一次函数的解题技巧

一次函数的解题技巧

一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用到许多重要的思想方法：如数形结合思想，函数思想，转化和化归的思想，综合运用思想等，掌握一次函数的解题技巧，可以提高同学们的学习效率，下面举例说明：

一：数形结合思想

例1 如图，直线y=ax+b 经过点A （-1，-2）和B （-2，0），直线y=2x 过点A ，则不等式

02≤+

A.x<-2

B.-2

C.-2

D.-1

分析：根据不等式2x ＜kx+b ＜0体现的几何意义得到：直线y=kx+b

上，点在点A 与点B 之间的横坐标的范围．

解答：

解：不等式2x ＜kx+b ＜0体现的几何意义就是直线y=kx+b 上，位于直线y=2x 上方，x 轴下方的那部分点，显然，这些点在点A 与点B 之间．

故选B ．

点评：

本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

练习1：

直线l 1：y=k 1x+b 与直线l 2：y=k 2x+c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b ＜k 2x+c 的解集为（ ）

A ． x ＞1

B ． x ＜1

C ． x ＞﹣2

D ．

x ＜﹣2

练习2：

如图，L 甲、L 乙分别是甲、乙两弹簧的长ycm 与所挂物体质量xkg 之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为k 甲cm ，乙弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为k 乙cm ，则k 甲与k 乙

的关系是（ ）

A ．k 甲＞k 乙

B ．k 甲=k 乙

C ．k 甲＜k 乙

D ．不能确定

二：函数思想

通过学习函数使我们逐步用函数的观点，方法去思考问题，将已知条件或所给数量关系进行转化，借助函数的图像或性质去解决问题。

例2 育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：?学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2（元）．

（1）分别写出y1，y2的函数表达式；

（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？

（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．

解：（1）y1=8x，y2=4x+120．

（2）y1=y2，则x=30．

（3）当x=50时，y1=400，y2=320，

∴y2

练习1?如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）

A．①②B．②③④C．②③D．①②③

练习 2 如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），?根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？

（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？

三：转化和化归的思想

转化和化归思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题

例3 函数y=2x与y=x+1的图象的交点坐标为（）

分析：

根据两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方

程组的解，所以解方程组即可得到两直线的交点坐标（1，2）．

考点：1.两条直线相交或平行问题；2.直线上点的坐标与方程的关系．

练习1过点（-1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线

1

+

x

2

3

-

y

平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（）

练习2已知一次函数y=kx+3的图象与直线y=2x平行，那么此一次函数的解析式为（）

高中数学函数解题思路多元化方式

高中数学函数解题思路多元化方式 高中数学函数解题思路多元化方式 一、函数解题思路的现状和重要性 正确把握高中函数的解题思路，可以有效地锻炼学生的数学思维方法。高中是学生思维能力培养的重要阶段，函数解题过程，正是学生发散思维、创新思维的过程，能够提高学生独立思考的能力。想要提高解答函数问题的能力，解题思路的训练是重要的，在解题中要多思考为什么会想到这个解题办法。通过把握函数的解题思路，能够提高学生的数学应用能力。函数中最重要的学习方法是数形结合，通过数形结合，培养学生的观察意识以及转化的思想，通过联系学过的知识，融会贯通，提高学生解决问题的能力。 二、函数解题思路多元化的方式 1.培养学生的发散思维 发散思维又称扩散思维和求异思维，培养学生的发散思维就是鼓励学生从不同的角度思考问题，用不同的方法和途径解决问题，追求多样化的解题方法和多元化的解题思路。在解决高中数学函数的问题时，要能够触类旁通，能够举一反三。在高中函数解题思路中，能够从不同的角度思考问题，就体现了学生的发散思维。 例如，求f（x）=x2+1x（x>0）的值域。学生经过思考，可以用不同的方法进行解题。第一种是配方，消除未知数，第二种是通过拆解变形，进行解题。具体过程如下： 第一，f（x）=x+1x=x-1x2+2，当x=1x，f（x）的最小值是2，所

以值域是＼[2，+∞）。 第二，f（x）=x+1x=（x）2+1x2≥2x·1x=2，因此值域是＼[2，+∞）。 2.培养学生的创新思维 培养学生的创新思维，能够促进学生函数解题思路的多元化。培养学生的创新思维，就是要发现别人没有发现的问题，思考别人没有想到的问题，要充分展开联想，有逆向思维的能力以及直觉思维的能力。直觉思维的能力主要借助想象，根据函数题目中的条件能够依靠直觉发现其中的内在联系，综合思考，寻找隐藏的条件，进行合理的判断。逆向思维也是创新思维的一种方式，通过思维角度的逆向转换，对函数问题进行思考，改变问题的结构，增加解题的思路，最终解决函数问题。 例如，已知数列{an}满足an=nn+2，n∈n*，比较an与an+1的大小关系。 第一，利用单调性判断，an=nn+2=n+2-2n+2=1-2n+2，数列具有递增性，所以an+1>an。 第二，可以将an=nn+2看做浓度，利用浓度法解决，n增大代表溶液中溶质增加，因此浓度增加，所以an+1>an。 第三，作差解决。an+1-an=n+1n+3-nn+2=2（n+2）（n+3）>0，可得答案。 第四，作商解决。anan+1=n（n+3）（n+2）（n+1）=n2+3nn2+3n+2<1，可得答案。本文由论文联盟收集整理

八年级数学 一次函数解析式求法 专题指导

例谈求一次函数解析式的常见题型 一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点（2，－1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型

例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线：；：。当，时， 直线与直线平行，。 又直线在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线与直线平行 直线在y轴上的截距为，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得，即 故所求函数的解析式为（） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 __________。

解题技巧之------一次函数解析式的常见题型

解题技巧之------一次函数解析式的常见题型 一. 定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。如本例中应保证 二. 点斜型 例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点（2，－1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为

四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 五. 斜截型 例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线：；：。当，时， 直线与直线平行，。 又直线在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 六. 平移型 例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为，直线向下平移2个单位得到的直线 与直线平行

直线在y轴上的截距为，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得，即 故所求函数的解析式为（） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 __________。 解：易求得直线与x轴交点为（，0），所以，所以，即 故直线解析式为或 九. 对称型 若直线与直线关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为 （4）直线对称，则直线l的解析式为 （5）原点对称，则直线l的解析式为 例9. 若直线l与直线关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

(完整版)2高中数学函数解题技巧方法总结

高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()()（答： ，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数 x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数 x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ []的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []（答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解 出x 的范围，即为 [])(x g f y =的定义域。 例 若函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ； 所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。

一次函数解决问题专项练习

一次函数解决问题专项练习 1．甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）（填“甲”或“乙”）先到达终点；甲的速度是米/分钟； （2）求：甲与乙相遇时，他们离A地多少米？ 2．为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6min发现忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前走，小亮取回借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆．已知骑车的速度是步行速度的2倍，如图是小亮和姐姐距离家的路程y（m）与出发的时间x（min）的函数图象，根据图象解答下列问题： （1）小亮在家停留了多长时间？ （2）求小亮骑车从家出发去图书馆时距家的路程y（m）与出发时间x（min）之间的函数解析式．

3．已知：甲乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是甲乙两车离A地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求甲车离A地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若它们出发第5小时，离各自出发地的距离相等，求乙车离A地的距离y乙（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间． 4．有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是4千米/小时，甲、乙两船同时由A顺流驶向B，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/小时，乙在静水中的速度是20千米/小时． 设甲行驶的时间为t小时，甲船距B港口的距离为S1千米，乙船距B港口的距离为S2千米，如图为S1（千米）和t（小时）函数关系的部分图象． （1）A、B两港口距离是千米． （2）在图中画出乙船从出发到第一次返回A港口这段时间内，S2（千米）和t（小时）的函数关系的图象． （3）求甲、乙两船第二次（不算开始时甲、乙在A处的那一次）相遇点M位于A、B港口的什么位置？

一次函数应用题的解题方法

一次函数应用题的解题方法 核心提示：一次函数应用题语言叙述较多，数据量较大，给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误较多。但是只要掌握了以下3种解题方法，任何与一次函数应用题有关的问题都能迎刃而解。 一.使用直译法求解一次函数应用题 所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。 例题1．东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。 甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本； 乙：按购买金额打9折付款。 某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。 （1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x 之间的函数关系式。 （2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。 （3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。 分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。 解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x>=10） y乙=10×25×+5××x=+225（x>=10） （2）由（1）有：y甲-y乙= 若y甲-y乙=0 解得x=50 若y甲-y乙>0 解得x>50

若y甲-y乙<0 解得x<50 当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多， 即可任选一种优惠办法付款；当购买本数不小于10且小于50时，选 择甲种优惠办法付款省钱；当购买本数大于50时，选择乙种优惠办 法付款省钱。 （3）设按甲种优惠办法购买a(0<=a<=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。 则需要按乙种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。总费 用为y=25a+25××（10-a）+5××（60-a）=495-2a。故当a最大（为10） 时，y最小。所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练 习本，再按乙种优惠办法购买50本书法练习本，这样的购买方案最 省钱。 说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。 二.使用列表法求解一次函数应用题 列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。 例题2．某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。 （1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案请你设计出来。 （2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少 分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B 两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。 解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件 产品每件产品需要甲种原料（kg）每件产品需要乙种原料（kg）每件产品利润（元）件数 A93700x B410120050-x

初二第三讲 “一次函数”的解题方法与技巧

精锐教育名师大讲堂讲义 初二第三讲 “一次函数”的解题方法与技巧 ● 学习要求 1．理解一次函数的意义，会根据已知条件确定一次函数表达式； 2．会画一次函数的图像，根据一次函数的图像和解析式(0)y kx b k =+≠，理解其性质（k ＞0或k ＜0时图 像的变化情况）； 3．能用一次函数解决实际问题． ● 方法点拨 考点1：确定一次函数解析式 1．已知一次函数y ax b =+的图象过(02)， 点，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a 的值为( ) Ａ．1± Ｂ．1 Ｃ．1- Ｄ．不确定 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）有下面的关系： 那么弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为_____________． 3．经过点()20，且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是___________． 4．平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 在直线y ＝x -＋m 上， 且AP ＝OP ＝4．求m 的值． 考点2：一次函数的图像与性质

1．已知一次函数y kx k =-，若y 随着x 的增大而减小，则该函数的图像经过（ ） Ａ．第一、二、三象限 Ｂ．第一、二、四象限 Ｃ．第二、三、四象限 Ｄ．第一、三、四象限 2．如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y ax =，② y bx =，③y cx =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．b c a >> 3．点111()P x y ，，点222()P x y ，是一次函数43y x =-+图像上的两个点，且12x x <，则1y 与2y 的大小关系是（ ） Ａ．12y y >； Ｂ．120y y >>； Ｃ．12y y <； Ｄ．12y y =． 4．直线l 1是正比例函数的图像，将l 1沿y 轴向上平移2个单位得到的直线l 2经过点P (1，1)，那么（ ） A ．l 1过第一、三象限； B ．l 2过第二、三、四象限； C ．对于l 1，y 随x 的增大而减小； D ．对于l 2，y 随x 的增大而增大． 5．函数11y x =+与2y ax b =+（0a ≠）的图像如图所示，这两个函数图象的交点在y 轴上，那么使1y ，2y 的值都大于零的x 的取值范围是___________． 6．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD 是黑色区域（含正方形边界），其中(11) (21)(22)(12)A B C D ，，，，，，，，用信号枪沿直线2y x b =-+发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b 的取值范围为_________________． 考点3：一次函数与方程、不等式的关系 1．已知一次函数y ax b =+（a 、b 是常数），x 与y 的部分对应值如下表： 那么方程0ax b +=的解是___________；不等式0ax b +>的解集是_______________． x x （第5题） （第6题）

一次函数图象题(行程问题)提高篇

一次函数图象题（行程问题）提高篇 11．（2012武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． 仅有①② C ． 仅有①③ D ． 仅有②③ 考点：一次函数的应用。 解答：解：甲的速度为：8÷2=4米/秒； 乙的速度为：500÷100=5米/秒； b=5×100﹣4×（100+2）=92米； 5a ﹣4×（a+2）=0， 解得a=8， ！ c=100+92÷4=123， ∴正确的有①②③． 1、在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图10中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少 （3）求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 《 2· 4· — 8· S(km) 2 0 t(h) A B

2、一辆客车从甲地开往甲地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设 客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图12所示： ~ （1）根据图象，直接写出 ．．．．y1，y2关于x的函数关系式。 （2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离。 （3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式。 （4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油。求A加油站到甲地的距离。 — 3、在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与．B． 港的距离 ．．．．分别为1y、2y（km），1y、2y与x的函数关系如图所示． （1）填空：A、C两港口间的距离为km， a； （2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围． · - O y/km > 30 a P （第3题） x/h

高中数学函数解题思路多元化方式.doc

高中数学函数解题思路多元化方式- 一、函数解题思路的现状和重要性 正确把握高中函数的解题思路，可以有效地锻炼学生的数学思维方法。高中是学生思维能力培养的重要阶段，函数解题过程，正是学生发散思维、创新思维的过程，能够提高学生独立思考的能力。想要提高解答函数问题的能力，解题思路的训练是重要的，在解题中要多思考为什么会想到这个解题办法。通过把握函数的解题思路，能够提高学生的数学应用能力。函数中最重要的学习方法是数形结合，通过数形结合，培养学生的观察意识以及转化的思想，通过联系学过的知识，融会贯通，提高学生解决问题的能力。 二、函数解题思路多元化的方式 1.培养学生的发散思维 发散思维又称扩散思维和求异思维，培养学生的发散思维就是鼓励学生从不同的角度思考问题，用不同的方法和途径解决问题，追求多样化的解题方法和多元化的解题思路。在解决高中数学函数的问题时，要能够触类旁通，能够举一反三。在高中函数解题思路中，能够从不同的角度思考问题，就体现了学生的发散思维。 例如，求f（x）=x2+1x（x0）的值域。学生经过思考，可以用不同的方法进行解题。第一种是配方，消除未知数，第二种是通过拆解变形，进行解题。具体过程如下： 第一，f（x）=x+1x=x-1x2+2，当x=1x，f（x）的最小值是2，所以值域是＼[2，+）。 第二，f（x）=x+1x=（x）2+1x22x1x=2，因此值域是＼[2，

+）。 2.培养学生的创新思维 培养学生的创新思维，能够促进学生函数解题思路的多元化。培养学生的创新思维，就是要发现别人没有发现的问题，思考别人没有想到的问题，要充分展开联想，有逆向思维的能力以及直觉思维的能力。直觉思维的能力主要借助想象，根据函数题目中的条件能够依靠直觉发现其中的内在联系，综合思考，寻找隐藏的条件，进行合理的判断。逆向思维也是创新思维的一种方式，通过思维角度的逆向转换，对函数问题进行思考，改变问题的结构，增加解题的思路，最终解决函数问题。 例如，已知数列{an}满足an=nn+2，nn*，比较an与an+1的大小关系。 第一，利用单调性判断，an=nn+2=n+2-2n+2=1-2n+2，数列具有递增性，所以an+1an。 第二，可以将an=nn+2看做浓度，利用浓度法解决，n增大代表溶液中溶质增加，因此浓度增加，所以an+1an。 第三，作差解决。an+1-an=n+1n+3-nn+2=2（n+2）（n+3）0，可得答案。 第四，作商解决。anan+1=n（n+3）（n+2）（n+1）=n2+3nn2+3n+21，可得答案。 总之，高中数学函数是重要的学习内容，不仅关系着学生的高考成绩，而且关系着学生利用函数解决实际问题的能力。掌握函数的解题思路是解决函数问题的基础，学生要全面、准确地把握函数的相关基础知识，将其运用到解题思路中。

利用两个一次函数的图像解决问题

第四章一次函数 利用两个一次函数的图像解决问题 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 教学目标 1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识． 4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 教学重点 一次函数图象的应用 教学难点 从函数图象中正确读取信息 三、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺 四、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入

内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用, 按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克 数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所 示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前 y 与 x 之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多 少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见 面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发， 沿景区公路去“飞瀑”，车速为 36km /h ，小慧 也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车 沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km /h ． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草 甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑” 还有多少千米？ 分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t 时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为1S 、2S ， 由题意得：t S 361=，10262+=t S 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线t S 361= ，10262+=t S 的交点坐标为（1，36） 这说明当小聪追上小慧时，1236km S S ==，即离“古刹”36km ，已超过35km ，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即145km S =，此时242.5km S = ． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km ）

八年级一次函数解题方法

八年级一次函数解题方法 1、已知正比例函数y等于（1-2a）x (1)a为何值时,函数图像经过第一,三象限 (2)a为何值时,y 随x的增大而减小?（3）若函数图像经过点（—1,2）,求此函数的解析式,并作出图像 2、一次函数y＝（m－2）x＋m2－1图象经过点A（0，3）.（1）求m的值，并写出函数解析式. （2）若（1）中的函数图象与x轴交于B，直线y＝（m＋2）x＋m2－1也经过A（0，3）与x 轴交于C，求线段BC的长. 3、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式，并说明点（1，2）是否在函数图象上； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标． 4.一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），且y随x的增大而增大，则m=______． 5、如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2）． （1）求直线AB的解析式（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．5、夏都花卉基地出售两种花卉，其中马蹄莲每株3.5元，康乃馨每株5元．如果同一客户所购 的马蹄莲数量多于1000株，那么所有的马蹄莲每株还可优惠0.5元．现某鲜花店向夏都花卉基地采购马蹄莲800～1200株、康乃馨若干株，本次采购共用了7000元．然后再以马蹄莲每株4.5元、康乃馨每株7元的价格卖出，问：该鲜花店应如何采购这两种鲜花才能使获得的利润最大？（注：800～1200株表示采购株数大于或等于800株，且小于或等于1200 株；利润=销售所得金额-进货所需金额） 6、（2014?门头沟区二模）如图，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的纵坐标、 点B的横坐标如图所示．（1）求直线AB的解析式；（2）点P在直线AB上，是否存在点P 使得△AOP的面积为1，如果有请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 7、如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t (单位：天)的函数关系.已知日销售利润＝日销售量×每件产品的销售利润.下列结论错误的是 A.第24天的销售量为200件 B.第10天销售一件产品的利润是15元 C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D.第30天的日销售利润是750元 8、甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；

高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

八年级数学一次函数图象题(行程问题)

八年级数学一次函数图象题（行程问题） 1．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B、仅有①②C．仅有①③D．仅有②③ 2、甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．上图2是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度； （2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．

3．甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B 港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A 港的距离y 1、y 2（km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）写出乙船在逆流中行驶的速度． （2）求甲船在逆流中行驶的路程． （3）求甲船到A 港的距离y 1与行驶时间x 之间的函数关系式． （4）求救生圈落入水中时，甲船到A 港的距离． 4、某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y 甲（千米）、y 乙（千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．

初中中函数解析以及解题技巧

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) （一）平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0； 第二象限：（-，+） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0； 第三象限：（-，-） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0； 第四象限：（+，-） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点P （x,y ）的几何意义： 点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|， 点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。 点P （x,y ）到坐标原点的距离为 22y x + 8、两点之间的距离： X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -=

Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -= 已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+- 9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点 则：M=(212x x + , 2 12y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 （二）函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断A 是否为B 的函数，只要看B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像

最新苏科初中数学八年级上《6.4 用一次函数解决问题》word教案

6.4 一次函数的应用（1） 教学目标： 1、能根据实际问题中变量之间数量的关系，确定一次函数关系式； 2、能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数），从而解决实际问题，增强学生的应用意识和创新意识。 3、.初步体会方程与函数的关系。 重点;将实际问题转化成数学问题，建立一次函数关系式。 难点：理解实际问题中的数量关系，将实际问题转化成数学问题，建立一次函数关系式，并解决实际问题。 教学过程： 一、课前复习与预习：1、已知一次函数的图像经过（1,2）,(—1,4)求一次函数的关系式。 2、直线m上有两点A（—2，—3），B（—5，-9）,求直线m的关系式。 预习：1、某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1元投资，一年可增加2.5元产值。那么总产值y（万元）与增加的投资额x（万元）之间的函数关系式 为。 2、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 写出每月电话费y (元)与通话次数x之间的函数关系 式； 二、新授 1、导入：在前几节课里，我们分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数的应用. 2、新课讲解： 活动一 一辆汽车在普通公路上行驶了35km后，驶入高速公路，然后以105km/h的速度匀速前进。 1、你能写出这辆车行驶的路程s（Km）与它在高速公路上行驶的时间t（h）之间的关系吗？ 2、若从上高速公路开始记时，行驶了4小时到达目的地，则该车从出发点到目的地的路程有多远呢？ 3、高速公路上里程表显示行驶了175km，问车在高速公路上行了多长时间？ 问题一：车在高速公路上行驶的路程与哪些量有关系？ 问题二：车内里程表上记录的数据是汽车行驶在哪几段公路上的路程？ 活动二、 某班同学秋游时，照相共用3卷胶卷，秋游后冲洗3卷胶卷并根据同学需要加印照片，已知冲洗胶卷的价格是3.0元/卷，加印照片的价格是0.45元/张， （1）试写出冲印后的费用y（元）与加印张数x之间的关系式。 （2）如果本班共有学生40人，每人加印照片1张，共需费用多少元？ （3）如果秋游后尚结余49.5元，那么冲洗胶卷后还可以加印多少张照片？ 问题冲印合计费用的多少与什么有关？ 变式1：已知冲洗胶卷的价格是3元/卷，加印不超过100张，0.5元/张；加印超过100张可进行优惠，前100张按0.5元/张收费，超过部分按0.4元/张收费。

[部编】八年级下数学解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题

解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题 ——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义 ◆类型一费用类问题 一、建立一次函数模型解决问题 1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元． (1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价； (2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式； (3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？ 二、分段函数问题 2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用． 三、两个一次函数图象结合的问题

3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元； ③A点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有() A．1个B．2个C．3个D．4个 四、分类讨论思想 4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示： (1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式； (2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？