考试内容等级要求数列的概念A
等差数列C
等比数列
C
§6.1数列的概念与简单表示法
考情考向分析以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以填空的形式进行考查，难度为低档．
1．数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类原则类型满足条件
按项数分类
有穷数列项数有限
无穷数列项数无限
按项与项间的大小关系分类递增数列a n
＋1
__>__a n
其中n∈N*
递减数列a n
＋1
__<__a n
常数列a n
＋1
＝a n
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
4．数列的通项公式
如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个
数列的通项公式．
5．a n与S n的关系
若数列{a n}的前n项和为S n，
则a n ，
n≥2，n∈N*.
概念方法微思考
1．数列的项与项数是一个概念吗？
提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？
提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×)
(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)
(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)
(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×)
(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)
(6)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对?n∈N*，都有a n＝S n－S n－1.(×)
题组二教材改编
2．[P34习题T2]在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝________.
答案21
解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.
3．[P34习题T7]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________.
答案5n－4
题组三易错自纠
4．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．
答案30
解析
a n ＝－n 2＋11n ＋
121
4
，∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30.
5．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是______．答案(－3，＋∞)
解析
因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，
整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)
因为n ≥1，n ∈N *，
所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.
答案，n ＝1，
n －1，n ≥2，n ∈N *
解析
当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，又a 1＝2不满足a n ＝2n －1，
故a n ，n ＝1，
n －1，n ≥2，n ∈N *.
题型一由数列的前几项求数列的通项公式
例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，10
99，…；(2)－1,7，－13,19，…；(3)12，2，92，8，25
2，…；(4)5,55,555,5555，….
跟踪训练1(1)(2018·江苏省海安中学月考)数列12，－12，512，－7
20的一个通项公式为a n ＝_________.
(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，9
17，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.
题型二
由a n 与S n 的关系求通项公式
例2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.
(2)(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.(3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________.
思维升华已知S n 求a n 的常用方法是利用a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2，
一定要检验a 1的情况．
跟踪训练2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________.(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －
1a n ＝n 3，则a n ＝________.
.
(3)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3{a n }的通项公式是a n ＝________.
题型三
数列的性质
命题点1数列的周期性
例3在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n
1－3a n
，则S 2020＝________.
命题点2数列的单调性和最值
例4(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)，则nS n 的最小值为________．
(2)(2018·江苏省新海中学质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－＋－(其中n ∈N *)，若第m 项是数列{a n }中的最小项，则a m ＝________.
思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．
跟踪训练3(1)若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n
1－a n
，则a 2020的值为________．
(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是第________项．
．
1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第______项．
2．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2
(n ≥3且n ∈N *)，则a 2018＝________.
3．(2018·扬州期末)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝n 2＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
4．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8＝________.
5．(2019·江苏省南京师范大学附属中学模拟)在数列{a n }中，a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝________.
6．记S n 为数列{a n }的前n 项和．“任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }是递增数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)7．数列{a n }的通项a n ＝
n
n 2
＋90
(n ∈N *)，则数列{a n }中的最大项的值为________．8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝63
2n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k
的值为________．
10．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.11．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2
3
a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．
12．已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝(n＋1)a n(n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记b n＝3n－λa2n，若数列{b n}为递增数列，求实数λ的取值范围．
13．已知数列{a n}的前n项和为S n，若3S n＝2a n－3n，则a2019＝________.
14．已知数列{a n}满足a n－a)n－11，n≤5，
且{a n}是递增数列(n∈N*)，则实数a的
n－4，n>5，
取值范围是________．
15．已知数列{a n}的首项a1＝a，其前n项和为S n，且满足S n＋S n－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，a n 16．已知数列{a n}是递增的等比数列且a1＋a4＝9，a2a3＝8，设S n是数列{a n}的前n项和，数 n项和为T n，若不等式λ≤T n对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的最大值是____． 考试内容等级要求数列的概念A 等差数列C 等比数列 C §6.1数列的概念与简单表示法 考情考向分析以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以填空的形式进行考查，难度为低档． 1．数列的定义 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 分类原则类型满足条件 按项数分类 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1 __>__a n 其中n∈N* 递减数列a n ＋1 __<__a n 常数列a n ＋1 ＝a n 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 4．数列的通项公式 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 5．a n与S n的关系 若数列{a n}的前n项和为S n， 则a n ， n≥2，n∈N*. 概念方法微思考 1．数列的项与项数是一个概念吗？ 提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？ 提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×) (2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×) (3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) (5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (6)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对?n∈N*，都有a n＝S n－S n－1.(×) 题组二教材改编 2．[P34习题T2]在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝________. 答案21 解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21. 3．[P34习题T7]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________. 答案5n－4 题组三易错自纠 4．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________． 答案30 解析 a n ＝－n 2＋11n ＋ 121 4 ，∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 5．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是______．答案(－3，＋∞) 解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ， 整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*) 因为n ≥1，n ∈N *， 所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 答案，n ＝1， n －1，n ≥2，n ∈N * 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，又a 1＝2不满足a n ＝2n －1， 故a n ，n ＝1， n －1，n ≥2，n ∈N *. 题型一由数列的前几项求数列的通项公式 例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，10 99，…；(2)－1,7，－13,19，…；(3)12，2，92，8，25 2，…；(4)5,55,555,5555，….解 (1)这是一个分数数列，其分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是 两个相邻奇数的乘积，而分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝ 2n (2n －1)(2n ＋1) ，n ∈N *. (2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为 a n ＝(－1)n (6n －5)，n ∈N *. (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，9 2， 162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 2 2 ，n ∈N *.(4)将原数列改写为59×9，59×99，5 9×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故所 求的数列的一个通项公式为a n ＝5 9(10n －1)，n ∈N *. 思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征．(2)相邻项的变化特征． (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．(4)各项符号特征等． (5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式． 跟踪训练1(1)(2018·江苏省海安中学月考)数列12，－12，512，－7 20的一个通项公式为a n ＝_________. 答案(－1)n － 1· 2n －1n (n ＋1) 解析 由已知12，－12，512，－720可以得到12，－36，512，－7 20，则有11×2，－32×3，53×4，－74×5 ， 故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n － 1·2n －1n (n ＋1) . (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，9 17，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________. 答案2n ＋1 n 2＋1 解析数列{a n }的前4项可变形为 2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1 n 2＋1 . 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式 例2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.答案4n －5 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.答案－63 解析 ∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1. ∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ， ∴S 6＝1－26＝－63. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝________. 答案 ＝1， n ≥2解析 当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ， ① ∴a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n － 1(n ≥2)，② 由①－②得na n ＝2n －2n － 1＝2n － 1， ∴a n ＝2n － 1 n . 显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝1， n ≥2.思维升华已知S n 求a n 的常用方法是利用 a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2， 一定要检验a 1的情况． 跟踪训练2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________.答案，n ＝1，×3n － 1，n ≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－ 1＝2≠a 1， 所以 a n ，n ＝1，×3n － 1，n ≥2. (2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n － 1a n ＝n 3，则a n ＝________. 答案13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n － 1a n ＝n 3 ， ① 则当n ≥2时， a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n － 2a n －1＝ n －1 3 ，② ①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝1 3n (n ≥2)． 由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝1 3 n . (3)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3{a n }的通项公式是a n ＝________. 答案(－2)n －1 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋1 3 ，即a 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －2 3a n －1， 故 a n a n －1 ＝－2，所以数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列．故a n ＝(－2)n －1. 题型三数列的性质 命题点1数列的周期性 例3在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n 1－3a n ，则S 2020＝________. 答案0 解析∵a 1＝0，a n ＋1＝ 3＋a n 1－3a n ， ∴a 2＝3 1＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3，a 4＝ 3－3 1＋3×3 ＝0， 即数列{a n }的取值具有周期性，周期为3，且a 1＋a 2＋a 3＝0，则S 2020＝S 3×673＋1＝a 1＝0. 命题点2数列的单调性和最值 例4(1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)，则nS n 的最小值为________． 答案－9 解析 由S m －1＝－2，S m ＝0， S m ＋1＝3(m ≥2)可知，a m ＝2，a m ＋1＝3，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝1，∵S m ＝0，∴a 1＝－a m ＝－2， 则a n ＝n －3，S n ＝n (n －5)2，nS n ＝n 2(n －5) 2. 设f (x )＝x 2(x －5)2，x >0，f ′(x )＝3 2x 2－5x ，x >0， ∴f (x )的极小值点为x ＝10 3， ∵n ∈N *，且f (3)＝－9，f (4)＝－8，∴f (n )min ＝－9. (2)(2018·江苏省新海中学质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－＋－(其中n ∈N *)，若第m 项是数列{a n }中的最小项，则a m ＝________.答案 －516 解析 令＝t ， 由a n ＝－＋－，得a n ＝－8t 3＋9t 2－3t .设f (t )＝－8t 3＋9t 2－3t ， 则f ′(t )＝－24t 2＋18t －3＝－3(2t －1)(4t －1)． ∵0 4时，f ′(t )<0， 当14 2时，f ′(t )>0， ∴f (t )， 1 2上单调递增． ∴当t ＝1 4，即n ＝2时，a n 最小， ∴a m ＝a 2＝－8＋9－3＝－ 516，即a m ＝－516 .思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利 用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．跟踪训练3(1)若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，则a 2020的值为________． 答案13 解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ， 所以a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2 ＝－1 2， a 4＝ 1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 4 1－a 4 ＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，故a 2020＝a 505×4＝a 4＝13 . (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是第________项．答案3 解析 ∵S n ＝n 2－10n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式．∴a n ＝2n －11(n ∈N *)． 记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ， 此函数图象的对称轴为直线n ＝11 4，但n ∈N *， ∴当n ＝3时，f (n )取最小值． ∴数列{na n }中数值最小的项是第3项． 1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第______项．答案21 解析 数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6， 5＋4×6，…， 所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1，令6n －1＝55，得n ＝21. 2．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1 a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2018＝________. 答案3 解析 由已知得a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝1 2 ， a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3， ∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6，∴a 2018＝a 336×6＋2＝a 2＝3. 3．(2018·扬州期末)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝n 2＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案2n 解析 S n ＝n 2＋n (n ∈N *)， S n －1＝(n －1)2＋n －1(n ≥2)，两式作差得到a n ＝2n (n ≥2)， 检验当n ＝1时，a 1＝2，符合S 1＝a 1，故数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 4．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8＝________.答案510 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，可得a 1＝2， 当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×(1－28)1－2 ＝29－2＝512－2＝510. 5．(2019·江苏省南京师范大学附属中学模拟)在数列{a n }中，a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝________.答案9 解析 由题意可得a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝15， 将n 换为n ＋1，得a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝15，可得a n ＋3＝a n ， 可得数列{a n }为周期为3的数列， a 4＝1，a 12＝5，即有a 4＝a 1＝1，a 12＝a 3＝5，由任意连续三项的和都是15，可得a 2＝9，所以a 2018＝a 672×3＋2＝a 2＝9. 6．记S n 为数列{a n }的前n 项和．“任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }是递增数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要 解析 ∵“a n >0”?“数列{S n }是递增数列”， ∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件． 如数列{a n }为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{S n }是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零， ∴“数列{S n }是递增数列”不能推出“a n >0”，∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的不必要条件．∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分不必要条件．7．数列{a n }的通项a n ＝n n 2＋90 (n ∈N *)，则数列{a n }中的最大项的值为________．答案1 19 解析 令f (x )＝x ＋90 x (x >0)，运用基本不等式，得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立． 因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋ 90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现，当n ＝9或n ＝10时，a n ＝1 19最大． 8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案，n ＝1，n －5，n ≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式． 故数列{a n }的通项公式为a n ，n ＝1，n －5，n ≥2. 9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝63 2n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．答案5 解析 a n ＝63 2 n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1， 由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5. 10．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案 －1n 解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1 S n －1S n ＋1 ＝1， 1，而1S 1＝1 a 1＝－1， ∴1 S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1 n . 11．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2 3 a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝4 3 a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3. 由S 3＝5 3a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝3 2(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋1 3 a n －1，整理，得a n ＝ n ＋1 n －1 a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝4 2a 2，…， a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1 a n －1， 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1) 2 .当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，综上，{a n }的通项公式a n ＝ n (n ＋1) 2 ，n ∈N *.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求实数λ的取值范围．解 (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1， ∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a n n ， ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)可得b n ＝3n －λn 2. b n ＋1－b n ＝3n ＋ 1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n 2n ＋1. 令c n ＝2·3n 2n ＋1 ， 即c n ＋1c n ＝2·3n ＋ 12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3 >1.∴{c n }为递增数列，∴λ 13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2019＝________.答案－22019－1 解析 由题意可得3S n ＝2a n －3n ， 3S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式作差可得3a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝－2a n －3，a n ＋1＋1＝－2(a n ＋1)，结合3S 1＝2a 1－3＝3a 1可得a 1＝－3，a 1＋1＝－2，则数列{a n ＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列，所以a 2019＋1＝(－2)×(－2)2018＝－22019，所以a 2019＝－22019－1. 14．已知数列{a n }满足a n －a )n －11，n ≤5，n －4 ，n >5， 且{a n }是递增数列(n ∈N *)，则实数a 的 取值范围是________． 答案(2,5) 解析∵a n －a)n－11，n≤5， n－4，n>5， 且{a n}是递增数列(n∈N*)， －a>0， >1， (5－a)－11 解得2 15．已知数列{a n}的首项a1＝a，其前n项和为S n，且满足S n＋S n－1＝4n2(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，a n 答案(3,5) 解析∵S n＋S n－1＝4n2，S n＋1＋S n＝4(n＋1)2， ∴当n≥2时，S n ＋1 －S n －1 ＝8n＋4，即a n ＋1 ＋a n＝8n＋4， 即a n ＋2 ＋a n ＋1 ＝8n＋12，故a n ＋2 －a n＝8(n≥2)， 由S2＋S1＝4×22知a2＋2a1＝16， ∴a2＝16－2a1＝16－2a， a3＋2S2＝4×32＝36， ∴a3＝36－2S2＝36－2(16－a)＝4＋2a，a4＝24－2a； 若对任意n∈N*，a n 只需使a1 即a<16－2a<4＋2a<24－2a，解得3 16．已知数列{a n}是递增的等比数列且a1＋a4＝9，a2a3＝8，设S n是数列{a n}的前n项和，数 n项和为T n，若不等式λ≤T n对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的最大值是____．答案 2 3 解析∵数列{a n}是递增的等比数列， 且a1＋a4＝9，a2a3＝8，a1a4＝a2a3， ∴a1，a4是方程x2－9x＋8＝0的两个根，且a1 解方程x2－9x＋8＝0， 得a1＝1，a4＝8， ∴q3＝ a4 a1＝ 8 1＝8，解得q＝2， ∴a n＝a1q n－1＝2n－1. ∴S n＝ a1(1－q n) 1－q＝ 1×(1－2n) 1－2＝2 n－1， 上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 数列 一、选择、填空题 1、（2018上海高考）记等差数列 {} n a 的前n 项和为S n ，若87014a a a =+=?，，则S 7= 2、（2017上海高考）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数， 若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 149161234lg() lg() b b b b b b b b = 3、（2016上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ， {}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 4、（宝山区 2018 高三上期末）若n （n 3≥，n N *∈）个不同的点 n n n Q a b Q a b Q a b 111222()()()L ，、，、、，满足：n a a a 12<< 假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足 则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数 巩固 1．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1 k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n } 解析：选C.由数列的定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1 n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1 k ，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．综上可知，应选C. 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2a n ＋3，则a 5＝( ) A ．108 B.1 108 C ．161 D.1 161 解析：选D.a 1＝1，a 2＝a 12a 1＋3＝15，a 3＝a 22a 2＋3＝117，a 4＝ a 3 2a 3＋3＝153，a 5＝a 42a 4＋3＝1161 . 3．(2008年高考江西卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )， 从而有a n ＝a n －1＋ln n n －1 a n －1＝a n －2＋ln n －1 n －2 ? ? a 2＝a 1＋ln2 累加得a n ＋1＝a 1＋ln(n ＋1n .n n －1.n －1n －2 (2) 1) ＝2＋ln(n ＋1)， ∴a n ＝2＋ln n ，故应选A. 4.数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：由已知，a n ＋1－a n ＝2n ，故a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋2＋4＋…＋2(n －1)＝n (n －1)． 答案：n (n －1) 5．数列53，108，17 a ＋ b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是 ________． 解析：从上面的规律可以看出????? a ＋ b ＝15 a － b ＝26 ， 解上式得????? a ＝412 b ＝－11 2. 答案：(412，－11 2) 6．写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式： (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝3，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)． 解：(1)由条件得a 1＝0，a 2＝0＋1＝1＝12， a 3＝1＋(2×2－1)＝4＝22， a 4＝4＋(2×3－1)＝9＝32， 归纳通项公式为a n ＝(n －1)2. 上海市高考二模数列汇编 1．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)已知有穷数列A ：n a a a ,,,21???（N n n ∈≥,2）. 定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将 j i j i a a a a ++1的值添在A 的最后，然后删除 j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能 结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新 数列记作A k . 设A ：3 1 ,21,43,75- ,则A 3的可能结果是（ ） （A ）0； （B ）34； （C ）13； （D ）1 2 . 3．(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞ 的值为 （ ） A ． 23 B ．43 C ．8 3 D ．163 4．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等 差数列，* ()n S n N ∈是数列的前n 项和，则 2l i m 1 n n S n →∞-= ． 6．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么lim n n n na S →+∞= ． 7、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)数列{}n a 的前n 项和 32-+=n n S n ，则通项公式=n a ． 8、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)各项都为正数的等比数列 {}n a 中，11=a ，)1 1 (273 2 32a a a a + =+，则通项公式=n a ． 9、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 ． 10. (上海市五校2011年联合教学调研理科已知等比数列}{n a 的公比为正数，且 3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = ． 浙江省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 数列 一、选择、填空题 1、（2018浙江省高考题）已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( ) A . a 1a 3，a 2a 4 D . a 1>a 3，a 2>a 4 2、（2017浙江省高考题）已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3、（2016浙江省高考题）如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 4、（杭州市2018届高三第二次模拟）设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为Sn ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝______，a 5＝_______． 5、（2016浙江省高考题）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 6、（湖州市2018届高三5月适应性考试）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，63a S =，且 k a a a ,,63成等比数列，则=n S ▲ ，k = ▲ ． 7、（嘉兴市2018届高三4月模拟）已知数列}{n a 为等差数列，且18=a ，则||||2109a a +的最小值为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 8、（嘉兴市2018届高三上学期期末）各项均为实数的等比数列}{n a ，若11=a ，95=a ，则=3a ▲ ，公比=q ▲ ． 高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n - 第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102， 所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 数学基础知识例题 数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列 上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连 数列专题 基础知识梳理 1.数列：按排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作，序号为的项叫第项，也叫通项，即；数列一般简记作。 2.通项公式：如果数列可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。用表示数列的通项公式，这里要注意同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，不是每个数列都有通项公式。 3.从函数观点看，数列实质上是定义域为的函数，其图象是。 4.数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列， 数列，数列，数列。 5递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 6..等差数列一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列. 这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示. 7.等差中项由三个数，，组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为= ． 8.等差数列的通项公式． 9. 等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质： （1）； （2）； （3）则. 10. 等差数列的前项和公式1：公式2：. 11.在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列。 如：公差为 ; 是等差数列；公差为； 成等差数列. 12.等比数列 13.等差数列的性质 （1），； （2）在等差数列中，若，则，若，则； （3），为等差数列，公差分别为，则数列，，为数列； （4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，，，…为等差数列，公差为；（5）等差数列的前项和为S n，则S n,S2n-S n,S3n-S2n,…也为等差数列，公差为； （6）通项公式是是一次函数的形式；前项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当时，S n=na1, a n=a1） （7）若，，有最值，可由不等式组来确定； 若，，有最值，可由不等式组来确定． 14.等比数列的性质 （1）； （2）在等比数列中，若，则；若，则； 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 高三 数学 科 数列的综合应用 （复习）学案 考纲要求：综合利用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题。 课前预习 一、 知识梳理 1. 解答数列应用题的步骤： 2. 数列应用题常见模型：（1）等差模型 （2）等比模型 （3）递推数列模型 二、 自我检测 1.等比数列{a n }的前 n 项和为 s n ，且 12344a 2a a a 1s ==1，，成等差数列，若，则 （ ）A 7 B 8 C 15 D 16 2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比 数列，且c=2a ，则cosB= （ ）A 1 4 B 34 3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将将病毒全部杀死至少需要（ ） A 6秒 B 7秒 C 8秒 D 9秒 4．等差数列{n a }中，n a ≠0，n ∈N +,有2 3711220,a a a -+=数列{b n }是等 比数列，且7768,b a b a ==则 （ ）A 2 B 4 C 8 D 16 5.已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图像与x 轴公共点的个数为 6.在数列{n a }中，对任意自然数n ∈N +，1221,n a a a ++=-n …则 122 2a a ++=2n …+a 课内探究 典例讲解 题型一：性质的综合应用 例1 设{n a }为等差数列，{n b }为等比数列，112432431,,,a b a a b b b a ==+==分别求出{n a }及{n b }的前10项和1010,.S T 题型二：求通项公式 例2 在数列{n a }中，111,22.n n n a a a +==+（1）设1 ,2n n n a b -=证明数列{n b }是等差数列； （2）求n a 数列{n a }前n 项和s n 。 例3 (2009全国1，理20)在数列{n a }中，1n+1n n 1 n 1 a 1a 1a .n 2 +== ++，（） （1）设b n = n a n ，求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和s n . 高三上期末考试数学试题分类汇编 数列 一、填空、选择题 1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则 公比q = 2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 l i m 3n n n n n S a S a →∞-<+，则q 的取值范围 是（ ） A. (0,1) B. (2,)+∞ C. (0,1] (2,)+∞ D. (0,2) 4、（虹口区2019届高三）已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7 个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为 5、（金山区2019届高三）无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 6、（浦东新区2019届高三）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++= 7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1） 8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= 10、（徐汇区2019届高三）若数列{} n a 的通项公式为* 2()111n n a n N n n =∈+，则 l i m n n a →∞ =___________. 11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列{}n a 中，121 lim()2 n n a a a →∞ ++???+= ，则1a 的取值范围 是 12、（长宁区2019届高三） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11 2 n n n a a ++= ，若数列{}n S 收敛于 新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 届高三数学第二轮复习数列综合 数列综合 ★★★高考要考什么 本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则． 高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、 n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论． 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型： （1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力． （2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力． （3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． ★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11 113114413144 n n n n n n a a b b a b ----?=++??? ?=++??（2n ≥） （I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ． 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．上海2019届高三数学一轮复习典型题专项训练数列
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