丰城中学2015-2016学年下学期高一期末考试试卷
数 学（理科）
本试卷总分值为150分考试时间为120分钟
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 学校教务处要从某班级学号为160-的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是（ ）
A ．5,10,15,20,25,30
B ．3,13,23,33,43,53
C ．1,2,3,4,5,6
D ．2,4,8,16,32,48
2.在ABC ?中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（ ）
A ．
23 B ．13- C ．14- D ．23
- 3. 设10<<
A.3
3
a b > B.
11
a b
< C.1b a > D.()lg 0b a -< 4等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知53a =，510S =，则13a 的值是（ ） A.1 B.3 C.5 D.7
5.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为0.8155y x =-，后因某未知原因第5组数据模糊不清，如下表所示，则实数m 的值为（ ）
x
196 197 200 203 204
y
1
3
6
7
m
A.8.3
B.8.2
C.8.1
D.8 6．如图，该程序框图的算法思路来源于我国古
代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a =3，则输入的a ，b 分别可能为 ( ) A ．15、18 B ．14、18 C ．13、18 D ．12、18
7. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.
310 B.15 C.110 D.112
8.已知0,0>>y x ，且119x y ，则x y 的最小值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．
29 D ．2
11
9.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸C B ,的俯角分别为
??30,75，此时气球的高是m 60，则河流的宽度BC 等于（ ）
A ．m )13(30+
B ．m )13(120-
C ．m )12(180-
D ．m )13(240-
10.
1011111111
1+22424824
2??????+++++++++ ? ? ???????………… 的值为（ ） A ．917
2 B ．10192 C ．111112 D ．10
1
72 11.若G 是ABC ?的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若3
03
aGA bGB cGC ++=，则角A =（ ）
A.90
B.60
C.45
D.30 12．数列}{n a 中，2
11=
a ，n n n a a a -+=+111（其中*
∈N n ），则使得72
321≥++++n a a a a 成立的n 的最小值为 （ ）
A ．236
B ．238
C ．240
D ．242
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.不等式
21
031
x x ->+的解集是________．
14．在ABC ?中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，?=60B ,
ABC ?的面积为
2
3
，那么=b _________． 15.设(0,10]ω∈，则函数sin y x ω=在区间(,)36
ππ
-
上是增函数的概率是 . 16．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ，2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得
不等式22
20n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本题满分10分）已知函数2
()(1)f x x a x a =-++，()(4)4,g x a x a a R =-+-+∈ （1）x R ∈，比较()f x 与()g x 的大小； （2）当()0,x ∈+∞时，解不等式()0f x >。
18.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若312S =，且
1232,,1a a a +成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11()n n n b n N a a *+=∈，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11
43
n T ≤<．
19.（本题满分12分）已知函数x x x f 2cos )6
2sin()(++=π
（1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）在ABC ?中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知23)(=
A f ,2=a ,3
π
=B ，求ABC ?的面积.
20.（本题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（1）求出表中,M p 及图中a 的值；
（2）若该校高一学生有240人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
21.（本题满分12分）如图,D 是直角ABC ?斜边BC 上一点,3AC DC =．
（1）若30DAC ∠=,求角B 的大小； （2）若2BD DC =,且2AD =,求DC 的长．
22.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，2a a =（a 为非零常数），其前n 项和n S 满足
1()
()2
n n n a a S n N +-=
∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2a =，且
2
1114
m n a S -=，求m n 、的值； （3）是否存在实数a b 、，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +≤的最大项恰为第32p -项？
丰城中学2015-2016学年下学期高一期末考试答案
数 学（理科）
1-4 B C D D 5-8 D A A A 9-12 B B D B 13.
11|3
2x x x ??
<->
???
?
或 142 15. 320 16.1(2,1][,1)2-- 17.（1）f(x)-g(x)=x 2
+3x+4=(x+
32)2+7
4
>0 所以x R ∈时f(x)>g(x)------------------------------5分 (2)不等式可化为（x-1）(x-a)>0
因为x>0所以①当a ≤0时，x>1,②当01,③当a>1时，0
18.【解析】（1）依题意，得2
1321232(1)12
a a a a a a ?+=?
?++=??，即111(21)84a a d a d ++=??+=?，得2120d d +-=．
0d >，∴13,1d a ==．∴数列{}n a 的通项公式13(1)32n a n n =+-=-．------5分
（2）
111111
()(32)(31)33231
n n n b a a n n n n +=
==--+-+，---------------------7分 ∴123111111
[(1)()(
)]3447
3231
n n T b b b b n n =+++
+=-+-+
+--+11(1)33131
n
n n =-=
++．---------------------------------------------------9分 n N *∈，∴1031n >+，故1
3
n T <，---------------------------------10分
又n T 为单调递增，所以当1n =时，取最小值1
4
，-----------------------11分
故1143
n T ≤<．---------------------------------------------------------12分 19.解：()sin(2)cos 26
f x x x π
=+
+=sin 2cos
cos 2sin
cos 26
6
x x x π
π
++
=33sin 2cos 22x x +=13
3(sin 2cos 2)2x x +
=
3sin(2)3
x π
+ ……………………-----------------------------------------3分 令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+?512312
k x k πππ
ππ-
+≤+≤+，k ∈
()f x 的
单
调
递
增
区
间
为
：
5[,],1212
k k k ππ
ππ-
++∈……………----------------5分 （2）由31(),sin(2)232f A A π=+=，又20,3A π<<52,333
A πππ
<+< 因此5236A π
π+
=
，解得：4A π
= ………………7分
由正弦定理sin sin a B
A B
=
，得6b =， 又由,4
3
A B π
π
=
=
可得：62
sin 4
C +=
……………10分 故 133sin 22
ABC S ab C ?+==…………12分 20.每小问4分
21.解： （1）在△ABC 中,根据正弦定理,有
sin sin AC DC
ADC DAC
=
∠∠. 因为3AC DC =,所以3
sin 3sin 2
ADC DAC ∠=∠=
.------------------3分 又
6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC 所以120ADC ∠=. 于是
3030120180=--=∠C ,所以60B ∠=. ……………………6分
（2）设DC x =,则2BD x =,3BC x =,3AC x =.-----------------------7分
于是3sin 3AC B BC =
=,6
cos 3
B =,.6x AB =--------------------------9分 在ABD ?中,由余弦定理,得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-?,
即222
26(2)6426223
x x x x x =+-???= ,得1x =. 故 1.DC = ………12分 利用向量法计算同样给分。 22.
----------------------------------------------------------------4分 （2）若2a =，则2(1)n a n =-，∴(1)n S n n =-，由21114
m n a S -=，
得22
11(1)n n m -+=-所以(n-
12)2+ 434
=(m-1)2 即224(1)(21)43m n ---=， ∴(223)(221)43m n m n +---=．∵43是质数，223221m n m n +->--，
2230m n +->，∴2211
22343
m n m n --=??
+-=?，解得12,11m n ==， ------8分 （3）由n a b p +≤，得(1)a n b p -+≤，若0a <，则1p b
n a
-≥+，不合题意，舍去；若0a >，则1p b
n a
-≤
+．∵不等式n a b p +≤成立的最大正整数解为32p -，∴32131p b
p p a
--≤
+<-， 即2(31)3a b a p a b -<-≤-对任意正整数p 都成立，∴310a -=，解得1
3
a =
，此时，2013b b -<≤-，解得2
13b <≤，故存在实数a b 、满足条件，a 与b 的取值范围是12
,133
a b =<≤，----------------------------------------------12分