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(数学分析习题答案)第二章

第二章数列极限

P.27 习题

2．按N -ε定义证明：

（1）1

1lim

=+∞→n n

证明因为 n n n n 11111

<+=-+，所以0>?ε，取ε1=

N ，N n >?，必有ε<<-+n n n 111. 故1

1lim =+∞→n n n

（2）

123lim 22=-+∞→n n n n 证明因为 n n n n n n n n n n n n n 3

2525)1(232)12(232231232

22222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>?ε，取}3,1max{ε=N ，N n >?，有 ε<<--+n n n n 3231232

2. 所以

23123lim 22=-+∞→n n n n

（3）0!lim =∞→n n n n

证明因为

n n n n n n n n n n n n n n n

n 11211)1(!0!≤???-=???-==- ，于是0>?ε，取ε1

N ，N n >?，必有ε<≤-n n n n

10!. 所以0!lim =∞→n n n n

（4）

sin

lim =∞

→n

n π

证明因为

n n

≤

=-s in

0s in

，于是0>?ε，取

επ

N ，N n >?，必有

<≤

-n

0s in

. 所以

sin

lim =∞

→n

n π

（5）)1(0lim

>=∞→a a n

证明因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是

22)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-+

+=+= ，从而

2)1(2

2)1(0h n h

n n n a n a n n n -=

-≤=-，所以0>?ε，取122+=h N ε，N n >?，

有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n

3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：

（1）

n n 1

lim

∞

→；（2）n n 3

lim ∞

→；（3）3

lim

n n ∞→

（4）n n 31lim ∞→；（5）n n 21lim ∞→；（6）n n 10lim ∞→；（7）

n n 21lim ∞→ 解（1）01lim 1lim 21==∞→∞→n n

n n （用例2的结果，21=a ），无穷小数列.

（2）13lim =∞

→n n ，（用例5的结果，3=a ）

（3）01

lim

=∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列.

（4）031lim 31lim =??? ??=∞→∞→n

n n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.

（5）021lim 21

lim =??? ??=∞→∞

→n

n n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞→n n ，（用例5的结果，10=a ）.

（7）

121lim 21

lim

==∞→∞→n

n n

n ,（用例5的结果，21=

a ）. 4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞→lim

证明因为a

a n n =∞

→lim ，所以

εε<->?>?>?||,,0,0a a N n N n ，

于是，当N

k >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞→lim .

5．试用定义1证明：

（1）数列??

???n 1不以1为极限；（2）数列

}{)1(n n -发散.

证明（用定义1证明）数列}{n a 不以 a 为极限（即a a n n ≠∞→lim ）的定义是：00>?ε，0>?N ，N n >?0，0||0ε≥-a a n

（1）取

ε，0>?N ，取N N n >+=20，有

002

1)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列??

????n 1不以1为极限.

另证（用定义1’证明）取21

ε，则数列??????n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）

显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列??????n 1不以1为极限.

（2）数列}{)1(n n -=},6,51

,4,31,2,1{ ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列

}{)1(n n -

中所有满足“n 为偶数，且1+>a n ”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域

)1,1();(0+-=a a a U ε之外，故数列

}{)1(n

n -不以任何数 a 为极限，即数列

}{)1(n

n -发

散.

6．证明定理2.1，并应用它证明数列??

??-+n n )1(1的极限是1. 定理2.1 数列}{n a 收敛于 a 充要条件是：}{a a n -为无穷小数列. （即a a n n =∞

→lim 的充要条件是0

)(lim =-∞

→a a n n ）

证明（必要性）设a

a n n =∞

→lim ，由数列极限的定义，,0,0>?>?N εN n >?，有

ε<--=-|0)(|||a a a a n n ，所以 0)(lim =-∞→a a n n .

（充分性）设0

)(lim =-∞

→a a n n ，由数列极限的定义，,0,0>?>?N εN n >?，有

ε<-=--|||0)(|a a a a n n ，所以a a n n =∞→lim .

下面证明：数列??

??-+n n )1(1的极限是1. 因为???

???-=??????--+n n n n )1(1)1(1是无穷小数列，所以数列??

???-+n n )1(1的极限是1.

7．证明：若a a n n =∞→lim ，则|

|||lim a a n n =∞

→. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？

证明设

a n n =∞

→lim ，由数列极限的定义，,0,0>?>?N εN n >?，

<-≤-||||||a a a a n n ，所以也有|

|||lim a a n n =∞

→. 但此结论反之不一定成立，例如数列

})1{(n -.

当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设0

||lim =∞

→n n a ，于是,0,0>?>?N εN n >?，

<=||||n n a a ，所以a

a n n =∞

→lim .

8．按N -ε定义证明：

（1）0)1(lim =-+∞→n n n ；（2）0321lim

3=++++∞→n n

（3）1lim =∞→n n a ，其中???????+-=为奇数

为偶数n n n n n n

n a n 2

证明（1）因为

n n

n n n 1

11|1|<

++=

-+. 于是0>?ε，取

ε=

N ，

N n >?，必有

-+n

n n 1|1|，从而0

)1(lim =-+∞

→n n n .

（2）因为

n n n n n n n n n n n 1

2212)1(3212

233=+<+=+=++++ ，于是0>?ε，取ε1=N ，N n >?，必有ε<<-++++n n n 103213 ，所以0321lim 3=++++∞→n n n

（3）因为当 n 为偶数时，

n n n a n 1

11|1|=--=

当 n 为奇数时，n

n n n

n n n n

n a n 111|1|222<

++=

-+=-+=

-，故不

管n 为偶数还是奇数，都有

n a n 1|1|<

-. 于是0>?ε，取ε1

N ，N n >?，必有

ε<<

-n a n 1

|1|，所以 1lim =∞→n n a .

P.33 习题

1．求下列极限：

⑴ 根据P.24例2 01lim

=∞→a

n n ，0>a ，可得

131241131lim 32413lim 3

2332

3=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n

⑵ 0)21(lim 21lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n

⑶根据P.25例4 0

lim =∞

→n n q ，1||

)32(31

)32(

lim 3)2(3)2(lim 111=+-?+-=+-+-+∞→++∞→n n

n n n n

⑷ 21

1111lim lim )(lim 22=++=++=-+∞

→∞→∞→n n n n n n n n n n n

这是因为由P.29例1若a

a n n =∞

→lim ，则a

a n n =∞

→lim . 于是由1

1(lim =+∞→n n ，得

111

1lim ==+

∞

→n n .

⑸ 10)1021(lim =+++∞

→n n n n ，因为1

lim =∞

→n n a （0>a ）

⑹ 231131

121121121lim 313131212

121lim 22=--?

=++++++∞→∞→n

n n n n n

2．设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，且b a <. 证明：存在正数N ，使得当N n >时，有n n b a <.

证明由b a <，有b b a a <+<

2. 因为2lim b

a a a n n +<=∞→，由P.24保号性定理2.4，

存在01>N ，使得当1N n >时有

2b a a n +<. 又因为2lim b a b b n n +>

=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>

. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有

n b b a a <+<2. 3．设}{n a 为无穷小数列，}{n b 为有界数列，证明：}{n n b a 为无穷小数列.

证明因为

}{n b 为有界数列，

所以存在0>M ，使得 ,2,1,||=≤n M b n

. 由}{n a 为无穷小数列，知,0,0>?>?N εN n >?，

M a n ε

||. 从而当N n >时，有ε

=?<

?=M M

b a b a n n n n ||||||，所以0

lim =∞

→n n n b a ，即

}{n n b a 为无穷小数列.

4．求下列极限

（1）1111lim 11131

212111lim )1(1321211lim =??? ??

+-=??? ??+-++-+-=???? ?

?+++?+?∞→∞→∞→n n n n n n n n

（2）因为

n n

2112

181412128422

2222=

==-

+++ ，而

)(1222

∞→→=<

，于是1

2lim 21

=∞

→n

n ，从而

lim

222

lim 2

==∞

→∞

→n

n n

（3）

32323lim 23221229272725253lim 21223

21lim 13222=??? ??

+-=??? ??+-+++-+-+-=??? ?

?-+++∞→-∞→∞→n n n n n n n n n n n

（4）当2>n 时，11121<-

1lim =-

∞→n n n .

（5）因为)(,0111)2(1)1(11022

222∞→→+=+≤++++

??++++∞→n n n n

（6）因为1

21112

222=≤

+≤++++++≤+n

n n n n n n n n

n n ，

且

111lim

lim

=+=+∞

→∞

→n

n n n n ，所以

11211

1lim 222=???? ??++++++∞

→n n n n n 5．设}{n a 与}{n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明}{n n

b a ±是发散数列. 又问}{n n b a 和)0(≠???

???n n n b b a 是否必为发散数列.

证明（用反证法证明）不妨设}{n a 是收敛数列，}{n b 是发散数列. 假设数列}{n n

b a +收敛，则

n n n n a b a b -+=)(收敛，这与}{n b 是发散数列矛盾，所以，数列}{n n b a +发散.

同理可得数列

}{n n b a -发散.

}{n n b a 和)

0(≠???

???n n n b b a 不一定是发散数列. 例如，若}{n a 是无穷小数列，}{n b 是有界的发散数列. 则}{n n b a 和)0(≠???

???n n n b b a 是无穷小数列，当然收敛.

但是，有下列结果：如果0lim ≠=∞→a a n n ，}{n b 是发散数列，则}{n n b a 和)0(≠?

???n n n a a b 一定是发散数列.

6．证明以下数列发散：

（1）

????+-1)1(n n n

证明设

1)1(+-=n n a n

n ，则)(,11222∞→→+=n n n a n ，而1

212-→--=-n n a n ，

由P.33，定理2.8 知

????+-1)1(n n n 发散. （2）

{}n

n )1(-

证明

{}

n )1(- 的偶数项组成的数列n a n 22=，发散，所以{

}

)1(-发散.

（3）

????

4cos πn 证明设

4cos

n a n =，则子列 )(,118∞→→=n a n ，子列 )(,1148∞→-→-=+n a n ，故

??????4cos πn 发散. 7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）：（1）若

}{12-k a 和}{2k a 都收敛，则}{n a 收敛.

解结论不一定成立. 例如，设n

n a )1(-=，则12=k

a ，112-=-k a 都收敛，但n n a )1(-=发散.

注若}{12-k a 和}{2k a 都收敛，且极限相等（即k

k k k a a 212lim lim ∞→-∞→=），则}{n a 收敛.

（2）若

}{23-k a ，}{13-k a 和}{3k a 都收敛，且有相同的极限，则}{n a 收敛.

证明设a

a a a k k k k k k ===∞

→-∞

→31323lim lim lim ，则由数列极限的定义，知0>?ε，

01>?K ，1K k >?，ε<--||23a a k ；同样也有02>?K ，2K k >?，ε<--||13a a k ；

03>?K ，3K k >?，ε<-||3a a k . 取}3,3,3m ax {321K K K N =，当N n >时，对任

意的自然数 n ，若23-=k n ，则必有1K k >，从而ε<-||a a n

；同样若13-=k n ，则

必有2K k >，从而也有ε<-||a a n

；若k n 3=，则必有3K k >，从而ε<-||a a n . 所

以a

a n k =∞→lim ，即}

{n a 收敛.

8．求下列极限：

（1）n n k 21

321lim

-∞→

解因为

n n 2126543210-<

121)12)(12(12)12)(32(32755533311+=+-----???

而0121lim =+∞→n k ，所以 02124321lim =-∞→n n k 另解因为12254322124

321+<-n n n n ，设n n S n 21

24321-=

，

1225432+=n n T n ，则n n T S <. 于是121+=?

121+

（2）答案见教材P.312提示. （3）1

0],)1[(lim <<-+∞

→αααn n k

解 ]

1)1

1[(]1)11[()1(0-+<-+=-+

)(,01

1∞→→==-n n n n αα

所以，0

])1[(lim =-+∞

→α

αn n k

另解因为01<-α，所以11

)

1(--<+ααn n ，于是

11)1()1(--+=+<+ααααn n n n n ，

从而)(,0)1(01

∞→→<-+<-n n

n n αα

. （4）答案见教材P.312提示.

9．设

m a a a ,,21为 m 个正数，证明：

}

,,max {lim 2121m n n

n n n n a a a a a a =+++∞

→

证明因为 }

,,max{},,max{212121m n n n

n n n m a a a n a a a a a a ≤+++≤

而1

lim =∞

→n n n ，所以}

,,max {lim 2121m n n

n n n n a a a a a a =+++∞→

10．设a

a n n =∞

→lim ，证明：

（1）a n na n n =∞→][lim

；（2）若0,0>>n a a ，则1lim =∞→n n n a .

证明（1）因为1][][+<≤n n n na na na ，所以n

n n a n na n na ≤<-]

[1. 由于

a n a n na n n n n =??? ??-=-∞→∞→1lim 1lim ，且a a n n =∞→lim ，从而a n na n n =∞→][lim .

（2）因为 0

lim >=∞

→a a n n ，由P.29 定理 2.4，存在0>N ，使得当N n >时，有

a a a n 232<<. 于是 n n n n

a a a 232<<，并且123lim 2lim ==∞→∞→n n n n a a ，所以

lim =∞

→n n n a .

P.38 习题

1．利用e n n

n =???

??+∞

→11lim 求下列极限：

（1）e n n n n n n n n

n n

n 11111111lim 1lim 11lim 1=??? ??-+??? ??

-+=??? ??-=??? ??--∞

→∞→∞→

（2）

e n n n n

n n n =??? ??+??

??+=??? ??+∞

→+∞

→1111lim 11lim 1

（3）e n n n n n n

n =?

?? ??++??? ??++=??

? ??+++∞→∞→111111lim 111lim 1

（4）

n n n n

n =?

? ??

+=??? ??

+=??? ??+∞

→?∞

→∞→22

2211lim 211lim 211lim

注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若a

a n n =∞

→lim ，且

,2,1,0=≥n a n ，则

a n n =∞

→lim .

（5）

n n ??? ??

+∞

→211lim 解因为数列???????

?????? ??+n

n 11单调增加，且有上界 3，于是 )

(,13111112

22∞→→

? ??

+=??? ??+

，所以

111lim 2=??? ??

+∞

→n

n n

2．试问下面的解题方法是否正确：求n

n 2lim ∞→

解不正确. 因为极限n

n 2lim ∞

→是否存在还不知道（事实上极限n

n 2lim ∞

→不存在），所以设

n n =∞

→2lim 是错误的.

3．证明下列数列极限存在并求其值：（1）设

,2,1,2,211===+n a a a n n

证明先证数列

}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：2是}{n a 的一个上界.

221<=a ，假设

22221=?<=+n n a a ，所以

}

{n a 有上界2.

其次证明

}{n a 单调增加.

2)2(21>+-=

-=-+n

n n n n n n n a a a a a a a a ，所以

n n a a >+1，

即}{n a 单调增加. 从而}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a a 221

=+的两端取极限，得a a 22=，解之得 a = 0 (舍去) 和 2，所以2

lim =∞→n n a .

注：

}{n a 的单调增加也可以如下证明：

221=>==+n n n n n a a a a a ，所以

n n a a >+1.

还可以如下得到：121

214

1212141211

++++++=<

=+n n

a a n n n

（2）设

,2,1,),0(11=+=>=+n a c a c c a n n

证明先证数列

}{n a 的有界性，用数学归纳法证明：}{n a 的一个上界是 1 + c .

c c a +<=11，假设c a n +<1，则c c c c a c a n n +=++<+<+=+112122

1，

所以

}{n a 有上界1 + c .

其次证明

}{n a 单调增加（用数学归纳法证明）. 21a c c c a =+<=，假设

n n a a <-1，于是n n a c a c +<+-1，从而n n a c a c +<+-1，即1+

增加. 所以}{n a 极限存在，设a a n n =∞→lim ，在n n a c a +=+21的两端取极限，得a c a +=2，解之得 2411c

a +±=

. 由于a n > 0 ，所以 a > 0 . 故 2

lim =∞→n n a . （3）

,2,1),0(!=>=n c n c a n

n 证明先证}{n a 从某一项以后单调减少. 取自然数 N 使得 N > c ，于是当N n >时，

n n n n n a a N c

a n c n c n c n c a <+<+=+=+=++11!1)!1(11

，即从第N 项开始}{n a 单调减少.

由于

}{n a 的各项都大于零，所以}{n a 有下界0. 从而}{n a 极限存在. 设a a n n =∞→lim ，

在

n n a n c a 11

+=+的两端取极限，得a a ?=0，故0=a ，即0lim =∞→n n a .

4．利用???????

?????? ??+n n 11为递增数列的结论，证明???

?????????? ??++

n 111为递增数列. 证明设

n n n n n a ?

?? ??++=??? ??++=12111，要证： ,3,2,1=≤-n a a n n ，即因为????????????? ??+n

n 11为递增数列，所以有111111+??? ??++

121+???

??++

n n n n ，于是

n n n n a n n n n n n n n n n n n n n a =???

??++<+?++???? ??++=+??

??++

? ??+=+--121121211211

其中用到事实：1)1()2(1122

≤++=+?++?

n n n n n n n .

5．应用柯西收敛准则，证明以下数列

}{n a 收敛：

（1）

n n n

a 2sin 22sin 21sin 2+++=

证明不妨设m n >，则有

n m m m n n

m m a a 2sin 2)2sin(2)1sin(||21+

++++=

-++

n m m n m m n m m 2121212sin 2)2sin(2)1sin(2121+

++≤+++++≤++++ ??? ??+++++

12211<

=?=+ 所以，0>?ε，取

ε1=

N ，N m n >?,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛. （2）

222131211n a n ++++

= 证明不妨设m n >，则有

2221

)2(1)1(1||n m m a a m n +

++++=

- n n m m m m )1(1)2)(1(1)1(1-++++++≤ m n m n n m m m m 1111112111111<-=--+++-+++-=

所以，0>?ε，取ε1=

N ，N m n >?,，有ε<-||m n a a ，由柯西收敛准则，}{n a 收敛.

6．证明：若单调数列}{n a 含有一个收敛子列，则}{n a 收敛.

证明不妨设

}{n a 是单调增加数列，}{k n a 是其收敛子列. 于是}{k n a 有界，即存在

0>M ，使得 ,2,1,=≤k M a k

n . 对单调增加数列}{n a 中的任一项m a 必有

M a a k

m m ≤≤，即}{n a 单调增加有上界，从而收敛.

7．证明：若0>n a ，且1lim

1>=+∞→l a a n n

n ，则0lim =∞→n n a

证明因为1lim 1>=+∞→l a a n n n ，所以存在 r 使得1lim 1>>=+∞→r l a a n n n . 于是由数列极限

的保号性定理（P.29），存在0>N ，当N n >时，r

a a n n

>+1，1+>n n

ra a . 从而有n N n N N N a r a r ra a 13221--+++>>>> ，因此，

)(,001

∞→→<

<--+n r a a N n N n ，故

lim =∞

→n n a .

8．证明：若}{n a 为递增有界数列，则}sup{lim n n n a a =∞→；若}{n a 为递减有界数列，

则}

inf{lim n n n a a =∞→. 又问逆命题成立否？

证明证明过程参考教材P.35，定理2.9（单调有界定理）.

逆命题不一定成立. 例如数列

?????-=为偶数为奇数

n n n a n 1

11，

}sup{lim ==∞→n

n n a a ，但

}

{n a 不单调.

9．利用不等式 0),()1(11

>>-+>-++a b a b a n a b

n n n ，证明：

????????????? ??++111n n 为递减数列，并由此推出????????????? ??+n

n 11为有界数列.

证明设

11+?

??+=n n n a ，由不等式 )()1(11

a b a n a b

n n n -+>-++，有

1111++++-+->-n n n n n n a b a na b na a b ，于是b a na b na b n n n n +->++11，

b na a na b n n n n 1+-+>.

在上式中令

1111,111-=

-+=+=+=n n n b n n n a ，a b >，得 n

n n n n a ?

??-=??? ??-+=-11111

n n

n n n n n n n n n n n ?

?? ??++???

??+-??? ??++??? ??+>11111

n n

a n n n n n n n =?

??+=??? ??++??? ??+=+1

1111

即

n n a a >-1

，故???

????????

? ??++1

11n n 为递减数列.

而411111111

=??? ??+≤?

??+

?++n n

n n ，所以???????

?????? ??+n

n 11为有界数列. 10．证明：

n n e n 3

)11(<

+- 证由上题知???????

?????? ??++1

11n n 为递减数列，于是对任何n m >有， 1

1111++??

? ??+>??

??+m n n n ，令∞→m ，取极限得，

n n >??

? ??++1

11 ①

又因为n

n n n n n n n ???

??++?

?? ?

?++113111111111

②

由①、②得

n n n n e ?

??++

，从而 n n e n e n n 3

)11()11(<

+-=+-

11．给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 > b 1 )，作出其等差中项

12b a a +=

与等比中项

112b a b =，一般地令

21n

n n b a a +=

+， ,2,1,1==+n b a b n n n

证明：n

n a ∞

→lim 与n

n b ∞

→lim 皆存在且相等.

证明因为

11b a >，所以有

n n n n a a a b a a =+<+=

+221，即}{n a 单调减少. 同样

可得}{n b 单调增加. 于是有

12b b b a b a a a n n n n n n ≥=≥+=≥++，即}{n a 单调减少有

下界，}{n b 单调增加有上界，故n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 皆存在.

在

n n n b a a +=+12的两端取极限，可得n n n n b a ∞→∞→=lim lim

12．设

}{n a 为有界数列，记},,sup{1 +=n n n a a a ，},,inf{1 +=n n n a a a

证明：⑴ 对任何正整数n ，n n a a ≥；

⑵

}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有m n a a ≥；

⑶ 设a 和a 分别是

}{n a 和}{n a 的极限，则a a ≥；

⑷ }{n a 收敛的充要条件是a a =

证 ⑴ 对任何正整数n ，n n n n n n n a a a a a a a =≥≥=++},,inf{},,sup{11

⑵ 因为1211},,sup{},,sup{++++=≥=n n n n n n

a a a a a a ， ,2,1=n ，所以}{n

a 为递减有界数列.

由

1211},,inf{},,inf{++++=≤=n n n n n n a a a a a a ，知}{n a 为递增有界数列.

对任何正整数n ，m ，因为

}{n a 为递减有界数列，}{n a 为递增有界数列，所以有

m m n m n n a a a a ≥≥≥++.

⑶ 因为对任何正整数n ，m 有m n a a ≥，令∞→n 得，m

n n a a a ≥=∞→lim ，即

m a a ≥，令∞→m 得

a a m m =≥∞

→lim ，故a a ≥.

⑷ 设

}{n a 收敛，a a n n =∞→lim . 则0>?ε，0>?N ，N n >?，ε<-||a a n

，εε+<<-a a a n . 于是有εε+≤<-a a a n ，从而a a a n n ==∞→l i m . 同理可得

a a a n n ==∞

→lim ，所以a

a =

反之，设a a =. 由a a n n =∞→lim ， a a a n n ==∞→lim ，得0>?ε，0>?N ，N n >?，有

εε+<<-a a a n 及εε+<<-a a a n ，从而

εε+<≤≤<-a a a a a n n n

P.40 总练习题

1．求下列数列的极限：（1）n n

n n 3lim 3+∞

→

解当3>n 时，有n

n 33

<，于是

)(,323323333∞→→?=?<+<=n n n n n n n n n ，所以

3lim 3=+∞

→n n n n

（2）n

n e n 5

lim

∞→

解设h e +=1，则当6>n 时，

2!6)5()1(!2)1(1)1(h

n n n h h n n nh h e n n n --≥++-++=+= ，于是

)(,0)5)(4)(3)(2)(1(!606

55∞→→-----?<

解法2 用P.39 习题7的结论. 设n n e n a 5=，1)1(lim lim 51

51>=+=+∞→+∞

→e n e e n a a n n n n n n ，从

而0

lim lim 5

==∞

→∞→n n n n a e n .

解法3 用P.27 习题2⑸的结果0))

((lim lim 5515==∞→∞→n n n n e n

e n

解法4 用单调有界定理. 令n

n e n a 5

=，则51)11(1n e a a n n +=+. 因为

e n n <=+∞→1)11(lim 5，所以存在0>N ，当N n >时，e n <+5)1

1(，从而当N n >时，1

1(151<+=+n e a a n n . 于是从N n >起数列}{n a 递减，且有下界0，因此}{n a 收敛. 设

a a n n =∞→lim ，在等式n

n a n e a ?+=+51)11(1的两端取极限，得a e a ?=1

，所以0=a .

（3）)

122(lim n n n n ++-+∞→

解 )]

1()12[(lim )122(lim +-++-+=++-+∞

→∞

→n n n n n n n n n

011121lim =??????++-++++=∞

→n n n n n

2．证明：（1）)

1|(|0lim 2<=∞

→q q n n n

证明当0=q 时，结论成立.

当1||0<q ，令0,1||1

>+=h h q ，于是有n

n h q )1(1+=，而由牛顿

二项式定理，当3>n 时有3

!3)2)(1()1(h

n n n h n --≥+，从而

)(0!3)2)(1()

1(03

∞→→--≤+=

，所以

lim 2=∞

→n n q n

另解用P.27 习题2⑸的结果

)(sgn ))|

|1((

lim lim 22==∞

→∞

→n n

n n n q q n q n

（2）)

1(,0lg lim

≥=∞→αα

n n

证明因为0,lg >

)(,02

2lg 2lg 021

∞→→=<=<

-n n n n n n n n αα

αα，所以0lg lim =∞→αn n n .

（3）0!1

lim =∞→n n n 证明先证明不等式：

n n ?

??>3!. 用数学归纳法证明，当1=n 时，显然不等式成立；假设

n n ?

??>3!成立，当 n + 1 时 n

n n n n n n n n n n n ?

??+??? ??+?+=??? ???+>?+=+131)1(3)1(!)1()!1(

31113

31++??? ??+>??

??+??

??+=n n

n n n n

故不等式n

n n ?

??>3!成立. 由此可得)(,03!10∞→→<

另解用数学归纳法证明不等式：n n n

≥!

3．设a

a n n =∞

→lim ，证明：

（1）a n a a a n

n =+++∞→ 21lim

（又问由此等式能否反过来推出a a n n =∞→lim ）

证明因为a

a n n =∞

→lim ，于是有11,0,0N n N >?>?>?ε，

2||ε

-a a n . 从而当

1N n >时，有

n na

a a a a n a a a n n -+++=-+++ 21

22||||||||||||12121111εε+≤?-+≤-++-+-+

-++-+-≤++n A n N n n A n

a a a a a a n a a a a a a n N N N

其中||||||121a a a a a a A N -++-+-= 是一个定数. 再由0lim =∞→n A n ，知存在

02>N ，使得当2N n >时，2ε<

n A . 因此取},m ax {21N N N =，当N n >时，有

εε=+<+≤-+++22221n A a n a a a n .

反过来不一定成立. 例如n

n a )1(-=不收敛，但0lim

21=+++∞→n a a a n

n .

练习：设+∞=∞→n n a lim ，证明：+∞=+++∞→n a a a n n 21lim

(2) 若),2,1(0 =>n a n ，则a a a a n n n =∞→ 21lim

证明先证算术平均值—几何平均值—调和平均值不等式：

a a a a a a a a a n

n n n

+++≤

≤+++ 2121211

算术平均值—几何平均值不等式：

n a a a a a a n

n +++≤

2121

对任何非负实数1a ，2a 有

2)(2

121a a a a +≤

，其中等号当且仅当21a a =时成立. 由此推出，对4个非负实数1a ，2a ，3a ，4a 有

43212

1432

1214

14321)

22(])()[()(a a a a a a a a a a a a +?+≤=

42224321

321a a a a a a a a +++=++

+≤

按此方法继续下去，可推出不等式n a a a a a a n

n n +++≤ 21

21对一切k

n 2=（

,2,1,0=k ）都成立，为证其对一切正整数n 都成立，下面采用所谓的反向归纳法，即

证明：若不等式对某个)2(≥n 成立，则它对1-n 也成立.

设非负实数

121,,,-n a a a ，令

)(11

121-+++-=

n n a a a n a ，则有

)

1(1)1()(1

211211

1211121-+++++++≤-+++?----n a a a a a a n n a a a a a a n n n n n

整理后得

)(11

)

(1211

1121---+++-≤

n n n a a a n a a a ，即不等式对1-n 成立，从而

对一切正整数n 都成立.

几何平均值—调和平均值不等式n n

a a a a a a n

21211

11≤+++的证明，可令

i i x y 1=

，再对i y （n i ,,2,1 =）应用平均值不等式.

由),2,1(0 =>n a n ，知0lim ≥=∞→a a n n . 若0≠a ，则

a a n n 11lim

=∞→. 由上一小题的结论，有

)

(,1

11212121∞→→+++≤

≤+++n a n

a a a a a a a a a n

n n n

而a a

n a a a a a a n n n n n ==+++=+++∞→∞→1

1111lim 111lim 2121 ，所以

a a a n n n =∞

→ 21lim .

若0=a ，即0

lim =∞→n n a ，则11,0,0N n N >?>?>?ε，ε

a . 从而当1N n >时，

有

n N n n N n n N N n

n a a a a a a a a a a a 1

1112112121-+?≤?=ε

εεε

?=?=?=--n n N N n

N n n N A a a a a a a 11112121

其中

121N N a a a A -=ε ，是定数，故2

1lim <=∞

→n

n A ，于是存在02>N ，使得当

2N n >时，2时，有

ε221

n A a a a ，故0

lim 21=∞

→n n n a a a

4．应用上题的结论证明下列各题：

（1）0

131211lim

=++++

∞

→n n n

证明令n a n 1=

，则01

lim lim ==∞→∞→n a n n n ，所以0

31211lim =++++

∞

→n n n .

（2）)

0(1lim >=∞

→a a n n

证明令a a =1， ,3,2,1==n a n ，则1lim =∞→n n a ，从而

lim lim lim 21===∞

→∞

→n n n n n n n a a a a a

（3）1

lim =∞

→n n n

证明令11=a ， ,3,2,1=-=

n n n

a n ，则1lim =∞→n n a ，于是

1lim lim 13423121lim lim 21===-?????=∞→∞

→∞→∞→n n n n n n n n n a a a a n n

n .

（4）

1lim

=∞→n

n n

证明令

,2,1,1

n n a n ，则0lim =∞→n n a ，所以

1lim 1211lim 3211lim !1lim

==???=????=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n

（5）e n n n n =∞→!lim 证明令

,3,2,11111

=??

? ??

-+=?

?? ??-=--n n n n a n n n ，则e

a n n =∞

→lim ，所以

n n n n n n n n n n n n n n n

n n n =??

??-=??

? ??-???? ?????? ?????? ???==-∞→-∞→∞→∞→1

1lim 14534232lim !lim !lim

另证令 ,2,1,!==n n n a n

n ，则

n a a n n n n n =??? ??-+=-∞→-∞→1

1111lim lim . 于是

e a a a a a a a a a n n

n n n n n n n n n n n n ==???==-∞→-∞→∞

→∞→112312lim lim lim !lim .

（6）1321lim 3=++++∞→n n

n n

证明因为1lim =∞→n n n ，所以1lim 321lim 3==++++∞→∞→n n n

n n n n

（7）若)0(lim 1>=+∞→n n n n b a b b

，则a b n n n =∞→lim

证明

n n n n n n n n

n n n n n n b b b b b

b b b b b b b b b b 1

12312112312lim lim lim lim ∞

→+∞→+∞

→∞

→????=????=

b b n n n =?=+∞→1lim

（8）若d a a n n n =--∞→)(lim 1，则d n a n

n =∞→lim

证明设10

??????-++-+-+=-∞→∞→n a a a a a a n a

n a n n n n n )()()(lim lim

11201

d a a n a a a a a a n a n n n n n n n =-+=-++-+-+=-∞→-∞→∞→)(lim 0)()()(lim lim

1112010

5．证明：若}{n a 为递增数列，}{n b 为递减数列，且 0)(lim =-∞→n n n b a ，则n n a ∞→lim 与n

n b ∞

→lim 都存在且相等.

证明因为

)(lim =-∞

→n n n b a ，所以

}{n n b a -有界，于是存在0>M ，使得

M b a M n n ≤-≤-. 从而有1b M b M a n n +≤+≤， M a M a b n n -≥-≥1，因此}

{n a 为递增有上界数列，}{n b 为递减有下界数列，故n n a ∞→lim 与n

n b ∞→lim 都存在. 又因为

0)(lim lim lim =-=-∞

→∞

→n n n n n n n b a b a ，所以 n

n n n b a ∞

→∞

→=lim lim .

6．设数列

}{n a 满足：存在正数M ，对一切 n 有

M a a a a a a A n n n ≤-+-+-=-||||||12312

证明：数列}{n a 与}{n A 都收敛.

证明数列

}{n A 单调增加有界，故收敛. 由柯西收敛准则，0,0>?>?N ε，当

N n m >>时，ε<-||n m A A . 于是

ε<-=-++-+-≤-+---n m n n m m m m n m A A a a a a a a a a ||||||||1211

所以由柯西收敛准则，知数列}{n a 收敛.

7．设??? ??+=>>a a a a σσ21,0,01，

???? ??+=+n n n a a a σ211, ,2,1=n ，证明：数列}{n a 收敛，且其极限为σ

证明因为

σσ

σ=?≥???? ??+=

+n n n n n a a a a a 211，故数列}{n a 有下界σ.

12112121=???

??+≤???? ??+=+σ

σn n n a a a ，于是n n a a ≤+1，即数列}{n a 单调减少，从而数列}

{n a 收敛. 设A a n n =∞→lim ，由???? ??+=+n n n a a a σ211，得σ+=+212n n n a a a ，两端取极限得，σ+=222A A ，解得σ=A ，所以σ

=∞→n n a lim .

8．设011>>b a ，记211--+=

n n n b a a ，

111

12----+?=n n n n n b a b a b ， ,3,2=n . 证明：数列}{n a 与}{n b 的极限都存在且等于11b a .

证因为 1111211112

2111112)(2--------------+?-+=

++≤+?=n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b n n n n n n n n n b b a b a b a b a -+=+?-+=--------111111112，所以n

n n n a b a b =+≤--21

1， ,3,2=n

数列

}{n a 是递减的：

n n n n a a a b a a =+≤+=

+221， ,2,1=n

数列}{n a 有下界：021

1≥+=

--n n n b a a ， ,2,1=n ，所以}{n a 收敛，设a a n n =∞→lim .

数列}{n b 是递增的：1

111111122---------=+?≥+?=n n n n n n n n n n b a a b

a b a b a b ， ,3,2=n

数列}{n b 有上界：1a a b n n ≤≤， ,2,1=n ，所以}{n b 收敛，设b b n n =∞→lim .

令∞→n 在21

--+=n n n b a a 的两端取极限，得b a =.

211--+=

n n n b a a 与

111

12----+?=n n n n n b a b a b 两端分别相乘，得11--=n n n n b a b a ， ,3,2=n 所以有11b a b a n n

=， ,3,2=n ，令∞→n 取极限得11b a ab =，从而11b a a =

数学分析试题库--证明题

数学分析题库（1-22章）五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6．用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ，（1）)(0x U x n ?∈，0x x n →，（2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ，则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.

数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（）

A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

(完整word版)微积分(数学分析)练习题及答案doc

统计专业和数学专业数学分练习题计算题 1. 试求极限 .4 2lim )0,0(),(xy xy y x +-→ 2. 试求极限.)() cos(1lim 222222) 0,0(),(y x y x e y x y x ++-→ 3. 试求极限.1 sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 4. 试讨论.lim 4 22 )0,0(),(y x xy y x +→ 5. 试求极限 .1 1lim 2 2 22) 0,0(),(-+++→y x y x y x 6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ???? 7. ,arctan xy z =,x e y = 求 .dx dz 8. 求抛物面 2 22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程. 9. 求5362),(2 2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 10. 求函数)2(),(2 2y y x e y x f x ++=的极值. 11. 叙述隐函数的定义. 12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程 0),,(323=-++=z y x xyz z y x F 在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数23 (,,)f x y z xy z =, 方程 2223x y z xyz ++=. (1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; (2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18. 讨论方程组

数学分析习题及答案 (13)

第十六章 Fourier 级数习题 16.1 函数的Fourier 级数展开 ⒈设交流电的变化规律为E t A t ()sin =ω，将它转变为直流电的整流过程有两种类型： ⑴ 半波整流（图16.1.5(a)） f t A t t 12 ()(sin |sin |)= +ωω； ⑵ 全波整流（图16.1.5(b)） f t A t 2()|sin |=ω；现取ω=1，试将f x 1()和f x 2()在 ],[ππ-展开为Fourier 级数。解（1）0a = 11 ()f x dx π π π - ?2A π= ， a n =11 ()cos f x nxdx π π π - ?22(1) A n π=- - (2,4,6,n =L ), n a = 1 1 ()cos 0f x nxdx π ππ - =?，（1,3,5,n =L ）； 1b =11 ()sin 2 A f x xdx π π π - = ?， b n = 1 1 ()sin 0f x nxdx π ππ - =?，(2,3,4,n =L )。 1()f x :212cos 2sin 241 k A A A kx x k ππ∞=+--∑。（2）0a = 21 ()f x dx π π π - ?4A π= ， a n =21 ()cos f x nxdx π π π - ?2 4(1) A n π=- - (2,4,6,n =K ), n a = 2 1 ()cos 0f x nxdx π ππ - =?（1,3,5,n =K ）； b n = 2 1 ()sin 0f x nxdx π ππ - =?，(1,2,3,n =L )。 2()f x : ∑∞ =-- 121 42cos 42k k kx A A ππ 。 ⒉ 将下列函数在],[ππ-上展开成Fourier 级数： ⑴ x x f sgn )(=; ⑵ f x x ()|cos |=; (a) (b) 图16.1.5

数学分析试题及答案解析

2014 —--201５学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ）．２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3．若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。４．若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5．若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（）。６。若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续Ｂ．连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不

相等,则（）Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ．不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ．若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1．验证下列等式（1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

数学分析复习题及答案

数学分析复习题及答案一.单项选择题 1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设3)21(lim -∞ →=+e x kx x ，则=k （） A. 6- B. 23 C. 32- D. 23- 3．? =dx xe x （） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（） A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1．设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0 =→x x x 3．??? ????>+=<=0)1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a 三、判断题 1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（） 2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（） 3．设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数，则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。（）四、名词解释 1．用δε-的语言叙述函数极限的定义 2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义五、计算题

1．根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2．根据第四题第2小题证明5311lim 22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++ ==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。 5．证明：若)(0x f '存在，则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义，A 为定数。 0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>?ε，0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。五、1.证明：ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε，21+?? ????=?εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。 2. 证明：)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x 令1)2(<-x ，则31<?ε，? ?????=?10,1min εδ，当δ<-<20x 时，ε<-++53112x x

数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题一叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件二计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求f l (P 0) 三讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。四证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

数学分析典型题

6个等价定理 1o确界定理 2o单调有界定性 3o闭区间套定理 4o列紧性定理（Weierstrass聚点原理） 5o完备性定理（Cauchy收敛原理） 6o紧性定理（Borel有限覆盖定理）在一般的教科书上论证它们的线路是：1o（作为公理）→2o→3o→4o→5o及3o→6o. 实际上，它们是等价的，而且可从任何一个直接推出其它任何一个. 这些训练对真正掌握分析学方法以及进一步学习后续课程和考研都是非常重要的. 下面就作其中一些训练，其余留给大家自己作. 1．5o→6o. 即用完备性直接证明紧性. 2．6o→1o. 即用紧性直接证明确界定理. 3．6o→2o. 即用紧性直接证明单调有界定理. 4．6o→3o. 即用紧性直接证明闭区间套定理. 5．6o→4o. 即用紧性直接证明列紧性. 6．6o→5o. 即用紧性直接证明完备性. 7．3o→1o. 即用闭区间套定理直接证明确界定理. 8．3o→2o. 即用闭区间套定理直接证明单调有界定理. 9．3o→5o. 即用闭区间套定理直接证明完备性. 10．1o→3o. 即用确界定理直接证明闭区间套定理. 11．1o→4o. 即用确界定理直接证明列紧性. 12．1o→5o. 即用确界定理直接证明完备性. 13．1o→6o. 即用确界定理直接证明紧性. 14．4o→1o. 即用列紧性直接证明确界定理. 15．4o→2o. 即用列紧性直接证明单调有界定理. 16．4o→3o. 即用列紧性直接证明闭区间套定理.

17．4o→6o. 即用列紧性直接证明紧性定理. 18．5o→1o. 即用完备性直接证明确界定理. 19．5o→2o. 即用完备性直接证明单调有界定理. 20．5o→3o. 即用完备性直接证明闭区间套定理. 21．5o→4o. 即用完备性直接证明列紧性定理. 22．2o→1o. 即用单调有界定理直接证明确界定理. 23．2o→4o. 即用单调有界定理直接证明列紧性定理. 24．2o→5o. 即用单调有界定理直接证明完备性定理. 25．2o→6o. 即用单调有界定理直接证明紧性定理.

卢同善实变函数青岛海洋大学出版社第二章习题答案

第二章习题答案 1. 若y y x x m m →→且，则(,)(,)m m x y x y ρρ→. 特别的, 若x x m →，则(,)(,).m x y x y ρρ→ 证明：这实际上是表明(,)x y ρ是n n R R ?上的连续函数. 利用三角不等式, 得到 (,)(,)(,)(,)(,)(,) (,)(,)0,) m m m m m m m m x y x y x y x y x y x y x x y y m ρρρρρρρρ-≤-+-≤+→→∞(. 2. 证明：若()δ,01x O x ∈，则δδ，使得0(,)O x E δ=?I . 证明：注意到'E E E =U . （i ）.若（1）成立，则0x E ∈或0'x E ∈. 若前者成立，显然（2）成立；若后者0'x E ∈成立，由极限点的定义也有（2）成立. 总之，由（1）推出（2）. (ii). 若（2）成立，则对任意的n ，有10(,)n O x E ≠?I ，在其中任选一点记为n x . 这样就得到点列{}n x E ?，使得10(,)n n x x ρ<，即（3）成立. (iii). 设（3）成立. 若存在某个n 使得0n x x =，当然有0n x x E E =∈?；若对任意的n ，都有0n x x ≠，则根据极限点的性质知0'x E E ∈?. 总之，（1）成立. 5. 证明：A B A B ?=?. 证明：因为()'''A B A B =U U ，所以有 ()()()()()()'''''A B A B A B A B A B A A B B A B ?=??=??=??=?U U U . 6. 在1 R 中，设[0,1]E Q =?，求',E E . 解： '[0,1]E E ==

数学分析习题及答案 (50)

习题 12.5 偏导数在几何中的应用 1．求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）?????+==.1,2x x z x y 在??? ??21,1,1点；（2）??? ? ??? =-=-=.2sin 4,cos 1, sin t z t y t t x 在2π=t 的点；（3）???=++=++.6, 0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）???=+=+. ,2 22222R z x R y x 在??? ??2,2,2R R R 点。解（1）曲线的切向量函数为2 1(1,2, )(1)x x +，在?? ? ??21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。于是曲线在?? ? ??21,1,1点的切线方程为 )12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为 252168=++z y x 。（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2 t t t -，在2 π =t 对应点的切向量为(1,1。于是曲线在2 π = t 对应点的切线方程为 22 2 112 -= -=+- z y x π ，法平面方程为 (1)(1)2 x y z π - ++-+- =402 x y π ++- -=。（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为 (6,0,6)-。于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为

?? ?-==+2 2 y z x ，法平面方程为 z x =。（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在?? ? ??2, 2 , 2 R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。于是曲线在?? ? ??2, 2,2R R R 点的切线方程为 2 22R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为 02 2 =+ --R z y x 。 2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。解曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设， 22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ?=++=，由此解出1t =-或13 -，于是 )1,1,1(-- 和 )27 1 ,91,31(-- 为满足题目要求的点。 3. 求曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin ,sin ===在2 π =t 所对应的点处的切线的方向余弦。解曲线的切向量函数为(sin 2,cos 2,sin 2)t t t -，将2 t π =代入得)0,1,0(-，它是单位向量，所以是方向余弦。 4. 求下列曲面在指定点的切平面与法线方程：（1）3432y x z +=，在点)35,1,2(；（2）4e e =+z y z x ，在点)1,2ln ,2(ln ；（3）3322,,v u z v u y v u x +=+=+=，在点1,0==v u 所对应的点。解（1）曲面的法向量函数为32(8,9,1)x y -，以(,,)(2,1,35)x y z =代入，得

数学分析习题

《数学分析Ⅱ》期中考试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三次积分为柱坐标下三次积分

《数学分析》课本上的习题2

P.27 习题 2．按N -ε定义证明：（1）11 lim =+∞→n n n 证明因为 n n n n 11111<+=-+，所以0>?ε，取ε 1=N ，N n >?，必有ε<<-+n n n 111. 故11lim =+∞→n n n （2）2 3123lim 22=-+∞→n n n n 证明因为n n n n n n n n n n n n n 32525)1(232)12(23223123222222<=<-++<-+=--+ )1(>n ，于是0>?ε，取}3 ,1max{ε=N ，N n >?，有ε<<--+n n n n 3 231232 2. 所以2 3 123lim 22=-+∞→n n n n （3）0! lim =∞→n n n n 证明因为 n n n n n n n n n n n n n n n n 11211)1(!0!≤???-=???-==-ΛΛΛ，于是0>?ε，取 ε 1 = N ，N n >?，必有 ε<≤-n n n n 10!. 所以0!lim =∞→n n n n （4）0sin lim =∞ →n n π 证明因为n n n π π π ≤ =-sin 0sin ，于是0>?ε，取ε π = N ，N n >?，必有επ π <≤ -n n 0sin . 所以0sin lim =∞ →n n π

（5）)1(0lim >=∞→a a n n n 证明因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是 2 22 )1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-+ +=+=Λ，从而 22 )1(22 )1(0h n h n n n a n a n n n -=-≤=-，所以0>?ε，取12 2 +=h N ε，N n >?，有 ε<-≤-2 )1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n 3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）n n 1lim ∞ →；（2）n n 3lim ∞ →；（3）3 1 lim n n ∞→ （4）n n 31lim ∞→；（5）n n 2 1lim ∞→；（6）n n 10lim ∞→；（7）n n 21lim ∞→ 解（1）01lim 1lim 2 1==∞ →∞ →n n n n （用例2的结果，2 1= a ），无穷小数列. （2）13lim =∞ →n n ，（用例5的结果，3=a ）（3）01 lim 3 =∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列. （4）031lim 31lim =?? ? ??=∞→∞→n n n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列. （5）021lim 2 1 lim =??? ??=∞→∞ →n n n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞ →n n ，（用例5的结果，10=a ）. （7）12 1 lim 2 1lim ==∞ →∞→n n n n ,（用例5的结果，21=a ）. 4．证明：若a a n n =∞ →lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞ →lim

数学分析试题及答案4

（十四）《数学分析Ⅱ》考试题一填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。二计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→；解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ；

解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四（12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=

华东师大数学分析习题解答1

《数学分析选论》习题解答第一章实数理论１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．证设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证：（１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使；（２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使．证明如下：（１）据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２）为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ，就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）．证设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =．现证明如下．由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥．另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有

S A S x inf inf inf ≥?≥；同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤．综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明：（１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?；（２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?．并举出等号不成立的例子．证这里只证（２），类似地可证（１）．设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有．于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ，这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则，这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,，证明：（１）B A B A sup sup )sup(+=+；（２）B A B A inf inf )(inf +=+．

(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题 1.若0 () lim 1sin x x x φ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。 A.sin ||x B.ln(1)x - C. 1 1.【答案】D 。 2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0() lim 1tan sin x f x x x →=-则'''f (0)=（） A.5 B.3 C.1 D.0 2. 【答案】 B. 解析由洛必达法则可得 300 02() '() ''() lim lim lim 1 tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x x x x -→→→==-+-42200''()''() lim lim 16cos sin 2cos cos 21 x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3x B.3 4 x C.3 2 x D.x 3.【答案】A.解析 .1 2 2 33 31233 2000311(1)1133lim lim (1)3313 x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。 4.函数2sin f ()lim 1(2)n n x x x π→∞=+的间断点有（）个 A.4 B.3 C.2 D.1 4.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故 20.5sin 12lim 1(2(0.5))2n x π →-- =- +?-， 20.5sin 12lim 1(20.5)2n x π →= +?，故，有两个跳跃间断点，选C 。 5.已知()bx x f x a e =-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）

数学分析试题及答案7

（二十一）数学分析期终考试题一叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件二计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x 5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求f l (P 0) 三讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[) 1(11 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。四证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2 R D ?内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足 Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,(' ''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。