB AC λμ⊥=+若，则λμ-的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．-1 D ．2 4．若0a 2≠=b ，，且，则向量与的夹角为( ) A 30° B 60° C 120° D 150° 5．等差数列{}n a 中，386,16,n a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若12 11 1n n T S S S = +++ ，则952 T 最接近的整数是 （ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 6．已知函数3 2 2 ()23f x x ax ax a =+-+，且在()f x 图象上点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距小于0，则a 的取值范围是 （ ） A ．（-1，1） B ．2 (,1)3 C ．2(,1)3 - D ．2(1,)3 - 7．将函数2()1cos 22sin ()6 f x x x π =+--的图象向左平移(0)m m >个单位后所得的图象 关于y 轴对称，则m 的最小值为 （ ） A ． 6 π B ． 12π C ． 3 π D ． 2 π 8．已知定义域为R 的函数满足，且的导函数，则的解集为（ ） {}{}{} Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x M ∈-==∈+==∈==,13,,13,,3M a ∈N b ∈P c ∈c b a d +-=M d ∈N d ∈P d ∈b a c +=a c ⊥a b )(x f 1)1(=f )(x f ()2 1 < 'x f 2 1 2)(+< x x f
【常考题】高三数学上期末试卷(带答案) 一、选择题 1．在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3 A b π ==ABC ?则a 的值为（ ） A ．2 B C ． 2 D ．1 2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 39522,1a a a a ?==，则1a = ( ) A ． 12 B ．2 C D ． 2 3．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94 - B ． 94 C ． 274 D ．274 - 4．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 5．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ?< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 6．在ABC ?中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3 cos 5 A =，则sin B =（ ） A ． 25 B ． 35 C ． 45 D ． 85 7．已知ABC ?的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且 2 S =，则A 等于（ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 8．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则 cos2A =（ ） A ．78 B ． 18 C ．78 - D ．18 - 9．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140 B ．280 C ．168 D ．56
2018年师大附中、临川一中高三联考数学试卷（理科） 时间：120分钟 总分：150分 一．选择题（每小题5分，共50分） 1．已知集合{|014}A x N x =∈<-<，2{|560}B x Z x x =∈-+=,则下列结论中不正确的是（ ） A.R R C A C B ? B.A B B = C.()R A C B =? D.()R C A B =? 2. 已知数列{}n a 的通项为83+=n a n ，下列各选项中的数为数列{}n a 中的项的是（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．36 3、 函数x xa y x =(01)a <<的图象的大致形状是 ( ) 4．设函数x x x f 3)(3+=)(R x ∈，若2 0π θ≤ ≤时，)1()sin (m f m f -+θ＞0恒成 立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（－∞，0） C ．（－∞，1 2） D ．（－∞，1） 5．如图，△ABC 中，GA GB GC O ++= ，CA a = ， =. 若CP ma = ，CQ nb = .H PQ CG = ， 2=，则11 m n +=（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 6．数列{}n a 满足121 1,,2 a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则数列的第 2010项为（ ） A . 10012 B .20102 1 C .20101 D . 1100 7.对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[]3,[ 1.08]2π=-=-．如 A C B G H Q P
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1 ?答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2?回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3 ?考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1?已知集合 A={x|x<1}, B={x|3x 1},则 A. AI B {x|x 0} B. AU B R C. AU B {x|x 1} D. AI B 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图， 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 3.设有下面四个命题 1 P 1 :若复数z 满足一R ，则z R ; z P 2 :若复数z 满足z 2 R ，则z R ; P 3 :若复数 w, Z 2满足 Z 1Z 2 R ，贝y Z 1 z 2 ; P 4 :若复数z R ，则z R . 其中的真命题为 绝密★启用前 的中心成中心对称 A. B.n D.
A.10 B.12 C.14 D.16 8?右面程序框图是为了求出满足 填入 3n -2n >1000的最小偶数 n ,那么在 两个空白框中，可以分别 A. P l , P 3 B.P l ,P 4 C.P 2，P 3 D. P 2, P 4 4.记S n 为等差数列｛aj 的前n 项和.若a 4 24 , S 4 8，则｛a n ｝的公差为 A . 1 B . 2 C . 4 D . 8 5 .函数f (x)在( ,)单调递减，且为 奇函数?若 f (1) 1 , 则满足1 f(x 2) 1的x 的取值范 围 是 A . [ 2,2] B . [ 1,1] C . [0,4] D . [1,3] 1 6 2 6.(1 —)(1 x)展开式中x 的系数为 x A. 15 B.20 C.30 D.35 7?某多面体的三视图如图所示， 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为 2, 俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
烟台2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。 2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。超出答题区书写 的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合題目要求的。 1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B= A.{x|-l≤x≤2} B. {x|0≤x≤2} C. {x|x≥-l} D. {x|x≥0} 2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是 A.《 B.x∈R, X2-X+1≤0 B. x∈R, x2-x+1<0 C. x∈R, x2-x+l<0 D. x∈R, x2-x+l≤0 3.若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为 A. 2x±3y=0 B. 3x±2y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0 4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 河南省开封市 —高三第一次模拟考试 数 学 试 题（理） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答 题卡上，在本试卷上答题无效。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。 参考公式： 样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式 ])()()[(1 22221x x x x x x n S n -++-+-= Sh V 3 1= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 Sh V = 323 4 ,4R V R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。） 1．若2 2 2 {|},{2},P P y y x Q x y ===+=则Q= （ ） A ．[0 B ．{1111}（,）,(-,) C ． D ．[ 2．已知i 为虚数单位，复数121i z i +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2,2,8,n a a a -++则a = （ ） A ．38()2 n B ．28()3 n C ．138()2n - D ．128()3 n - 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题，本题共12小题，每小题5份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设i i i z 211++-=，则=z A.0 B. 2 1 C.1 D.2 2. 已知集合{ } 02|2 >--=x x x A ，则=A C R A. {}21|<<-x x B.{}21|≤≤-x x C.{}{}2|1|>- 线方程为 A.x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y = 6.在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB A.AC AB 4143- B.AC AB 43 41- C.AC AB 4143+ D.AC AB 4 341+ 7.某圆柱的高为2，地面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A.172 B.52 C.3 D.2 8.设抛物线x y C 4:2 =的焦点为F ，过点()0,2-且斜率为 3 2 的直线与C 交于N M ,两点，则=?FN FM A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数()()()a x x f x g x x x e x f x ++=?? ?>≤=,0 ,ln 0 ,，若()x g 存在2个零点，则a 的取值范围是 A.[)0,1- B.[)+∞,0 C.[)+∞-,1 D.[)+∞,1 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AC AB ,，ABC ?的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为321,,p p p ，则 A B 全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2高三数学理科一模试卷及答案
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