专题22 数学思想方法专项
【训练目标】
1、 领会数形结合思想,函数与方程思想,转化与化归思想三种数学思想的本质,能灵活运用这三种数学思想解决问题；
2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法； 【温馨小提示】
数学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想
一、函数与方程思想在不等式中的应用
函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解. 1.若0
x
-
x x D.1221e x x 【答案】C 【解析】 设f (x )＝e x －ln x (0 －1x ＝x e x －1 x . 令f ′(x )＝0,得x e x －1＝0. 根据函数y 1＝e x 与y 2＝1x 的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0,1),因此函数f (x )在(0,1)上 不是单调函数,故A,B 选项不正确； 设g (x )＝e x x (0 e x x －1 x 2 . 又0 ∴函数g (x )在(0,1)上是减函数. 又0 ∴1221e >e x x x x ,故选C. 2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x ),满足g ′(x )－g (x )<0,若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称,且g (4)＝1,则不等式g x e x >1的解集为________. 【答案】(－∞,0) 3.已知f (t )＝log 2t ,t ∈[2,8],对于f (t )值域内的所有实数m ,不等式x 2 ＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立,则x 的取值范围是__________________. 【答案】 (－∞,－1)∪(2,＋∞) 【解析】 ∵t ∈[2,8],∴f (t )∈???? ??12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2 >0恒成立, 当x ＝2时,不等式不成立,∴x ≠2. 令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2 ,m ∈??????12，3. 问题转化为g (m )在???? ??12，3上恒大于0, 则????? g ? ????12>0，g 3>0， 即????? 12x －2＋x －2 2 >0，3x －2＋x －2 2 >0， 解得x >2或x <－1. 4.若x ∈[－2,1]时,不等式ax 3 －x 2 ＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6,－2] 故f (x )在[－2,－1]上单调递减,在(－1,0)上单调递增, 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3 －1 ＝－2. 当x ＝0时,不等式恒成立. 当0 x 3 , 则f (x )在(0,1]上单调递增,此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－3 1＝－6. 综上,实数a 的取值范围是[－6,－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用 数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数,可用函数的观点去处理数列问题,常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列,a 10＝10,其前10项和S 10＝70,则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23 【答案】D 【解析】 设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则? ???? a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×9 2d ＝70，即? ?? ?? a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14， 解得d ＝2 3 . 6.已知在数列{a n }中,前n 项和为S n ,且S n ＝n ＋23a n ,则a n a n －1 的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 【答案】C 7.在等差数列{a n }中,若a 1<0,S n 为其前n 项和,且S 7＝S 17,则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】 由已知得, 等差数列{a n }的公差d >0, 设S n ＝f (n ),则f (n )为二次函数, 又由f (7)＝f (17)知,f (n )的图象开口向上,关于直线n ＝12对称, 故S n 取最小值时n 的值为12. 8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4＝－2,S 6＝3,则nS n 的最小值为________. 【答案】 －9 【解析】 由? ?? ?? 4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2,d ＝1, 所以S n ＝ n 2－5n 2 ,故nS n ＝ n 3－5n 2 2 . 令f (x )＝ x 3－5x 2 2 ,则f ′(x )＝32 x 2 －5x , 令f ′(x )＝0,得x ＝0或x ＝10 3 , ∴ f (x )在? ????0，103上单调递减,在? ?? ??103，＋∞上单调递增. 又∵n 是正整数,故当n ＝3时,nS n 取得最小值－9. 三、函数与方程思想在解析几何中的应用 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答. 9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |＝42,|DE |＝25,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】 不妨设抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0),圆的方程设为x 2 ＋y 2 ＝r 2 (r >0),如图, 又可设A (x 0,22),D ? ?? ??－p 2，5, 点A (x 0,22)在抛物线y 2 ＝2px 上,∴8＝2px 0,① 点A (x 0,22)在圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 上,∴x 2 0＋8＝r 2 ,② 点D ? ????－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2 上,∴5＋? ?? ??p 22＝r 2,③ 联立①②③,解得p ＝4(负值舍去),即C 的焦点到准线的距离为p ＝4,故选B. 10.如图,已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0,b >0)的右顶点为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条 渐近线交于P ,Q 两点,若∠PAQ ＝60°,且OQ →＝3OP → ,则双曲线C 的离心率为( ) A. 233 B.72 C.39 6 D.3 【答案】B 所以点A 到直线y ＝b a x 的距离d ＝ ??????b a ·a －0? ?? ??b a 2＋－12 ＝ ab a 2＋ b 2 , 所以? ?? ??ab a 2＋b 22＝(2R )2 －R 2＝3R 2 , 即a 2b 2 ＝3R 2 (a 2 ＋b 2 ), 在△OQA 中,由余弦定理得, |OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12 ＝7R 2＝a 2 . 由? ???? a 2 b 2 ＝3R 2 a 2＋b 2 ， a 2＝7R 2 ，得? ??? ? a 2＝7R 2 ，b 2＝214R 2 ， 所以双曲线C 的离心率为e ＝c a ＝ c 2 a 2 ＝a 2＋b 2 a 2＝1＋ b 2a 2＝1＋214R 2 7R 2＝72 . 11.设椭圆中心在坐标原点,A (2,0),B (0,1)是它的两个顶点,直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E ,F 两点.若ED →＝6DF → ,则k 的值为________. 【答案】 23或3 8 【解析】 依题意得椭圆的方程为 x 2 4 ＋y 2 ＝1,直线AB ,EF 的方程分别为x ＋2y ＝2,y ＝kx (k >0).如图,设 D (x 0,kx 0), E (x 1,kx 1), F (x 2,kx 2),其中x 1 21＋4k 2 . 由ED →＝6DF → 知,x 0－x 1＝6(x 2－x 0), 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝10 71＋4k 2 . 由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2,得x 0＝2 1＋2k . 所以21＋2k ＝1071＋4k 2 , 化简得24k 2 －25k ＋6＝0,解得k ＝23或k ＝38 . 12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2 ＝4x 交于不同的两点A ,B ,且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点 F ,则k ＝________. 【答案】 22或－2 2 依题意知,x 1,x 2是①的不相等的两个实根, 则????? Δ＝4k 2－2 2 －4k 4 >0， ② x 1 ＋x 2 ＝22－k 2 k 2 ， x 1x 2 ＝1. 由以AB 为直径的圆过F ,得AF ⊥BF , 即k AF ·k BF ＝－1, 所以 y 1x 1－1·y 2 x 2－1 ＝－1,即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0, 所以x 1x 2＋k 2 (x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0, 所以(1＋k 2 )x 1x 2＋(k 2 －1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2 ＝0,③ 把x 1＋x 2＝2 2－k 2 k 2 ,x 1x 2＝1代入③得2k 2 －1＝0,解得k ＝± 22 , 经检验k ＝± 2 2适合②式. 综上所述,k ＝± 22 . 2、数形结合思想 一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用 讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时,要先对方程进行变形,尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x －1x 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 B 2.若关于x 的方程 || x x ＋4 ＝kx 2 有四个不同的实数解,则k 的取值范围为________. 【答案】 ? ?? ??14，＋∞ 【解析】 x ＝0是方程的一个实数解； 当x ≠0时,方程 || x x ＋4 ＝kx 2 可化为1 k ＝(x ＋4)|x |,x ≠－4,k ≠0, 设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0),y ＝1 k , 则两函数图象有三个非零交点. f (x )＝(x ＋4)|x |＝???? ? x 2 ＋4x ，x >0，－x 2 －4x ，x <0，x ≠－4 的大致图象如图所示, 由图可得0<1k <4, 解得k >1 4 . 所以k 的取值范围为? ?? ??14，＋∞. 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (－x －1)＝f (x －1),当x ∈[－1,0]时,f (x )＝－x 3 ,则关于x 的 方程f (x )＝|cos πx |在???? ??－52，12上的所有实数解之和为________. 【答案】－7 【解析】 因为函数f (x )为偶函数,所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1),所以函数f (x )的周期为2. 又当x ∈[－1,0]时,f (x )＝－x 3 ,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示. 由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在???? ??－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1 则由图得x 1＋x 2＝－4,x 3＋x 5＝－2,x 4＝－1,x 6＋x 7＝0, 所以方程f (x )＝|cos πx |在???? ??－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )????? x 4 ＋1，x ≤1， ln x ，x >1， 则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时,实数a 的取值范围是________. 【答案】 ???? ??14，1e 二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 构建函数模型,分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式. 5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝? ?? ?? 2－x ，x ≤0， 1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞,－1] B.(0,＋∞) C.(－1,0) D.(－∞,0) 【答案】D 【解析】 方法一 ①当? ?? ?? x ＋1≤0， 2x ≤0，即x ≤－1时, f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ,即－(x ＋1)＜－2x ,解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞,－1]. ②当??? ? ? x ＋1≤0，2x ＞0时,不等式组无解. ③当??? ?? x ＋1＞0，2x ≤0， 即－1＜x ≤0时,f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2 －2x ,解得x ＜0. 因此不等式的解集为(－1,0). ④当? ?? ?? x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时,f (x ＋1)＝1,f (2x )＝1,不合题意. 综上,不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞,0). 故选D. 方法二 ∵f (x )＝? ?? ?? 2－x ，x ≤0，1，x ＞0， ∴函数f (x )的图象如图所示. 由图可知,当x ＋1≤0且2x ≤0时,函数f (x )为减函数,故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1. 当2x ＜0且x ＋1＞0时,f (2x )＞1,f (x ＋1)＝1,满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0. 综上,不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞,－1]∪(－1,0)＝(－∞,0).故选D. 6.设A ＝{(x ,y )|x 2 ＋(y －1)2 ＝1},B ＝{(x ,y )|x ＋y ＋m ≥0},则使A ?B 成立的实数m 的取值范围是________. 【答案】 [2－1,＋∞) 【解析】 集合A 是圆x 2 ＋(y －1)2 ＝1上的点的集合,集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合,要使A ?B ,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方),而当直线与圆相切时,有|m ＋1| 2 ＝1,又m >0,所以m ＝2－1,故m 的取值范围是[2－1,＋∞). 7.若不等式|x －2a |≥1 2x ＋a －1对x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________. 【答案】 ? ?? ??－∞，12 【解析】作出y 1＝|x －2a |和y 2＝1 2 x ＋a －1的简图,如图所示. 依题意得??? ? ? 2a ≤2－2a ，a －1<0， 故a ≤1 2 . 8.已知函数f (x )＝??? ? ? －x 2 ＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1， 若存在两个不相等的实数x 1,x 2,使得f (x 1)＝f (x 2),则实数a 的取 值范围为________. 【答案】 [0,＋∞) 三、数形结合思想在解析几何中的应用 在解析几何的解题过程中,通常要数形结合,挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式,构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围； 常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间 的距离. 9.已知圆C ：(x －3)2 ＋(y －4)2 ＝1和两点A (－m ,0),B (m ,0)(m >0).若圆C 上存在点P ,使得∠APB ＝90°,则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 10.设双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0,b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆 与双曲线左支的一个交点为P .若以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2相切,则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】D 【解析】如图所示,设以A 1A 2为直径的圆与直线PF 2的切点为Q ,连接OQ , 则OQ ⊥PF 2. 又PF 1⊥PF 2,O 为F 1F 2的中点, 所以|PF 1|＝2|OQ |＝2a . 又|PF 2|－|PF 1|＝2a , 所以|PF 2|＝4a . 在Rt △F 1PF 2中,由|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ＝|F 1F 2|2 ,得4a 2 ＋16a 2 ＝20a 2 ＝4c 2 ,即e ＝c a ＝ 5. 11.已知抛物线的方程为x 2＝8y ,F 是其焦点,点A (－2,4),在此抛物线上求一点P ,使△APF 的周长最小,此时点P 的坐标为________. 【答案】 ? ?? ??－2，12 【解析】因为(－2)2 <8×4,所以点A (－2,4)在抛物线x 2 ＝8y 的内部, 如图,设抛物线的准线为l , 12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点,PA ,PB 是圆x 2 ＋y 2 －2x －2y ＋1＝0的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,则四边形PACB 面积的最小值为________. 【答案】 2 2 【解析】 连接PC ,由题意知圆的圆心C (1,1),半径为1,从运动的观点看问题,当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时,Rt △PAC 的面积S △PAC ＝12|PA ||AC |＝1 2 |PA |越来越大,从而S 四边形PACB 也越来越大； 当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形PACB 变小,显然,当点P 到达一个最特殊的位置,即CP 垂直 于直线l 时,S 四边形PACB 有唯一的最小值,此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋4 2 ＝3,从而|PA |＝|PC |2－|AC |2 ＝22,所以(S 四边形PACB )min ＝2×1 2×|PA |×|AC |＝2 2. 【配套练习】 1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x ),且f (x )＋f ′(x )>1,设a ＝f (2)－1,b ＝e[f (3)－1],则a ,b 的大小关系为( ) A.a b C.a ＝b D.无法确定 【答案】A 2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x ),且在[0,1]上是减函数,则有( ) A.f ? ????32 B.f ? ????14 C.f ? ?? ??32 ??－14 D.f ? ?? ??－14 ??32 ??14 【答案】C 【解析】 因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x ),所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称,又T ＝4,作图,由图知 f ? ????32 ??－1 4. 3.在三棱锥A －BCD 中,△ABC 为等边三角形,AB ＝23,∠BDC ＝90°,二面角A －BC －D 的大小为150°,则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π 【答案】D 【解析】满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示,设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ,半径为R ,△BCD ,△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2,可知O ,O 1,O 2在同一平面内,由二面角A －BC －D 的大小为150°,得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°. 依题意,可得△BCD ,△ABC 的外接圆的半径分别为 r 1＝BC 2 ＝232 ＝3,r 2＝23×sin 60°×23 ＝2, 所以??? ?? R 2＝OO 21＋r 2 1， R 2 ＝OO 2 2 ＋r 22 ，sin ∠OO 1O 2 ＝OO 2OO 1 ， 即??? ?? R 2＝OO 21＋3， R 2 ＝OO 2 2 ＋4，OO 2 ＝3 2 OO 1 ，解得R ＝7,所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2 ＝28π. 4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b a x 的垂线,垂足为A ,交双曲线左支于B 点,若FB →＝2FA → , 则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 【答案】C 5.记实数x 1,x 2,…,x n 中最小数为min{x 1,x 2,…,x n },则定义在区间[0,＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2 ＋1,x ＋3,13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2 ＋1,y 2＝x ＋3,y 3＝13－x 的图象如图. 由图可知,在实数集R 上,min{x 2 ＋1,x ＋3,13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线,抛物线AB 之间的部分,线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然,在区间[0,＋∞)上,在C 点时,y ＝min{x 2 ＋1,x ＋3,13－x }取得最大值. 解方程组??? ? ? y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ， 得点C (5,8). 所以f (x )max ＝8. 6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|,若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b ),则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22,＋∞) B.[3＋22,＋∞) C.(6,＋∞) D.[6,＋∞) 【答案】C 由对勾函数的性质知,当b ∈? ?? ?? 22＋1，＋∞时,f (b )＝2(b －1)＋ 1b －1＋3单调递增, ∵b ＞2, ∴a ＋2b ＝ b b －1 ＋2b ＞6. 7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝? ???? x 2 －x ，x ≥1， x 2 －3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立,则实数m 的取值范 围为( ) A.[－3－22,－3＋22] B.[－3＋22,0] C.[－3－22,0] D.(－∞,－3－22]∪[－3＋22,＋∞) 【答案】C 8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x －1 3x ＋1＋x ＋sin x ,若存在x ∈[－2,1],使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立, 则实数k 的取值范围是( ) A.(－1,＋∞) B.(3,＋∞) C.(0,＋∞) D.(－∞,－1) 【答案】A 【解析】 由题意知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ,f (－x )＝3－x －1 3－x ＋1 ＋(－x )＋sin(－x )＝－ ? ?? ??3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x ),即函数f (x )为奇函数,且f ′(x )＝2ln 3·3x 3x ＋12 ＋1＋cos x >0在R 上恒成立,即函数f (x )在R 上单调递增. 若?x 0∈[－2,1],使得f (x 2 0＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立, 即f (x 2 0＋x 0)<－f (x 0－k ), 所以f (x 2 0＋x 0) 0＋x 0 则问题转化为?x 0∈[－2,1],k >x 2 0＋2x 0,令g (x )＝x 2 ＋2x ,x ∈[－2,1]. 则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1,＋∞). 9.已知正四棱锥的体积为32 3,则正四棱锥的侧棱长的最小值为________. 【答案】2 3 【解析】如图所示,设正四棱锥的底面边长为a ,高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝32 3 , 故a 2h ＝32,即a 2 ＝32h . 则其侧棱长为l ＝ ? ?? ??2a 22＋h 2＝16 h ＋h 2 . 10.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点,则实数b 的取值范围是________. 【答案】(0,2) 【解析】由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点, 可得|2x －2|＝b 有两个不等的实根, 从而可得函数y 1＝|2x －2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点,如图所示. 结合函数的图象,可得0 11.已知椭圆C 1：x 29＋y 2 4＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2 (r >0),若两条曲线没有公共点,则r 的取值范围是 ______________. 【答案】(0,1)∪? ?? ?? 3305，＋∞ 因此,求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合,等价于在定义域为y ∈[－2,2]的情况下,求函数r 2 ＝f (y )＝－54 y 2 ＋2y ＋10的值域. 由f (－2)＝1,f (2)＝9,f ? ????45＝54 5 , 可得f (y )的值域为??????1，545,即r ∈? ?????1，3305, 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合,因此,两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪ ? ?? ?? 3305，＋∞. 方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ,得到关于y 的方程－54 y 2＋2y ＋10－r 2 ＝0.① 两条曲线没有公共点,等价于方程－54 y 2＋2y ＋10－r 2 ＝0要么没有实数根,要么有两个根y 1,y 2?[－2,2]. 若没有实数根,则Δ＝4－4×? ?? ??－54×(10－r 2 )<0, 解得r >3305或r <－3305? ????由于r >0，则r <－3305舍去. 若两个根y 1,y 2?[－2,2],设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2 , 其图象的对称轴方程为y ＝4 5 ∈[－2,2]. 则????? φ2＝9－r 2 >0， φ －2＝1－r 2 >0， 又r >0,解得0 因此,两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪? ?? ?? 3305，＋∞. 12.若关于x 的不等式e x －x 2 2－1－? ????a －94x ≥0在???? ??12，＋∞上恰成立,则实数a 的取值集合为________. 【答案】{2e} 【解析】 关于x 的不等式e x －x 2 2－1－? ????a －94x ≥0在??????12，＋∞上恰成立?函数g (x )＝ e x －x 2 2－1 x 在???? ??12，＋∞上的值域为???? ??a －94，＋∞. 故g (x )在??????12，＋∞上单调递增, 则g (x )≥g ? ?? ??12＝12 e －18－1 12 ＝2e －9 4 , 所以a －94＝2e －9 4, 解得a ＝2e, 所以a 的取值集合为{2e}. 高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><. （1）求公差d 的取值范围； （2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由. 【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ， 所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0， 13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0. 解得：2437 d -<<-. （2）解法一：（函数的思想） n S ＝21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- ＝22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <，故212452n d ????-- ???????最小时，n S 最大. 高中数学模型解题法 高中数学模型解题理念 数学模型解题首先需要明确以下六大理念(原则)： 理念之一——理论化原则。解题必须有理论指导，才能由解题的必然王国走进解题的自由王国，因为思维永远高于方法，伟大的导师恩格斯在100多年前就指出：一个名族要屹立于世界名族之林，就一刻也不能没有理论思维!思维策略永远比解题方法重要，因为具体解题方法可以千变万化，而如何想即怎样分析思考这一问题才是我们最想也是最有价 值的!优秀的解题方法的获得有赖于优化的思维策略的指导，没有好的想法，要想获得好的解法，是不可能的! 理论之二——个性化原则。倡导解题的个性张扬，即要学会具体问题具体分析，致力于追求解决问题的求优求简意识，但是繁复之中亦显基础与个性——通性通法不可丢，要练扎实基本功!具有扎实的双基恰恰是我们的优势，因为万变不离其宗，只有基础打得牢了才可以盖得起知识与思维的坚固大厦。因此要求同学们，在具体的解题过程中，要学会辩证地使用解题模型，突出其灵活性，并不断地体验反思解题模型的有效性，以便于形成自己独特的解题个性风格与特色。 理论之三——能力化原则。只有敢于发散(进行充分地联想和想象，即放得开)，才能有效地聚合，不会发散，则无力 聚合!因此，充分训练我们的发散思维能力，尽情地展开我们联想与想象的翅膀，才能在创新的天空自由地翱翔! 理论之四——示范化原则。任何材料都是给我们学生自学方法的示范，因此面对任何有利于增长我们的知识与智慧的机会，我们要应不失时机地抓住，并从不同的角度、不同的层次、甚至通过不同的训练途径、用不同时间段来认识、理解，并不断深化，以达到由表知里、透过现象把握问题本质与规律的目的。关于学思维方法，我们应当经过两个层次：一是：学会如何解题；二是：学会如何想题。 理论之五——形式化原则。哲学上讲内容与形式的辩证形式，内容决定形式，形式反映内容，充实寓于完美的形式之中，简洁完美的形式是充实而有意义的内容的有效载体，一个好的解题设想或者灵感，必然要通过解题的过程来体现，将解题策略设计及优化的解题过程程序化，形成可供我们在解题时遵循的统一形式，就是解题模型。 理论之六——习惯性原则。关于数学的解题，有三个层次：第一个层次，正常的解题，就是按照已知、求解、作答等等。这是我们大多数同学的解题情况，解出来，高兴得不得了，也不再做深层次的追求与思考，解不出来，就一头露水，而且很郁闷，不知其所以然。第二个层次，有思考的解题，主要就是发散和聚合，简单点说就是一题多解和对于解题“统一”模型的思考。第三个层次，主动的解题，就是对题 高中数学七大数学基本思想方法 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 第二：数形结合思想 （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 （2）从具体出发，选取适当的分类标准。 （3）划分只是手段，分类研究才是目的。 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 第六：有限与无限的思想 （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。 第七：或然与必然的思想 等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组： 1. f(x是R上的奇函数，f(x＋2＝f(x，当0≤x≤1时，f(x＝x，则f(7.5等 于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法 （1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注 意关键线：如；对称轴，渐近线等） （2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。 （1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 高中数学八种思维方法如何训练数学思维 在数学学习中,比运算更重要的是思维方式。下面介绍几种适合大家的数学学习思维 方法以及如何训练数学思维，欢迎阅读。 如何学好高中数学高中数学解题方法与技巧怎样学好高中数学高中数学怎么学成绩提 高快 一、转化方法： 转化思维，既是一种方法，也是一种思维。转化思维，是指在解决问题的过程中遇到 障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻 求最佳方法，使问题变得更简单、更清晰。 二、逻辑方法： 逻辑是一切思考的基础。逻辑思维，是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等 思维形式对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的思维过程。逻 辑思维，在解决逻辑推理问题时使用广泛。 三、逆向方法： 逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的 一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深 入地进行探索，树立新思想，创立新形象。 四、对应方法： 对应思维是在数量关系之间（包括量差、量倍、量率）建立一种直接联系的思维方法。比较常见的是一般对应（如两个量或多个量的和差倍之间的对应关系）和量率对应。 五、创新方法： 创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维 的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，提得出与众不同的解决方案。可 分为差异性、探索式、优化式及否定性四种。 点击查看：学好数学的核心概念与思维方法 六、系统方法： 系统思维也叫整体思维，系统思维法是指在解题时对具体题目所涉及到的知识点有一 个系统的认识，即拿到题目先分析、判断属于什么知识点，然后回忆这类问题分为哪几种 类型，以及对应的解决方法。 高中数学常用的数学思想 一、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y ＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地， 函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f-1(x)的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 例设f(x)＝lg 124 3 ++ x x a ，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。 【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg 124 3 ++ x x a 有意义的函数问题，转化为1＋2x＋4x a>0 在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 【解】由题设可知，不等式1＋2x＋4x a>0在x∈(-∞,1]上恒成立， 即：(1 2 )2x＋( 1 2 )x＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 设t＝(1 2 )x, 则t≥ 1 2 ，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－ 1 2 高中数学解题的思想方法（经典） 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 高中数学七大基本思想方法讲解 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查 第二：数形结合思想： （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系 数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 （2）从具体出发，选取适当的分类标准 （3）划分只是手段，分类研究才是目的 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向 第六：有限与无限的思想： （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查 第七：或然与必然的思想： （1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性 （2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、 一、《高中数学解题的思维策略》 最新高中数学思想 方法 经典例题 经典解析 目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 思想方法一、函数与方程思想 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ?????? 一、 《高中数学解题的思维策略》 高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范高中数学常见思想方法总结
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很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图，
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导
读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效
的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻
牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分
钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填
空题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道最新高中数学思想方法(附经典例题及详解)
高中数学解题四大思想方法(数学)
《高中最全数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图， 昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们 下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程， 去年高考难，很多学生数学考得也很不错， ，很多人可能会问补课 有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留 学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了， 补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高 考中分数的重要性， ，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了， 家长就说， ，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主 体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生 反映最后对我们 3 个教的还不错， 我先讲一下我补课大概基本要讲的内容， 把大家数学必修的知识点 基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多 好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家 讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下 一些英语，语文和其他科目的技巧。 导 读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效 的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻 牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分 钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填空 题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道大 题都快做完了，这下就慌了，心想肯定完了，最后整个卷子全部慌了，后面计算正确率 也不高了，整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀，先做会的，把整个卷子会做的做 完了，再去做会做的，即使有些题不会做也没关系，大题都是按步骤给分，步骤对了，(完整版)高中数学四大思想方法
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