§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．
设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关于x
的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0
＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导数，
通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10
lim x x →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝0lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 一、选择题
1．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32
处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2
2．下列各式正确的是( )
A.f ′(x 0)＝0
lim x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0)x B.f ′(x 0)＝0
lim x ?→f (x 0－Δx )＋f (x 0)Δx C.f ′(x 0)＝0
lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx D.f ′(x 0)＝0
lim x ?→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)Δx 3.设f(x)在x= x 0处可导，则0
lim x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0)
C ．f ′(x 0)
D ．2f ′(x 0)
4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．以上都不对
5．曲线y ＝－1x
在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1
6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )
A ．－1
B .12
C .13
D ．1 题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．
8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0
lim
x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________ 9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.
三、解答题
10．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x
在x ＝1处的导数．
11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x(时间单位：分钟)有如下关系：G(x)＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．
能力提升
12．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f(x)≥0，
则f (1)f ′(0)
的最小值为________． 13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．
1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：
(1)求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；
(2)求平均变化率Δy Δx
； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx
2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．
§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
作业设计
1．B
2．C
3.A [0
lim
x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =0
lim x ?→－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx =－0
lim x ?→f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－f ′(x 0)．] 4．C
5.A
6．D
7．4 m /s
解析 s ′(2) =0
lim x ?→2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－(2×23－5×22)Δt ＝4.
解析 0
lim
x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =－0
lim x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx
＝－f ′(x 0)＝－11.
9．2 解析 ∵f ′(1)=0lim
x ?→a (1＋Δx )－a Δx ＝a ＝2. ∴a ＝2.
10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝
11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx·(1＋
1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－1
1＋Δx·(1＋1＋Δx )
， ∴0lim x ?→Δy Δx ＝0lim x ?→－1
1＋Δx·(1＋1＋Δx )=－11＋0·(1＋1＋0)＝－12， ∴y ′|x=1＝f ′(1)＝－12
. 11．解 G ′(10)=0
lim x ?→G (10＋Δx )－G (10)Δx =0
lim x ?→0.1(10＋Δx )2＋2.6(10＋Δx )－0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6.
12．2
解析 由导数的定义，
得f ′(0)=0
lim x ?→f (Δx )－f (0)Δx ＝0
lim x ?→a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝0
lim x ?→＝b. 又???
Δ＝b 2－4ac ≤0a>0
，∴ac ≥b 24，∴c>0. ∴
f (1)f ′(0)
＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 13．解 s ′(0) =0
lim x ?→4(0＋Δt )2＋2Δt －3－(4×02＋2×0－3)Δt ＝2；
=0
lim x ?→4(5＋Δt )2＋2(5＋Δt )－3－(4×52＋2×5－3)Δt ＝42， 故物体在运动开始的速度为2 m /s ，第5秒末时的速度为42 m /s .
数学2-2北师大版2.2.1导数的概念 1、函数f(x)=x 2＋2x －1图象上一点P 〔1，2〕，点Q 也是图象上一点，且Q 位于点P 的右边，假设点Q 无限逼近P ，那么直线PQ 的斜率〔〕 A ． 不断增大且为负 B 、不断增大且为正 C 、不断减小且为正 D 、不断减小且为负 2、函数y=x 2＋1的图象上一点A 〔1，2〕及其邻近一点B 〔1＋△x,2＋△y 〕,那么直线AB 的斜率是〔〕 A 、2 B 、2x C 、2＋△x D 、2＋(△x)2 3、一质点做直线运动，由始点通过ts 后的距离为s=14 t 4－4t 3＋16t 2，那么速度为0的时刻是〔〕 A 、4s 末 B 、8s 末 C 、0s 末与8s 末 D 、C 、0s 末，4s 末，8s 末 4、满足f ′(x)=f(x)的函数是〔〕 A 、f(x)=1－x B 、f(x)=x C 、f(x)=0 D 、f(x)=1 5、直线y=－2x ＋1上两点的横坐标增量△y 与纵坐标增量△x 的比值是、 6、一质点的运动方程是S=2t 2＋1〔位移单位：m ，时间单位：s),那么平均变化率是、 7、对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，那么数列 1n a n ????+?? 的前n 项和的公式是、 8、设函数y=f(x)=x 2 －1， （1） 当自变量x 由1变到1、1时，求函数值增量△y ； （2） 当自变量x 由1变到1、1时，求函数值的平均变化率； （3） 求该函数图象在点〔1，y 0〕处的切线方程、 参考答案 1、C 、提示：观看图形、 2、C 、提示：用△x 表示邻近点的坐标，再用斜率计算公式、 3、D 、提示：联想速度与路程的关系、 4、C 、提示：求导后再作比较，注意等式要恒成立、 5、－2、提示：联想斜率与比值大小的关系、 6、4t ＋2△t 、 7、()()/ 11222,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令x=0，求出切线与 y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，因此21n n a n =+，那么数列1n a n ????+?? 的前n 项和() 12122212n n n S +-==-- 8、(1)0.21；(2)2.1；(3)y=2x －2、
导数的概念导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
预习目标：“导数的概念”了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速 度，理解导数(瞬时变化率)的概念 预习内容： 问题1 我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为 )(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ?+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t s v x ??=→?0lim =___________________ 问题2 函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的______，记作'0()f x 或________，即___________________________________________________________. 提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑? 课内探究学案 一：探究求导数的步骤： （即________变化率） 二：精讲点拨 例1(1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 三：有效训练 求22+=x y 在点x=1处的导数. );()()1(00x f x x f y -?+=?求增量;)()()2(00x x f x x f x y ?-?+=??算比值时）（在求0.)3(0→???='=x x y y x x
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
3.2《导数的概念与几何意义》学案 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n(x n,f(x n))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0,f(x0))时,割线PP n的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n的变化趋势是. 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)==,所以求导数的步骤为:
(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)算比值:=; (3)求极限:y'=. 问题3:函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率 k=f'(x0)=.相应的切线方程 是:. 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交 点. 1.下列说法正确的是(). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线 D.若y=f(x)在点(x0,f (x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f (x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么(). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为. 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).
§3.1 导数的概念及其运算 2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导． 复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程． 1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平 均变化率可表示为Δy Δx . 2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 学&科& (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx → Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx → f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 基本初等函数的导数公式
5. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源] 1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数； (2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不
[A组学业达标] 1．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的改变量为() A．－0.29 B．－2.9 C．0.29 D．2.9 解析：f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71. 所以函数值的改变量为 f(－0.9)－f(－1)＝－1.71－(－2)＝0.29.故选C. 答案：C 2．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于() A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2 C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2 解析：球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2，故选B. 答案：B 3．一质点的运动方程为s＝3－5t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为() A．－2－Δt B．2＋Δt C．－10－5Δt D．10＋5Δt 解析：v＝3－5(1＋Δt)2－(3－5×12) Δt ＝－10－5Δt，故选C. 答案：C 4．给定函数f(x)，则lim Δx→0f(x0－Δx)－f(x0) Δx等于() A．f′(x0) B．f′(－x0) C．－f′(x0) D．－f′(－x0) 解析：lim Δx→0f(x0－Δx)－f(x0) Δx ＝－lim Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) (x0－Δx)－x0 ＝－lim －Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) －Δx ＝ －f′(x0)，故选C.
答案：C 5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是() A．1 B．－1 C．±1 D．3 3 解析：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx2)＋(Δx)3， 所以Δy Δx ＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2， 所以f′(x0)＝lim Δx→0 [3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 由f′(x0)＝3得3x20＝3，所以x0＝±1，故选C. 答案：C 6．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)． 解析：由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)＞s2(0)， 所以 s1(t0)－s1(0) t0 ＜ s2(t0)－s2(0) t0 ，即v甲＜v乙． 答案：小于 7．一物体的运动方程为s＝ 3 t，则当t＝2时该物体的瞬时速度为________． 解析：瞬时速度即为s对t的导数， 所以v＝s′|t＝2＝lim Δt→0 3 2＋Δt －3 2 Δt ＝lim Δt→0 －3Δt 2(2＋Δt)Δt ＝lim Δt→0 －3 4＋2Δt ＝－3 4. 答案：－ 3 4
第1课时 导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是 . 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直
线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：
导数的概念与运算创新试题赏析 河南省滑县第六高级中学王红敢 导数的应用比较广泛,对导数概念的理解和导数的运算是导数问题解决的根本,本文就一些新颖的试题，给大家做一个介绍. 例1．（06湖北）半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2 ,周长C (r )=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则22R R ππ'（） ＝①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量， 请你写出类似于①的式子 ： ②式可以用语言叙述为： . 解析：仿照①式，球的体积公式V 球＝343R π，表面积公式2 4S R π=,有 32443R R ππ''V (R)=（）＝ ，故○2式可填32443 R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.” 赏析:由题目所给条件的类比,通过合理的发散和联想,从二维的圆到三维的球,观察周长,面积,体积公式间的区别和联系,得出答案. 球的体积,表面积的 推导实质也是从极限的思想入手.本题考查了导数的某些实际背景,可借助如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等帮助理解和消化.同时也考查了类比的数学思想. 例2:水面上的同心圆波纹，水波的半径以6 m/s 的速度增大，在2s 末水波面的圆面积的膨胀率是___________. 解析：水波面的圆面积和时间的关系是S=236t π， 在2s 末水波面的圆面积的膨胀率是S '=72πt 在t=2时的导数 所以2144t S π='= 赏析：有膨胀率的这样一个我们不太熟悉的概念横在面前，问题的关键则是如何去理解这个概念.可从导数的定义及几何和物理方面的意义去理解,膨胀率同样是变化率，问题则是求水波圆面积从2s 到（2+x ?）s 之间的平均变化率（0→?x ），这个问题很显然是求导数的问题. 变化率在我们的生活中到处可见，如增长率、膨胀率、效率、密度、速度等，所反映的均是一种变化的情况, 高中微积分课程的核心价值就是变化率思想,导数则是描述事物变化率的数学模型，瞬时变化率就是导数. 例3．已知1()sin cos f x x x =+，记2132()(),()(),......,f x f x f x f x ''== 1()(),n n f x f x -'= (,2)n N n *∈≥，则122007()()......()222 f f f πππ+++=________． 解析：123()sin cos ,()cos sin ,()sin cos ,f x x x f x x x f x x x =+=-=-- 451()cos sin ,()sin cos (),......,f x x x f x x x f x =-+=+=
第1课时变化率问题与导数的概念 a 1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念. 2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤. 3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验. 4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: (1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= . (2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= . 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx
表示,平均变化率的公式是. 问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== . 问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但. 1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(). A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.
有关导数概念的几个疑难问题 一、导数相关概念 1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。 函数y =)(x f 在x 0点可导是)(x f 在x 0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果0lim →?x x y ??不存在，称函数在x 0点不可导；若0lim →?x x y ??存在，则函数在一点处的导数y 0=)(0x f '是一个常数，不是变量． ②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数y =)(x f 在区间(a ，b)内每一点都可导，是指对于区间(a ，b)内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数y 0=)(0x f '．根据函数的定义，在开区间(a ，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =)(x f 的导函数y =)(x f '． ③．函数y =)(x f 在点x 0处的导数y 0=)(0x f '就是导函数y =)(x f '在点x = x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|0x x =．称此极限值为函数在该点的导数。 2．y =)(x f 在x 0点可导有以下三个条件： ①y =)(x f 在x 0点处及其附近有意义；②左极限-→?0lim x x y ??及其右极限+→?0lim x x y ??都存在；③-→?0lim x x y ??=+→?0lim x x y ??，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。 3．导函数y =)(x f '与原来的函数y =)(x f 有相同的定义域(a ，b)． 4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别： 5．导数与连续的关系： 若函数y =)(x f 在x 0处可导，则此函数在x 0处连续，但逆命题不成立，即函数y =)(x f 在x 0处连续，未必在x 0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高． 下面用两个例题说明这个问题．
3.2 导数的概念 【例1】求函数y =x 2在点x =1处的导数 【例2】已知f (x )=a x 3+3x 2+2,若f ′(-1)=4，求a 的值. 参考答案 例1： 【分析】①求函数增量Δy ;②求函数的变化率 x y ??;③求极限x y x ??→0lim . 【解】Δy =(1+Δx )2-12 =2·Δx +(Δx )2, ∴x x x x x y ?+=??+?=??2)(22 . ∴x x x y x x x ?+=?+=??→→→0 00lim 2)2(lim lim =2+0=2. ∴y ′|x =1=2. 【点拨】应用求函数在某一点的导数的步骤进行求解. 例2： 【分析】这道题函数f (x )中含有字母a ,已知f ′(-1)=4,那么先要把f ′(-1)用a 表示 出来，这样才能求出a 的值. 【解】Δy =a (-1+Δx )3+3(-1+Δx )2+2-［a (-1)3+3(-1)2+2］ =a ·(Δx )3+(3-3a )(Δx )2+(3a -6)Δx . ∴x x a x a x a x y ??-+??-+??=??)2(3)()1(3)(23=a ·(Δx )2+(3-3a )·Δx +3a -6. ∴0 0lim lim →?→?=??x x x y ［a (Δx )2+(3-3a )Δx +3a -6］=3a -6. ∴f ′(-1)= x y x ??→?0lim =3a -6. 又∵f ′(-1)=4, ∴3a -6=4.∴3 10= a . 故所求a 的值为310. 【点拨】利用导数定义先求导数，然后代入再求a 的值.
选修1-1第三章-导数及其应用导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
沈丘三高高二数学导学案 编写人：楚志勇 审稿人：高二数学组 §3.1.1 变化率问题 【使用课时】：1课时 【学习目标】：1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 【学习重点】：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备（预习教材P 72~ P 74，找出疑惑之处） 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4 )(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_____________ 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 问题3 平均变化率 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数() x f 从1x 到2x ___________.习惯上用x ?表示12x x -，即x ?=___________,可把x ?看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ?代替2x ，类似有=?)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________ 提出疑惑 h t o
§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念 课时目标
1.了解导数的概念及实际背景. 2.会 求函数在某一点的导数，并理解其实际意义． 设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关 于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导 数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0 ＝0lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx .
一、选择题 1．已知f(x)＝－x 2 ＋10，则f(x)在x ＝32 处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2 2．下列各式正确的是( ) A.f ′(x 0)＝0 lim x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0) x B.f ′(x 0)＝0 lim x ?→f (x 0－Δx )＋f (x 0) Δx C.f ′(x 0)＝0 lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx D.f ′(x 0)＝0 lim x ?→f (x 0＋Δx )＋f (x 0) Δx 3.设f(x)在x=x 0处可导，则0 lim x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0) Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0) C ．f ′(x 0) D ．2f ′(x 0) 4．函数y ＝x 2 －1在x ＝1处的导数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对 5．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 6．设函数f(x)＝ax 3 ＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( ) A ．－1 B .12 C .1 3 D ．1 二、填空题 7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2 ，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________． 8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0 lim x ?→f (x 0－Δx )－f (x 0) Δx ＝________ 9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.
§3.1 导数的概念及运算 1．导数与导函数的概念 ，那么这个值就是函数 平均变化率趋于一个固定的值时，如果0趋于x Δ，即0x 趋于1x 当(1)y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常 用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x1→x0 错误!＝错误!错误!. (2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝ lim Δx→0错误!，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜 ． )0x ′(f ＝k ，即k 率 3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[错误!]′＝错误!(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量．复合函数y＝f(φ(x))的导数为y x′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)． 知识拓展 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ×) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ×) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ×) (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ×) 题组二教材改编 2．若f(x)＝x·e x，则f′(1)＝. 答案2e 解析∵f′(x)＝e x＋x e x，∴f′(1)＝2e.
3.2.1 导数的概念同步练习 1．已知函数f(x)=x 2＋2x －1图象上一点P （1，2），点Q 也是图象上一点，且Q 位于点P 的右边，若点Q 无限逼近P ，则直线PQ 的斜率（ ） A ． 不断增大且为负 B ．不断增大且为正 C ．不断减小且为正 D ．不断减小且为负 2．已知函数y=x 2＋1的图象上一点A （1，2）及其邻近一点B （1＋△x,2＋△y ）,则直线AB 的斜率是 （ ） A ．2 B ．2x C ．2＋△x D ．2＋(△x)2 3． 一质点做直线运动，由始点经过ts 后的距离为s= 14t 4－4t 3＋16t 2，则速度为0的时刻是 （ ） A ．4s 末 B ．8s 末 C ．0s 末与8 s 末 D ．C ．0s 末，4s 末，8 s 末 4． 满足f′(x)=f(x)的函数是 （ ） A ．f (x)=1－x B ．f (x)=x C ．f (x)=0 D ．f (x)=1 5．直线y=－2x ＋1上两点的横坐标增量△y 与纵坐标增量△x 的比值是 ． 6．一质点的运动方程是S=2t 2＋1（位移单位：m ，时间单位：s),则平均变化率是 ． 7．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ????+?? 的前n 项和的公式是 ． 8．设函数y=f(x)=x 2－1， （1） 当自变量x 由1变到1．1时，求函数值增量△y ； （2） 当自变量x 由1变到1．1时，求函数值的平均变化率； （3） 求该函数图象在点（1，y 0）处的切线方程．
参考答案 1．C ．提示：观察图形． 2．C ．提示：用△x 表示邻近点的坐标，再用斜率计算公式． 3．D ．提示：联想速度与路程的关系． 4．C ．提示：求导后再作比较，注意等式要恒成立． 5．－2．提示：联想斜率与比值大小的关系． 6．4t ＋2△t ． 7．()()/ 11222,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令x=0，求出切 线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n n a n =+，则数列1n a n ????+?? 的前n 项和() 12122212n n n S +-==-- 8．(1)0.21；(2)2.1；(3)y=2x －2．
高中数学学案 导数及其应用 第1讲导数的概念及计算 考点导数的概念及其几何意义 知识点 1 导数的有关概念 (1)导数：如果当Δx→0时，Δy Δx有极限，就说函数 y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个极限叫 做f(x)在x＝x0处的导数(或瞬时变化率)．记作f′(x0)或y′|x＝x ，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f x0＋Δx－f x0 Δx. (2)导函数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，那么其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′. 注意点 如果函数f(x)在x＝x0处可导，那么函数y＝f(x)在x＝x0处连续. 2 导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3 几种常见函数的导数 原函数导数 y＝C(C为常数)y′＝0 y＝x n(n∈Q*)y′＝nx n－1 y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x y＝e x y′＝e x y＝ln x y′＝1 x y＝a x(a>0，且a≠1)y′＝a x ln_a
y ＝log a x (a >0，且a ≠1) y ′＝ 1 x ln a 4 导数的四则运算法则 若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③?? ?? ??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． 注意点 “过某点”和“在某点”的区别 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0， y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点. 入门测 1．思维辨析 (1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1 x .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(1)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 2 2 D ．ln 2 (2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 (1)B (2)B 解析 (1)由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.2 导数的概念学案 新人教A 版选修1-1 【学习目标】 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数. 【重点难点】 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 【学习内容】 一、创设情景 探究: 计算运动员在49 650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？ (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 二、学习新知 1.瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况 : 思考: 当t ?趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论: 2.导数的概念 从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是: 0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数 ()y f x =在0x x =出的导数, 记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?
说明: (1)导数即为函数 )(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ?=-,当0x ?→时,0x x →,所以 0000 ()()()lim x x f x f x f x x x →-'=-. 三、典例分析 例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -?+=?=?,再求 x y ??,最后求x y x ??→?0lim . 解: (1) (2) 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解: 注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况. 四、课堂练习 1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.
选修（1-1）第三章导数及其应用 课题：§3.1 变化率与导数 学习目标：1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念； 2. 理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义 3. 会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数； 4. 会利用定义求函数在某点处的切线方程. 学习过程： 一、变化率问题 [开篇思考]：阅读开篇语，了解课程目标 1. 微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？ 2. 导数的研究对象是什么？ [问题探究一]：气球膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角度如何 描述这种现象? 阅读教材P72并思考： （1）问题中涉及到的两个变量分别是、，这 两个变量间的函数关系是； （2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“ ”，从数学角度进行描述就是“ ”，即气球的平均膨胀率就是. （3）运用上述数学解释计算一些具体的值 当空气容量从0增加到1L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为； 当空气容量从1L增加到2L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为； 当空气容量从2L增加到2.5L时，气球半径r增加了， 气球的平均膨胀率为； 当空气容量从2.5L增加到4L时，气球半径r增加了，气球的平均 膨胀率为； 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐. （4）思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是 [问题探究二]：高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系10 5.6 9.4 ) (2+ + - =t t t h如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材P73并思考： 若用运动员在某段时间[]2 1 ,t t内的平均速度v描述其运动状态， 那么：（1）v= ； （2）算一算： 在5.0 0≤ ≤t这段时间内，v= 在2 1≤ ≤t这段时间内，v= 在 49 65 0≤ ≤t这段时间内，v= [新知]： 设() y f x =， 1 x是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点 2 x， 1 x与 2 x的差记为x?，即x?= 或者 2 x= ，x?就表示从 1 x到 2 x的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y?，即y ?= ；如果它们的比值 y x ? ? ，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率. 平均变化率：_______________ = ______ 反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.