揭阳职业技术学院 毕业论文（设计） 题目：浅谈同余定理及其应用 学生姓名黄指导教师某某某 系（部）师范教育系专业数学教育 班级 999 班学号 11211211 提交日期200 年月日答辩日期 200 年月日 200 年月日
浅谈同余定理及其应用 摘要 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。同余理论是初等数论中的重要内容之一，其性质及应用研究已引起许多学者的关注。本文归纳总结了同余的若干性质，结合实例，探究了同余性质在检验、判断整除问题、求余数、判断合数、韩信点兵问题等方面的具体应用。体现了用同余性质解决问题的简洁性。 关键词：同余整除余式方程
绪论 初等数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说成是数学的皇后。同余问题在当今中小学乃至大学的数学教学中都有涉及，它作为初等数论的核心内容之一，具有很强的应用价值，很多数学问题都要借助同余理论来解决。同余的应用问题分为很多种类型，每种类型的题目又有一定的解题技巧。掌握了这些题型的技巧，可以提高大家解决问题的能力。本文基于对同余理论的理解，将应用同余理论解决的问题具体整理分类，从中分析出一些借助同余理论解题的技巧与规律。现在初等数论中关于同余的内容主要包括：同余的定义及基本性质、剩余类与剩余系、欧拉定理、费马小定理、循环小数、一次同余方程及一次同余方程组。 到目前为止，古今中外很多学者与数学家，对同余的应用问题都有了一定的研究。在中国，早在宋代，大数学家秦九韶所著的《数书九章》中就记载了求解同余方程的“大衍求一术”。还有，著名的古代数学著作《孙子算经》中也记载能解决“物不知其数”问题的孙子定理，也被称作“中国剩余定理”。以及“韩信点兵”问题的研究，都为解决一次同余方程和同余方程组的问题带来了便利。在西方，除了高斯引入同余的概念之外，欧拉和费马提出的定理也为解决同余的相关问题做出了重要的贡献。希望通过本文的研究能将同余理论的应用问题更加系统全面的展现出来。以便，今后大家在探究同余理论时，能对同余应用问题的类型和解决技巧有一个清晰的认识和理解，更好的解决相关问题。 1 相关性质定理[1] 性质1同余是一种等价关系，即有： （1）反身性 a≡a（mod m）. （2）对称性若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）. （3）传递性若a≡b（mod m）， b≡c（mod m）， 则a≡c（mod m）. 性质2同余式可以相加减,即 若 a≡b（mod m），c≡d（mod m），则 (1) a＋c≡b＋d（mod m）. (2) a－c≡b－d（mod m）. 性质3同余式可以相乘,即有：
餐饮企业的经营服务理念 一、餐饮企业经营什么 从根本上讲，餐饮企业只经营一样东西，这就是服务。 现代餐饮企业提供给消费者的，不是孤立的食品（尽管食品是餐厅的主要产品）。当顾客不在自己家里用餐而选择了上餐馆，通常不只是为了解决温饱问题。他们消费和享受餐馆所提供的以食品为主要产品的全部服务，并由此获得一种超越家常饮食消费经验的、新颖的、充满各种快感的文化体验。这种体验所追求的普遍的、核心的价值则是健康（Healthy）和快乐（Happy），即“2H”。这也是餐饮企业所要追求臻达的服务境界。 餐饮企业的服务，主要是厨事服务和餐厅接待服务。厨事服务是食品加工生产的活动和过程，以加工生产出味、养、意、形俱美的食品为目的，是餐厅服务的最基本的物质依托。 餐厅服务则是直接的对客接待服务，它不仅使企业与消费者之间的价值交换得以进行，而且是企业与消费者进行信息和情感交流的重要途径。餐厅服务的水平，包括餐厅的建筑、设施、装饰、环境、气氛，以及服务人员的态度、效率、礼仪、技巧、仪表等，不仅直接影响客人的当下消费，也是企业与顾客关系的精神纽带。从经营食品到经营体验是现餐饮企业经营理念的重大变革。以“2H”作为核心价值的餐饮经营，要求通过对顾客需求及其变化的深度体验，不断设计和开发出持续越顾客期望的、健康快乐的餐饮产品，即文化体验。 二、服务体验的层级 消费者对餐饮服务的心理需求，主要是餐饮安全、适口营养和适心悦意，由此形成餐饮服务境界的三层级。 1.餐饮安全 餐饮卫生安全是“2H”价值体验的基础层面。尤其是食品卫生安全，直接关系到消费者的生命健康和切身利益。如果消费者心存恐惧（担心食品是否安全，食品生产是否清洁）去吃，面对的是脏、乱、差的餐饮服务环境，当然不可能产生健康、快乐的饮食体验。让消费者吃得放心，也是对餐饮企业的经营伦理和合法经营的考量。根据最近公布施行的《国务院关于加强食品等产品安全监督管理的特别规定》，生产经营者应当对其生产、销售的产品安全负责，不得生产、销售不符合法定要求的产品。 由此，除了严格市场准入制度，加强食安监督，餐饮经营者要真正树立餐饮卫生安全第一的经营理念，坚持清洁生产，倡导绿色消费，确保餐饮卫生安全，以满足消费者不断增长的餐饮卫生安全需求。 2.适口营养 适口营养是“2H”价值体验的核心层面。消费者的健康、快乐的饮食体验主要来自于食品，来自于食品的感官性状（色、香、味、形、质）、尤其是食品的味觉美感（适口），以及食品的营养保健价值。 “民以食为天，食以味为先。”长期以来，这种味觉价值优先的感觉—致思方式，促成了中国烹饪术的发达和食谱的广泛，形成了中国传统饮食文化特有的趣味。在今天，人们对饮食的消费，在体验层面，仍然首先是食品的感官形状，核心是味觉（包括嗅觉）美感。但是，在价值层面上，滋味优先正逐渐让位于营养优先，单纯的味蕾愉悦正让位于食饮理性。健康是快乐的前提，在这里得到再一次验证。科学化、营养化是人类饮食文明发展的必然趋势。餐饮企业在生产营养美食，适
. 1 同余的性质及应用 1 引言 数论的一些基础容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的. 在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一. 我国古代子算经里已经提出了同余式11(mod )xb m ,22(mod )xb m ,…, (mod )k k xb m 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家九韶在他的《数学九章》中提出了同余式1(mod )i i x M m ≡, 1,2,...,i k =, i m 是k 个两两互质的正整数， 12...k m m m m =,i i m m M =的一般解法. 同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，2an bn c ++形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题. 数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性
第38讲应用同余问题 一、知识要点 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的： 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5） 性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大 1
的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 二、精讲精练 【例题1】求1992×59除以7的余数。 应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。 因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。 练习1： 1、求4217×364除以6的余数。 2、求1339655×12除以13的余数。 2
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
餐饮服务理念 酒店经营活动主要是通过服务来实现的，服务质量、服务水准的高低不仅关系着酒店的效益、声誉，更关乎酒店的生存与发展。在制度化、程序化、标准化向个性化、多样化转化的过程中，我们所追求的服务目标是“和谐服务”。所谓和谐服务，就是以服务员的亲情、技能、效率、知识和良好的修养，表达和体现服务风格，是和谐对客关系的集中体现。具体表现为：标准与个性相统一，快捷与稳妥相统一，热情与礼仪相统一，亲切与高雅相统一，守责与灵活相统一。 和谐服务的一个基本指标是顾客满意度。使顾客满意的关键是最大限度地满足顾客需求，协调顾客和酒店之间的关系，兼顾效率和公平的原则，防止发生牺牲顾客利益来维护自身利益。这就要求所有服务人员一要强化顾客意识，要站在顾客的立场上去思索顾客的内心需求；二要急顾客之所急，想顾客之所想，做顾客之所需，无论顾客有什么需求，有什么困难，只要被我们看到、听到、知道，马上就办，特别是对于顾客提出的需求，要尽力给予满足。 服务员要达到这样一种和谐服务的境界不是一朝一夕的事，要经过一个不断学习积累的过程，要不断地充实自己，不断地从书籍中汲取营养，不断从实践中探索提高。虽然学习是一项艰苦的劳动，但同样也是最能得到回报的投资。一份耕耘，一份收获，当你经过长期磨炼，一旦具备这种全面素养，不但酒店会给你相应的回报，对自身来说，更是拥有了一种永远不会损耗的资源。 一、服务理念：顾客就是朋友 近几年来，我们在研究中发现，随着顾客消费习惯、消费心理的变化，“顾客就是上帝”的传统服务理念已跟不上时代要求，因为“上帝”与“平民”、顾客与我们之间存在着不同的交流法则。而基于这一理念的要求，我们在对客服务活动中，更多地表现为缺少原则的奉迎，使酒店和顾客之间永远不处在同等水平线上，和谐的对客关系只是一句空话，摒弃传统服务理念已势在必行。我们审时度势，率先提出了“顾客是朋友”的服务理念，并进行了全新的诠释：对待顾客只有像老朋
浅析中国剩余定理及其应用 李辉 （井冈山学院数理学院信息与计算科学 343009） 指导老师颜昌元 [摘要]：本文阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. [关键词]：中国剩余定理；解法;多项式；现代密码学 引言在中国,以剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的卜筮古法.秦九韶说:“圣有大衍,微寓于《易》”,即指此意.另外,同余理论的另一个来源是古代制定历法的需要.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.中国剩余定理对现代数学的研究有很强的启迪意义.特别是在多项式，密码学中的应用非常关键. 一中国剩余定理的由来 我国古代《孙子算经》中有一著名而又重要的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二、五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.答曰:二十三”.这一问题可译为:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合条件的最小的数.题中还介绍了它的解法:“术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之,得二百三十三,以二百十减之,即得.”意即:物数W=70×2+21×3+15×2-2×105=23.接下来又给出了这类题的一般解法(余数为一的情况):术文说:“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.”这个问题及其解法,在世界数学史上占有重要的地位,因此,中外数学家都尊称为“孙子定理”或“中国剩余定理”. 为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来,我们不妨先引进同余定义:一般地,若两个整数a、b被同一个大于1的整数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余.记作: a≡b (mod m）应用同余原理,我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来,是:设N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7),求最小的数N.答案是N=23. 书中问题及其解法,建立起数学模型就是: 设a、b、c为余数, P为整数,则N≡a(mod 3)≡b(mod 5)≡c(mod 7) 的解是: N=70a+21b+15c-105P (1) 现在,我们把上述解法中的a,b,c作一分析:设M=3×5×7,则 70=2×5×7=2×(3×5×7)/3=2×M/3
呼伦贝尔学院 本科生毕业论文开题报告题目同余的应用 专业数学与应用数学 姓名______________________彭丽霞 学号2011071115 指导教师付莉 2014年11月7日
七、论文提纲 （一）前言 同余是《算术研究》中的一个基本研究课题，这个术语来自拉丁文，同余的概念的建立和同余符号的引入大大简化了数论中的许多问题，它的引入使得无限的整数被划分为有限类。而且同余在生产、生活中也有广泛的应用，如制作万年历、循环赛程、电话电缆的 （二）提纲 一、同余 1、同余的定义 2、同余的定理 3、同余的性质 4、完全剩余系定义 5、完全剩余系定理 6、一次同余式定义 7、孙子定理 二、同余的应用 1、求最大公约数 2、检验因子 3、检验整数计算 4、检验素数合数 5、循环赛程 6、万年历 （三）结论 通过本文的论证，我们发现同余的出现给很多问题的解决提供了简便的途径。同余的性质虽然只有固定的那几条，但它却能解决许多困扰我们的问题，在解决问题时开阔了我们的思路。同余的性质易懂，但在运用其解题时有一定的困难，所以在生活中我们要仔细观察。 八、参考文献 [1]苏亚丽，杨继明.孙子定理在两个数学竞赛题的应用[J].云南：玉溪师范学院学报（第27卷），2011年第4期. [2]郭小菊.同余法求最大公约数[J].读与写杂志，2012，4. [3]潘承洞，潘承彪.初等数论[M]北京大学出版社，1992. [4]刘合义.谈数论中的同余及其应用[J].河北：衡水师范专科学校.第4卷，第11期，2002， [5]姜浩瑞.初等数论在高中数学解题中的一些应用[J].中学数学教学，2006，第5期. [6]姚磊.整除性的若干解法[J].皖西学院学报2001，5 [7]王志兰.关于同余的几个问题[J].高师理科学刊.2009，28(5)：44—46 [8]颜松远.数论及应用[J]数学实践与认知，2002，19(4)：486—508 [9]原新生.一次同余方程的几种解法[J].牡丹江教育学院学报，2009，115(3)：115 [10]陈小辉.关于同余理论在中学奥数中的应用[J].数学通讯，2001，(5)：43—46
餐饮企业的经营服务理 念 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
餐饮企业的经营服务理念 一、餐饮企业经营什么 从根本上讲，餐饮企业只经营一样东西，这就是服务。 现代餐饮企业提供给消费者的，不是孤立的食品（尽管食品是餐厅的主要产品）。当顾客不在自己家里用餐而选择了上餐馆，通常不只是为了解决温饱问题。他们消费和享受餐馆所提供的以食品为主要产品的全部服务，并由此获得一种超越家常饮食消费经验的、新颖的、充满各种快感的文化体验。这种体验所追求的普遍的、核心的价值则是健康（Healthy）和快乐（Happy），即“2H”。这也是餐饮企业所要追求臻达的服务境界。 餐饮企业的服务，主要是厨事服务和餐厅接待服务。厨事服务是食品加工生产的活动和过程，以加工生产出味、养、意、形俱美的食品为目的，是餐厅服务的最基本的物质依托。 餐厅服务则是直接的对客接待服务，它不仅使企业与消费者之间的价值交换得以进行，而且是企业与消费者进行信息和情感交流的重要途径。餐厅服务的水平，包括餐厅的建筑、设施、装饰、环境、气氛，以及服务人员的态度、效率、礼仪、技巧、仪表等，不仅直接影响客人的当下消费，也是企业与顾客关系的精神纽带。
从经营食品到经营体验是现餐饮企业经营理念的重大变革。以“2H”作为核心价值的餐饮经营，要求通过对顾客需求及其变化的深度体验，不断设计和开发出持续越顾客期望的、健康快乐的餐饮产品，即文化体验。 二、服务体验的层级 消费者对餐饮服务的心理需求，主要是餐饮安全、适口营养和适心悦意，由此形成餐饮服务境界的三层级。 1.餐饮安全 餐饮卫生安全是“2H”价值体验的基础层面。尤其是食品卫生安全，直接关系到消费者的生命健康和切身利益。如果消费者心存恐惧（担心食品是否安全，食品生产是否清洁）去吃，面对的是脏、乱、差的餐饮服务环境，当然不可能产生健康、快乐的饮食体验。让消费者吃得放心，也是对餐饮企业的经营伦理和合法经营的考量。根据最近公布施行的，生产经营者应当对其生产、销售的产品安全负责，不得生产、销售不符合法定要求的产品。 由此，除了严格，加强食安监督，餐饮经营者要真正树立餐饮卫生安全第一的经营理念，坚持清洁生产，倡导绿色消费，确保餐饮卫生安全，以满足消费者不断增长的餐饮卫生安全需求。 2.适口营养 适口营养是“2H”价值体验的核心层面。消费者的健康、快乐的饮食体验主要来自于食品，来自于食品的感官性状（色、香、味、形、质）、尤其是食品的味觉美感（适口），以及食品的营养保健价值。
采用J2EE四层架构，支持集群技术 ?高速稳定。使用J2EE开发WEB技术架构，安全性最高、数据处理速度最快，使用户第一时间能够对商品库进行搜索，并找到适合自己的商品。 ?良好的延展性和跨平台性。使用JAVA语言开发，可以使用任何一种数据库，并且不受操作系统的限制，最大化的满足用户的需求。 ?系统可靠性。具有容错功能，商城系统的设计、选型、安装、调试等各个环节进行统一规划和分析，确保系统运行可靠。 ?安全性。提供多层次安全控制手段，建立完善的安全管理体系，防止系统和数据受攻击和破坏，有可靠的防病毒系统。 ?所见及所得的操作方式。前后台一致，后台对页面做出的调整，立刻能看到效果，无需刷新、预览的操作。 ?使用WEB2.0技术设计开发。使用AJAX富客户端技术开发，并且配合Flash 技术，提高网站交互能力，增强访问效果，更好的提高用户体验度，增加商城的人气度。 ?提供丰富的信息展现方式。同样的新闻列表，经过简单的设置，即可实现水平或垂直滚动、图文并茂、详细列表、缩略图等展现方式，使信息形式具有丰富的表现力。 ?提供XML标准数据交换接口。可以完成与其他系统的数据交换。 ?支持二次开发。网站功能总是有限度的，如果现有功能不能完成特殊的需求，就需要系统提供二次开发的接口，使用户自己开发的功能模块可以与网站群内容管理系统无缝集成。 ?可集成其他系统。CORESHOP可以集成其他系统，包括CRM、HR、进销存类软件、即时通讯IM等多种系统，使网站管理员更好的管理网站。 ?基于角色/区域/单位/用户组的权限管理。管理员可以对网站每个内容进行授权,授权方式可以通过角色/区域/单位/用户组批量授权。 支持多语言、多货币，支持国内外各种支付网关
第十五讲同余法解题 一、知识要点 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，52÷24=2……4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1、同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。记作：37≡44(mod7),“≡”读作同余。一般地，两个整数A 和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：A≡B(modM) 2、同余的性质 （1）A≡A(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若A≡B(modM)，那么B≡A(modM)（这称作同余的对称性） （3）若A≡B(modM)，B≡C(modM)，则A≡C(modM)（这称为同余的传递性） （4）若A≡B(modM)，C≡D(modM)，则A±C≡B±D(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D(modM)（称为同余的可乘性） （5）若A≡B(modM)，则A n≡B n (modM)，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果A≡B(modM),那么M｜(A－B)（A－B的差一定能被M整除）,这是为什么呢？ 3、同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。 2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。 3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架
餐饮经营管理理念，你更新了吗？ 业内资深人士谈餐饮经营管理理念更新 我国餐饮业经过20多年的发展，国营集体餐饮从独占天下降到目前的不中20%，民营餐饮企业已成为主流，这是市场经济发展的必然。 但民营餐饮也不是长青树，在每年18%增长率的背后，有15%的企业关门，餐饮业百强中20%的出局，餐饮业繁荣的表面下汹涌竞争的浪潮。 有学者说，民企发展头五年，可以靠机遇；要发展10年，则靠领导和人才；而要发展20年以上，则要靠产权、机制、流程、制度的改革。 一些国内餐饮界资深人士用四句话概括了目前我国餐 饮企业管理方面存在的问题：国企弱势在经营，民企弱势在管理；国企知已不知彼，民企知彼不知已；国企经常想当初，民企经常想当然；国企创新缺眼力，民企跟进缺内力。餐饮企业的灵魂是经营，基础旭管理。经营思想决定了企业的出路。经营是一线，组织机构、机制要向一线倾斜。真正的餐
饮"名牌”是经营管理全优，降价是降不出名牌的。 这些资深人士还列举了目前企业在经营管理理念上亟 待更新的一些观念，并提出了变更方向： 不提倡企业是我“家”，建立企业员工共同体。家就是家，而企业是挣钱的，是要竞争的。经营者应把企业定位为大舞台，为员工施展才能、体现共同利益而努力。 顾客第一，生意第一，员工第一。企业为客人存在，所有投资都是为了做好生意，员工为客人服务，因此企业的管理者应为员工服务，管理以员工为核心，一切都朝着同一方向。 餐饮管理者不但是专家，还要努力做“杂家”，餐饮业是一个百战不殆老而又新兴的行为，管理者要具有适应瞬息万变市场能力，不仅要研究过去，更要善于捕捉未来的机会。餐饮业的顾客中上至达官贵人，下至平民百姓，管理者要以
首先，自我介绍一下，自我介绍的时候声音要洪亮、面带微笑（能给人以较好的印象），介绍的内容一般是名字、公司等。 接着步入正题 第一、企业为什么需要我们的产品？ 一些困扰企业的瓶颈问题的列示（提出问题） 第二、如何通过软件来解决企业的实际问题（解决问题） 介绍一些自己的产品解决问题的途径和方法以及追求的目标 第三、介绍产品的特点和优势 肯定不是你自己在做这一产品，你要把你的产品的特点和优势介绍给客户，这样你才又希望签单，是不是？ 第四、一些专业术语的介绍 如果他们听不懂你讲的是什么，那你离被轰走不远了，这时候要把一些专业术语介绍一下。 第五、产品集成示意图的说明与讲解 一个成熟的产品都有一些较为完善的技术资料，这个简单，重点讲实现了什么（与解决问题呼应） 第六、描述应用产品之后的好处 这时候要看你的嘴皮子功夫了，你要把应用产品之后的企业的一幅美好蓝图描绘给领导看。（如果描绘的好有当场签单的可能） 第七、列举一些典型客户 第八、实际产品的演示 注意说话声音要洪亮、干脆给人以专业人士的形象 注意：1、讲解前最好列一下提纲 2、讲产品的特色 3、对于一些典型的问题（企业领导实际关心的问题）做一下重点讲解 4、展示一下技术水平（如果需要开发，没有问题）
生动化产品介绍训练 我发现很多销售业绩好的人员都对产品介绍有着特殊的见解，这些见解是在长期的销售实践中逐渐积累起来的真知灼见，在后来他们越来越注意到生动化的掌握产品介绍对于迅速抓住客户、实现交易有着巨大的作用，据此，如果我们能够拥有一套训练销售人员的生动化产品介绍的训练方式，无疑对提高销售人员的短期销售能力是非常关键的，以下是某大型企业实施的销售人员《生动化产品介绍》的训练方案。 第一步：产品知识的灌输 这个步骤主要由公司的产品经理、技术人员负责，其中产品经理重点对产品策略、客户利益、产品系列、价格策略、竞争产品、行业知识、客户知识、客户案例等内容进行介绍；技术人员主要对产品的技术特点、实施方式、操作办法、关键问题等进行讲解，该部分的培训内容需要有比较充分的前期资料准备，并需要提供相对完备的培训提纲，培训形式将以灌输为主，每天保持在10个小时左右。其中要特别注意：产品经理的介绍与技术人员的介绍侧重方向是不一样的，产品经理更加偏重于客户价值、产品卖点及竞争需要，而技术人员更多侧重技术实现，特别是对于差异性的技术特点应当作为重点。另外原则上产品经理先讲，技术人员后讲，这样销售人员比较容易迅速建立产品的客户导向。最后，需要每天要求销售人员将相关的重要内容背下来，并及时的检查、考试。 第二步：撰写产品介绍文章 在初步了解了产品知识以后，为了保证所有的培训人员能够充分的消化吸收，并能够真正变成自己的东西，要求按照以下步骤书写文章。首先，进行5000字产品介绍的撰写，要求尽可能用自己的语言说明，并设计好内在的逻辑与层次。文章的结构可以按照FABE的句式进行展开，即功能、特点、利益、证明进行展示，合格的向下进行，不合格的重做。通过这种方式可以使销售人员迅速的掌握产品的基础介绍内容，并且比较直观。第二步，将5000字的文章压缩到1000字，要求和5000字一样，所不同的是表达需要更加的精确、简练。第三步，将1000字的文章压缩到500字，这一过程将使销售人员更加明确介绍的核心要点。第四步，将500字压缩到100字，这时的介绍成为了一种口号。并且是高度凝练。最后，需要将100字再重新扩充到5000字，这一过程将使销售人员重新认识自己对产品应当如何介绍。 这一过程的主要目的在于，开始的5000千字是为了使销售人员能够掌握产品内容，并不断条理化。2000字－1000字的作用主要是为了让销售了解产品的关键卖点，简称挤水分。500字的作用主要是用于短时拜访时的三分钟产品介绍，100字是用于电话销售或者是1分钟的介绍，最后再扩充的到5000的目的是针对熟悉客户的半小时以上的长时间讲解。按照以上方式，销售人员可以迅速建立起产品架构，并能够迅速理解产品的主要精髓及卖点，并且完成了自己的语言转化，比较容易量化评估，这种方式将提高50％的掌握效率。 第三步：产品朗诵
幂同余定理及其应用 吴敏金mjwu1940@https://www.doczj.com/doc/2e9033752.html, 由同余式的性质，可推出 [幂同余定理] 设同余式a==b (mod m)，那么对于任意的正整数n, a^n==b^n (mod m).。（^n表示n次方，==表示同余）证明： 由同余式的性质，如果a==b (mod m)，c==d (mod m)，则a*c==b*d (mod m)。 取c=a, d=b，作n次乘法即得结论。证毕 幂同余定理可应用于幂同余方程求解： 对于给定的m,n，已知a，求a^n==x (mod m)，(0<=x 所以，13^2015除以170的余数为155。 由上面2例可见，利用幂同余定理 比直接计算3^2015，13^2015方便得多了。 下面示例，给出当a>m时的求解方法。 3，求23^5555除以7的余数？ 解：由23==2 (mod 7), 及8==1 (mod7) 23^5555==2^5555==(2^3)^1851*4==1^1851*4==4 (mod 7) 所以，23^5555除以7的余数为4。 对于另一类幂同余方程：对于给定的m,n，已知b, 求x^n==b (mod m)。较为复杂，另文讨论。 餐饮服务公司简介范文餐饮公司是指企业、医院、学校、酒店等根据需要将饭堂承包给专业的餐饮公司来管理( 打理) ，然后选择餐饮公司所提供的各类菜式就餐。本文是餐饮服务公司的简介范文，仅供参考。 餐饮服务公司简介范文篇一：长沙中一餐饮管理有限公司简介 一、公司概况 中一餐饮管理有限公司成立于2004 年6 月，注册资本壹百万元，注册号：430104000006484(2/2) 。公司现有员工1500 余人，有高、中级厨师150 多人，专业管理技术人员100 余人，大中专管理人员占15%，这支技术力量雄厚的炊、管队伍为公司的发展壮大做出了巨大的贡献。本公司采取“董事长——总经理——店长——主管”的经营管理模式，以保证科学合理的经营管理。 本公司秉承“诚信敬业，创新求实”的发展理念，以餐饮管理服务作为主要发展目标; 公司在全体员工的不懈努力和持续创新下，在广大客户的大力支持下获得了快速成长公司成长历程： 1.2003 年9 月, 由董事长贺长安接手湖南商学院第三学生食堂, 这是本公司第一次参与餐饮管理服务工作; .2003 年年底, 由于经营效果显著, 第三食堂被湖南省高 校伙食管理委员会评为”先进单位”; . 公司成立.2004 年6 月, 公司正式成立,公司名字”长沙锦鹤餐饮管理服务公司” ,注册资本50 万元整, 完成了由个体经营向现代化公司经营的转变, 标志着公司的快速化发展的起步; .2004 年9 月, 公司一举中标湖南第一师范学校东方红校区第一食堂, 标志着公司的业务逐渐走向社会, 受到客户的 肯定和支持; .2005 年9 月, 公司取得湖南商学院学生第二食堂的经营管理权, 标志着公司进一步受到客户的肯定; .2007 年4月, 公司中标长沙市第四医院,标志公司的业务由高校食堂走向医院食堂, 这对公司既是挑战, 更是机遇; .2007 年12 月, 公司再传捷报, 公司中标中联重科食堂, 企业的业务开始由高校、医院和企业三头齐进, 公司的经营管理受到客户的肯定和好评; 、公司因战略发展需要，将公司更名为长沙中一餐饮管理有限公司，意为做中国一流的餐饮企业; 并将注册资本增资为100 万元; .2008 年6月,由于业绩突出, 公司接手怀化学院西校区第一、第二学生食堂, 使公司的业务从长沙扩展到湘西地区, 使公司面临着更多的机遇与挑战。 10.2009 年，我公司相继托管湖南公安高等专科学校二 食堂、张家界航空工业职业技术学院一食堂、娄底职业技术学院三食堂等的托管。 同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再 过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，少一二二：……-，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7 “三”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余, 记作.，一〔r ■ 2. 同余的性质 （1）-，-?:丄-「一（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若’一：°"，那么- 一n ‘ （这称作同余的对称性） （3）若:V，贝U - ■■■.（这称为同余的传递性）（4）若r- ': 1'：，—「—，，贝U丄―二-（一"）（这称为同余的可加性、可减性） 1- 」（称为同余的可乘性） （5）若'-:-1-'-- ° ,则r ；- T'■- :，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果詔 -：1- ■- '■- 那么日瑤严的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ ? d；- 上） a=充7〕4鬥 盘一B =切［+ 口一（舫2 +与） 二切-切-金） k也就是■二的公约数，所以有…一- ■ k\（a -町 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以诃(412-1羽，，|(412?笳6讷化57-1辺， 说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 (巧5, 124, 279) =31 所以a最大是31 o 例2. 除以19,余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 249.2(uodl9) 388 = 8(mod 19) 234要乳m初19) 234x 388x249 = 6x8x2(mod!93 6x8x2 = 所以一 I .： 1.： 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 222 (2) ' ------ V ------ ' 例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，于；这个数除以13,商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 222 (2) 吃这个数除以13,商是有规律的。 222 (2) 、-- V------- ' 1997个2 亠13= 170940170940... 商是170940六个数循环，那么1 -：1- - - = 1 - ....... 4 ,即"1_4 1'.，我们从左向右数“ 170940'的第4个数就是 我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9o 余数是几呢？ 222 (2) ' ----- V ------ ' ? 199亍个2 -^13 = 170^40170940.... 1995^ 6= 332 (4) 则'丄「」_ 所以商的个位数字应是“ 170940'中的第 4个，商应是9,相应的余数是5 【模拟试题】(答题时间：20分钟) 1. 求下列算式中的余数。 111......1 222 (2) 第三章 同余 §1 同余的概念及其基本性质 定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作 ()\mod a b m ≡. 甲 ()mod . a a m ≡ （甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.） 乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡ 丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡?- 证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是， ()12,|.a b m q q m a b -=-- 反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是， ()()1221. r r m q q a b -=-+- 故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡ 丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡± 证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-餐饮服务公司简介范文
小学奥数同余问题
1.同余的概念及基本性质
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