《空间向量与立体几何》一轮复习导学案（一）2017.12
一．利用空间向量证明平行与垂直
【例
1】 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角． (1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .
【变式训练1】 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点． 求证：(1)DE ∥平面A BC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .
二．利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为θ，则cos θ= (2)直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ=
(3)求二面角的大小
a ．如图①，AB ，CD 是二面角α—l —β两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二
面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉
．
b ．如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝
【例2】 如图，已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°. (1)求DP 与CC ′所成角的大小；
(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．
【变式训练2】(2016·高考全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥
BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ；
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
【例3】(2016·沈阳教学质量监测)
如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于B 、C 的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面， BE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AD 于点F . (1)求证：BF ⊥平面ACD ；
(2)若AB ＝BC ＝2，∠CBD ＝45°，求平面BEF 与平面BCD 所成锐二面角的余弦值．
【变式训练3】（2014年全国I 卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，
.(Ⅰ) 证明：；（Ⅱ）若，，AB=BC 求二面角的余弦值.
111ABC A B C -11BB C C 1AB B C ⊥1AC AB =1AC AB ⊥o 160CBB ∠=111A A B C -
-
课后巩固练习
1. （2016年全国I 卷）如图，在已A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方
形，AF =2FD ，，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是． （I ）证明平面ABEF EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
2. （佛山市
2016届高三教学质量检测（一））如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面
⊥C C AA 11侧面11A ABB ，AB AA AC 21==，?=∠6011C AA ，1AA AB ⊥，H 为棱 1CC 的中点，D 在棱1BB 上，⊥D A 1面H AB 1．
（1）求证：D 为1BB 的中点；
（2）求二面角A D A C --11的余弦值．
90AFD ∠= 60 ⊥ A B
F
E
D
C
A
B
1
A C
1
B 1
C D
H
《空间向量与立体几何》一轮复习导学案（二）2016.12
三．利用空间向量求点到平面的距离
如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量， 则点B 到平面α的距离d=
【例4】如图所示，已知四边形ABCD ，EADM 和MDCF 都是边长为
a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC 的中点，求： (1)PM →与FQ →
所成的角；
(2)P 点到平面EFB 的距离；
(3)异面直线PM 与FQ 之间的距离．
【变式训练4】在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，∠ABC ＝90°，
如图(1)，把△ABD 沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图 (1)求证：CD ⊥AB ；
(2)若点M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．
四.利用空间向量求解开放性问题
【例5】如图所示,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AD=1,E 为CD 中点. (1)求证:B 1E ⊥AD 1;
(2)在棱AA 1上是否存在一点P,使得DP ∥平面B 1AE?若存在, 求AP 的长;若不存在,说明理由;
(3)若二面角A B 1E A 1的大小为30°,求AB 的长.
【变式训练5】如图,正△ABC 的边长为4,CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B.
(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;(2)求二面角E DF C 的余弦值;(3)在线段BC 上是否存在一点P,使AP ⊥DE? 存在,求出BC
BP
的值; 不存在,请说明理由.
课后巩固练习
1.(2015·重庆卷)如图，三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝
π
2
.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.
(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A -PD -C 的余弦值．
2.(2016·山西省考前质量检测)如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2. (1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；
(2)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →
，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，
求二面角H -PB -C 的余弦值
3．（茂名市2016届高三二模）如图1，已知四边形ABCD 为菱形，且?=∠60A ,2=AB ,
E 为AB 的中点。现将四边形EBCD 沿DE 折起至EBHD ，如图
（I ）求证：ABE 平面⊥DE （II ）若二面角H DE A --的大小为3
π
，求平面ABH 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值。
4. （佛山市2016届高三二模）如图，在直四棱柱1
111A B C D A B C D -
中，
60,,B A D A B B D B C C D ∠===
．（1）求证：平面11ACC A ⊥平面1A BD ；
（2）若BC CD ⊥,直线BC 与平面A1BD 所成的角能否为45°？并说明理由．