轴对称
一．填空题（共26小题）
1．（2019?上海）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是．
2．（2019?西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为．
3．（2019?陕西）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．
4．（2019?黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．
5．（2019?内江）如图，在菱形ABCD中，sin B=4
5，点E，F分别在边AD、BC上，将四边
形AEFB 沿EF 翻折，使AB 的对应线段MN 经过顶点C ，当MN ⊥BC 时，AE
AD
的值是 ．
6．（2019?通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边上的一点，且AM =1
3AD ，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ．则A ′C 长度的最小值是 ．
7．（2019?长春）如图，有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将△AEF 沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则△GCF 的周长为 ．
8．（2019?吉林）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝10，BD ⊥AD ．若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为 ．
9．（2019?鸡西）一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为 ．
10．（2019?咸宁）如图，先有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形
的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：
①CQ＝CD；
②四边形CMPN是菱形；
③P，A重合时，MN＝2√5；
④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．
其中正确的是（把正确结论的序号都填上）．
11．（2019?深圳）如图，在正方形ABCD中，BE＝1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上，求EF ＝．
12．（2019?河南）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE=3
5a．连
接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．
13．（2019?淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．
14．（2019?广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a，b代数式表示）．
15．（2019?泸州）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．
16．（2019?杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．
17．（2019?天水）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD 沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．
18．（2019?淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
如图1，当CD=1
2AC时，tanα1=
3
4；
如图2，当CD=1
3AC时，tanα2=
5
12；
如图3，当CD=1
4AC时，tanα3=
7
24；
……
依此类推，当CD=
1
n+1AC（n为正整数）时，tanαn＝．
19．（2019?资阳）如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．
20．（2019?天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．
21．（2019?江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．
22．（2019?成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．
23．（2019?潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．
24．（2019?临沂）在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x＝1的对称点的坐标是．25．（2019?青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．
26．（2019?泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3√6，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．
二．解答题（共10小题）
27．（2019?鞍山）妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》，姐弟俩都想先睹为快．于是小红对弟弟说：我们利用下面中心涂黑的九宫格图案（如图所示）玩一个游戏，规则如下：我从第一行，你从第三行，同时各自任意选取一个方格，涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，我就先读，否则你先读．小红设计的游戏对弟弟是否公平？
请用画树状图或列表的方法说明理由．（第一行的小方格从左至右分别用A，B，C表示，第三行的小方格从左至右分别用D，E，F表示）
28．（2019?鞍山）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．
注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．
29．（2019?永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）
（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，
则m的值是多少？
（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．
30．（2019?湘潭）如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．
31．（2019?徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．
32．（2019?常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
33．（2019?广西）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）请写出A1、A2的坐标．
34．（2019?天门）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
35．（2019?临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH
⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF 的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．
36．（2019?滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
轴对称
参考答案与试题解析一．填空题（共26小题）
1．【解答】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB=1
2∠AEF，
∵正方形ABCD中，E是AD的中点，
∴AE＝DE=1
2AD=
1
2AB，
∴DE＝FE，
∴∠EDF＝∠EFD，
又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，
∴∠EDF=1
2∠AEF，
∴∠AEB＝∠EDF，
∴tan∠EDF＝tan∠AEB=AB
AE
=2．
故答案为：2．
2．【解答】解：设BF长为x，则FD＝4﹣x，∵∠ACB＝∠BCE＝∠CBD，
∴△BCF为等腰三角形，BF＝CF＝x，
在Rt△CDF中，（4﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝2.5，
∴BF＝2.5，
∴S△BFC=1
2BF×CD=
1
2
×2.5×2＝2.5．
即重叠部分面积为2.5．故答案为：2.5．
3．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵正方形边长为8，
∴AC=√2AB=8√2，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC=4√2，
∵N为OA中点，
∴ON=2√2，
∴ON'＝CN'=2√2，
∴AN'=6√2，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴CM
BM =
CN′AN′
=
1
3
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故答案为：2．
4．【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．
5．【解答】解：延长CM交AD于点G，
∵将四边形AEFB沿EF翻折，
∴AE＝ME，∠A＝∠EMC，BF＝FN，∠B＝∠N，AB＝MN
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°
∵sin B =
45=sin N =CF FN
， ∴设CF ＝4x ，FN ＝5x ， ∴CN =2
?CF
2
=3x ，
∴BC ＝9x ＝AB ＝CD ＝AD ， ∵sin B =4
5=sin D =GC
CD ∴GC =
36x 5
∴GM ＝GC ﹣（MN ﹣CN ）=36x
5?6x =6
5x ∵∠A +∠B ＝180°，∠EMC +∠EMG ＝180° ∴∠B ＝∠EMG ∴sin B ＝sin ∠EMG =
45=EG EM
∴cos ∠EMG =3
5=GM
EM ∴EM ＝2x ， ∴AE ＝2x ， ∴
AE AD
=
2x 9x
=2
9
故答案为：29
6．【解答】解：过点M 作MH ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接CM ，
∵AM =1
3AD ，AD ＝CD ＝3 ∴AM ＝1，MD ＝2 ∵CD ∥AB ，
∴∠HDM ＝∠A ＝60°
∴HD =1
2MD ＝1，HM =√3HD =√3 ∴CH ＝4
∴MC=√MH2+CH2=√19
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，
∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值
∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'=√19?1
故答案为：√19?1
7．【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，∴AE＝AD＝6，
∴EB＝AB﹣AE＝2，
由题意得，四边形EFCB为矩形，
∴FC＝ED＝2，
∵AB∥FC，
∴∠GFC＝∠A＝45°，
∴GC＝FC＝2，
由勾股定理得，GF=√FC2+GC2=2√2，
则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2√2，
故答案为：4+2√2．
8．【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE＝BE=1
2AB＝5，
由折叠可得，CB＝BE，CD＝ED，
∴四边形BCDE的周长为5×4＝20，
故答案为：20．
9．【解答】解：分两种情况：
①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，
连接AD ，则Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）， ∴AE ＝AC ＝6，BE ＝10﹣6＝4， 设CD ＝DE ＝x ，则BD ＝8﹣x ， ∵Rt △BDE 中，DE 2+BE 2＝BD 2， ∴x 2+42＝（8﹣x ）2， 解得x ＝3， ∴CD ＝3；
②若∠BDE ＝90°，则∠CDE ＝∠DEF ＝∠C ＝90°，CD ＝DE ，
∴四边形CDEF 是正方形，
∴∠AFE ＝∠EDB ＝90°，∠AEF ＝∠B ， ∴△AEF ∽△EBD ， ∴
AF ED
=
EF BD
，
设CD ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，AF ＝6﹣x ，BD ＝8﹣x ， ∴
6?x x
=
x 8?x
，
解得x =24
7， ∴CD =24
7，
综上所述，CD 的长为3或247
，
故答案为：3或
247
．
10．【解答】解：如图1，
∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，故②正确；
∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，
∴∠MQC＝∠D＝90°，
∵CP＝CP，
若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，
∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；
点P与点A重合时，如图2，
设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC=√AB2+BC2=4√5，
∴CQ=1
2
AC=2√5，
∴QN=√CN2?CQ2=√5，∴MN＝2QN＝2√5．
故③正确；
当MN过点D时，如图3，
此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=1
4
S
菱形CMPN
=14×4×4=4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=1
4
×5×4=5，
∴4≤S≤5，
故④错误．
故答案为：②③．
11．【解答】解：如图，作FM⊥AB于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°．
∵将BC沿CE翻折，B点对应点刚好落在对角线AC上的点X，∴EX＝EB＝AX＝1，∠EXC＝∠B＝90°，
∴AE=√AX2+EX2=√2．
∵将AD沿AF翻折，使D点对应点刚好落在对角线AC上的点Y，
∴AM ＝DF ＝YF ＝1，
∴正方形的边长AB ＝FM =√2+1，EM =√2?1， ∴EF =√EM 2+FM 2=√(√2?1)2+(√2+1)2=√6． 故答案为√6．
12．【解答】解：分两种情况：
①当点B ′落在AD 边上时，如图1． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝∠B ＝90°，
∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在AD 边上， ∴∠BAE ＝∠B ′AE =1
2∠BAD ＝45°， ∴AB ＝BE ， ∴3
5a ＝1，
∴a =5
3；
②当点B ′落在CD 边上时，如图2． ∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ＝a ． ∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在CD 边上， ∴∠B ＝∠AB ′E ＝90°，AB ＝AB ′＝1，EB ＝EB ′=35
a ， ∴DB ′=√B′A 2?AD 2=√1?a 2，EC ＝BC ﹣BE ＝a ?3
5a =25a ． 在△ADB ′与△B ′CE 中，
{∠B ′AD =∠EB ′C =90°?∠AB ′D ∠D =∠C =90°，
∴△ADB ′∽△B ′CE ，
∴
DB′CE
=
AB′B′E
，即
√1?a 2
25
a =
1
35
a ， 解得a 1=
√5
3
，a 2=?
√5
3
（舍去）．
综上，所求a 的值为5
3
或
√5
3
． 故答案为5
3
或
√53
．
13．【解答】解：如图，连接PB ，交CH 于E ， 由折叠可得，CH 垂直平分BP ， ∴E 为BP 的中点， 又∵H 为AB 的中点， ∴HE 是△ABP 的中位线， ∴AP ∥HE ， ∴∠BAP ＝∠BHE ，
又∵Rt △BCH 中，tan ∠BHC =BC BH =4
3
， ∴tan ∠HAP =4
3， 故答案为：43．
〖进门测〗 1.如图，∠ADB=°． 2．如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件. 2题图 3题图 4题图 3．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB= 米． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=32°，∠C=70°，∠BAD=. 5．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案． （1）画出测量图案； （2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
数学学科教师讲义 教务主任签字：签字日期： 学员姓名：年级：课时数： 辅导科目：学科教师：上课次数： 课题 授课日期及时段 作业情况 作业布置 教学内容 〖知识要点〗 要点一、轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 要点诠释： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 要点二、轴对称 1.轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点 要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 例题1：判断轴对称图形 1、下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（） A．B．C．D．
数学竞赛辅导系列专题（一）利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例 新课改下的数学教学要求教师“要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教育资源为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个性差异，有效地实施差异教学，使每个学生都得到发展”。“对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。” 纵观近几年的全国各级数学竞赛，首先是紧扣教材和竞赛大纲，许多试题虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。其次是精心设计，题目新型。而且注重知识的典型性和迁移性，积极引导学生实现由知识到能力的过渡。因此，教师在教学过程中要努力帮助学生挖掘课本的教育资源，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养学生的创新思维能力。让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。 本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。 （一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修 建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距 离之和最短？ 解：如图（2）（￡，只要画出A点关于直线L的对称点C,连结BC交直线L于P, 则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。（证明：如 图（2 ）②,在L上任取一点P i ,连结P i A , P i B , P i C ,因为 P i A+P i B=P i C+P i B>BC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。） （二）应用和延伸：例i、（七年级作业本题）如图（3），/ AOB内有一点P,在0A 和0B边上分别找出M、N，使△ PMN的周长最小。 解：如图（4），只要画出P点关于OB 0A的对称点P i, P2 ,连结P i、P2交OB 0A于 M N,此时△ PMN的周长PM+PN+MN i ff2为最小。（证明略） 例2、在图（i ）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是i 千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P,使PA+PB的值最小。求这个最小值。 解：如图（i）①所示，只要过A i点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在Rt △ ABH中，A i H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得AB的长度为4迈千米。即PA+PB的最 小值为 4 2 千米。 A A
优化教学模式 构建高效课堂 教师寄语：你说我讲，快乐课堂；你争我辩，放飞梦想！ 1 数学 学科有效教学简案 授课 年级 八年级 学 科 数学 课题 12.1轴对称的性质 教 学 目 标 一、知识与技能 1.理解线段的垂直平分线的概念， 掌握轴对称的性质； 2.能利用轴对称的性质在轴对称图形中找出对称点，会根据已知的对称点画出对称轴. 二、过程与方 法 1.利用折纸操作经历轴对称图形性质的探究过程，形 成对轴对称性质的深刻认识，提高分析问题、解决问 题的能力 2.提高学生的动手能力. 三、情感、态度 与价值观 1.积累数学活动经验，进一步发展空间观念； 2.体会图形中的对称美. 重点 探索并理解轴对称的性质. 难点 轴对称性质的简单应用. 教学 准备 一案三单 教学 流程 导读单 时间大概为5分钟之内，学科长检查，学生订正答案，老师指出错误。 生成单 时间大概为10分钟 ，学生讨论产生问题，小组讨论，老师 巡回指导。答疑解惑。 展示交流 时间大概为15分钟，学生上黑板书写过程，并且讲解自 己的过程其他组的同学提出不同见解，老师给出最后的答案。 总结 时间大概为 10分钟归纳出本节课的知识重点 ，做题的方法。自己的的收获 。 训练提升 教学反思
优化教学模式 构建高效课堂 教师寄语：你说我讲，快乐课堂；你争我辩，放飞梦想！ 2 教 学 过 程 设 计 教学环节 时 间 教学内 容 教师行为 期望的学生行为 自主合作初步探知 5分钟 创设情境，呈现目标 检查导读单的完成情况，教师随机抽查 小组长检查导读单完成情况，、各个小组讨论导读单上的问题。 问题训练小组评价 15分钟 自主学习合作讨论 老师在教室的每个小组中巡视，讲解同学会出现的问题 学科长组织进行交流，讨论， 规范指导提升能力 10分钟 创设自主、合作学习情境 教师适时引导，恰当点评，并规范书写 每小组各派一名代 表在小黑板上展示自己小组讨论的问题，并讲解自己小组的解题思路，方法与过程。 知识归纳 3分钟 创设 思维 情境 对重点问题进行系统归纳，对共性问题进行规范指导。 归纳出本节课的知识点。 问题训练拓展能力 7分钟 创设 反思 情境 发放问题训练单，教师指导，尤其是学习稍差的学生。 完成问题训练单 板书 设计 一． 创设情境，导入新课 四、巩固练习 二． 探究新知 五、小结 三． 应用新知 六、布置作业
轴对称变换 （30分钟 50分） 一、选择题（每小题4分,共12分） 1. 两个图形关于 某直线对称，对称点一定在（ ） A. 直线的两旁 B. 直线的同旁 C. 直线上 D. 直线的两旁或直线上 2. （2013 ?郴州中考）如图,在Rt △ ABC 中,/ ACB=90 / A=25° ,D 是 AB 上一点，将 Rt △ ABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在AC 边上的B'处,则/ ADB'等于（ ） A. 25 ° B.30 ° C.35 ° D.40 、填空题（每小题4分,共12分） 4.观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 ________ （只写序号）. 3.如图，正六边形 ABCDE 关于直线I 的轴对称图形是六边形 A'B'C'D'E'F', F 列判断错误的是（ ） A.AB=A'B' B. BC // B'C' C.直线I 丄BB' D. / A'=120 D B [> D f C f
5. _______________________________ 如图 ,三角形1与 ___________________ 成轴对称,整个图形中共有条对称轴. 6. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C',D'处,C'E交AF于点G.若/ CEF=70 贝GFD'= _________ 三、解答题（共26分） 7. （8分）辨别下列图形是不是轴对称图形或成轴对称，并说明理由 8. （8分）如图，在10 X 10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ ABC（即三角形的顶点都在格点上）. D1
轴对称偏振光束的产生与检测 建设目的：偏振是光的主要特性，我们通常所说的自然光、部分偏振光、平面偏振光、圆偏振光和椭圆偏振光是一种空间偏振均匀的偏振光束。轴对称偏振光束（包括径向偏振光和角向偏振光）电场振动方向在光束横截面上具有轴对称性，光束的波振面呈漩涡状，且中心呈现奇异性。轴对称偏振光束独特的光学特性使其在生物光镊、空间通信、高分辨率显微镜技术、电子加速以及激光加工等领域有着非常重要的应用。 轴对称偏振光束简介： 轴对称偏振光束是一种特殊偏振态分布的矢量光束，其特点是偏振态在出之于波矢方向的横截面上分布暗组轴对称特性。轴对称偏振光主要包括径向偏振光和角向偏振光，径向偏振光的偏振方向呈辐射状分布，角向偏振光为环绕状分布，如下图。 相对于传统单一偏振泰分布的光束，轴对称偏振光束呈现出很多不同的性质，其中最重要的特点是经过高数值孔径透镜聚焦后的场强分布。轴对称偏振光束在表面等离子激发，激光光镊，光学加工等方面都有独特的应用。 轴对称偏振光束产生方法主要包括主动式和被动式两类，主动式为激光腔内谐振输出的光束即为所述光束，被动式指的是既有的普通激光光束通过一些转化装置变为轴对称光束。本实验主要围绕被动方式进行。 实验原理： 在讨论具体的实验之前我们进行一定的基础分析： θ θ f s E 0 E 1
一束线偏振光经过一个λ/2波片，偏振方向与波片的慢轴夹角为θ，透射后其偏振方向发生变化。如图分析，入射光的快轴分量经过片相对提前了，出射光的偏振方向与慢轴夹角为-θ。根据上述分析，就可以很好的理解本实验中所用的拼接半波片方法产生轴对称偏振光束的原理。 一块8片拼接波片装置，其慢轴方向标识如图，相邻的波片之间的慢轴夹角为22.5°，一束如图线偏光通过它之后变为径向偏振光。 注入激光光束：线偏光 （红色箭头标识偏振方向）组合半波片装置（黑色箭头标识波片慢轴） 输出激光光束：径向偏振光 （红色箭头标识偏振方向） 实验装置图如下， LASER CCD λ/2Spatial Block polarizer L1L2L3L4 激光器出射光束经过偏振片后变为线偏光（当然一般激光机器出射光束的偏振特性都比较好），经过两个焦距不同的共焦透镜将光束放大并准直，再经过中心不通光的玻璃板将中心光场滤除，形成环状光束以避免经过拼接半波片装置中心奇点，这样也便于光路的调整。
第十三章（精编）轴对称 《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识 1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个 2．图中，轴对称图形的个数是【】 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）． （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． 考点二、线段垂直平分线的性质 4．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。 BC 5．如图，△ABC中，AB＝AC，PB＝PC，连AP并延长交BC于D，求证：AD垂直平分 6．如图,DE是?ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则?EBC 的周长为【】 A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米
圆和轴对称图形 圆和轴对称图形教学内容：教科书第131一132页，练习二十九的第1—4题。 教学目的： 1．使学生掌握圆的基本特点，能用工具画指定的圆。 2．使学生认识轴对称图形。能找出轴对称图形的对称轴。3．加深对平面图形的认识。 教具、学具准备： 1．教师、学生准备圆规。 2．教师准备小黑板，画几个轴对称图形。 教学过程： —、圆 教师：“上一节课我们复习的图形都是直线形。今天。我们复习的图形是由曲线围成的。同学们能想出是什么图形 吗?”(圆。)“圆是平面上的一种曲线图形。” 让学生用圆规自己画一个圆。画完后，指名说一说是怎样画的。然后，教师根据学生的回答，在黑板上画一个圆。 教师：“我们在学习圆时，学了与圆有关的哪些概念?”(圆心、半径和直径。)让学生分别说一说用什么字母表示，教师根据学生的回答，在黑板上标出圆心、画出半径和直径，写上相应的字母。 教师：“同一个圆内的所有半径的长度怎样?直径呢?”(长度相
等。) 接着问：“半径和直径有什么关系?”(半径是直径的一半。) 教师：“想一想，要画一个指定的圆，应该怎样画?”先让学生想一想，然后让学生画一个半径是2厘米的圆。教师巡视，看学生画圆的方法是否正确，发现问题及时纠正。教师还可以问：“通过画圆你们发现圆的大小与什么有关：”(与半径的长短有关。) 教师：“在一个圆里有多少条半径?有多少条直径?” “两端都在圆上的线段是不是都是直径?为什么?” 可以多让几个学生说一说道理，注意提问一些学习有困难的学生： 二、轴对称图形 教师：“我们学过轴对称图形，谁能说一说什么样的图形是轴对称图形?”(如果一个图形沿着——条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。)“这条直线叫做什么?”(对称轴。) 让学生看教科书第132页下面的图形，判断哪几个图形是轴对称图形，各有几条对称轴，并让学生画一画。先让学生独立判断，并画对称轴．教师巡视．了解学生画的情况。集体订正时，让学生说一说每一个图形有多少条对称轴：特别要弄清楚：圆有无数条对称轴。 教师：“我们学过的图形中，还有哪些是轴对称图形。”(等腰
轴对称图形知识点分析 数学与生活 以树干为对称轴，画出树的另一半，如图14-1所示. 思考讨论图14－1给出了树的一半，以树干为对称轴，画出它的另一半，需要找到几个关键点即关于树干的对称点，依次连接这些点即可，那么，我们为什么要这么做呢？ 知识详解 知识点1 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.如图 14-2所示，△ABC是轴对称图形. 知识点2 对称轴 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 如图14-3所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A′,B和B′，C和C′是对称点.
知识点3 线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 如图14－4所示，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线. 知识点4 对称轴的性质 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 探究交流 成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 点拨成轴对称的两个图形全等；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等；这两个图形对称. 知识点5 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图14－5所示，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PA=PB. 知识点6 线段垂直平分线的判定
轴对称变换1 八年级数学教案 课时安排 3课时 从容说课 这部分内容与学生的实际生活联系比较紧密?学生通过实际操作去体会轴对称图形的性质，并且可以利用轴对称变换来设计美丽的图案 在本节的教学中有两个重点，一个是作出图形关于一条直线的对称图形，另一个重点是用坐标表示轴对称?在教学过程中应注意：(1)?注重学生的合作和交流活动，在活动中促进知识的学习，并进一步发展学生的合作交流意识和能力.(2)?注意学生运手能力的培养，在动手的过程中体会轴对称变换，并且对上一节的知识作进一步的理解.(3)关注学生对知识技能的理解和应用，?发展学生在实际应用中体会数学思想的能力. 另外，在本节的探究中，也提出了一个应用较广泛的实际问题，要引导启发学生,初步培养学生运用数学知识解决实际问题的能力. § 14.2.1.1轴对称变换(一) 第四课时
教学目标 （一）教学知识点 1?通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换. 2?如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形. （二）能力训练要求 经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用. （三）情感与价值观要求 1?鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣. 2?初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识. 3?在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教学重点 1?轴对称变换的定义. 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形. 教学难点
1?作出简单平面图形关于直线的轴对称图形 2?利用轴对称进行一些图案设计. 教学方法 讲练结合法. 教具准备 多媒体课件. 教学过程 I ?设置情境，引入新课 在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题?在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法,现在来看一下同学们完成的怎么样. ［生甲］将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，?得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形. ［生乙］准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水,将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕?再将纸打开后铺平，?位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.
专题31轴对称、图形的平移和旋转 一、轴对称 1．对称轴：把一个图形沿某条直线对折，如果它与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。 2．对称轴图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 3．轴对称的性质： （1）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形。 （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 （4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 二、平移 1．平移：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 2．对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 3．平移的性质： （1）平移前后两个图形的形状、大小完全相同。 （2）平移前后两个图形的对应点连接线段平行（或在同一直线上）且相等。 三、旋转 1．旋转：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2.旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3．旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图
形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。 4．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。这个点就是它的对称中心。 5．中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 6．中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 【例题1】（2020山东东营）下列图形中，是轴对称图形的是（） 【答案】D 【解析】观察图形，选项D中图形是轴对称图形，有3条对称轴，其他图形都不是轴对称图形．故选D． 【例题2】（2020?湖南邵阳）一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（） A．k1＝k2B．b1＜b2 C．b1＞b2D．当x＝5时，y1＞y2 【答案】B．
第四单元 1 第五课时：轴对称图形 教学内容：轴对称图形、对称轴、对称性质；课本第100～101页，完成相应 的“做一做”题目和练习二十六的第1～7题。 教学目的：使学生初步认识轴对称图形与对称轴；会找出对称图形的对称轴；并知道对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等。 教具、学具：剪刀、复写纸、白纸。 教学过程： 一、复习。 说一说你是如何用对折的方法找出一个圆的圆心的。 二、新授。 1．导入。 在日常生活中，我们会看到一些物体或图形很特别，把它们像圆一样沿着一条线对折，两边就完全重合；如枫树叶、蝴蝶（出示图形）等这些图有对称美；那么，到底什么样的图形才是轴对称图形，这就是我们今天要学的内容。 板书课题：轴对称图形。 2．轴对称图形与对称轴。 教师把一张白纸对折，中间夹上双面复写纸，在纸上面画半个花瓶，然后把纸展开，得到以折痕为对称轴的整个花瓶。 从图中不难发现折痕两侧物体形状与图形的大小完全一样。 师生一起打开课本第121页，看上半页的三个图（树叶、蜻蜓、天平）由学生说一说他们的特点。（他们以树叶的主干、蜻蜓的身躯、天平的指针为轴左右两侧形状、大小一样。） 做课本上的实验，把一张纸对折并按书中的图样画好，再用剪刀剪下，把纸打开可看到它是以树干这直线为轴，两侧的图形能够完全重合。 小结：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形（指着树叶等）就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 回答课本第121页下面的“做一做”。 3．画（找对称轴）。 对称轴的轴法是一横一点一横点穿过图形，如“—·—·—”。先要求学生判断下面图形是否轴对称图形？然后要求学生判断下面图形是否轴对称图形？ 学生画出对称轴。 最后要求学生在课本上量一量对称轴两侧相对的点到对称轴的距离是否相等。通过多处的测量可概括出：在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等。 三、巩固练习。 1．课本100页“做一做”第1题。
二次函数图象的平移和对称变换执笔：欧国斌 审核: 初三数学组 课型：新授 授课时间： 【学习重难点】1、抛物线的平移、对称等变换。 【学习过程】 1、 抛物线的平移 1、抛物线y=3x2经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6 ? 2、抛物线y=-x2经过如何平移就可以得到抛物线y=-（x+4）2 ? 3、抛物线y=-x2经过如何平移就可以得到抛物线y=-（x+4）2+6? 4、抛物线y=3x2经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6x-2 ? 5、抛物线y=3x2+1经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6x-2 ? 6、归纳你的做法： 针对练习： 1、（2011山东滨州）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正 确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（） A． B． C． D． 3、（ 2011重庆江津）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是___ ____.
4、在同一平面直角坐标系内，将函数 的图象沿 轴方向向右平移2个单位长度后再沿 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( ) A.（ ，1） B.（1， ）C.（2， ）D.（1， ） 5、抛物线经过（）可以得到抛物线。 A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 2、 抛物线的对称 1、已知抛物线C1的解析式是， 求：（1）抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式； （2）抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，求抛物线C2的解析式； （2）抛物线C3与抛物线C1关于原点对称，求抛物线C3的解析式。针对练习： 1、抛物线关于x轴对称的图象的解析式是__________，关于y轴对称的图
121轴对称性质简案 数学学科有效教学简案授课年级八年级学科数学课题轴对称的性质教学目标一、知识与技能 1.理解线段的垂直平分线的概念，掌握轴对称的性质； 2.能利用轴对称的性质在轴对称图形中找出对称点，会根据已知的对称点画出对称轴. 二、过程与方法 1.利用折纸操作经历轴对称图形性质的探究过程，形成对轴对称性质的深刻认识，提高分析问题、解决问题的能力 2.提高学生的动手能力. 三、情感、态度与价值观 1.积累数学活动经验，进一步发展空间观念； 2.体会图形中的对称美. 重点探索并理解轴对称的性质. 难点轴对称性质的简单应用. 教学准备一案三单教学流程导读单时间大概为 5 分钟之内，学科长检查，学生订正答案，老师指出错误。 生成单时间大概为 10 分钟，学生讨论产生问题，小组讨论，老师巡回指导。答疑解惑。 展示交流时间大概为 15 分钟，学生上黑板书写过程，并且讲解自己的过程其他组的同学提出不同见解，老师给出最后的答案。 总结时间大概为 10 分钟归纳出本节课的知识重点，做题的方法。自己的的收获。 训练提升教学反思 教学过程设计教学环节时间教学内容教师行为期望的学生行为自主合作初步探知 5分钟创设情境，呈现目标检查导读单的完成情况，教师随机抽查小组长检查导读单完成情况，、
各个小组讨论导读单上的问题。 问题训练小组评价15分钟自主学习合作讨论老师在教室的每个小组中巡视，讲解同学会出现的问题学科长组织进行交流，讨论，规范指导提升能力10分钟创设自主、合作学习情境教师适时引导，恰当点评，并规范书写每小组各派一名代表在小黑板上展示自己小组讨论的问题，并讲解自己小组的解题思路，方法与过程。 知识归纳3分钟创设思维情境对重点问题进行系统归纳，对共性问题进行规范指导。 归纳出本节课的知识点。 问题训练拓展能力 7分钟创设反思情境发放问题训练单，教师指导，尤其是学习稍差的学生。 完成问题训练单板书设计一．创设情境，导入新课四、巩固练习二．探究新知五、小结三．应用新知六、布置作业
《轴对称考点复习》专题 班级 姓名 知道自己应该做什么，而不去做，恰恰是很多人生悲剧的原因.——我说的 【考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识】 ⑴轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。 ⑵轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________ 【典例1】下列几何图形中，○1线段 ○2角 ○3直角三角形 ○4 半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下图中，轴对称图形的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴 【考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称】 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样 （2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________． 【关于坐标轴对称】 点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是（x ，-y ） 点P （x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是（-x ，y ） 【关于原点对称】 点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标是（-x ，-y 【典例】 已知：△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示（1）把△ABC 向下平移2个单位长度得到△A 1B 1C 1请画出△A 1B 1C 1； （2）请画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标.
第十四章轴对称 §14．1．1 轴对称（一） 教学目标 1．在生活实例中认识轴对称图． 2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念． 教学重点 轴对称图形的概念． 教学难点 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐． 轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．Ⅱ．导入新课 出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征． 这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子． 我们的黑板、课桌、椅子等． 我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的． 如课本的图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），?再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？
窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合． 结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）?对称． 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做． 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，?将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合． 由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合． 接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。 下列各图，你能找出它们的对称轴吗？ 结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴． (1) (2) (3) (4) (5) 展示挂图，大家想一想，你发现了什么？
轴对称与坐标变换》教案 教学内容 沪科版数学八年级上册轴对称图形P123-P124. 教学目标 1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系． 2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识. 3、经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力. 教学重点 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系. 教学难点 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识.教学过程 一、引入新课 师：在以前的学习中我们学习过平面直角坐标系的有关知识，会画平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标. 我们知道点的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点.如果坐标中的横（纵）坐标不变，纵（横）坐标按一定的规律变化，或者横纵坐标都按一定的规律变化，那么图形是否会变化，变化的规律是怎样的，这将是本节课中我们要研究的点关于坐标轴对称的问题. 探索两个关于坐标轴对称图形的坐标关系.
1、在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小 旗. 两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么特 点？其它对应的点也有这个特点吗？ 2、在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y 轴对称的点， 看看两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理. 3、如果关于x 轴对称呢？ 在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？ 4、关于x轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标； 关于y 轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标. 二、拓展练习 1?点A(2, -3)关于x轴对称的点的坐标是(). 2?点B(-2，1)关于y轴对称的点的坐标是(). 3.点(4，3)与点(4，-3)的关系是(). A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.不能构成对称关系 4?点(m，-1)和点(2，n)关于x轴对称，则mn等于(). A.-2 B.2 C.1 D.-1 5、(1)若mn二0，则点P(m, n)必定在上.
轴对称图形一 1、如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的外角平分线相交于点F,连接AF,则下列结论正确的有 ( ) A. AF平分BC B. AF平分∠BAC C. AF⊥BC D. 以上都不对 2、如图,两条笔直的公路相交于点A,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D, 已知AB=AD=3公里,BC=CD=5公里,村庄C到公路的距离为4公里,则村庄C到公路的距离是( ) A. 3公里 B. 4公里 C. 5公里 D. 6公里 3、如图是标准跷跷板的示意图.横板AB的中点过支撑点O,且绕点O只能上下转动。如果∠OCA=90°,∠CAO=20°,则小孩玩耍时,跷跷板可以转动的最大角度为( ) A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 4、如图,有两个长度相等的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,则∠B=25°,则∠F等于( ) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 5、如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E.若BC=15cm,则△DEB的周长为( ) A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 无法确定 6、如图,已知EA⊥AB,BC∥EA,EA=AB=2BC,D为AB的中点,那么下列式子不能成立的是( ) A. DE=AC B. DE⊥AC C. ∠CAB=45° D. ∠EAF=∠ADF 7、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=5,BC=9,以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE,连接DE,则△ADE的面积等于( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD 的面积为9,则BE长为( ) A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 9、如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是AC的中点,EC⊥BD于点E,交BA的延长线于点F,若BF=12,则△FBC的面积为( ) A. 40 B. 46 C. 48 D. 50 10、如图,以△ABC的边AB,AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,则△ABC与△AEG的面积之间的关系为( )
平面直角坐标系与轴对称变换专题
第三讲平面直角坐标系与轴对称变换专题 第一节：直角坐标系与轴对称变换 知识点回顾 知识点一：轴对称、轴对称图形 1、轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形。这条直线称为对称轴，对称轴一定为直线。 2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫对称点。 知识点二：轴对称图形的性质 1、轴对称图形的对应线段相等，对应角相等，对应点的连线被对称轴 垂直平分。轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。2、轴对称图形变换的特征是不改变图形的大小和形状，只改变图形的 位置，新旧图形具有对称性。 例2：（2009湖北荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将A' B D A C
其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB =（） A．40° B．30° C．20° D．10°解析： 有关折叠问题是中考常考的题型，必须要辨别清楚折叠前后图形和数量关系。本题中，将∠A折叠，出现了轴对称，∠CA′D=∠A，因为∠A=50°，所以∠CA′D=50°。在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=90°-∠A=40°。∠CA′D是△ A′B D的一个外角，等于∠A′DB与∠B之和，所以∠A′DB=∠A′DB -∠B=50°- 40°=10°。应选择D。2.（2009湖南郴州）点(35) p，关于x轴对称的点的坐标为（） A．(3,5)B．(5,3)C．(3,5) D．(3,5) 【答案】D 知识点三：中心对称、中心对称图形 1、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转一定角度后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，该点叫作旋转中心。 2、中心对称：把一个图形绕着某一点旋转一定角度后，如果它能与另一个图形
C B A 《几何解题方法》之一：轴对称变换 引例： 如图，半圆O 的直径AB ＝10cm ，把弓形AD 沿直线AD 折，交直径AB 于点C ’, 若AC ’=6cm ，则AD 的长为（ ....8A B C D cm （导出课题）几何变换之一：轴对称变换 1、有关翻折的问题 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠+∠12 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. ∠=∠+∠A 12 B. 212∠=∠+∠A C. 3212∠=∠+∠A D. )21(23∠+∠=∠A 2、含有角平分线的问题 在△ABC 中，AB>AC ，∠BAC ＝54°，∠BAC 的角平分线 交BC 于D ，若AB-AC=CD ，求∠ABC 的度数。 思考：如图，在△ABC 中，∠BAC=54°，∠BAC 的外角平分线交直线BC 于D ，若AB+AC=BD ，求∠ABC 的度数。 3、有关轴对称图形的问题 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 、E 三点在半圆上，H 、K 是直径AB 上的点，若∠AHC=∠DHB ，∠DKA=∠EKB ，已知2565____.AC BE HDK ==∠=，，则 4、含有特殊角的问题 如图，A 、B 、C 三个村庄在一条东西方向的公路沿线上，其中AB ＝3km ，BC=2km ，在B 村的正北方向有一个D 村，测得∠ADC ＝45o，现将△ADC 区域规划为开发区，试求这个开发区的面积。 E D C A B C D B
应用： 1、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD，交AD的延长线于E，? EF?∥AC交AB于F．求证：AF=FB． 2、如图AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上 运动（不与A重合），以OC为直径的半圆M与半圆 O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。 （1）求证：CD是半圆O的切线； （2）过点E作EF⊥AB于F，则有OA=2EF,请说明理 由。 （拓展练习）1、在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG 与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重 合)。在旋转过程中，BD2＋CE2=DE2是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 2、如图，正方形AMBD的边长为6，C，E分别在AD，BD上，且AC＝2，BE＝3，H、K是对角线AB上的点。若∠AHC=∠DHB，∠BKE=∠DKA，试求∠HDK的度数。 3、在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=1,AD=2,在BC、CD上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN 的最小周长为 . C E D G F C B A