B =（ ） A ．()1,3 B ．(,1)-∞
C ．()3,3-
D ．()3,1- 2．总体由编号为01，02，03，...，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
A ．05
B ．09
C ．07
D ．20
3．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数
B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差
C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值
D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数
4．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．圆22(2)5x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为（ ）
A ．22(2)5x y -+=
B ．22(2)5x y +-=
C ．22(2)(2)5x y +++=
D ．22(2)5x y ++=
6．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =），求得的回归方程是
???y
bx a =+，则下列说法正确的是( ) A ．至少有一个样本点落在回归直线???y bx a =+上
B ．若所有样本点都在回归直线???y bx a =+上，则变量同的相关系数为1
C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =），??i
bx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线???y bx a =+的斜率?0b
>，则变量x 与y 正相关 7．如图，在四面体ABCD 中，AB CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为30°，则MN 和CD 所成的角的大小为（ ）
A ．15°
B ．75°
C ．30°或60°
D ．15°或75°
8．已知偶函数y ＝f(x)，x∈R 满足：f(x)＝x 2－3x(x≥0)，若函数2log ,0()1,0x x g x x x
>??=?-
A ．1
B ．3
C ．2
D ．4
9．如图所示正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则向正方形内随机掷一点P ，该点落在阴影部分内的概率为（ ）
A ．18
B ．16
C ．15
D ．14
10．直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为1，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（）
A ．
B ．323π
C ．12π
D ．16π
12．如图所示的四个正方体中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号为（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①②③
D ．②④
二、填空题 13．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =_______.
14．某公司对2021年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：
利用线性回归分析思想，预测出2021年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为________.
15．已知A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，5233OC OA OB =
-.若M 是线段AB 的中点，则OC OM ?的值为__.
16．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，
阴影部分可表示为()()22,11A x y x y ???=+-≤????或()22224110x y x y x ??+≤????++≥????≤????
，设点(,)∈x y A ，
则2z x y =+的取值范围是_______.
三、解答题
17．已知圆C 的圆心为(1，1)，直线40x y +-=与圆C 相切.
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C 所截得的弦长为2，求直线的方程.
18．已知,,a b c 分别为ABC ?内角,,A B C
的对边，且sin cos 0a B A =．
（1）求角A ；
（2
）若3a b ==，求ABC ?的面积．
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22
n n n S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足1
1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），
第八组[135，
145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分
.
（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.
21．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，
,2,PA AD AB AD ===.
（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ；
（2）求三棱锥B MNC -的高.
22．已知函数()g x 对一切实数,x y R ∈都有()()()22g x y g y x x y +-=+-成立，且()10g =，()()g x f x x
=. （1）求()0g 的值和()g x 的解析式；
（2）若关于x 的方程()221302
x x k f k -+-=有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
先分别求解集合A 与集合C ，然后计算A B . 【详解】
因为{}{}|12=|1A x x x x =+<<，{}
{}2|9|33B x x x x =<=-<<， 所以{}|31A B x x =-<<.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，根据交集的概念计算即可.
2．C
【分析】
从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且小于或等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.
【详解】
根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是08,02,14,07,43，可知选出的第4个值为07，故选C.
【点睛】
本题主要考查了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3．B
【解析】
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；
中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平； 平均数：反映一组数据的平均水平；
方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．
4．B
【解析】
根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取207435
?
=（人）,故选B. 考点：茎叶图
【名师点睛】系统抽样是指当总体中个数较多时，将总体分成均衡的几部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本的抽样方法，其实质为等距抽样. 茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．缺点为不能直接反映总体的分布情况. 由数据集中情况可以估计平均数大小，再根据其分散程度可以估测方差大小．
5．A
【解析】
圆心()2,0-关于y 轴的对称点为()2,0，所以所求圆的方程为()2225x y -+=，故选择A.
6．D
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；
所有样本点都在回归直线???y
bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误； 若所有的样本点都在回归直线???y bx a =+上，则??bx a +的值与y i 相等，故C 错误；
相关系数r 与?b
符号相同，若回归直线???y bx a =+的斜率?0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．D
【分析】
取BD 中点E ，根据三角形中位线的平行关系可知异面直线AB 与CD 所成角为MEN ∠或其补角；根据等腰三角形特点可求得NME ∠，根据异面直线所成角定义可知NME ∠即为所求角.
【详解】
取BD 中点E ，连接,ME NE
,,M N E 分别为,,BC AD BD 中点 //ME CD ∴，//NE AB
异面直线AB 与CD 所成角为30 30MEN ∴∠=或150
AB CD = ME NE ∴= 75NME ∴∠=或15
//ME CD MN ∴和CD 所成角为NME ∠
MN ∴和CD 所成角的大小为15或75
故选D
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平移将两直线变为相交关系，从而得到异面直线所成角；易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,2π?? ???
，造成丢根的情况出现. 8．B
【解析】
y ＝f(x)－g(x)的零点个数即为f(x)=g(x)的根的个数，即y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象交点个数，作出两函数图象，如图所示，共有三个交点.
故选B.
点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
9．D
【分析】
根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.
【详解】
根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为
14，故选D. 【点睛】
本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.
10．A
【分析】
直线方程与圆的方程联立，根据交点关于y 轴对称可得120x x +=，从而构造出关于k 的方程，解方程求得结果.
【详解】
由22110
y kx x y kx y =+??++--=?得:()221210k x kx +?+-= 两交点恰好关于y 轴对称 122201k x x k ∴+=-
=+，解得：0k = 本题正确选项：A
【点睛】
本题考查韦达定理在圆的问题中的应用，属于基础题.
11．D
【分析】
利用棱锥的体积，求PA 的长度，由2AB =，1AC =，60BAC ∠=利用余弦定理求BC ，可得ABC ?外接圆的半径，利用勾股定理可得球半径，即可求解.
【详解】
因为2AB =，1AC =，60BAC ∠=
由222
cos 2AB AC BC BAC AB AC
+-∠=?可得BC =
又1Csin 6022
ABC S AB A ?=?= 因为PA ⊥平面ABC ，该棱锥的体积为1，
所以3V PA h S
===， 设ABC ?外接圆的半径为r ，则22sin 60BC r ?=
=，1r =，
所以球的半径2R ==
球的表面积2416S R ππ==，故选D.
【点睛】
本题主要考查了三棱锥外接球的问题，余弦定理，球的表面积，三棱锥的体积，属于中档题. 12．C
【详解】
正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，
在图①中，∵BC ∥PN ，AC ∥PM ，AC ∩BC =C ，PN ∩PM =P ，
∴平面ABC ∥平面PMN ，
∵AB ?平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故①能得出AB ∥平面MNP ；
在图②中，∵AC ∥MN ，BC ∥PN ，AC ∩BC =C ，MN ∩PN =N ，
∴平面ABC ∥平面PMN ，
∵AB ?平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故②能得出AB ∥平面MNP ；
在图③中，BC ∥MN ，AC ∥PN ，BC ∩AC =C ，MN ∩PN =N ，
∴平面ABC ∥平面PMN ，
∵AB ?平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故③能得出AB ∥平面MNP ；
在图④中，AB ∩PB =B ，PB ?平面PMN ，∴AB ∩平面PMN =B ，
故④不能得出AB ∥平面MNP ．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查空间中直线和平面的位置关系，考查线面平行的证明方法，考查面面平行的方法.对于①利用的是中位线，通过证明线线平行，用线面平行的判定定理来判断.对于③，利用的是构造面面平行，通过证明面面平行来证明线面平行.对于②则容易直接判断得出. 13．95
【分析】
本题首先可明确程序框图中的运算关系，然后根据程序框图的运算流程进行循环计算，当4n >时即可得出结果.
【详解】
输入1S =，1n =， 第一次循环：2131112
S ，112n =+=； 第二次循环：23152223
S ，213n =+=； 第三次循环：25173334
S ，314n =+=； 第四次循环：27194445
S ，415n =+=， 此时4n >，输出95
S =， 故答案为：95.
14．?0.954y
x =+. 【分析】 先由题中数据求出x ，y ，结合题意，列出方程组，求出?b
与?a ，即可得出结果. 【详解】
设线性回归方程为???y bx a =+，因为52x =，518
y =， 由题意可得551?2
88?11.6??b a b a
?+=???+=?，解得?0.95b =，?4a =， 即?0.954y
x =+. 故答案为?0.954y
x =+ 【点睛】
本题主要考查线性回归方程，熟记回归方程的特征即可，属于常考题型.
15．3
【分析】 易得1OM (OA OB)2=+，可得152()233OC OM OA OB OA OB ???=+?- ???
，结合A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，计算可得答案.
【详解】
解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，1212,22x x y y OM ++??= ???
，()2121,AB x x y y =--， 所以1212525252,,333
333OC OA OB x x y y ??=-=-- ???. 由2AB =，
得()()22
21214x x y y -+-=， ①
又A ，B 在圆O 上，
所以22114x y +=，22224x y +=， ②
联立①②得12122x x y y +=， 所以121212125252,,333322x x y y OC OM x x y y ++?????=--?
? ????? 化简并整理，得()()()222211221212511632
x y x y x x y y +-+++ 511442632
=?-?+? 3=.
优解
由条件易知OAB ?为正三角形.
又由M 为AB 的中点， 则1OM (OA OB)2
=+， 所以152()233OC OM OA OB OA OB ???=
+?- ??? 22152||||233OA OA OB OB ??=+?- ???
3=.
【点睛】 本题主要考查平面向量的应用及平面向量数量积运算，由已知得出1OM (OA OB)2=+代入计算是解题的关键.
16．[-2
【分析】
将2z x y =+化为122z y x =-+，则可利用线性规划的思想求解，只需直线122z y x =-+的纵截距取最大值和最小值，然后求解2z x y =+的取值范围.
【详解】
当2z x y =+时，122z y x =-
+，如图所示： 故当直线122
z y x =-+与圆()2211x y +-=相切，即过点A 时，纵截距最大，此时z 有最大
值，由圆心()0,1到直线2x y z +-的距离为1
1=
，解得：2z =+； 当直线122
z y x =-+与圆224x y +=相切，即过点B 时，纵截距最小，此时z 有最小值，由圆心()0,0到直线2x y z +-的距离为2
2=
，解得：z =-.
故答案为：?-?.
【点睛】
求解线性目标函数的最值时，一般步骤如下：
（1）将目标函数z ax by =+化为()0a z y x b b b
=-+≠的形式， （2）画出直线()0a z y x b b b
=-+≠并平移，确定直线的纵截距取得最大、最小值时的位置； （3）求解取得最优解的点的坐标，然后得出最值.
17．（1）22(1)(1)2x y -+-=；（2）3460x y -+=或2x =．
【分析】
（1）利用点到直线的距离可得：圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d ．根据直线40x y +-=与圆C 相切，可得r d =．即可得出圆的标准方程．
（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，即：
320kx y k -+-=，可得圆心到直线l 的距离d ，又212d +=，可得：k ．即可得出直线l 的方程．②当l
的斜
率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2
(1)1y -=，解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件．
【详解】
（1）圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离
d =
=．
直线40x y +-=与圆C 相切，r d ∴==．
∴圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -+-=．
（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，
即：320kx y k -+-=，
d =212d +=，1d ∴=． 解得：34
k =． ∴直线l 的方程为：3460x y -+=．
②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2(1)1y -=，解得11y =±，可得弦长2=，满足条件．
综上所述l 的方程为：3460x y -+=或2x =．
【点睛】
本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
18．(1) 3
π；(2).
【分析】 ()1
由正弦定理可得sin sin cos A B B A =
，结合sin 0B ≠，可求tan A =0A π<<，可求3A π
=．
()2由已知利用余弦定理可得2340c c --=，解得c 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
解：()1sin cos 0a B A =．
∴
由正弦定理可得：sin sin cos A B B A =，
sin 0B ≠，
sin A A ∴=
，即tan A =
0A π<<，
3A π
∴=
()213a =3b =，3A π
=，
∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：21139232
c c =+-???，可得：2340c c --=，
∴解得：4c =，(负值舍去)，
11sin 3422ABC S bc A ∴==??= 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19．（1）()*n a n n N
=∈；（2）1n n +. 【分析】
（1）结合数列n a 和n S 的关系，即可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）由（1），求得11111
n n n b a a n n +==-+，结合“裂项法”，即可求得数列数列{}n b 的前n 项和.
【详解】
（1）当1n =时，111112a S +==
=， 当2n ≥且n *∈N 时，()()2211122
n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=， 当1n =时，11a =适合上式，
所以数列{}n a 的通项公式()*n a n n N =∈.
（2）由（1）可得()1111111
n n n b a a n n n n +===-++， 所以11111
111(1)()()()122334
111
n n T n n n n =-+-+-+???+-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和为1
n n T n =+. 【点睛】 本题主要考查了利用数列n a 和n S 的关系求通项公式，以及数列的“裂项法”求和，其中解答中熟练应用n a 和n S 的关系求通项公式，结合“裂项法”求和，正确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
20．（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）
25. 【分析】
（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81
i i i x x p ==
∑（其中i x 表示第i 组的中间值，i p 表示该组的频率）求出平均值；
（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为： ()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++?=.
用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =?+?+?+?+?+?
1300.081400.04102+?+?=.
（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503??=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502??=人，设为,a b ，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个
∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105
p ==.
【点睛】
本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.
（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案；
（2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数. 21．（1）证明见解析；（2
）
2
. 【详解】
（1）取PD 的中点G ，连接NG ，AG ，如图所示：
因为G ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以//GN CD ，1=
2GN CD . 又因为M 为AB 的中点，所以//AM CD ，1=2
AM CD . 所以//AM GN ，=AM GN ，四边形AMNG 为平行四边形，
所以//AG MN .
又因为PM =
MC ===所以PM MC =，则MN PC ⊥.
又因为AD PA =，G 为PD 中点，所以AG PD ⊥.
又因为//AG MN ，所以MN PD ⊥.
所以MN PD MN PC
MN PC PD P ⊥??⊥?⊥??=?
平面PCD . 又MN ?平面MPC ，所以平面MPC ⊥平面PCD .
（2）设点B 到平面MNC 的距离为h ，
因为B MNC N MBC V V --=，所以111332MNC MBC S h S PA ?=
?△△.
因为122
MBC S BC MB =??=△，
1
1
2MN AG PD ==
==，NC ==
所以122
MNC S MN NC =??=△.
所以1133h =h =. 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高，属于中档题，其中等体积转化B MNC N MBC V V --=为解决本题的关键.
22．（1）()01g =，()2
21g x x x =-+；（2）()0,∞+. 【分析】
（1）先令1x =，0y =，可解得()0g ，然后在()()()22g x y g y x x y +-=+-中，令0
y =则可得到()g x 的解析式；
（2）先将()221302
x x k f k -+-=的表达式化至最简得()()2
212321120x x k k --+-++=，然后利用换元法，将问题转化为二次方程根的分布问题求解.
【详解】
解：（1）令1x =，0y =得()()101g g -=-，
∵()10g =，∴()01g =，
令0y =得()()()02g x g x x -=-，即()221g x x x =-+. （2）由题意可知()()122
g x f x x x ==-+， 所以()12121221
x x x f -=--+-， 即()()212213212302121
x x x x k k f k k +-+-=--++=--
