高考数学复习题库 直接证明与间接证明

高考数学复习题库直接证明与间接证明

直接证明与间接证明

一.选择题

1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该

奇数是3的倍数.”上述推理( )

A 小前提错

B 结论错

C 正确

D 大前提错解析大前提，小

前提都正确，推理正确，故选C. 答案 C

2.在用反证法证明命题“已知a.b.c∈(0,2)，求证a(2－

b).b(2－c).c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )

A.假设a(2－b).b(2－c).c(2－a)都小于1

B.假设a(2－

b).b(2－c).c(2－a)都大于1 C.假设a(2－b).b(2－c).c(2－a)

都不大于1 D.以上都不对解析“不可能都大于1”的否定是

“都大于1”，故选B. 答案 B

3.下列命题中的假命题是( ). A.三角形中至少有一个内角不

小于60° B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a，b]上

的单调函数f(x)至多有一个零点 D.设a，b∈Z，若a＋b是奇

数，则a，b中至少有一个为奇数解析 a＋b为奇数?a，b中有

一个为奇数，另一个为偶数，故D错误. 答案 D

4.命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( ). A.不成立 B.成立 C.不能断

定 D.能断定解析∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－

1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式). 又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列. 答案B

5.设a.b.c均为正实数，则三个数a＋.b＋.c＋( ). A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b ＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于

2. 答案 D

6.设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为( )

A.a＞b

B.a＜b

C.a＝b

D.a≤b 解析∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b. 答案 A

7.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n ＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝ ( ). A.n B.n＋1 C.n－1 D.n2 解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝n. 答案 A

二.填空题

8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为 . 解析由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”. 答案 a.b都不能被3整除

9.要证明“＋＜2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号). ①反证法，②分析法，③综合法. 答案

②10.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>

1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是

______.(填序号)

解析若a＝，b＝，则a＋b>1，但a2，故④推不出；若a ＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于

1.答案③11.如果a＋b＞a＋b，则a.b应满足的条件是

________. 解析首先a≥0，b≥0且a与b不同为0. 要使a＋b ＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a ＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b. 答案

a≥0，b≥0且a≠b12.若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a

3.选C. 答案①②

三.解答题13.在△ABC中，三个内角A.B.C的对边分别为

a.b.c，若＋＝，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由.若成等差数列，请给出证明. 解析 A.B.C成等差数列. 证明如下：∵＋＝，∴＋＝

3. ∴＋＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2

＝a2＋c2－ac. 在△ABC中，由余弦定理，得 cosB＝＝＝，

∵0°

a⊥b?a·b＝0，要证≤. 只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，只需证

|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋

2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，

即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证.15.若

a.b.c是不全相等的正数，求证： lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0. 又

上述三个不等式中等号不能同时成立. ∴··＞abc成立. 上式两边同时取常用对数，得lg＞lg(abc)，∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.16.(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图

象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞

0.

(1)证明：是f(x)＝0的一个根；

（2）试比较与c的大小；

(3)证明：－2＜b＜－

1.解析

(1)证明∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝，∴x2＝，∴是f(x)＝0的一个根.

（2）假设＜c，又＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f＞0与f＝0矛盾，∴≥c，又∵≠c，∴＞c.

(3)证明由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac. 又a ＞0，c＞0，∴b＜－

1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为 x＝－＝＜＝x2＝，即－＜.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－

1.