一、设)
,(y x d 为空间
X 上的距离，试证：)
,(1)
,(),(~x y d x y d x y d +=
也是X 上的距离。 证明：显然
,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~
。
再者，
),(~)
,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=；
最后，由
t
t t +-
=+11
11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 )
,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++
++=+++≤+=
),(~),(~)
,(1)
,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤
。
二
、设
1p ≥，1()()(,
,,)i n n p n x l ξξ=∈， ,2,1=n ，1(,
,,)p
i x l ξξ=∈，则
n →∞时，
1()1(,)0p
p n n i i i d x x ξξ∞
=?
?=-→ ???
∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2,
i =；
)2(0ε?>，
存在
0N >，使得
()1
p
n i i N ξε∞
=+<∑
对任何自然数n 成立。
必要性证明：由1
()
1(,)0p
p
n n i i i d x x ξξ∞
=??=-→ ???
∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =。
由
1(,,,)p
i x l
ξξ=∈可知，
ε?>，存在
10
N >，使得
11
()2
p
p
i i N εξ∞
=+<∑
，并且
1
n N >时，
()
1
()2
p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得，
11
111()
()1
1
1p p p
p
p p
n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞
∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ???????
∑
∑∑对1n N >成立。
对于
11,2,
n N =，存在20N >，
2()1
p
n p
i i N ξε∞
=+<∑
。取
{}12max ,N N N =，则
()1
p
n p i
i N ξ
ε∞
=+<∑
对任何自然数n 成立。
充分性证明：由条件可知，
0ε?>，存在0K >，使得
()1
()2p n p
i
i K ε
ξ
∞
=+<∑
对任何自然数
n 成立，并且
1
()2
p
p i i K εξ∞
=+<∑
。
由
()n i
i ξ
ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1
K
p
n p i
i
i ξ
ξε=-<∑，并且
()()()1
1
1
(,)K
p
p
p
p
n n n n i i
i i i i
i i i K d x x ξ
ξξ
ξξξ∞
∞
===+=-=-+
-∑∑∑
11()()1
11()()2p
K
p
p p n n p p p i i
i i i i K i K ξξξξε∞∞
==+=+??≤-++< ???
∑∑∑。
三、在],[b a L p )
1(≥p 上定义距离：
()
1
(,)()()b
p
p
a
d x y x t y t dt
=
-?
，则在此距离诱导的
极限意义下，
)(t x n 收敛于)(t x 的充要条件为)1()(t x n 依测度收敛于)(t x ；)2({})(t x n 在],[b a 上具有等度绝对连续的积分。
必要性证明：由
0),→x x n （ρ，可得0>?σ，?
?≥--≥
-)
()()(σx x E p
n E
p
n n dt x x dt t x t x
)((σσ≥-?≥x x E m n p ， ,2,1=n ，令∞→n ，可得0)((→≥-σx x E m n 。即)(t x n 依测度收敛于
)(t x 。
由
)(t x 的积分绝对连续性可知，对任何0>ε，存在01>δ，使得E e ?，1δ e p p dt t x 2 ))((1ε 。对上述 >ε，存在 0>N ，使得N n >时， ?<-E p p n dt t x t x 2 )()(1ε ）（， 从而 ε <+-≤+-≤?????p e p p E p n p e p p e p n p e p n dt x dt x x dt x dt x x dt t x 11111 )()()()())(， 即 ε e p n dt t x 1))(，对 ,1,+=N N n ，成立。 对于 N n ,,2,1 =，易知存在02>δ，使E e ?，2δ （? p n dt t x ε)(）。 取 ) ,m in(21δδδ=，则 E e ?，δ e p n dt t x 1))(，对每个自然数 n 成立。 即 {} )(t x n 在 ],[b a 上具有等度绝对连续的积分。 充分性证明：对任何 >ε，令 )()(εε≥-=x x E E n n ，则0)(→εn mE 。由此可知，对任何0>δ，存在0>N ，使得 N n >时，δε<)(n mE 。 令 )()(εε<-=x x E F n n ，则? ? -+ -= n n E F p n p n n p dt x x dt x x x x ),(ρ。此时， p E p p E p E p n p n n n n dt x dt x dt x x ?????? ?????+≤-1 1)()(， p F p n a b dt x x n ε?-<-? )(。 由积分的等度绝对连续性可知，对任何 >ε，存在 >δ，使得 E e ?，δ 2 ))(1ε < ? p e p n dt t x ， 2 ))(1ε < ? p e p dt t x 。 对上述 >δ，存在 0>N ，使得N n >时，δε<)(n mE ，此时 p E p n n dt x x ?≤-ε）（。 于是对任何 >ε，存在 0>N ，使得N n >时，1 (,)(1)p n d x x b a ε≤+-?， 即 )(t x n 收敛于)(t x 。 四、 F 是距离空间 X 中闭集的充分必要条件为对任何F 中点列{}n x ，n x x X →∈，必有x F ∈。 必要性证明：对于 F 中点列 {} n x ， n x x X →∈，若 x F ?，则c x F ∈，即 x 为开集 c F 的点，从而存在0>δ，使得 (,)c O x F δ?。由n x x →可知，存在0>N ，使得(,)c N x O x F δ∈?，这与N x F ∈矛盾。因而有x F ∈。 充分性证明：对于 F 中互异点列{}n x ，若n x x X →∈，则x F ∈，即F 的聚点在F 中。因此，对于任意c x F ∈，x 必不是F 的聚点，从 而存在 0>δ，使得 (,)c O x F δ?，因而 c F 为开集，即F 为闭集。 五、设 B 是度量空间 X 中闭集，试证必有一列开集 ,21n O O O ，， ，包含B ，并且 ∞ ==1 n n O B 。 证明：任取 ,2,1,1 == n n n δ，令 B x n n x O ∈=)(δ，则n O B ?，并且n O 为开集),2,1( =n 。任取 ∞ =∈1n n O x ， 则存在B x n ∈，使得n x x d n 1 ),(< ),2,1( =n ，从而x x n →。由于B 为闭集，因而B x ∈，即有 ∞ ==1 n n O B 。 六、设 X 为距离空间， 21F F ，为X 中不相交的闭集，试证：存在开集21G G ，，使得 Φ=21G G ，11F G ?，22F G ?。 证明：由 Φ=21F F ，得0),(2111>∈?F x d F x ，，0),(,1222>∈?F x d F x 。 令 2),(,2),(122211F x d F x d ==δδ， 2 211)(,)(222111 F x F x x G x G ∈∈==δδ,则21G G ，分别为包含 21F F ，的开集。 假设210G G x ∈，则2 11220110,,),(,),(F x F x x x d x x d ∈∈<<δδ，但是 ),(2 ) ,(2),(),(),(),(211221200121x x d F x d F x d x x d x x d x x d ≤+<+≤是一个错误，故而 Φ=21G G 。 七 、试证： ∞l 是不可分的距离空间。 证明：设 (){ },1,0,,,,21=∈=∞n n l M ξξξξ ，则对于任何{}{}M y x n n ∈==ηξ,，当 y x ≠时， ,)sup 1n n d x y ξη=-=（。显然，M 与二进制小数一一对应，因而是不可数的。 假设 ∞l 是可分的，则存在可数稠密子集{}n y ，使得任何∞?∈l M x 的邻域)3 1 ,(x U 中至少包含一个n y 。对于任何两个不同的邻域 )31,(x U 、)3 1 ,(y U ，M y x ∈,，必有 Φ=)31,()31,(y U x U ，从而? ?? ???∈M x x U )31,(是一族互不相交的球，其总数是不可数的。因此{}n y 至少也有不可数个，这与{} n y 是可数的相矛盾。 （或：由 M l y U n ??∞）（3 1 , 以及 M 是不可数的，可知存在一个 )3 1 ,(n y U 包含M 中的两个不同点 y x ,。但 ,)1d x y =（，并且2 ,),)(,)3 n n d x y d x y d y y ≤+< （（，显然这是相互矛盾的。） 八、设X 为距离空间， A 为X 中的子集，令),(inf )(y x d x f A y ∈=，X x ∈，试证：)(x f 是X 上的连续函数。 证明：任取 X x ∈0，对于 X x ∈，有 ),(),(),(),(inf )(00x y d x x d y x d y x d x f A y +≤≤=∈,对一切A y ∈成立。 从而 )(),()(00x f x x d x f +≤，同理可得)(),()(00x f x x d x f +≤ 即有 ),()()(00x x d x f x f ≤-，从而)(x f 在0x 处连续。 因此 )(x f 是X 上的连续函数。 九、试证： T 是距离空间X 到距离空间Y 中的连续映射的充要条件为Y 中任何闭集F 的原像F T 1-是X 中的闭集。 必要性证明：设 F 为Y 中的闭集，任取{}1n x T F -?，n x x →，X x ∈，则n Tx F ∈。 由 T 的连续性可知，n Tx Tx →，从而Tx F ∈，即1x T F -∈。 充分性证明：设 X x ∈，任取{}n x X ?，n x x →。 假设 n Tx Tx →不成立，则存在00ε>和子列{} k n x X ?，使得0(,)k n d Tx Tx ε≥。 令 {}0(,)F y d y Tx ε=≥，则{} k n Tx F ?，并且 F 为Y 中的闭集，从而F T 1-是X 中的闭集。 由 1k n x T F -∈,k n x x →可得， 1x T F -∈，即Tx F ∈，由此可得 00(,)0d Tx Tx ε=≥>，这一矛盾说明， n Tx Tx →，即为连续映射。 十 、试证： p l )1(≥p 是完备的距离空间。 证明：对于任何基本列 {}p n x l ?： 1()() ()2(,,,,)i n n n n x ξξξ=， ,2,1=n ，有0ε?>，存在0N >， ,m n N >时， ()()1 p n m p i i i ξξε∞ =-<∑。从而对于每个1,2, i =， {} () n i ξ是 R 中的基本列，由R 的完备性可知，存在 i R ξ∈，使得 ()n i i ξ ξ→， n →∞ 。同时对于任何自然数 s ， ()()1 s p n m p i i i ξ ξε=-<∑，令 m →∞ ，得 ()1 s p n p i i i ξ ξε =-≤∑，从而 ()1 p n p i i i ξξε∞ =-≤∑。 令 12(,, ,,)i x ξξξ=，则由1 1 1 ()()111i p p p p p p n n i i i i i i ξξξξ∞ ∞ ∞ ===?? ?? ? ?≤+-?? ?????? ?? ?? ∑∑∑可知， p x l ∈。由 (,)n d x x ε≤可知，n x x →。从而p l )1(≥p 是完备的距离空间。 十一 、试证： [,]C a b 在积分平均收敛意义下是不完备的距离空间。 证明：设111111, 2(),1,2n n n n n n t x t nt t t --≤≤-?? =-≤≤ ??≤≤+? ， ,2,1=n ，则{}[,]n x C a b ?。 对于 n m >，2 2 11 (,)()()n m n m d x x x t x t dt m n -=-= -?，由此可知，{}n x 为([,],)C a b d 中的基本点列。 若 {} n x 在 ([,],)C a b d 中收敛，则存在()[,]x t C a b ∈，使得 2 2 (,)()()0n n d x x x t x t dt -=-→?，从而112 2 1()1()0n n x t dt x t dt --++-→??。 由此可得， (0)1x -=-，(0)1x +=，这与()[,]x t C a b ∈矛盾。因此{}n x 在([,],)C a b d 中不收敛，从而[,]C a b 在积分平 均收敛意义下是不完备的。 十二、设 )(x f 是 R 上的可微函数，并且 1)(<≤'αx f ，则方程x x f =)(有唯一的实数解。 证明：对于任何 R y x ∈,，y x y x f y f x f -?≤-?'=-αξ)()()(。 由 10<<α，可知，f 是完备空间R 上的压缩映射。 由压缩映射不动点原理可知，x x f =)(有唯一的实数解。 十三 、设 F 是n 维欧几里得空间n R 中有界的闭集，A 是F 到自身中的映射，并且满足下列条件：对任何 )(,y x F y x ≠∈，有 ),(),(y x d Ay Ax d <。试证：映射A 在F 中存在唯一的不动点。 证明：令 )(inf ),,()(0x Ax x d x F x ???∈==，则 ) (x ?是紧集 F 上的连续函数，从而存在 F x ∈?，使得)(0?=x ??。 假设 0),()(>=???Ax x d x ?，则),(),(2???? 即 0)()(???= x ??∈?=∈，矛盾，故而0),(=??Ax x d ，从而??=x Ax 。即映射 A 在F 中存在不动点。 若 ?≠=x x x Ax 000,，F x ∈0，则),(),(),(000x x d Ax Ax d x x d ???<=，显然这是 一个错误。因而映射 A 在F 中不动点是唯一的。 十四 、设对于任何实数 1p ≥，12(,, ,,)p n x l ξξξ=∈，试证：lim p p x x ∞ →+∞ =。 证明：不妨设 12(,,,,)0n x ξξξ=≠，令n n x ξη∞ = ， () 12,, ,, n y ηηη=，则 1n η≤， p y l ∈， p p x y x ∞ = , 1y ∞ =。由此可知，对于0ε?>，0N ?>，n N >时，使得 1 p n n N ηε ∞ =+<∑ ，并存在 0n ，使得 011n εη-<≤。 由 ()1 1 101111p p p N p p p n n n n p n n n N y N εηηηηε∞∞===+???? -<≤==+≤+ ? ????? ∑∑∑可得， ε?>， 11p p p p lim y lim y ε→+∞ →+∞ -≤≤≤，从而lim 1p p y →+∞ =。 由此可得， lim p p x x ∞ →+∞ =。 十五 、设 X 一个线性空间，数 1x 与2 x 等价的充分必要条件是存在两个正数 b a ,，使得不等式2 12 x b x x a ?≤≤?，对任何 X x ∈成立。 证明：充分性是显然的，只需证明必要性。 假设不存在 0>b ，使得2 1x b x ?≤成立，则对每一个自然数 n ，存在 X x n ∈，使得 2 1 n n x n x ?>，从而 n x x n n 1 2 1 < ，但11 1 =n n x x ，这与数1x 与2 x 等价相矛盾。因而存在 0>b ，使得对任何X x ∈， 2 1x b x ?≤成 立。 同理可证，存在 0>'a ，使得12x a x ?'≤。令a a ' = 1 ，则0>a ，并且对任何X x ∈，成立着12 x x a ≤?。 十六、设 ,2,1,0,0,,=≠≠∈n x x X x x n n ，并且∞→→n x x n ,，则x x x x n n →。 证明：由 x x n →及x x x x n n -≤-（或数的连续性）,可得 x x n →。 由 x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n ?-+-???=??-?=-)()(1 ∞→→-?+-???≤ n x x x x x x x x n n n ,0)(1 ， 可得 x x x x n n →。 十七、设 ， ，21X X 是一列 Banach 空间，{} ,,,,21n x x x x =是一列元素，其中n n X x ∈， ,2,1=n ，并 且 ∑∞ =∞<1 n p n x ，这种元素列的全体记为X ，按通常数列的加法和数乘，在 X 中引入线性运算。若令 p n p n x x 11 ?? ? ?? =∑∞ =，试证：当 1 ≥p 时， X 是Banach 空间。 证明：仅证 X 的完备性。设 ,2,1),,,,,()()(2 )(1)(==i x x x x i n i i i ，为X 中的基本列，则 I j i I >>?>?,,0,0ε时 ε<-)()(j i x x ，即∑∞ =<-1 1 )() ()(n p p j n i n x x ε，从而对每个自然数n ，均有ε<-) ()(j n i n x x ，即{} ∞ =1 )(i i n x 为 n X 中的基本列。由 n X 的完备性可知，存在点列 {}n n X x ?，使得 ∞ →i 时， ,2,1,)(=→n x x n i n 。令 ) ,,,,(21 n x x x x =， 则 ∑∞ =-=-1 1 ) ()() (n p p n i n i x x x x 。由 ∑∑∞ =∞ =∞ →-=-1 1 ) (1 1 )() () ()(lim n p p n i n n p p j n i n j x x x x ，可得 I i >时，ε ≤-x x i )(，从而 ∞→→i x x i ,)(， 并且 ∑∑∞ =∞ =-≤=1 1)(1 1) ()(n p p n i n n p p n x x x x + +∞<∑∞ =1 1)()(n p p i n x ，即X x ∈。因此X 是完备空间。 十八、设 ()()12,,,,1,,,,,T n ij ij n n Tx z z Ax A a a R i j n x x x x R ===∈≤≤=???∈，并且 n R 中数分别 取为 {}1max i i n x x ∞ ≤≤=、11 n i i x x ==∑、 12 2 21 () n i i x x ==∑。试证： T 是n n R R →的有界线性算子，并求算子T 的数 T ∞ 、 1 T 、 2 T 。 证明：（1）由 1111 1 1 ()()n n n ij j ij j ij i n i n i n j j j Tx max a x max a x max a x ∞ ∞ ≤≤≤≤≤≤====≤?≤?∑∑∑可得， T 为有界线性算子，并且 11n ij i n j T max a ∞ ≤≤=≤∑。 不妨设 11 1 0n n ij mj i n j j M max a a ≤≤====≠∑∑，1m n ≤≤。 取 012((),(), ,())T m m mn x sign a sign a sign a =，则0 1x ∞ =，并且 11 11 ()()n n n ij mj mj mj mj i n j j j Tx max a sign a a sign a a M ∞ ≤≤====≥ ==∑∑∑。 由此可得， T M ∞ ≥，从而11 n ij i n j T max a ∞ ≤≤==∑。 （2）由 1111 1 11 1 1 1 ()()()n n n n n n n ij j ij j j ij ij j n i j i j j i i Tx a x a x x a max a x ≤≤========≤?=≤∑∑∑∑∑∑∑可得，T 为有界线性 算子，并且 111 n ij j n i T max a ≤≤=≤∑。 不妨设 11 1 0n n ij im j n i i M max a a ≤≤====≠∑∑，1m n ≤≤。 取 0x 为向量单位m e ，则011x =，并且011 n im i Tx a M ===∑。 由此可得， T M ∞ ≥，从而111 n ij j n i T max a ≤≤==∑。 （3）不妨设 0A ≠，由实对称矩阵T A A 的半正定性可知，其特征值均为非负实数，并且最大特征值()0T max A A λ>。 由二次型理论可知， () ()() () () 1 1 1 2 2 2 22 ()()T T T T max Tx Ax Ax x A A x A A x λ= =≤，同时存在 0n x R ∈， 021x =，使得() 1 2 2 ()T max Tx A A λ=。 由此可知， T 为有界线性算子，并且() 1 2 2 ()T max T A A λ=。 十九 、试求 ]11[，-C 上线性泛函??--=01 1 )()()(dt t x dt t x x f 的数。 解：由 ?????---=+≤-= 01 10 1 1 1 10 )()()()()()(dt t x dt t x dt t x dt t x dt t x x f ]1,1[,2)(max 21 1-∈??=?≤≤≤-C x x t x t 可得 2≤f 。 取??? ? ? ????-----=] 1,1[,1]1,1[,]1,1[,1)(n n n nt n t x n ，则 ,2,1,1],1,1[==-∈n x C x n n ，并且 ????=-=-----+=---n n n n n n n dt dt nt dt nt dt x f 10 1 11 10 1,2,1,1 2)1()()(1)( ， 从而 ,2,1,1 2)(=-=≥n n x f f n 。 由此可得 2≥f ，从而2=f 。 二十 、设无穷矩阵 ()ij a ( ,2,1,=j i )，满足 ∞<∑∞ =≥1 1 sup j ij i a 。作∞l 到∞l 的算子如下： 若 ),,(21 x x x =，),,(21 y y y =，y Tx =，则∑∞ =?=1 j j ij i x a y ， ,2,1=i 。试证，T 是∞l 到∞l 的有界 线性算子，并且 ∑∞ =≥=1 1 sup j ij i a T 。 证明：显然 T 是线性算子。 对于任何 ∞∈=l x n ),,,,(21 ξξξ， ∑∑∑∞ =≥∞ =≥∞ =≥≥?≤?≤?==1 1 1 1 1 1 1 sup sup sup sup j ij i j j ij i j j ij i i i a x a a Tx ξξη， 即 ∑∞ =≥≤1 1 sup j ij i a T （记为 M ，不妨设0 1k M > ）。 对 ,1,,1 00+== k k k k ε，存在自然数k i ，使得011 >->∑∞ =k M a j j i k 。 令 ),sgn ,,(sgn 1 j i i k k k a a x =，则∞∈l x k ，并且 ,,10k k x k ==。 由此可得 ),sgn ,(1 j i j ij k k a a Tx ?=∑∞= ，∑∑∞ =∞ =≥?≥ ?=1 1 1 sgn sgn sup j j i j i j j i ij i k k k k a a a a Tx ,2,1,1 1 =- >=∑∞ =k k M a j j i k 。从而 ,,1 0k k k M Tx T k =->≥，即有 M T ≥。因而 M T =。 二十一 、设 X 是赋线性空间， Z 是X 的线性子空间， X x ∈0，又 0),(0>Z x d ，试证，存在*∈X f ，满足条件：（1）当 Z x ∈时，0)(=x f ；（2）),()(0 0Z x d x f =；（3 ）1=f 。 证明：设 {}K k Z z z kx G ∈∈+=,0，对于任何),()(,00Z x d k x F G z kx x ?=∈+=，则F 为X 的子空间 G 上的线性泛函，),()(00Z x d x F =，并且Z x ∈时，0)(=x F 。 0≠k 时，x k z x k Z x d k z x k F x F =+?≤?=+?=)(),()()(000，即有 1≤F 。 设 {}Z z n ∈，使得 ∞→→-n Z x d z x n ),,(00，则≤-==)()(),(000n z x F x F Z x d n z x F -?0。令 ∞→n ，可得),(),(00Z x d F Z x d ?≤，即1≥F 。因此1=F 。 由 Banach 延拓定理，可得存在*∈X f ，满足1),,()(,0)(00===f Z x d x f Z f 。 二十二、设 X 是线性空间， 1x 和2 x 是 X 上两个数，若 X 按 1x 及2 x 都是完备的，并且由点列 {} n x 按 1x 收敛于0，必有按 2 x 收敛于0，试证：存在正数 b a ,，使 121x b x x a ?≤≤?。 证明：记 Banach 空间),(),,(21x X x X 分别为F E ,，E 到F 上的恒等算子为I ，则 x x n →即01→-x x n 时， 022→-=-x x Ix Ix n n ，即Ix Ix n →，从而 I 为 E 到 F 上的连续线性算子。因此存在正常数 b ，使得 12x b x ?≤。由逆算子定理，可得1-I 为F 到E 上的有界线性算子，从而存在正常数a ，使得2 111x x I a x a ≤?=?-。 因此存在正常数 a 、 b ，使得12 1x b x x a ?≤≤?。 二十三、设 )(Y X B T n →∈) ,2,1( =n ，其中 X 是Banach 空间，Y 是赋线性空间，若对于每个X x ∈，{} x T n 都收敛，令 x T Tx n n ∞ →=lim ，试证：T 是X 到Y 中有界线性算子，并且n n T T ∞ →≤lim 。 证明：由已知，对于每个 X x ∈，{}x T n 收敛，从而有界。由共鸣定理可知，{} n T 有界，即存在 0>M ，使得M T n ≤。 由 Ty Tx y T x T y x T y x T n n n n n n ?+?=?+?=?+?=?+?∞ →∞ →∞ →μλμλμλμλlim lim )(lim )(，可知T 是 X 到Y 中的线性算子。 对于任何 X x ∈，x T x T x T x T Tx n n n n n n n n ?=?≤==∞ →∞ →∞ →∞ →lim )(lim lim lim ，即有 n n T T ∞ →≤lim 。 二十四 、任取积空间 X 中一点y ，对于任意x X ∈，令 (),f x x y =<>，试证：()f x 为X 上有界线性泛函，并计算其数f 。 证明：对于任意 ,x z X ∈和常数 k ， (),,,()()f x z x z y x y z y f x f z +=<+>=<>+<>=+ (),,()f kx kx y k x y kf x =<>=<>= 因此 ()f x 为X 上线性泛函。 对于任意 x X ∈，由 (),f x x y x y =<>≤?可知， ()f x 为X 上有界线性泛函，并且f y ≤。 不妨设 0y ≠，令y x y =，则 1x =，并且()f x y =。 由此可得， f y ≥，从而 f y =。 二十五 、设 {} n x 是积空间 X 中点列，若 x x n →) (∞→n ，并且对于一切 X y ∈，有 > 证明：由 >-<+>-<++=-n n n n x x x x x x x x ,,22 2 以及2 2 x x n →、 2 ,,x x x x x n ->=->→<-<、 2 ,,,,x x x x x x x x x n n ->=-=<>-<→>-<>=-<，可得 ∞→=--+→-n x x x x x x n ,02 2 2 2 2 ，即∞→→n x x n ,。 二十六 、设 X 是n 维线性空间，{}n e e e ,,,21 是X 的一组基，试证： > 上积的充要条件是存在 n 阶正定方阵 ()ij a A =，使得 ∑∑∑===??>= ?? j i j i ij n j j j n i i i y x a e y e x 1 ,1 1 ,。 必要性证明：设 > = > =<> ji ij a a =， n j i ≤≤,1，并且 ∑∑∑===??>= ?? j i j i ij n j j j n i i i y x a e y e x 1 ,1 1 ,。 令 n ij a A )（=， 则 A A ='， 并 且 对 任何 ),,,(21' =n x x x α， ∑∑∑===> ??= 'n i i i n i i i n j i j i ij e x e x x x a A 1 1 1 ,,αα。由积的正定性可知，仅当 01 =?=∑=n i i i e x x ，即0=α时，0='ααA 。因而A 为n 阶正定矩阵。 充分性证明：对于任何 X y x ∈,，设 ? ? ? ? ? ??=????? ??=?=?=∑∑==n n n i i i n i i i y y x x e y y e x x 1111,,,βα，则 A A A y x =''>=<,,βα，从而 （1） 000,0,=?=?='≥'>= （2） ><+><='?+'?='?+?>=?+? ),,,(,211 '=?=∑=n n i i i z z z e z z γ； （3） ><='='='>= 因此 > 二十七、设 X 为积空间， 12,,,n x x x X ∈，满足 n j i x x ij j i ≤≤>=<,1,,δ，试证：n x x x ,,,21 线性无关。 证明：考察 ∑==?n i i i x k 1 0，两端同时与j x 作积得， ∑==>==? i j i j j i i n j x x k x x k 1 ,,2,1,0,, ，即n j k j ,,2,1,0 ==。 因而 n x x x ,,,21 线性无关。 二十八、设 X 是 Hilbert 空间， M X ?，M ≠?，试证：()M ⊥⊥是X 中包含M 的最小闭子空间。 证明：显然， ()M ⊥⊥为X 中包含 M 的闭子空间。 设F 为X 中包含M 的任意闭子空间，则F 为完备的子空间，并且() ()F M ⊥⊥ ⊥⊥?。 下证：() F F ⊥⊥ ?，从而()F F ⊥⊥=。 任取 ()x F ⊥⊥∈，由正交分解定理可知，12x x x =+，12,x F x F ⊥∈∈。 两边与 2x 作积得，21222,,,x x x x x x <>=<>+<>。 由 2,0x x <>，12,0x x <>=可得，22,0x x <>=，即20x =，1x x F =∈，因此()F F ⊥⊥?。 （或：由 1()x F F ⊥⊥∈?可知，{}12()0x x x F F ⊥ ⊥⊥-=∈=，即1x x F =∈，因此()F F ⊥⊥?。 ） 由此可知， ()F M ⊥⊥?。 综上所述， ()M ⊥⊥是X 中包含 M 的最小闭子空间。 二十九 、试证：数域 K 上积空间X 中向量y x ,垂直的充要条件是对一切数K ∈α，成立x y x ≥?+α。 充分性证明：由 x y x ≥?+α，可得 >>≥ ,,,2 >≥ ,,,≠> <> <- =y y y y x α，代入上式后得到， 0,,2 ≥> <> <- y y y x ，从而0,>= 必要性证明：由 y x ⊥，即 ,>= ,>=?<∈?y x K αα，，即 y x ?⊥α。由此可得 2 2 2 2 x y x y x ≥?+=?+αα，即 x y x ≥?+α。 三十、设 12,,,n e e e 为积空间 X 中的规正交系，试证：X 到12{,, ,}n span e e e 的投影算子P 为 1 ,n i i i Px x e e ==<>∑，x X ∈。 证明：设 12{,,,}n M span e e e =，则M 为X 中完备子空间。 由题意知，对于任何 x X ∈，x Px y =+，其中Px M ∈，y M ⊥∈，从而12,, ,n y e e e ⊥。 设 1 n i i i Px c e ==∑，由12,, ,n e e e y ⊥可得，,i i c x e =<>，1,2, ,i n =。 由此可知， 1 ,n i i i Px x e e ==<>∑，x X ∈。 三十一、设 X 是可分的 Hilbert 空间，试证：X 中任何规正交系至多为可数集。 证明：显然 X 是有限维的线性空间时，其任何规正交系必为一线性无关的向量组，因而一定是一个有限集。 若X 不是有限维的线性空间，则由X 的可分性与完备性可知，存在可列的完全规正交系{ } ,,,,21n e e e M =。对于X 中任何规正交系 {}I v e E v ∈=，作集合 {}I v e e e E i v v i ∈>≠<=,0,， ,2,1=i ，则 ∞ =??? ? ??∈>><=1,1,k i v v i I v k e e e E 至多是可列集（由 Bessel 不等式 1,2 1 ,2 =≤><∑ ≥∈i j I v i v e e e j j ，可知? ?? ???∈>> ,2,1=i ，并且E E i i ?∞ = 1 。对于E 中任何向量v e ，若 ∞ =?1 i i v E e ，则必有0,>= 性可知，必有 0=v e ，这与1=v e 矛盾。因此必有 ∞=∈1 i i v E e ，从而E E i i =∞ = 1 。由此可知，规正交系E 至多为可数集。 三十二、设 T 是 Hilbert 空间 X 上的有界线性算子，1≤T ，试证： {}{} x x T x x Tx x ===? 。 证明：设 00x Tx =，则>>=<>=<<∈??y T x y Tx y x X y ,,,,000，即 0,0>=- y T y x 。取0x y =，得到000)(x x x T ⊥-? ，从而2 2 02 0x T x x T x ? ? =-+。由此可得 2 2 2 2 02 x x T x x T x ≤?≤-+? ?，从而 000=-?x x T ，即00x x T =?； 同样， 00x x T =?时，由1≤=?T T ，可得00x x T =? ?）（，即00x Tx =。从而 {}{} x x T x x Tx x ===? 。 三十三、设 2 1,T T 均为 Hilbert 空间H 中的有界线性算子，若H y x ∈?,，有>= > 证明：由已知可得， 0,,,21>=-<∈?y x T x T H y x 。 取 x T x T y 21-=，则0,2 21=-∈?x T x T H x ，即x T x T 21=。因而21T T =。
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