2017专升本 高等数学（二）（工程管理专业）
一、选择题(1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 211
lim
1
x x x →-=-（）
C ()()()2111111
lim lim lim 1211
x x x x x x x x x →→→+--==+=--.
2. 设函数()f x 在1x =处可导，且()12f '=，则()()
11lim
x f x f x
→--=（）
B. 12-
C.
12 A ()()()()
()0
01111lim
lim 12x x f x f f x f f x x
→→----'=-=-=--.
3. 设函数()cos f x x =,则π2f ??
' ???
=（）
12
A 因为()cos f x x =,()sin f x x '=-,所以πsin 122f π??
'=-=- ???
.
4. 设函数()f x 在区间[],a b 连续且不恒为零，则下列各式中不恒为常数的是（）
A.
()f a
B.
()d b
a
f x x ?
C. ()lim x b f x +
→ D.
()dt
x
a
f t ?
D 设()f x 在[],a b 上的原函数为()F x .A 项，()0f a '=????；B 项，
()()()d 0b a f x x F b F a ''??=-=?????????；C 项，()()lim 0x b f x F b +→''??==????????；D 项，
()()dt x a f t f x '??=????
?.故A 、B 、C 项恒为常数，D 项不恒为常数.
5.
2
d x x =
?（）
A. 3
3x C + B. 3
x C +
C. 3
3x C +
D. 2x C +
C 2d x x =?3
3x C +.
6. 设函数()f x 在区间[],a b 连续，且()()()d d u u
a
a
I u f x x f t t =-??，,a u b <<则
()I u （） A.恒大于零 B.恒小于零 C.恒等于零 D.可正，可负
C 因定积分与积分变量所用字母无关，故
()()()()()()d d d d d 0u
u
u
a
a
a
a
a
u
a
I u f x x f t t f x x f x x f x x =-=+==?????.
7. 设函数()ln z x y =+,则()
1,1z x
?=?（）.
B. 12
B 因为()ln z x y =+,
1
z x x y ?=?+,所以()
1,112
z x
?=?. 8. 设函数33z x y =+，则z
y
??=（）. A. 23x B. 2233x y +
C. 4
4
y
D. 23y
D 因为33z x y =+,所以
z
y
??=23y . 9. 设函数z=xe y
，则?2z
?x ?y =（）. A. e x B ．e y C ．xe y D ．ye x
B 因为z=xe y
，则?z
?x =e y
, ?2z
?x ?y =e y .
10. 设事件A ,B 相互独立，A ,B 发生的概率分别为，，则A ,B 都不发生的概率为（）.
B 事件A ,B 相互独立，则A ,B 也相互独立，故P(A B )=P(A )P(B )=×=. 二、填空题（11～20小题，每小题4分，共40分) 11.函数()5
1
f x x =-的间断点为x =________.
1 ()f x 在x =1处无定义，故()f x 在x =1处不连续，则x =1是函数()f x 的间断点.
12.设函数f (x )={lnx,x ≥1，a ?x,x <1在1x =处连续，则a =________.
1 ()()1
1
lim lim 1x x f x a x a --
→→=-=-,因为函数()f x 在1x =处连续，故()()1lim 1ln10x f x f -
→===,即a -1=0,故a =1.
13. 0sin 2lim 3x x
x
→=________.
23 00sin 22cos 2lim lim 33
x x x x x →→== 2
3.
14. 当x →0时，()f x 与sin 2x 是等价无穷小量，则()
0lim sin 2x f x x
→=________.
1 由等价无穷小量定义知，()
0lim
1sin 2x f x x →=.
15. 设函数sin y x =,则y '''=________.
cos x
-
因为sin y x =，故cos y x '=,sin y x ''=-,cos y x '''=-.
16.设曲线y=a x 2+2x 在点（1，a+2）处的切线与直线y=4x 平行，则a=________.
1 因为该切线与直线y=4x 平行，故切线的斜率k=4,而曲线斜率y ′(1)=2a+2,故2a+2=4,即a=1. 17. 2
2e d x x x =?________.
2
e x C + 22
2
22e d e d e x x x x x x C ==+??.
18.
πsin 20
e cos d x x x =?
________.
e-1 ()πππsin sin sin 222
e cos d e
d sin e
x
x
x x x x ===?? =e-1.
19.
2
1
d 1x x
+∞
=+?
________.
π2
220
011π
d lim d limarctan limarctan 0112a a a a a x x x a x x +∞
→∞→∞→∞====
++?
?.
20. 设函数e x z y =+,则d z =________.
e d d x x y +
d d d z z
z x y x y
??=
+=??e d d x x y +. 三、解答题（21～28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤)
21.(本题满分8分) 计算()20
lim 1x
x x →+.
解: ()()2
2
1
2
lim 1lim e x
x x x x x →→??
+=????＝１＋. 22.(本题满分8分)
设函数y=sin x 2+2x ,求dy.
解:因为()222cos 22cos 2y x x x x ''=+=+, 故()
2d 2cos 2d y x x x =+. 23.(本题满分8分) 计算e
1ln d .
x x ?
解:()e e
11
e ln d ln d ln 1x x x x x x =-??
e e 1x
=-
1.=
24.(本题满分8分)
设()y y x =是由方程e 1y xy +=所确定的隐函数，求d d y x
.
解:方程e 1y xy +=两边对x 求导，得
d d
e 0d d y
y y
y x x x ++=. 于是
d d
e y y y
x x
=-+. 25.（本题满分8分）
(1)求常数a ；
(2)求X 的数学期望E(X )和方差D(X ).
解: (1)因为+++a =1,所以a =. (2) E(X )=0×+1×+2×+3×
=.
D(X )()()()()2
2
2
2
0 1.90.21 1.90.12 1.90.33 1.90.4=-?+-?+-?+-? =.
26.（本题满分10分）
求函数()31
413f x x x =-+的单调区间、极值、拐点和曲线()y f x =的凹凸区间.
解:函数的定义域为（-∞,+∞）.
24,2.y x y x '''=-=
令0.y '=,得 2.x =±
0y ''=,得x =0.（如下表所示）
函数()f x 的单调增区间为(-∞,-2),(2,+∞), 函数()f x 的单调减区间为（-2,2）, 曲线的拐点坐标为（0,1）, 曲线的凸区间为（-∞,0）, 曲线的凹区间为（0，+∞）. 27.（本题满分10分）
求函数()22,f x y x y =+在条件231x y +=下的极值．
解:作辅助函数
()()()
,,,231F x y f x y x y λλ=++-
()22231x y x y λ=+++-．
令220,230,2310,x y F x F y F x y λλλ'=+=??
'=+=??'=+-=? 得232,,131313
x y λ=
==-. 因此，(),f x y 在条件231x y +=下的极值为231,131313
f ??= ???.
28.（本题满分10分）
设曲线24y x =- (x ≥0)与x 轴，y 轴及直线x =4所围成的平面图形为D ．（如图中阴影部分所示）. （1）求D 的面积S.
（2）求图中x 轴上方的阴影部分绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V.
解: (1)面积()()2
4
220
2
4d 4d S x x x x =---??
3324
440233x x x x ????=--- ? ??
???
16.=
(2)体积4
20
πd V x y =?
()4
π4d y y =-?
241=π402y y ?
?- ??
?
8π=.