教学过程
一、预习导入
函数及其三要素的知识网络图:
二、复习预习
初中函数的定义:
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地就确定了一个y值,那么称y是x的函数.其中x是自变量,y是因变量。
初中学过哪些函数?
一次函数y=kx+b(k≠0);
反比例函数y=k/x(k≠0);
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
三、知识讲解
考点1 函数的定义
设A、B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f::A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A。
其中,x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域,值域是B的子集。
注意:
○1“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;
○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.
考点2 函数的三要素
(1)函数的三要素:定义域、对应关系和值域
(2)三要素的运用之判断两个函数的相等:当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
考点3 区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.
考点4 函数的定义域
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).
(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
考点5 求值域的方法(1)配方法,
(2)换元法,
(3)分离常数法
考点6 求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式。例如:一次函数、二次函数、反比例函数。——待定系数法; (2)已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ——复合函数换元法
(3)()f x 满足某个等式,这个等式除()f x 外还有其他未知量,例如:)(x f 或者)
1(x f 。此时需构造另个等式——解
方程组法
四、例题精析
【例题1】
【题干】判断下列各题中,函数)(x f 与)(x g 是不是同一函数?说明理由。
①1
1
)(2--=x x x f ,1)(+=x x g ;
②2)(x x f =,x x g =)(;
③2)(-=x x f ,44)(2+-=x x x g ; ④1)(=x f ,0)(x x g =;
【规范解答】
①)(x f 的定义域是{}1|≠∈x R x ,而)(x g 的定义域是R ,)(x f 与)(x g 的定义域不同,)(x f ∴与)(x g 是两个不同的函数。
②)(x f 与)(x g 的定义域都是R ,又x x x f ==2)(,即)(x f 与)(x g 的对应法则边相同,所以)(x f 与)(x g 是相同函
数。
③由于2)(-=x x f ,2
)(-=x x g ,它们对应法则不同,所以)(x f 与)(x g 是不同函数。 ④是不同函数,)(x f 的定义域是R ,而)(x g 的定义域是{}0|≠∈x R x
【总结与反思】注意:定义域、值域、对应法则是函数的三大要素,定义域与对应法则确定则值域也随而定,故两个函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则(在本质上)相同。
【例题2】
【题干】已知函数f(x)=3x ++2
1+x , (1)求函数的定义域;
(2)求f(-3),f(32
)的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
【规范解答】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值需满足???≠+≥+.02,
03x x 解得-3≤x<-2或x>-2,
即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)=33-++
231+-=-1;f(32)=23
21
33
2++
+=23383+. (3)∵a>0,∴a ∈[-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意义. 则f(a)=3a ++
21+a ; f(a-1)=21131-a +-++a =1
12+++a a . 【总结与反思】(1)函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使3x +和2
1
+x 有意义的自变量的取值范围;3x +有意义,则x+3≥0,
2
1
+x 有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组. (2)f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f(32)表示自变量x=3
2
时对应的函数值.
(3)f(a)表示自变量x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值. 分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.
【例题3】
【题干】设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是()
【规范解答】A项定义域为[-2,0],D项值域不是[0,2],C项对任一x都有两个y与之对应,都不符.故选B. 【总结与反思】仔细观察,图象与定义域值域一一对应
【例题4】
【题干】已知f(x+1)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。
【规范解答】∵f(x+1)的定义域为[-1,1];∴012x ≤+≤ ; ∴f(x)的定义域为[0,2];
∴f(2x-1)中,0212x ≤-≤,∴1322x -≤≤,∴f(2x-1)的定义域为13|22x x ?
?-≤≤??
?
? 【总结与反思】本题旨在考查复合函数的定义域(1)定义域是指x 的取值范围(2)“()”内的范围相同
【例题5】
【题干】求1
x
f的值域
x
+
)(+
=x
【规范解答】带有根号的函数利用换元法求值域 令x t t x t =-≥+=1),0(12,
1
,0,45
)21(122-≥≥-+=+-=y t t t t y
【总结与反思】带根号的函数都利用换元法转化成二次函数即可
课题7:函数的概念(一) 一、复习准备: 1.讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时y 是x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: (一)函数的定义: 设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数(function ),记作: (),y f x x A =∈其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域(domain ),与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域(range )。显然,值域是集合B 的子集。 (1)一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R,值域也是R; (2)二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R,值域是B;当a>0时,值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ;当a﹤0时,值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。(3)反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠,值域是{}0y y ≠。(二)区间及写法: 设a 、b 是两个实数,且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习:用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} (三)例题讲解: 例1.已知函数2()23f x x x =-+,求f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。 变式:求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2.已知函数1()2f x x =+,(1)求()()2 (3),(),33f f f f --的值;(2) 当a>0时,求(),(1)f a f a -的值。(四)课堂练习: 1.用区间表示下列集合: {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2.已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值; 3.课本P 19练习2。
解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f
幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ;
过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1).
函数的定义域、值域 一、知识回顾 第一部分:函数的定义域 1.函数的概念: 设集合A 是一个非空的数集,对于A 中的任意一个数x ,按照确定的法则f ,都有唯一的确定的数y 与它对应,则这种关系叫做集合A 上的一个函数,记作()x f y =,(A x ∈)其中x 叫做自变量,自变量的取值范围(数集A )叫做这个函数的定义域. 如果自变量取值a ,则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值,记作)(a f y =或 a x y =,所有的函数值所构成的集合{} A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域. 2.定义域的理解: 使得函数有意义的自变量取值范围,实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围,注意:定义域是个集合,所以在解答时要 用集合来表示. 3.区间表示法:设a ,R b ∈,且b a <. 满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合,叫做闭区间,记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合,叫做开区间,记作()b a ,. 满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合,都叫做半开半闭区间,记作 (][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点,在数轴上表示时,包括端点时,用实心的点,不包括 时用空心点表示. 4.基本思想:使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式,或不等式组的解集. 5.定义域的确定方法:保证函数有意义,或者符合规定,或满足实际意义. (1)分式的分母不为零. (2)偶次方根式的大于等于零. (3)对数数函数的真数大于零. (4)指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. (5)正切函数的角的终边不能在y 轴上. (6)零次幂的底数不能为零.
函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A →B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.如:f(x)=x2 f(x)=2x+2等 (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域; (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数, k≠0) 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x-1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) = (√x)2 (3)f ( x ) = x 2;g ( x ) = (x + 1) 2 (4)f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3.区间的概念
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--