2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
1. ()cos()6
f x wx π
=-
的最小正周期为
5π
，其中0w >，则w = ▲ 。 【解析】本小题考查三角函数的周期公式。2105
T w w ππ
==?=。
答案10
2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 ▲ 。
【解析】本小题考查古典概型。基本事件共66?个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612
P ==?。 答案
112 3.11i i
-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b += ▲ 。 【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11i
i a b i
-=∴==+，因此a b +=1。
答案1
4. {}
2(1)37,A x x x =-<-则A
Z 的元素个数为 ▲ 。
【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由2
(1)37x x -<-得2580x x -+< 因为0?<，所以A φ=，因此A Z φ=，元素的个数为0。
答案0
5.,a b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -= ▲ 。 【解析】本小题考查向量的线形运算。
因为13
13()22
a b ?=??-=- ，所以
22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-?=49。 因此5a b -=7。 答案7
6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 ▲ 。
【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边
界），区域E表示单位圆及其内部，因此
2
1
4416
P
ππ
?
==
?
。
答案
16
π
7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。
序号（i）
分组
（睡眠时间）
组中值
（
i
G）
频数
（人数）
频率
（
i
F）
1 [4,5) 4.5 6 0.12
2 [5,6) 5.5 10 0.20
3 [6,7) 6.5 20 0.40
4 [7,8) 7.
5 10 0.20
5 [8,9) 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。
【解析】本小题考查统计与算法知识。
答案6.42
8.直线
1
2
y x b
=+是曲线ln(0)
y x x
=>的一条切线，则实数b=▲。
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。
1
y
x
'=，令
11
2
x
=得2
x=，故切点为
(2,ln2)，代入直线方程，得
1
ln22
2
b
=?+，所以ln21
b=-。
答案ln21
b=-
9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)
A a
B b
C c，点(0,)
P p在线段OA上（异于端点），设,,,
a b c p均为非零实数，直线,
BP CP分别交,
AC AB
于点E，F，一同学已正确算出OE的方程：
1111
x y
b c p a
??
??
-+-=
?
?
????
，请你求OF的方
程：▲。
【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想1111
()(
)0x y c b p a
-+-=。 事实上，由截距式可得直线:
1x y
AB a b
+=，直线:1x y CD c p +=，两式相减得
1111
()()0x y c b p a
-+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求的直线OF 的方程。 答案11
11
()(
)0x y c b p a
-+-=。 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：
12
3456
7
8
9
10
按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ▲ 。 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前1n -行共用了123(1)n +++
-
(1)2
n n -个数，因此第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32n n
-+个，
即为26
2n n -+。
答案262
n n -+
11.2
,,,230,y x y z R x y z xz
*
∈-+=的最小值为 ▲ 。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230x y z -+=得32
x z
y +=，代入2y xz 得
229666344x z xz xz xz
xz xz
+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。
答案3。
12.在平面直角坐标系中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径
的圆，过点2
(
,0)a c
作圆的两切线互相垂直，则离心率e =
▲ 。
【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线,PA PB 互相垂
直，又OA PA ⊥，所以OAP ?是等腰直角三角形，故2a c
=，解得c e a ==
13.若2,AB AC ==
，则ABC S ?的最大值 ▲ 。
【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。
因为AB=2（定长），可以以AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则
(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ，由AC ==
化简得2
2
(3)8x y -+=，即C 在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又
1
2
ABC c c S AB y y ?=??=≤
答案14.3
()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a = ▲ 。
【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。
22()333(1)f x ax ax '=-=-
01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。 02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，
min ()(1)202f x f a a ==-≥?≥，舍去。
03当0a >时()0f x x '=?=
① 111a a ≤?≥时()f x 在11,a ?-??和 1,1a ??????
上单调递增，
在11,a a ?
?上单调递减。 所以min
1()min (1),()f x f f a ???
?=-??????(1)40
0411
(12
0f a a f a a -=-+≥??≥??=?=-≥??
② 1
11a a
>?<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥?≥，不符合题意，舍去。综上可知a=4.
答案4。
15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单
位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为
225105
。 （1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得225cos ,cos 105
αβ=
=， α为锐角，
故2
sin 0sin 10
αα>=
且。同理可得5sin 5β=，
因此1
tan 7,tan 2
αβ==
。 （1）1
7tan tan 2tan()1
1tan tan 172
αβαβαβ+
++==
--?=-3。 （2）132tan(2)tan[()]1
1(3)2
αβαββ-+
+=++=
--?
=-1，
0,0,2
2
π
π
αβ<<
<<
3022παβ∴<+<
，从而324
παβ+=。
16．在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 求证（I ）直线EF D 面AC ；
（II ）EFC D ⊥面面BC 。
证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD ?
EF AD
AD ACD EF ACD EF ACD ?
?
???????
面面面。 （II ）EF AD EF BD
AD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F
?
?
?⊥??⊥?
??=??
?⊥?⊥????
?=???
面为的中点又BD BCD ?面，
所以EFC D ⊥面面BC
17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km, 10CD km =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界）
，且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（I ）按下列要求写出函数关系式：
① 设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ② 设()OP x km =，将y 表示成x 的函数关系式。
（II ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。
【解析】本小题考查函数最值的应用。
（I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，()BAO rad θ∠=，则10
AQ OA COS BAO COS θ
=
=
∠ D
E
F
C
A
B
故10
OB COS θ
=
，又1010tan OP θ=-，所以
10101010tan y OA OB OP COS COS θθθ=++=++-2010sin 10(0)cos 4
θπ
θθ-=+<<。
②()OP x km =，则10OQ x =-，所以OA OB ===
所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<。 （I ）
选择函数模型①。
22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)
cos cos y θθθθθθ
-----'==。
令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6
πθ=。 当06
π
θ<<
时，0y '<，y 是θ的减函数；
6
4
π
π
θ<<
时，0y '>，y 是θ的增函数。
所以当6
π
θ=时min 10y =。当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边
3
km 处。
18.设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2
()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。 （1） 求实数b 的取值范围； （2） 求圆C 的方程；
（3） 问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。 【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。 （1）0
10(0)0b b f ?>??<≠?
≠?
且
（2） 设所求圆的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=。
令2
02,x Dx F D F b ++=?==0y =得2
02,x Dx F D F b ++=?== 又0x =时y b =，从而1E b =--。
所以圆的方程为2
2
2(1)0x y x b y b ++-++=。
（3）2
2
2(1)0x y x b y b ++-++=整理为2
2
2(1)0x y x y b y ++-+-=，过曲线
22:20C x y x y '++-=与:10l y -=的交点，即过定点(0,1)与(2,1)-。
19.（I ）设12,,
n a a a 是各项均不为零的等差数列(4)n ≥，且公差0d ≠，若将此数列
删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
① 当4n =时，求
1
a d
的数值；②求n 的所有可能值； （II ）求证：对于一个给定的正整数(4)n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
12,n b b b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。
【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。
（I ）①当4n =时， 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则0d =。
若删去2a ，则有2314a a a =，即2
111(2)(3)a d a a d +=+，化简得1
4a d
=-； 若删去3a ，则有2214a a a =，即2
111()(3)a d a a d +=+，化简得
1
1a d
=。 综上可知
1
41a d
=-或。 ② 当5n =时， 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项。 若删去2a ，则有1534a a a a =，即1111(4)(2)(3)a a d a d a d +=++，化简得
1
6a d
=-； 若删去3a ，则有1524a a a a =，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=++，化简得30d =，舍去； 若删去4a ，则有1523a a a a =，即1111(4)()(2)a a d a d a d +=++，化简得1
2a d
=。 当6n ≥时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列123
21,,,,n n n a a a a a a --中，由于不
能删去首项和末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -=，这与0d ≠矛盾；同样若删去1n a -，也有132n n a a a a -=，这与0d ≠矛盾；若删去32n a a -中的任意一个，则必有121n n a a a a -=，
这与0d ≠矛盾。综上可知{}4,5n ∈。 （3） 略 20.若1
2
1212()3
,()3
,,,x p x p f x f x x R p p --==∈为常数，且112212(),()()
()(),()()
f x f x f x f x f x f x f x ≤?=?>?
(I)
求1()()f x f x =对所有的实数x 成立的充要条件（用12,p p 表示）；
(II)
设,a b 为两实数，a b <且12,(,)p p a b ∈，若()()f a f b =，求证：()f x 在区间
[],a b 上的单调增区间的长度和为
2
b a
-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）。 【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。 （I ）1()()f x f x =恒成立1
2
12()()3
23
x p x p f x f x --?≤?≤?
12
2
123
3
2log ()x p x p x p x p ---?≤?---≤*
若12p p =，则2
3()log 0*?≥，显然成立；若12p p ≠，记12()g x x p x p =---
当12p p >时，1221221211()()2()
()p p x p g x x p p p x p p p x p -
=-++≤≤??->?
，
所以min 12()g x p p =-，故只需2
123log p p -≤；
当12p p <时，1211212212()()2()
()p p x p g x x p p p x p p p x p -
=--≤≤??->?
，
所以min 21()g x p p =-，故只需2
213log p p -≤。
（II ）0
1如果2123log p p -≤，则1()()f x f x =的图象关于直线1x p =对称，
因为()()f a f b =，所以区间[],a b 关于直线1x p =对称。
因为减区间为[]1,a p ，增区间为[]1,p b ，所以单调增区间的长度和为
2
b a
-。 02如果2
123
log p p ->，结论的直观性很强。