人教版数学八年级上册全册全套试卷易错题(Word版含答案)
一、八年级数学三角形填空题(难)
1.已知如图,BQ平分∠ABP,CQ平分∠ACP,∠BAC=α,∠BPC=β,则∠BQC=
_________.(用α,β表示)
【答案】1
2
(α+β).
【解析】【分析】
连接BC,根据角平分线的性质得到∠3=1
2
∠ABP,∠4=
1
2
∠ACP,根据三角形的内角和得
到∠1+∠2=180°-β,2(∠3+∠4)+(∠1+∠2)=180°-α,求出∠3+∠4=1
2
(β-α),根据
三角形的内角和即可得到结论.【详解】
解:连接BC,
∵BQ平分∠ABP,CQ平分∠ACP,
∴∠3=1
2
∠ABP,∠4=
1
2
∠ACP,
∵∠1+∠2=180°-β,2(∠3+∠4)+(∠1+∠2)=180°-α,
∴∠3+∠4=1
2
(β-α),
∵∠BQC=180°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)=180°-(180°-β)-1
2
(β-α),
即:∠BQC=1
2
(α+β).
故答案为:1
2
(α+β).
【点睛】
本题考查了三角形的内角和,角平分线的定义,连接BC构造三角形是解题的关键.
∠=,边AB的垂直平分线交边BC于点D,边AC的垂直平分线2.在ABC中,BACα
∠的度数为______.(用含α的代数式表示)
交边BC于点E,连结AD,AE,则DAE
【答案】2α﹣180°或180°﹣2α
【解析】
分两种情况进行讨论,先根据线段垂直平分线的性质,得到∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-a,再根据角的和差关系进行计算即可.
解:有两种情况:
①如图所示,当∠BAC?90°时,
∵DM垂直平分AB,
∴DA=DB,
∴∠B=∠BAD,
同理可得,∠C=∠CAE,
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α,
∴∠DAE=∠BAC?(∠BAD+∠CAE)=α?(180°?α)=2α?180°;
②如图所示,当∠BAC<90°时,
∵DM垂直平分AB,
∴DA=DB,
∴∠B=∠BAD,
同理可得,∠C=∠CAE,
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α,
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC=180°?α?α=180°?2α.
故答案为2α?180°或180°?2α.
点睛:本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.
3.∠A=65o,∠B=75o,将纸片一角折叠,使点C?落在△ABC外,若∠2=20o,则∠1的度数为 _______.
【答案】100°
【解析】
【分析】
先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°;再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°,再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,
∠5=∠4+∠C=∠4+40°,即可得到∠3+∠4=80°,然后利用平角的定义即可求出∠1.
【详解】
如图,
∵∠A=65°,∠B=75°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°;
又∵将三角形纸片的一角折叠,使点C落在△ABC外,
∴∠C′=∠C=40°,
而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°,∠5=∠4+∠C=∠4+40°,∠2=20°,
∴∠3+20°+∠4+40°+40°=180°,
∴∠3+∠4=80°,
∴∠1=180°-80°=100°.
故答案是:100°.
【点睛】
考查了折叠前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等.也考查了三角形的内角和定理以及外角性质.
4.如图,△ABC中,∠BAC=70°,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O,则∠BOC=_____度.
【答案】35
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC=∠ACE,
∠BOC+∠OBC=∠OCE,再根据角平分线的定义可得∠OBC=1
2
∠ABC,∠OCE=
1 2∠ACE,然后整理可得∠BOC=
1
2
∠BAC.
【详解】
解:由三角形的外角性质,∠BAC+∠ABC=∠ACE,∠BOC+∠OBC=∠OCE,∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O,
∴∠OBC=1
2
∠ABC,∠OCE=
1
2
∠ACE,
∴1
2
(∠BAC+∠ABC)=∠BOC+
1
2
∠ABC,
∴∠BOC=1
2
∠BAC,
∵∠BAC=70°,
∴∠BOC=35°,
故答案为:35°.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,要注意整体思想的利用.
5.如图,五边形ABCDE的每一个内角都相等,则外角CBF=
∠__________.
【答案】72?
【解析】
【分析】
多边形的外角和等于360度,依此列出算式计算即可求解.
360°÷5=72°.
故外角∠CBF等于72°.
故答案为:72 .
【点睛】
此题考查了多边形内角与外角,关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点.6.将两张三角形纸片如图摆放,量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°,则∠5=__.
【答案】40°
【解析】
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数,进而得出答案.
【详解】
如图所示:
∠1+∠2+∠6=180°,∠3+∠4+∠7=180°,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°,
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°,
∴∠6+∠7=140°,
∴∠5=180°-(∠6+∠7)=40°.
故答案为40°.
【点睛】
主要考查了三角形内角和定理,正确应用三角形内角和定理是解题关键.
二、八年级数学三角形选择题(难)
7.一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有()
A.104条B.90条C.77条D.65条
【答案】C
【解析】
n边形的内角和是(2)180
n-?,即内角和一定是180度的整数倍,即可求解,据此可以求
出多边形的边数,在根据多边形的对角线总条数公式
()3
2
n n-
计算即可.
【详解】
解:
2
210018011
3
÷=,则正多边形的边数是11+2+1=14.
∴这个多边形的对角线共有
()()
314143
==77
22
n n--
条.
故选:C.
【点睛】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理;要注意每一个内角都应当大于0?而小于180度.同时要牢记多边形
对角线总条数公式
()3
2
n n-
.
8.已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,则化简|a-3|+|a-7|的结果为()
A.2a-10B.10-2a
C.4D.-4
【答案】C
【解析】
试题分析:已知三角形的三边长分别为2,a-1,4,则根据三角形的三边关系:可得:a-1>4-2,a-1<2+4即a>3,a<7.所以a-3>0,a-7<0. |a-3|+|a-7|=a-3+(7-a)=4.故选C
点睛:本题主要考查考生三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。由此可以得到a>3,a<7,因此可以判断a-3和a-7的正负情况。此题还考查了考生绝对值的运算法则:正数的绝对值是其本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值还是零。由此可化简|a-3|+|a-7|
9.已知非直角三角形ABC中,∠A=45°,高BD与CE所在直线交于点H,则∠BHC的度数是()
A.45°B.45° 或135°C.45°或125°D.135°
【答案】B
【解析】
【分析】
①△ABC是锐角三角形时,先根据高线的定义求出∠ADB=90°,∠BEC=90°,然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和列式进行计算即可得解;
②△ABC是钝角三角形时,根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A,从而得解.【详解】
①如图1,
△ABC是锐角三角形时,
∵BD、CE是△ABC的高线,
∴∠ADB=90°,∠BEC=90°,
在△ABD中,∵∠A=45°,
∴∠ABD=90°-45°=45°,
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°;
②如图2,△ABC是钝角三角形时,
∵BD、CE是△ABC的高线,
∴∠A+∠ACE=90°,∠BHC+∠HCD=90°,
∵∠ACE=∠HCD(对顶角相等),
∴∠BHC=∠A=45°.
综上所述,∠BHC的度数是135°或45°.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理,三角形的高线,难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论,作出图形更形象直观.
10.如图,△ABC 中,角平分线AD 、BE 、CF 相交于点H ,过H 点作HG ⊥AC ,垂足为G ,那么∠AHE 和∠CHG 的大小关系为( )
A .∠AHE >∠CHG
B .∠AHE <∠CHG
C .∠AHE=∠CHG
D .不一定
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据AD 、BE 、CF 为△ABC 的角平分线可设
∠BAD=∠CAD=x ,∠ABE=∠CBE=y ,∠BCF=∠ACF=z ,由三角形内角和定理可知,2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°在△AHB 中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z ,在△CHG 中,∠CHG=90°﹣z ,故可得出结论. 【详解】
∵AD 、BE 、CF 为△ABC 的角平分线
∴可设∠BAD=∠CAD=x ,∠ABE=∠CBE=y ,∠BCF=∠ACF=z , ∴2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°, ∵在△AHB 中,∠AHE=x+y=90°﹣z , 在△CHG 中,∠CHG=90°﹣z , ∴∠AHE=∠CHG , 故选C . 【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质,熟知三角形的内角和180°,三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.
11.适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为
①111
345a b c ,,;==
=②6a =,∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°;
④72425a b c ===,,;⑤22 4.a b c ===,,⑥::3:4:5a b c =
⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5,25,5a b c ===
A .2个
B .3个
C .4个
D .5个
【答案】C 【解析】
根据勾股定理的逆定理,可分别求出各边的平方,然后计算判断:
2
2
2
1
11+3
4
5
≠()()(),故①不能构成直角三角形;
当a=6,∠A=45°时,②不足以判定该三角形是直角三角形;
根据直角三角形的两锐角互余,可由∠A+∠B=90°,可知③是直角三角形;
根据72=49,242=576,252=625,可知72+242=252,故④能够成直角三角形;
由三角形的三边关系,2+2=4可知⑤不能构成三角形;
令a=3x,b=4x,c=5x,可知a2+b2=c2,故⑥能够成直角三角形;
根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形;
由a2=5,b2=20,c2=25,可知a2+b2=c2,故⑧能够成直角三角形.
故选:C.
点睛:此题主要考查了直角三角形的判定,解题关键是根据角的关系,两锐角互余,和边的关系,即勾股定理的逆定理,可直接求解判断即可,比较简单.
12.如图,直线a∥b,若∠1=50°,∠3=95°,则∠2的度数为()
A.35°B.40°C.45°D.55°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得到∠4的度数,再根据平行线的性质,即可得出∠2的度数.
【详解】
解:如图,
根据三角形外角性质,可得∠3=∠1+∠4,
∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°,
∵a∥b,
∴∠2=∠4=45°.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
三、八年级数学全等三角形填空题(难)
13.如图,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E ,F,AB=11,AC=5,则BE=______________.
【答案】3
【解析】如图,连接CD,BD,已知AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,根据角平分线的性质可得DF=DE,∠F=∠DEB=90°,∠ADF=∠ADE,即可得AE=AF,又因DG是BC的垂直平分线,所以CD=BD,在Rt△CDF和Rt△BDE中,CD=BD,DF=DE,利用HL定理可判定Rt△CDF≌Rt△BDE,由全等三角形的性质可得BE=CF,所以
AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,又因AB=11,AC=5,所以BE=3.
点睛:此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,正确作出辅助线,利用数形结合思想是解决问题的关键.
14.如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为_____.
【答案】12.5
【解析】
【分析】
过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,判定△ACD≌△AEB,即可得到△ACE是等腰直角三角
形,四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,根据S△ACE=1
2
×5×5=12.5,即可得出结论.
【详解】
如图,过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,
∵∠DAB=∠DCB=90°,
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC , ∴∠D=∠ABE , 又∵∠DAB=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠EAB , 又∵AD=AB ,
∴△ACD ≌△AEB (ASA ),
∴AC=AE ,即△ACE 是等腰直角三角形, ∴四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等, ∵S △ACE =
1
2
×5×5=12.5, ∴四边形ABCD 的面积为12.5, 故答案为12.5. 【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题
15.如图,在等腰三角形ABC 中,90ABC ∠=,D 为AD 边上中点,多D 点作
DE DF ⊥,交AB 于E ,交BC 于F ,若3AE =,2CF =,则ABC ?的面积为
______.
【答案】
252
【解析】 【分析】
利用等腰直角三角形斜边中点D 证明AD=BD ,∠DBC=∠A=45?,再利用DE DF ⊥证得∠ADE=∠BDF ,由此证明△ADE ≌△BDF ,得到BC 的长度,即可求出三角形的面积. 【详解】
∵90ABC ∠=?,AB=BC, ∴∠A=45?,
∵D 为AC 边上中点,
∴AD=CD=BD ,∠DBC=∠A=45?,∠ADB=90?, ∵DE DF ⊥,
∴∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠ADE=90?, ∴∠ADE=∠BDF, ∴△ADE ≌△BDF, ∴BF==AE=3, ∵CF=2,
∴AB=BC=BF+CF=5, ∴ABC ?的面积为21
2BC ?=252
, 故答案为:252
. 【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质,三角形全等的判定及性质.
16.如图,在ABC 中,ACB 90,CA CB ∠==.点D 在AB 上,点F 在CA 的延长线上,连接FD 并延长交BC 于点E ,若∠BED=2∠ADC ,AF=2,DF=7,则ABC 的面积为______.
【答案】
252
【解析】 【分析】
作CD 的垂直平分线交AD 于M ,交CD 与N ,根据垂直平分线的性质可得MC=MD ,进而可得∠MDC=∠MCD ,根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED ,由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°,根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE ,进而可证明
∠ADF=∠ACM ,进而即可证明∠FCD=∠FDC ,根据等腰三角形的性质可得CF=DF ,根据已知可求出AC 的长,根据三角形面积公式即可得答案. 【详解】
作CD 的垂直平分线交AD 于M ,交CD 与N , ∵MN 是CD 的垂直平分线, ∴MC=MD , ∴∠MDC=∠MCD ,
∵∠AMC=∠MDC=∠MCD,
∴∠AMC=2∠ADC,
∵∠BED=2∠ADC,
∴∠AMC=∠BED,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠B=∠CAB=45°,
∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC,∠BDE=180°-∠B-∠BED,∴∠ACM=∠BDE,
∵∠BDE=∠ADF,
∴∠ADF=∠ACM,
∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD,即∠FCD=∠FDC,
∴FC=FD,
∵AF=2,FD=7,
∴AC=FC-AF=7-2=5,
∴S△ABC=1
2
×5×5=
25
2
.
故答案为:25 2
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等;等腰三角形的两个底角相等;熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P、Q是边AC、BC上的两个动点,PD⊥AB于点D, QE⊥AB于点E.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动;点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动,到达点C后停止运动,当t= 时,△APD和△QBE全等.
【答案】2或4.【解析】
试题分析:①0≤t<8
3
时,点P从C到A运动,则AP=AC=CP=8﹣3t,BQ=t,当
△ADP≌△QBE时,则AP=BQ,即8﹣3t=t,解得:t=2;
②t≥8
3
时,点P从A到C运动,则AP=3t﹣8,BQ=t,当△ADP≌△QBE时,则AP=BQ,即
3t﹣8=t,解得:t=4;
综上所述:当t=2s或4s时,△ADP≌△QBE.
考点:1.全等三角形的判定;2.动点型;3.分类讨论.
18.如图,已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于点E,AB=AD+2BE,则下列结论:①AB+AD= 2AE;②∠DAB+∠DCB=180°;③CD=CB;④S ACE﹣S BCE=S ACD.其中正确的是______.
【答案】①②③④.
【解析】
【分析】
【详解】
①在AE取点F,使EF=BE,连接CF.
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE,EF=BE,
∴AB=AD+2BE=AF+2BE,
∴AD=AF,
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE,
∴AB+AD= 2AE,故①正确;
②在AB上取点F,使EF=BE,连接CF.
在△ACD与△ACF中,
∵AD=AF,∠DAC=∠FAC,AC=AC,
∴△ACD≌△ACF,
∴∠ADC=∠AFC.
∵CE垂直平分BF,
∴CF=CB,
∴∠CFB=∠B.
又∵∠AFC+∠CFB=180°,
∴∠ADC+∠B=180°,
∴∠DAB+∠DCB=180°故②正确;
③由②知,△ACD≌△ACF,
∴CD=CF,
又∵CF=CB,
∴CD=CB,故③正确;
④易证△CEF≌△CEB,
∴S△ACE﹣S△BCE=S△ACE﹣S△FCE=S△ACF,
又∵△ACD≌△ACF,
∴S△ACF=S△ADC,
∴S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC,
故④正确.
综上所述,正确的结论是①②③④,
故答案为①②③④.
四、八年级数学全等三角形选择题(难)
19.如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】D
【解析】
分析:由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解:①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形,
∴CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE,即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中,CB=CD,∠BCE=∠DCG,CE=CG,
∴△BCE≌△DCG,
∴BE=DG,
故结论①正确.
②如图所示,设BE交DC于点M,交DG于点O.
由①可知,△BCE≌△DCG,
∴∠CBE=∠CDG,即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO,∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC,∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO,
∴∠DOM=∠MCB=90°,
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示,连接BD、EG,
由②知,BE⊥DG,
则在Rt△ODE中,DE2=OD2+OE2,
在Rt△BOG中,BG2=OG2+OB2,
在Rt△OBD中,BD2=OD2+OB2,
在Rt△OEG中,EG2=OE2+OG2,
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中,BD2=BC2+CD2=2a2,
在Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2=2b2,
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选:D.
点睛:本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
20.如图,已知AB=AC,AF=AE,∠EAF=∠BAC,点C、D、E、F共线.则下列结论,其中正确的是()
①△AFB≌△AEC;②BF=CE;③∠BFC=∠EAF;④AB=BC.
A .①②③
B .①②④
C .①②
D .①②③④
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意结合图形证明△AFB ≌△AEC ;利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决. 【详解】
如图,
∵∠EAF=∠BAC , ∴∠BAF=∠CAE ; 在△AFB 与△AEC 中,
AF AE BAF CAE AB AC ??
∠∠???
===, ∴△AFB ≌△AEC (SAS ), ∴BF=CE ;∠ABF=∠ACE , ∴A 、F 、B 、C 四点共圆, ∴∠BFC=∠BAC=∠EAF ; 故①、②、③正确,④错误. 故选A.. 【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形,灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明.
21.如图所示,△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形,且PA ⊥PD ,有下列四个结论:①∠PBC =15°,②AD ∥BC ,③PC ⊥AB ,④四边形ABCD 是轴对称图形,其中正确的个数为( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC 的度数,再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形,∠PBC 即可求出;根据题意:有△APD 是等腰直角三角形;△PBC 是等腰三角形;结合轴对称图形的定义与判定,可得四边形ABCD 是轴对称图形,进而可得②③④正确. 【详解】
根据题意,BPC 36060290150∠=-?-= ,
BP PC =,
()
PBC 180150215∠∴=-÷=,①正确;
根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形,④正确; ∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°, ∴AD//BC ,②正确;
∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°, ∴PC ⊥AB ,③正确, 所以四个命题都正确, 故选D . 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等,熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.
22.如图,△ABC 是等边三角形,AQ =PQ ,PR ⊥AB 于点R ,PS ⊥AC 于点S ,PR =PS .下列结论:①点P 在∠A 的角平分线上;②AS =AR ;③QP ∥AR ;④△BRP ≌△QSP .其中,正确的有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 【答案】D
【解析】∵△ABC 是等边三角形,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,且PR =PS ,∴P 在∠A 的平分线上,故①正确;
由①可知,PB =PC ,∠B =∠C ,PS =PR ,∴△BPR ≌△CPS ,∴AS =AR ,故②正确;
∵AQ =PQ ,∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ,∴PQ ∥AR ,故③正确;
由③得,△PQC 是等边三角形,∴△PQS ≌△PCS ,又由②可知,④△BRP ≌△QSP ,故④也正确,∵①②③④都正确,故选D .
点睛:本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质,准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键.
23.如图,四边形ABCD 中,∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的角平分线恰相交于一点P ,记△APD 、△APB 、△BPC 、△DPC 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,则有( )
A .1324S S S S +=+
B .1234S S S S +=+
C .1423S S S S +=+
D .13S S = 【答案】A 【解析】 【分析】
作辅助线,利用角平分线性质定理,明确8个三角形中面积两两相等即可解题. 【详解】
四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p 到四边形各边距离相等,(角平分线性质定理),
如下图,可将四边形分成8个三角形,面积分别是a 、a 、b 、b 、c 、c 、d 、d, 则S 1=a+d, S 2=a+b, S 3=b+c, S 4=c+d, ∴S 1+S 3=a+b+c+d= S 2+S 4 故选A
【点睛】
本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.
24.如图,D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =,DBC DCB ∠=∠,过
D 作D
E AC ⊥于E ,D
F AB ⊥交BA 的延长线于F ,则下列结论:
①CDE △≌BDF ;②CE AB AE =+;③BDC BAC ∠=∠;④DAF CBD ∠=∠. 其中正确的结论有( ).
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【答案】D 【解析】
BD=CD,AD 是角平分线,所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°,所以CDE ≌
BDF ;①正确.
由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知, ∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠,
∴A 、B 、C 、D 四点共圆, ∴DAF CBD ∠=∠,④正确. 故选D.
五、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
25.如图,已知等边ABC ?的边长为8,E 是中线AD 上一点,以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ?,连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点,且5CM CN ==,则MN 的长为_________. 【答案】6 【解析】 【分析】
作CG ⊥MN 于G ,证△ACE ≌△BCF ,求出∠CBF=∠CAE=30°,则可以得出1
2
4CG BC ==,在Rt △CMG 中,由勾股定理求出MG ,即可得到MN 的长. 【详解】
解:如图示:作CG ⊥MN 于G ,
∵△ABC 和△CEF 是等边三角形, ∴AC=BC ,CE=CF ,∠ACB=∠ECF=60°,