第4章不定积分
内容概要
课后习题全解
习题4-1
1.求下列不定积分:
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1)
思路: 被积函数 5
2
x -=,由积分表中的公式(2)可解。 解:5
322
23x dx x C --==-+?
★(2)dx
-
? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?()
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???()
★(4)3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++?
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:42232233113arctan 1
1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2
21x dx x +?
思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:22
21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。
★(7)x dx x x x
?34134(-+-)2 思路:分项积分。
解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x
x x --=-+-?????34134(-+-)2 223134ln ||.423
x x x x C --=--++ ★(8)
23(1dx x -+? 思路:分项积分。
解:
2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++??
★★(9)
思路=?11172488x
x ++==,直接积分。
解:715888.15
x dx x C ==+?? ★★(10)
221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
解:222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211
x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11
x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
思路:初中数学中有同底数幂的乘法: 指数不变,底数相乘。显然33x x x e e =()。
解:333.ln(3)x x x x
e e dx e dx C e ==+??()() ★★(13)2cot xdx ?
思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”。
解:22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+??
★★(14)23523x x
x dx ?-??
思路:被积函数 235222533
x x x x ?-?=-(),积分没困难。 解:2()2352232525.33ln 2ln 3
x x
x x x dx dx x C ?-?=-=-+-??(()) ★★(15)2cos 2x dx ? 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。
解:2
1cos 11cos sin .2222
x x d dx x x C +==++?? ★★(16)11cos 2dx x +? 思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。
解:221111sec tan .1cos 222
2cos dx dx xdx x C x x ===++???
★(17)cos 2cos sin x dx x x -?
思路:不难,关键知道“22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解:
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x dx x x dx x x C x x =+=-+-??
★(18)22cos 2cos sin x dx x x ?? 思路:同上题方法,应用“22
cos 2cos sin x x x =-”,分项积分。 解:22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x
-==-?????? 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+??
★★(19)dx +?
思路:注意到被积函数
==,应用公式(5)即可。
解:
22arcsin .dx x C ==+? ★★(20)21cos 1cos 2x dx x ++?
思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x
++==++,则积分易得。 解:221cos 11tan sec .1cos 2222
x x x dx xdx dx C x ++=+=++??? ★2、设()arccos xf x dx x C =+?,求()f x 。
知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:直接利用不定积分的性质1:
[()]()d f x dx f x dx =?即可。 解:等式两边对x 求导数得:
()()xf x f x =∴=
★3、设()f x 的导函数为sin x ,求()f x 的原函数全体。
知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。
思路分析:连续两次求不定积分即可。
解:由题意可知,1()sin cos f x xdx x C ==-+?
所以()f x 的原函数全体为:112cos sin x C dx x C x C -+=-++?()。
★4、证明函数21,2
x x e e shx 和x e chx 都是s x e chx hx -的原函数 知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:只需验证即可。
解:2x x e e chx shx =-Q ,而22[][][]x x x x d d d e e shx e chx e dx dx dx
===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。 知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
解:设曲线方程为()y f x =,由题意可知:
1[()]d f x dx x =,()ln ||f x x C ∴=+; 又点2(,3)e 在曲线上,适合方程,有23ln(),1e C C =+∴=,
所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+
★★6、一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是23(/)t m s ,问:
(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2) 物体走完360米需要多少时间?
知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。
解:设物体的位移方程为:()y f t =,
则由速度和位移的关系可得:23[()]3()f t t f t t C =?=+d dt
, 又因为物体是由静止开始运动的,3(0)0,0,()f C f t t ∴
=∴=∴=。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米;
(2)
令3360t t =?=秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。
知识点:练习简单的凑微分。
思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。
解:234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212
dx d x xdx d x x dx d x =-=--=-
2222111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x =
==--===+ 2、求下列不定积分。
知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。
思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!
★(1)3t e dt ?
思路:凑微分。
解:33311(3)33
t t t e dt e d t e C ==+?? ★(2)3(35)x dx -?
思路:凑微分。 解:33411(35)(35)(35)(35)520
x dx x x x C -=---=--+??d ★(3)132dx x -?
思路:凑微分。
解:
1111(32)ln |32|.322322dx d x x C x x =--=--+--?? ★(4)
?
思路:凑微分。
解:1233
111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+??? ★(5)(sin )x
b ax e dx -?
思路:凑微分。
解:11(sin )sin ()()cos x x x b b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a
-=-=--+???
★★(6)
思路:如果你能看到t
d =,凑出d 易解。
解:
2C ==+? ★(7)102tan sec x xdx ?
思路:凑微分。
解:10210111tan sec tan (tan )tan .11x xdx xd x x C ==+?? ★★(8)ln ln ln dx x x x ?
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
解:(ln ||)(ln |ln |)ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+???
★★(9)?
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?