2015届江苏如东县掘港中学高三数学综合练习（5.29）
命题人：姚建
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，则A B =U ▲ ．()2,-+∞
2．实数,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋2i 与2－b i 互为共轭复数，则a b += ▲ ．4
3．函数()42
x
f x =-的定义域为 ▲ ．(0,2)
4．某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 ▲ 万元．12
5．已知双曲线22
1(0)4x y b b -=>的离心率为3，则b ＝ ▲ ．8
6．右面的伪代码结果是 ▲ ．15
7．已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))
f 处的切线方程为220x y --=，则m n += ▲ ．1
2
8．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6．则数列{a n }的通项公式为 ▲ ．a n ＝－5n ＋40
9．函数()|sin |cos 1f x x x =-的最小正周期与最大值之积为 ▲ ．-π 10．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11
r h
+
= ▲ ．3
11．如图，箭头形图标上半部分ABC 是等腰直角三角形，下半部分DEFG 是
（第4题图） i ←1
s ←0
While i ≤4
s ←2s ＋1 i ←i ＋1 End While Print s （第6题图）
H
E
D
C
A
正方形，已知90BAC ∠=?，DE =2BD =2EC =2，GE 的连线交AC 于点H ，则AF GH ?u u u r u u u r = ▲ ．15
2
-
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0 2A ，
，()0 1B ，，()(), 00D t t >，M 为线段AD 上的
动点．若2AM BM ≤恒成立，则正实数t 的最小值为 ▲ ．
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，tan B tan C ＝3
2，c ＝1，则△ABC 的面积最大值
为 ▲ ．
58
14．已知函数2
4,2
2|2|, 0()3, 46,
x x x x f x ---<=?
?-?≤≤≤若存在12, x x ，当12406x x <≤≤≤时，
12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是 ▲ ．[1, 4]
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知函数2()2sin sin cos f x x b x x =+，满足()26
f π
=．
（I ）求实数b 的值以及函数()f x 的最小正周期； （II ）记()()g x f x t =+（实数t 为常数），若函数()g x 是偶函数，求t 的值．
15．解（I ）由()26
f π
=，得112242b ?
+?=，解得b =2分
将b =2
()2sin cos f x x x x =+，
所以()1cos 2212sin(2)6
f x x x x π
=-=+-．…………5分
所以函数()f x 的最小正周期22
T π
==π．…………7分
（II ）由（I ）得，()2sin(2())16
f x t x t π
+=+-+，
所以()2sin(22)16
g x x t π
=+-+，…………9分
因为函数()g x 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有()()g x g x -=成立，
所以sin((2)2)sin((2)2)66
t x t x ππ
-+=--．…………11分
整理得，cos(2)sin 06
t x π
-=，（*）
（*）式对于任意的实数x 均成立，只有cos(2)06t π-=，解得2 ()62
t k k ππ
-=π+∈Z ，
所以 ()23
k t k ππ
=
+∈Z ．…………………14分
注意：若直接运用(0)g 为最值，解出结果扣2分。 16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，∠ABC =90?，AB =BC =BB 1，点D ,E
1111∴AB ⊥BB 1， ∵∠ABC =90?，∴AB ⊥BC ,BC I BB 1=B ,
∴AB ⊥平面BCC 1B 1，…………2分 ∵DB 1?平面BCC 1B 1，∴AB ⊥DB 1，
∵在平面BCC 1B 1中，BC =BB 1，
所以四边形BCC 1B 1为正方形，
∵D ,E 分别为BC ,CC 1的中点， ∴BCE △∽1B BD ?,∴∠CBE =∠BB 1D , ∴∠CBE +∠B 1DB =90°，即B 1D ⊥BE ,
∵BA I BE =B ,∴B 1D ⊥平面ABE ,…………6分
又DB 1?平面AB 1D ,∴平面ABE ⊥平面AB 1D ．…………8分
（II ）连接PC 交DE 于点F ，连接A 1C 交AE 于点G ，连接FG ， ∵A 1P ∥平面ADE ，平面A 1PC I 平面ADE=FG ,∴A 1P ∥FG ,……11分
∴1112
CF CG CE FP GA AA ===, ∴在正方形BCC 1B 1中利用平几知识可得11
=2B P PD ．……14分
17．甲、乙两人用扑克牌中的四种花色(红桃，黑桃、方块，梅花)的A ,K ,Q 共12张牌洗匀后做游戏。
（1）若甲从中任意抽出两张牌，求抽出的两张牌分别为A ,K 或者两张都为A 的概率； （2）若甲已经抽到了一张A 和一张K 后未放回，求乙再抽两张牌，两张牌分别为K ,Q 的 概率；
（3）若甲已经抽到了一张红桃A 和一张红桃K 后未放回，求乙再抽两张牌，两张牌花色相同的概率。
答案：（1）抽出的两张牌分别为A ,K 或者两张都为A 的概率为1
3
； （2）乙抽两张牌分别为K ,Q 的概率为415
； （3）乙抽两张牌花色相同的概率为
15
。 18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别是椭
G :2
214
x y +=的左、右顶点，()()2,,0P t t t ∈≠R 且为直线2x =的一个动点，过点P 任意作一条直线l 与椭圆G 交于C ，D PO 分别与直线AC ，AD 交于E ，F .
C 1
B 1
A 1
E
D C B A
（第16题图）
F
P
E
D
C 1B 1C B G F P E D
C 1
B 1
A 1
C B
A
（I ）当直线l 恰好经过椭圆G 的右焦点和上顶点时，求t 的值； （II ）记直线AC ，AD 的斜率分别为12,k k .
①若1t =-，求证：
12
11
k k +为定值； ②求证：四边形AFBE 为平行四边形.
18．解（I ）由题意：上顶点()0, 1C
，右焦点()
E
，所以:1l y =+，
令2x =
，得1t =（II ）直线()1:2AC y k x =+与22
14x y +=联立，得2112211284, 1414k k C k k ??-? ++??
， 同理得2
222222284, 1414k k D k k ?
?-? ++??
,由,,C D P 三点共线得CP DP k k =, 即12
22
1222
12
22
12
4414142828221414k k t t k k k k k k --++=----++，化简得()12124k k t k k =+， ①1t =-时，12
11
4k k +=-（定值）
②要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E ，F 的中点即点O ，
由()1,2
2t y x y k x ?=???=+?
得1142E k x t k =-，同理2242F k x t k =-， 将12
12
4k k t k k =+分别代入得()121121242E k k k x t k k k +==--，()122212242F k k k x t k k k +==--， 所以0E F x x +=,()02
E F E F t
y y x x +=
+=.即四边形AFBE 为平行四边形. 19．（本小题满分16分）
已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n +1＝2(S n ＋1)(*n ∈N )． （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若数列{b n }满足b 1＝1
，n b =(2n ≥，*n ∈N )，求{b n }的前n 项
和T n ；
（III ）若数列{c n }满足11lg 3
c =
，1lg 3n n n a c -=(2n ≥，*n ∈N )，试问是否存在正整数p ，
q （其中1
20．解（I ）由题意a n a n +1＝2(S n ＋1)，①
a n+1a n +2＝2(S n+1＋1)，②
由①-②得到：a n+1(a n +2-a n )＝2a n+1，③ 因为a n+1>0，则a n +2-a n ＝2，④
又a 1＝2，由④可知212k a k -=；a 2＝3，由④可知221k a k =+； 因此，1n a n =+．
（II ）当2n ≥
时，
n b
11
n n a a --
-
则1n T =++++L
＝12+．
（III ）假设存在正整数数对(p ，q )，使c 1，c p ，c q 成等比数列，即c 1c q ＝c p 2，
则lg c 1＋lg c q ＝2lg c p 成等差数列，于是，2133
3p q p q
=+(＊)．
当2p =时，21333
q p q p
=-19=，此时，3q =；
可知(p ，q )=(2，3)恰为方程(＊)的一组解．
又当p ≥3时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23
p
p
}(p ≥3)为递减数列． 于是3q q =2133p p -≤323133
?-
<0，所以此时方程(＊)无正整数解． 综上，存在惟一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使c 1，c p ，c q 成等比数列． 20．（本小题满分16分）
已知函数2
()2ln ()2
x f x ax x a =++∈R 有一个极值点为1x =．
（I ）求函数()f x 的单调区间和极值；
（II ）设函数F (x )＝()(2)f x f x +，当3
[, 1)4
t ∈时，比较()F t 与(1)F 的大小．
（III ）若方程() ()f x m m =∈R 有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<, 证明：12(2,3)x x +∈．(参考数据:ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈)
20．解(I)2'()f x x a x =++，则'(1)30f a =+=，3a =-，且2
232
'()x x f x x a x x
-+=++=
当01x <<时，'()0f x >，()f x 在区间(0,1)上为增函数； 当12x <<时，'()0f x <，()f x 在区间(1,2)上为减函数； 当2x >时，'()0f x >，()f x 在区间(2,)+∞上为增函数；
因此，函数()f x 的单调增区间为(0, 1)，(2, )+∞；减区间为(1, 2)．
当2x =时，极小值为(2)2ln 24f =-；当1x =时，极大值为5
(1)2
f =-．
(II)因为3[, 1)4t ∈，3
2[, 2)2
t ∈，由(1)可知()(1)f t f <，(2)(2)f t f >．
设函数()()(1)()(2)(1)(2)g t F t F f t f t f f =-=+--，其中3
14
t <≤．
则(1)(54)'()t t g t t --=，当3445t <≤时，'()0g t >；当4
15t <<时，'()0g t <；
那么，当3445t <≤时，34()()()45g g t g <≤；当415t <<时，4
(1)()()5
g g t g <<；
经计算(1)0g =，333()()(2)()(1)424g f f f f =-+-4527913
(2ln )(2ln 2)032482
=-+-->，
因此，当3[, 1)4
t ∈时，()0g t >恒成立，即()F t >(1)F ．
(III)由(I)可知1(0, 1)x ∈，2(1, 2)x ∈，3(2, )x ∈+∞，首先有123x x +<．
且211132ln 2x m x x =-+2
22232ln 2
x x x =-+，
整理得()22
121212
1()2ln ln 3()02
x x x x x x -+---=，即1212124(ln ln )6()x x x x x x --+=-， 问题等价于[]1212121212
4(ln ln )()
()6()x x x x x x x x x x -++-+=-，
令[]1212()6()w x x x x =+-+，12(01)x u u x =<<，则4(1)
ln 1
u w u u +=
?-． 下要证明122x x +>，即证明8w >，只要证明2(1)
ln 1u u u -<
+(01)u <<． 设函数2(1)
()ln 1u h u u u
-=-+(01u <<)，则22(1)'()(1)u h u u u -=+>0，
即'()0h u >恒成立，有()(1)0h u h <=，因此2(1)
ln 1
u u u -<+．
综上可知，1223x x <+<，即()122, 3x x +∈．