6.6 多元函数的极值
:
求出函数),(yxf的所有驻点
0),(,0),(yxfyxf
x解得),(yxf的驻点),(00yx；
根据极值的充分条件判定驻点是否为极值点
),(
0yx，求出二阶偏导数在该点的值
00000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC
°当20BAC时，),(yxfz在点),(
0yx取得极值),(00yxf，
A
0A时为极小值；
°当20ACB时，),(yxfz在点),(
0yx不取极值；
°当20BAC时，不能确定，需另作讨论。
A）22．求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值：
1）()zxyaxy，(0)a；
① 求驻点
(,)[()]()2
,)[()]()2xx
yfxyxyaxyyaxyxyayxyyfxyxyaxyxaxyxyaxxyx
2
(,)20
,)20x
fxyayxyyfxyaxxyx 解得 00300
axxxxayyayay，，或
(0,0), (0,)a, (,0)a, (,)
3aa为()zxyaxy的驻点；
2
(,)(2)2(,)(2)22
,)(2)2xxxxyy
yfxyayxyyyfxyayxyyaxyfxyaxxyxx，
,(
0yx A B C 2BAC ),(00yxf
0)
0A Ba 0C 2
a
不取极值
)a
2Aa Ba 0C 2
a
不取极值
,0)a
0A Ba 2Ca 2
a
不取极值
,)
3aa 23aA 3aB 23aC 20
a 3(,)3327aaaf是极值，
a
a
2）221zxyxyxy
① 求驻点
2
2(,)(1)12
,)(1)12x
yfxyxyxyxyxyfxyxyxyxyyx
(,)120
,)120x
fxyxyfxyyx 解得11xy，
(1,1)为221zxyxyxy的驻点；
,)(12)2(,)(12)1
,)(12)2xxxxyy
yfxyxyfxyxyfxyyx，
,(
0yx A B C 2BAC ),(00yxf
1)
20A 1B 2C 30 (1,1)0f为极小值
．某工厂生产甲、乙两种产品，产量各为x、y，其成本函数为22(,)23cxyxxyy。由
甲、乙两种产品的单价与产量分别有如下关系：
2363,405PxPy。 试
设L表示该工厂的利润，则
2()(,)LPxPycxy
2222(,)(363)(405)(23)3644082LLxyxxyyxxyyxxyyxy。
(,)36820
,)401620x
LxyxyLxyyx，得唯一驻点（4,2）。
L必可取得最大值， 因此这个最大值在（4,2）处取得。于是该工
22max(4,2)3644440282242112LL(元)。
．某厂家生产某种产品的成本是每件2元，另外每月再花广告费A元，则每月的销售量
0.00130(1)(22)AxeP，其中P为产品销售价格。求最合理的P和A值，使得工厂的纯利
设L表示该工厂的利润，则L= x(P -2)- A0.00130(1)(22)(2)AePPA
0.0012(,)30(1)(2444)(00)ALLPAePPAAP，。
0.001
2(,)30(1)(224)0
,)0.03(2444)10APA
LPAePLPAePP，得1201000ln3PAA，或（舍去），
12,1000 ln3 ）。
L必可取得最大值， 因此这个最大值在（12,1000 ln3 ）处取得。
P=12, A=1000 ln3 时工厂的纯利润最大。
),(yxfz在条件0),(yx的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：
构造拉格朗日函数),(),(),,(yxyxfyxL，其中为某一常数；
由方程组
),(,0),(),(,0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx解出,,yx，其中驻点(,)xy就是所求条件
：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为
A）26．某工厂生产A、B两种产品，A产品每件纯利6元，B产品每件纯利4元，制
x件产品与y件产品的成本函数为2(,)10000
xcxyxy，而该厂每日的制造预算
20 000元。 问应如何分配A、B两种产品的生产，使利润最大？
设该厂每日生产x件A产品、y件B
产品。设L表示该工厂的利润，则
(,)64(0,00)LLxyxyxyxy且。
21000020000
xxy，即21000006000xxy下，求
(,)64(0,00)LLxyxyxyxy且的最大值。作拉格朗日函数
,,)64(10000)
xLxyxyxy，
L的驻点，即解方程组
(,,)6(1)03000(,,)40
,,)100000
xyxLxyLxyxLxyxy 150048125xy，得唯一驻点（1500,8125）
1500件A产品、8125件B产品时利润最大。最
(15008125)615004812541500L，（元）。
设该厂每日生产x件A产品、y件B产品。设L表示该工厂的利润，则
,)64(0,00)LLxyxyxyxy且。
21000020000
xxy，即21000006000xxy下，求
(,)64(0,00)LLxyxyxyxy且的最大值。
210000
xyx代入(,)64Lxyxy得
,)64(10000)
xLLxyxx，即2()2400001500xLLxx
2()20
xxLLx，得唯一驻点1500x。
L必可取得最大值， 因此这个最大值在1500x处取得，此时
00015008125
y。
1500件A产品、8125件B产品时利润最大，最大利润为
215004000041500
L（元）
(15008125)615004812541500L，（元）。