八年级数学上册三角形解答题专题练习（解析版）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝1
3
∠CAB，∠CDP＝1
3
∠CDB”，试探究∠P与
∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；
②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到
2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到
∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=1
2
(∠B+∠C)，然后将∠B=100o，∠C=120o代入计算即可；
③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.
【详解】
解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：
以点O为交点的“8字型”有4个：
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝1
2（∠B+∠C）=1
2
（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝1
3∠CAB，∠CDP＝1
3
∠CDB，
∴∠BAP＝2
3∠CAB，∠BDP＝2
3
∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝1
3
（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝2
3
（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴3∠P＝∠B+2∠C．
故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【点睛】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．
2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】
（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1
ABE ABO 2
∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=
∠，1
ABC ABM 2
∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知
CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论；
（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知
1EAO BAO 2∠=∠,1
EOQ BOQ 2
∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO
和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】
（1）∠AEB 的大小不变，
∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， ∴∠AOB=90°，
∴OAB OBA 90∠+∠=?，
∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线， ∴1BAE OAB 2∠=
∠，1
ABE ABO 2
∠=∠， ∴()1
BAE ABE OAB ABO 452
∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；
（2）∠CED 的大小不变． 如图2，延长AD 、BC 交于点F ． ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，
∴90∠=AOB °，
∴OAB OBA 90∠+∠=°， ∴PAB MBA 270∠+∠=°，
∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线， ∴1BAD BAP 2∠=
∠，1
ABC ABM 2
∠=∠， ∴()1
BAD ABC PAB ABM 1352
∠+∠=
∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°， ∴CDA DCB 225∠+∠=°，
∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线， ∴CDE DCB 112.5∠+∠=°， ∴E 67.5∠=°；
（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ， ∴1EAO BAO 2∠=
∠,1
EOQ BOQ 2
∠=∠ ， ∴()11
E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22
∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线， ∴EAF 90∠=°．
在△AEF 中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°； ②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°； ③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°； ④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°． ∴∠ABO 为60°或45°． 【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；
（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．
【答案】（1）15°；（2）DCE 2
αβ
-∠=；（3）75°．
【解析】 【分析】
（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数； （2）∠DCE ＝
2
αβ
- ．
（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+1
2
∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】
解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°， 又因为CE 是∠ACB 的平分线， 所以1
352
ACE ACB ∠=
∠=?． 因为CD 是高线， 所以∠ADC ＝90°，
所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，
所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°． （2）DCE 2
αβ
-∠=
．
（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′， 则152
DCE αβ
-'=
=?∠．
因为CE 是∠ACB 的外角平分线，
所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1
(+)2
ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°． 即∠DCE 的度数为75°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．
4．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令
∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解
析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．
【解析】
试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；
（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．
试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1＋∠2＝140°，
故答案为140；
（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，
∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.
故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.
（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，
设DP与BE的交点为M，
∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.
（4）如图④，
设PE与AC的交点为F，
∵∠PFD＝∠EFC，
∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α.
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α
点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.
5．在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．
（1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时
①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____；
②若m=50°，求x+y的值．
（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．
【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.
【解析】
分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；
②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；
（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；
④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；
⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．
详解：（1）①如图1，
∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四边形DPEC为平行四边形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，
∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；
（2）分五种情况：
①y﹣x=m+n，如图2，
理由是：
∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，
∴∠DFP=n+180°﹣y，
∵x+m+∠DFP=180°，
∴x+m+n+180°﹣y=180°，
∴y﹣x=m+n；
②x﹣y=m﹣n，如图3，
理由是：
同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，
∴x﹣y=m﹣n；
③x+y=m+n，如图4，
理由是：
由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；
④x﹣y=m+n，如图5，
理由是：
同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，
∴x﹣y=m+n；
⑤y﹣x=m﹣n，如图6，
理由是：
同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，
∴y﹣x=m﹣n．
点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.
6．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
(1)求证：∠OAC＝∠OCA；
(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC
＝1
3
∠AOC，∠PCE＝
1
3
∠ACE，求∠P的大小；
(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1
n
∠A OC，∠PCE＝
1
n
∠ACE，猜想∠OPC
的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．
【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n
【解析】
试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=1
3
∠AOC、∠PCE=
1
3
∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，
再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1
n
∠AOC、∠PCE=
1
n
∠ACE可以求得
∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．
试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.
(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝
(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.
(3)解：∠OPC＝.
证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝
(180°－45°)＝.
∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，
∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.
点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．
7．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．
解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得
2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P= 1
2
（∠B+∠D）=26°．
①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣1
2
（∠B+∠D）；
③∠P=90°+ 1
2
（∠B+∠D）．
【解析】
试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
②根据四边形的内角和等于360°，可得
（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D
①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B
②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得
∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即
2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=26°．
②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，
∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣1
2
（∠B+∠D）
；
③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°
﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 1
2
（∠B+∠D）．
点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；并说明理由；（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积.
【答案】（1）△EPF是等边三角形，理由见解析；（2）S△GBE3
【解析】
试题分析：（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知∠EPF=60°，只需要证PE=PF即可，可通过证△PBE和△PFC全等来得出结论，是证明全等，则需要证明FP⊥BC和
BE=PC；
（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP 的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，即可求出△GBE的面积；
试题解析：（1）△EPF是等边三角形，理由如下：
∵PE⊥AB，∠B=60°，因此Rt△PEB中，BE=1
2
BP=
1
3
BC=PC，∴∠BPE=30°，
∵∠EPF=60°，∴FP⊥BC，∵∠B=∠C=60°，BE=PC，∠PEB=∠FPC=90°，∴△BEP≌△CPF，∴EP=PF，∵∠EPF=60°，∴△EPF是等边三角形.
（2）过E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=2
3
BC=4，BE=CP=
1
3
BC=2，在三角
形FCP中，∠PFC=90°-∠C=30°，∵∠PFE=60°，∴∠GFC=90°，Rt△FGC中，∠C=60°，CF=4，∴GC=2CF=8，∴GB=GC-BC=2，Rt△BEP中∠EBP=60°，BP=4，
∴PE=23，BE=2，∴EH=BE?PE÷BP=3，∴S△GBE=1
2
BG?EH=3.
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握全靠三角形的判定方法和等边三角形的性质是解题的关键.
9．学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．
（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；
（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=1
3
∠ABC，∠ACO=
1
3
∠ACB，且BO、CO相交于点O，
请直接写出∠BOC与∠A的关系式为_．【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；
（2）∠BOC=90°+1
2
∠A．理由见解析；
（3）∠BOC=60°+2
3
∠A．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：
∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+1
2
∠A；
（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+2
3
∠A．
【详解】
解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．
理由：
如图1，连接AO，延长AO到H．
∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，
∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）∠BOC=90°+1
2
∠A．
理由：
如图2，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴∠OBC=1
2
∠ABC，∠OCB=
1
2
∠ACB，
∴∠BOC=180°-1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+
1
2
∠A，
∴∠BOC=90°+1
2
∠A；
（3）∠BOC=60°+2
3
∠A．
理由：
∵∠ABO=1
3
∠ABC，∠ACO=
1
3
∠ACB，
∴∠BOC=180°-2
3
（∠ABC+∠ACB）=180°-
2
3
（180°-∠A）=60°+
2
3
∠A．
故答案为：∠BOC=60°+2
3
∠A．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角的基本知识．
10．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；
（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.
（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.
【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得
∠P的度数；
（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B.【详解】
解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，
∠AOD=∠BOC，
∴∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，
∴∠P=45°；
（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.