一、等差数列选择题
1.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221
n n S n T n +=+,则12
15a b =( ) A .
3
2
B .
7059
C .
7159
D .85
2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7
B .12
C .14
D .21
3.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤
B .6斤
C .9斤
D .12斤
4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足
122527
n n
a a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )
A .6-
B .2-
C .1-
D .0
5.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了
3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( )
A .34000米
B .36000米
C .38000米
D .40000米 6.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( ) A .a 5=4 B .a 6=4 C .a 5=2 D .a 6=2
7.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -
B .
3
22
n - C .
3122
n - D .
31
22
n + 8.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8
B .13
C .26
D .162
9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且
77b a =,则3810b b b =( )
A .1
B .8
C .4
D .2
10.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,且
713n n S n T n -=,则5
5
a b =( )
A .
3415
B .
2310
C .
317
D .
62
27
11.已知等差数列{}n a ,且()()35710133248a a a a a ++++=,则数列{}n a 的前13项之和为( ) A .24
B .39
C .104
D .52
12.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10
B .9
C .8
D .7
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60
B .120
C .160
D .240
14.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .
47
B .
1629
C .
815
D .
45
15.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列
{}n a ,已知11a =,2
2a
=,且满足()211+-=+-n
n n a a (n *∈N ),则该医院30天入
院治疗流感的共有( )人
A .225
B .255
C .365
D .465
16.已知递减的等差数列{}n a 满足22
19a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )
A .4或5
B .5或6
C .4
D .5
17.已知数列{}n a 中,12(2)n n a a n --=≥,且11a =,则这个数列的第10项为( ) A .18
B .19
C .20
D .21
18.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为( ) A .
54
钱 B .
43
钱 C .
23
钱 D .
53
钱 19.已知{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且100S =,下列式子正确的是( ) A .450a a +=
B .560a a +=
C .670a a +=
D .890a a +=
20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差
d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;
④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
二、多选题
21.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-
B .180S =
C .当0d >时,6140a a +>
D .当0d <时,614a a >
22.(多选)在数列{}n a 中,若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .
(){}1n
- 是等方差数列
C .{}2
n
是等方差数列.
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列
23.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )
A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021
B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1
C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021
D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=0
24.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +??
-=+ ???
,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式
()22212n
a t a t a a n
<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4
B .-2
C .0
D .2
25.已知数列{}n a 满足112
a =-,11
1n n a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )
A .2-
B .
2
3
C .
32
D .3
26.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有
m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )
A .11285a a a a +=+
B .56110a a a a <
C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103
a = D .数列n S n ??
?
???
为递减的等差数列 27.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A .4
B .5
C .7
D .8
28.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =
C .135********a a a a a ++++=
D .222
2123202020202021a a a a a a ++++=
29.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( )
A .a 6>0
B .24
37
d -
<<- C .S n <0时,n 的最小值为13
D .数列n n S a ??
????
中最小项为第7项
30.已知数列{}n a 是递增的等差数列,5105a a +=,
6914a a ?=-.12n n n n b a a a ++=??,数列{}n b 的前n 项和为n T ,下列结论正确的是( )
A .320n a n =-
B .325n a n =-+
C .当4n =时,n T 取最小值
D .当6n =时,n T 取最小值
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一、等差数列选择题
1.C 【分析】
可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】
因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且
3221
n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,
又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴
1215(6121)71(4151)59
a k
b k ?-==?-, 故选:C . 2.C 【分析】
判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】
∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()
1422
a a a a S ++===. 故选:C 3.C 【分析】
根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】
由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,
根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==?=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】
本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 4.A 【分析】 转化条件为
122527
n n
a a n n +-=--,由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--,求得满足0n a ≤的项后即可得解.
【详解】
因为
122527
n n a a n n +-=--,所以122527n n
a a n n +-
=--, 又1127a =--,所以数列27n a n ??
??-??
是以1-为首项,公差为2的等差数列, 所以
()1212327
n
a n n n =-+-=--,所以()()2327n a n n =--, 令()()23270n a n n =--≤,解得
3722
n ≤≤, 所以230,0a a <<,其余各项均大于0, 所以()
()()3123min
13316p q S S a a S S =-=+=?-+--?=-.
故选:A. 【点睛】
解决本题的关键是构造新数列求数列通项,再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项,即可得解. 5.B 【分析】
利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】
根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,
则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故
143600a =,
则()()11521411
151********
n S a a a a =
+?=+?=. 故选:B. 6.C 【分析】
利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】
因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 7.C 【分析】
根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】
因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为313
22
a a d -=
=,
因此通项公式为()33111222
n a n n =+-=-. 故选:C. 8.B 【分析】
先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据
()
11313713132
a a S a +=
=求解出结果.
【详解】
因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,
又()
1131371313131132
a a S a +=
==?=, 故选:B. 【点睛】
结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,
(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2
m n p q t a a a a a ?=?=.
9.B 【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】
因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=,
所以2
7720a a -=,解得72a =或70a =(舍);
又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,
所以3
3810371178b b b b b b b ===.
故选:B. 10.D 【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】
由713n n S n T n
-=, ()()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++?-======++?.
故选:D 11.D 【分析】
根据等差数列的性质计算求解. 【详解】
由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=?+?=+==,
74a =,∴11313713()
13134522
a a S a +=
==?=. 故选:D . 12.A 【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】
在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由
467811a a a =???
+=?4448
12311
a d a d a d =??=-?+++=?,24210a a d ∴=-=. 故选:A 13.B 【分析】
根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()
11515815152
a a S a +==,从而可得出结果.
【详解】
解:由题可知,2938a a a +=+,
由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =,
故()1158
158151521515812022
a a a S a +?====?=. 故选:B. 14.D 【分析】
设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果
【详解】
设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知202019
2042322
S d ?=?+=, 解得45
d =
.
故该女子织布每天增加4
5
尺. 故选:D 15.B 【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】
解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==???==,
2430,,,a a a ???是以2为首项,2为公差的等差数列,
所以30132924301514
()()1515222552
S a a a a a a ?=++???++++???+=+?+?=, 故选:B 16.A 【分析】
由22
19a a =,可得14a d =-,从而得2922
n d d S n n =
-,然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】
解:设递减的等差数列{}n a 的公差为d (0d <),
因为2219a a =,所以22
11(8)a a d =+,化简得14a d =-,
所以221(1)9422222
n n n d d d d
S na d dn n n n n -=+=-+-=-, 对称轴为92
n =
, 因为n ∈+N ,
02
d
<, 所以当4n =或5n =时,n S 取最大值, 故选:A 17.B 【分析】
由已知判断出数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,求出通项公式后即可求得
10a .
【详解】
()122n n a a n --=≥,且11a =,
∴数列{}n a 是以1为首项,以2为公差的等差数列,
通项公式为()12121n a n n =+-=-,
10210119a ∴=?-=,
故选:B. 18.C 【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +, 则根据题意有(2)()()(2)5
(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=??-+-=++++?
,
解得1
16a d =???=-??
,
所以戊所得为2
23
a d +=, 故选:C . 19.B 【分析】
由100S =可计算出1100a a +=,再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()
110101002
a a S +=
=,1100a a ∴+=, 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选:B. 20.B 【分析】
设公差为d ,利用等差数列的前n 项和公式,56S S ≥,得2d ≤-,由前n 项和公式,得
728S ≤,同时可得n S 的最大值,2d =-,5n =或6n =时取得,结合递减数列判断
D . 【详解】
设公差为d ,由已知110a =,56S S ≥,得5101061015d d ?+≥?+,所以2d ≤-,A 正确;
所以7710217022128S d =?+≤-?=,B 错误;
1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥,解得10
1n d
≤-
+,11100n a a nd nd +=+=+≤,解得10n d
≥-, 所以1010
1n d d
-
≤≤-+,当2d =-时,56n ≤≤, 当5n =时,有最大值,此时51010(2)30M =?+?-=,
当6n =时,有最大值,此时61015(2)30M =?+?-=,C 正确. 又该数列为递减数列,所以20192020a a >,D 正确. 故选:B . 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和,掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关
键.等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10
0n n a a +≥??≤?求得.
二、多选题
21.ABC 【分析】
因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质
961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,
140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.
【详解】
因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,
对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=,故选项B 正确;
对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;
对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,
所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可. 22.BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故
{}n
a 不是等方差数列,故A 错误;
对于B ,数列
(){}1n
-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方
差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2
n
中,()(
)
2
2
221
112
234n n n n n a
a ----=-=?不是常数,{}
2n
∴不是等方差
数列,故C 错误; 对于D ,
{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数
列,()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,
故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,22
10n n a a --=是常数,故D 正确.
故选:BD. 【点睛】
关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断. 23.ABD 【分析】
对于A ,由题意得b n =
4
πa n 2
,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】
由题意得b n =
4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4π
a 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·
a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;
数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n
-1
2
=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+
(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;
由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·
a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确; 故选:ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题 24.AB 【分析】 由题意可得
111
11n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n
=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为
()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
111
n n n a a n n
++-
=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++,
则
11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111
122
a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,1
22n a n n
∴=-<,
()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
整理得()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42??-????
,包含[]1,2,故A 正确;
对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22??-????
,包含[]1,2,故B 正确;
对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02??-????
,不包含[]1,2,故C 错误;
对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2
??-???
?
,不包含[]1,2,故D 错误,
故选:AB. 【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题. 25.BD 【分析】
根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】
因为数列{}n a 满足112a =-,111n n
a a +=-,
212131()
2
a ∴=
=--;
32
1
31a a =
=-; 41311
12
a a a =
=-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-
,2
3
,3; 故选:BD . 【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题. 26.AC 【分析】
令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由2
56110200a a a a d -=>,可
判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ?
?=+- ??
?,根据02>d ,可判定D 错误. 【详解】
令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;
由(
)()22
2
256110111
19209200a a a a a a d d
a
a d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B
错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以1
3x =,213
x -=, 故101110
9333
a =
+?=,故C 正确; 由()111222n
n n na d
S d d n a n
n -+
??=
=+- ??
?,因为02>d ,所以n S n ??????
是递增的等差数列,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】
解决数列的单调性问题的三种方法;
1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;
2、作商比较法:根据
1
(0n n n
a a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定; 3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断. 27.BD 【分析】
依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差即每一层比上一层多的根数为1d =,设一共放()2n n ≥层,利用等差数列求和公式,分析即可得解. 【详解】
依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差为1d =,设一共放()2n n ≥层,则总得根数为:
()()
111110022n n n d n n S na na --=+
=+= 整理得1200
21a n n
=
+-, 因为1a *
∈N ,所以n 为200的因数,()200
12n n
+-≥且为偶数, 验证可知5,8n =满足题意. 故选:BD. 【点睛】
关键点睛:本题考查等差数列的求和公式,解题的关键是分析题意,把题目信息转化为等差数列,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题. 28.BCD 【分析】
根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】
对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;
对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得
135********a a a a a +++???+=,故C 正确;
对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2
121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-, ()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-, 22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-, 故2222
123202*********a a a a a a +++???+=,故D 正确.
故选:BCD
关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 29.ABCD 【分析】
S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得24
7
-<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ??
?
???
中,
n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断出D 是否正确. 【详解】
∵S 12>0,a 7<0,∴
()
67122
a a +>0,a 1+6d <0.
∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0, 又∵a 3=a 1+2d =12,∴24
7
-<d <﹣3.a 1>0. S 13=
()
113132
a a +=13a 7<0.
∴S n <0时,n 的最小值为13.
数列n n S a ??
????
中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0.
对于:7≤n ≤12时,
n
n
S a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0, 但是随着n 的增大而减小,可得:n
n S a <0,但是随着n 的增大而增大.
∴n =7时,n
n
S a 取得最小值.
综上可得:ABCD 都正确. 故选:ABCD . 【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 30.AC 【分析】
由已知求出数列{}n a 的首项与公差,得到通项公式判断A 与B ;再求出n T ,由{}n b 的项分析n T 的最小值.
解:在递增的等差数列{}n a 中, 由5105a a +=,得695a a +=,
又6914a a =-,联立解得62a =-,97a =, 则967(2)
3963
a a d ---=
==-,16525317a a d =-=--?=-. 173(1)320n a n n ∴=-+-=-.
故A 正确,B 错误;
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负,第5项为正,第六项为负,第六项以后均为正. 而5610820b b +=-=>.
∴当4n =时,n T 取最小值,故C 正确,D 错误.
故选:AC . 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查数列的求和,考查分析问题与解决问题的能力,属于中档题.