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我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
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题。
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参赛队员 (打印并签名) ：1. 张宁
2. 韩玉群
3. 马青
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：朱善良
日期： 2009 年 9 月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
眼科病床的合理安排
摘要
本文主要探讨医院眼科病床的合理安排问题。在对病人信息进行统计分析的基础上，从病人与医院两方面考虑确定合理的评价指标体系，利用排队论、随机模拟、搜索算法、状态转移等方法对各种情形进行评价、预测和优化。
对于问题一，首先从病人角度出发，分析出队列长度与病人等待时间的评价指标；其次从医院角度出发，确定出病床使用率评价指标；综合考虑这三种指标对医院病床体系的影响程度，建立基于这三个指标的综合评价指标体系。利用所建的综合评价指标体系评价医院眼科门诊现行的病床安排即FCFS策略模型合理性欠佳，有待改进。
对于问题二，通过对数据的统计分析，得出病人输入基本符合Poisson分布，术后服务时间基本为近似正态的一般分布，将病人按疾病类型不同分为五类，并分别求出每种类型的输入流分布和术后服务时间等。考虑到外伤病人对床位要求的特殊性，因此为其预留出固定床位；而对于其他四类疾病，建立基于优先级的排队模型，利用状态转移与搜索算法对问题进行求解，然后得到第t天应该安排哪些病人入住（部分结果详见表4）。同时为评价模型的优劣，对所建模型计算机模拟，得到新的病床安排计划，并与问题一作对比，得出基于优先级的排队模型优于FCFS策略模型。
对于问题三，首先建立病人以Poisson分布输入的随机模型，利用随机数得到各天各类病人的输入人数。再利用问题二中的基于优先级的排队模型确定出病人大致入住的时间区间，并模拟出一周内的各类病人的大致时间区间（详见表6）。
对于问题四，由于周六、周日不安排手术仅影响模型求解中搜索算法的搜索范围，因此只需在沿用问题二中模型的同时对搜索算法进行约束，重新对问题二求解。考虑到白内障（双眼）病人手术历时三日（一日准备），因此，白内障手术可能的时间安排有：周一与周三、周二与周四、周三与周五。通过计算机随机模拟得到这三种可能的病床安排模型，利用综合评价指标体系对这三种方案进行评价得到最优的结果为周二与周四安排白内障手术。
对于问题五，首先对各类病人的病床安排近似确定//
M M n排队模型，分别得到其平均逗留时间，然后综合考虑所有病人，建立病人逗留时间最短的最优化模型，从而确定出病床分配比例的大致方案。
最后，对本文建立的模型与求解算法的不足给出了优化，并给医院合理安排病床提出了建议。
关键词优先级排队模型状态转移搜索算法随机模拟
一、问题重述
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，病人到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入院时间区间。
问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二、问题分析
2.1问题背景的分析
医院是一个复杂的系统，病人从挂号、就诊、划价、取药等每一个服务机构，当某项服务机构的现有需求超过提供该服务的现有能力时，排队现象就会发生，由于病人到达的时间和诊治病人所需要的时间的随机性，可共性小，而且病人来源数量在理论上是无限的，但是医院的资源却是有限的，所以排队现象几乎是不可避免的，当医院的病床不足时，常出现病人排队等待时间太长，病人满意度下
降，医务工作人员过于忙乱，容易出现差错甚至引起医疗纠纷，对病人与社会带来不良的影响，因此，结合医院对病人的服务数据，进行相关的定量分析，进而提高医院的实力，完善设施和配置，有效地缩短平均诊疗时间以及等待时间，及时为病人排忧解难，找出医院与病人之间的平衡点，既减少病人排队等待时间，又不会造成医院资源的浪费，从而获得最大的社会效益和经营效益，成为现代医院管理者必须面对的重要课题。
2.2对问题一的分析
应该从病人与医院两方面去确立评价指标体系。对于病人来说，主要考虑病人的满意度，病人到医院就诊，当然希望排在他前面的病人队伍人数越少越好，等待时间越短越好，同时还有一些其他因素，本文只对这两种情况进行研究，确定队列长度、病人等待时间两个因素作为衡量病人满意度的评价指标；对于医院来说，评价其运作效率的因素很多，但就本问题而言，病床使用率是评价医院病床安排的重要内容，因此，将病床使用率作为评价医院运作效率的指标。
结合病人与医院两方面，建立了包含队列长度、病人等待时间、病床使用率三个指标的评价体系。然后，利用建立的评价体系，对医院现行病床安排制度进行了评价。
2.3对问题二的分析
首先根据疾病的种类将病人分为五类：白内障（单）、白内障（双）、视网膜疾病、青光眼、外伤。由于外伤需要及时治疗的特点，首先从医院所有的床位中预留一部分专门用于外伤病人,考虑到外伤的特殊性及其病床安排的稳定性，只需要着重研究其余的四类病人：根据病人人数、住院时间等确定了优先级，而且认为每一个床位是一个独立的服务器，所以病床安排问题就转化为基于优先级的串联排队服务问题；同时还应注意白内障（双）病人的特殊性，此类病人需要进行两次手术而且要求第一次手术在周一而第二次手术在周三，所以为了增加病床的使用率并减少病人的住院费用，此类病人的最佳入院时间应为周六前后。总之，为符合医院对白内障手术的时间限制，白内障（双眼）病人的最佳入院时间为周六；为准备于一日之后接受手术，白内障（单眼）病人的最佳入院时间为周六、周一；而对于视网膜疾病病人与青光眼病人，手术不会受到时间的限制，则不需要考虑此方面因素。综合以上方面建立具有优先权的排队数学模型。
医院现有的病床安排系统使用的是FCFS，而不去考虑病人的优先权，从而造成等待住院的病人队列越来越长，为此，本文在建立模型时考虑病人的优先级因素，引进了影响比与住院有效率来衡量病人的优先权，不仅提高了病床利用的合理性，还改善了医院对患者的服务效率。
最后利用问题一建立的评价指标体系对建立的模型进行评价，与医院现行的安排方案比较，得出本文建立的模型更合理。
2.4对问题三的分析
通过对数据的处理与分析，问题二中建立的数学模型能够根据患者的门诊时间预测出患者大致入住时间区间，此时只需要在问题二的基础上加入当某位患者就诊时医院已入住及等待入住病人的情况，就可以利用模型预测出患者大致的入住时间区间。本文将问题具体化，对该医院不完整的患者信息进行了实际的预测，得一周内入院患者的大致入住时间区间。
2.5 对问题四的分析
由于住院部周六、周日不安排手术，所以病人在选择入住医院时会考虑尽量避免周六或周日前1、2天住院，否则可能会增加病人的等待时间，降低其满意
度，例如某病人本应周六进行手术，但由于周六不能手术而只能继续等待，因此，需要对问题二模型的求解算法进行加以限制，以确保即使周六、周日不能进行手术也能尽量使病人满意。
现在医院的手术时间安排主要考虑白内障手术一般安排在周一或周三，同时视网膜疾病与青光眼手术一般不安排在周一、周三。为找出合理的安排策略，本文利用问题一确定的评价体系，对可能出现的手术时间安排情况进行了评价，分析是否应调整手术安排时间以及调整方法。
2.6 对问题五的分析
由于外伤病人的特殊性，所以仍需单独对外伤病人进行考虑，必须首先为外伤病人预留出固定的床位，再把剩余的床位分给其余四类病人，并分析得出各类病人与其分到的床位数构成的一个顾客源无限、队长不受限制的多服务台模型。根据模型，可以算出依赖于床位数的病人的逗留时间。分别计算四类病人的平均逗留时间，对于外伤病人，由于床位固定，所以其平均逗留时间是固定的。根据医院病人信息确定各类病人的比例，结合两者建立以病人的平均逗留时间最小为目标函数的优化模型。
三、模型假设与约定
（1）假设每天到医院就诊病人人数稳定，即整个医院排队系统处于稳定状态。（2）假设所有病人每天的住院费相同。
（3）假设病人在接受完治疗之后就立刻出院，不会继续再在医院逗留。
（4）假设病人愿意在医院一直等待，不会因为等待时间过长而转到别家医院就诊。
（5）所有病人到达是随机的，且是相互独立的。
（6）病床不会因外界因素造成缺失，即病床数固定。
（7）除外伤之外的眼科疾病不考虑急症。
（8）病人会严格按照医院的安排进行看病，不受其他外因影响。
（9）假设该医院为国家三级医院（即根据卫生部的规定床位使用率上限为93%）。
四、符号说明及名词解释
名词解释：
病人的响应比：病人在入院前应经等待的时间与所需住院时间之比。即：
响应比 =（已等待时间）/（所需住院时间）
//M M n 模型：顾客输入为Poisson 分布，服务时间为负指数分布，有n 个
并联服务站的派对服务系统。
五、模型建立与求解
5.0 模型准备
5.0.1排队系统简介
排队论是研究系统由于随机因素的干扰而出现的排队（或拥塞）现象的一系列综合理论，人们在日常生活中会经常遇到各式各样的排队问题。排队除了有形的队列外，还可以是无形的队列，排队的可以是人也可以是物。一般情况，将要求得到服务的对象统称为顾客，将服务的提供者统称为服务机构。
本文研究的是眼科病床的安排问题，由于患者到医院就医具有随机性，并且医院的床位有限，因此患者等待就诊情况普遍。患者排队服务系统包含以下四个方面内容：
（图一）排队系统模拟图
1、输入——指顾客进入服务系统的过程。本文指患者到医院接受门诊治疗，从患者到达门诊开始，就标志着进入了排队服务系统。由于患者之间的相互独立性，系统的输入具有随机性。
2、输出——指顾客从得到服务到离开服务机构的过程。本文指患者得到治疗、住院之后离开医院。
3、排队服务规则——有损失制与等待制两种形式。损失制是指顾客到达时，如所有的服务设施均被占用，则顾客会自动离开；等待制是指顾客到达时若所有的设施均被占用，就留下来等待服务，直到服务结束之后才离开。本文假设排除了损失制的情况，只考虑等待制。此时的特点是患者治疗的时间是相互独立的。
4、服务机构——包含服务设施的个数、排列及服务方式三方面内容。按照服务设施的个数，有一个或多个之分；按照排列方式，有多服务器串联与并联之分。而对于本文来说，服务设施主要包括手术医生、病床，而根据医院的实际情况，眼科手术条件比较充分，所以这里主要研究病床，此时的服务机构属于多个服务设施（病床）并联的情形。
衡量一个排队系统工作状况的主要指标有：
顾客从进入服务系统到接收服务后离去的平均逗留时间s W （或者顾客的平均
排队等待时间q W ）。这是顾客最为关心的，每一个顾客都希望这段时间越短越好。
服务机构的工作强度。指服务机构累计的工作时间占全部时间的比例，这是
衡量服务机构的资源利用效率的指标。 系统中平均顾客数（s L ）或者平均队长（q L ），这不仅是顾客和服务机构都
关心的指标，还决定了排队服务系统所需空间大小，在系统设计中占重要地
位。
排队系统的主要特征指标有：队长、顾客逗留时间、顾客在系统中的等待时间等。
5.0.2数据的分析
(一)病人到达医院数据分析。
病人的到达是一个随机的过程,具有以下 2 个特点: ①以天为单位,到达两个病人的时间间隔,可视作一个无后效性的过程,即在不相重叠的时间段内病人到达的数量相互独立。②在任意时间段T T +?内到达1 个病人的概率与t 无关,即在任意时刻起的固定时间段内到达 1 个病人的概率与时刻无关。以上特点正符合Poisson 分布,为了证实病人的到达服从Poisson 分布，本文对数据进行如下处理。
根据医院的实际情况，病人主要分为白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤四大类，由于白内障病人分为单眼病人与双眼病人，所以将白内障病人分为两种类型，根据附录给出的数据，将所有数据按照不同的类型分成五类。（详细见附录一），然后通过Matlab 进行拟合，得到拟合图像（选取两个，其余见附录一）：
白内障（双眼） 外伤
（图二）Poisson 分布模拟图
通过Matlab 拟合结合图像，发现各类病人的输入近似的接近Poisson 分布，从而证实病人输入符合Poisson 分布。同时还可以得到Poisson 分布的参数为：
根据Poisson分布的可加性可推断所有病人的输入流也服从Poisson分布。
(二)医院住院病人数量的分析
根据医院给出的病人的数据信息，通过用Excel分析与Matlab编程模拟发现医院住院病人的人数的变化趋势如图三所示：
（图三）住院人数随时间变化趋势
同时还可以得到，住院人数符合期望为64、方差为4.9516的正态分布，从而可以确定病床开放的区间为[59.0484,68.9516]。
通过模拟图像，可以明确观察到医院的病床每天都有剩余，其中开始阶段与结束阶段因为数据的限制，住院人数较少，不能准确的说明问题，所以本文只考虑住院人数处于稳定阶段的情形（即图中两虚线之间）。根据数据，发现医院的住院人数最高达72人，此时，依然有7张病床没有利用，造成了医院卫生资源的浪费，为此，在评价指标体系中，应该考虑医院病床的利用率。
(三)外伤病人特殊性的分析
通过病人数据得到外伤病人的基本信息如图四：
（图四） 外伤急诊人数变化趋势图
由于外伤属于急症，只要有空位就立刻安排入住，并且入住第二天之后立刻进行手术，所以外伤与其它几类疾病不同，需要单独考虑，预留出固定床位。
由小概率理论可知，发生的事件不能被视为小概率事件，所以急诊床位数不得少于11个。均值：6.3443，方差：2.7862。 5.1 评价指标体系的确立与应用 5.1.1 评价指标的确立 （一）从病人的角度出发
评价病床安排的合理性，主要是在合理利用医院病床的情况下，能尽可能大的提高病人的满意度，为了方便衡量，本文将病人满意度转化为队列长度（含概率分布）、病人等待时间（等待时间的均值和方差）两个因素，建立指标体系。
队列长度、病人等待时间两个性能指标通过排队论中的//1/GI M N 模型求解。为了简化表述，又不失一般性，本文仅对等待队列分为两端（2m =）的情形进行讨论，用k p 表示任意时刻队列中病人的个数为k 个的概率，k q 表示当一个新的病人到医院就诊时，队列中有k 个病人的概率，则服务时间服从参数为μ的指数分布：
1
k k q p μ
-=
且01
1N
k p p ==-∑
如果知道了k q ，可以很容易的求得k p ，本文利用//1/GI M N 排队模型的嵌入式马氏链求解k q ，可以通过以下线性方程组得到：
1N
N
j i
j
i j q q q
====∑∑且
根据上述方法以及概率论的知识，可以确定出这两个评价指标的具体计算公式如下：
○
1病人队列长度的计算方法。用随机变量ζ表示任意时刻医院病人的队列长度，用随机变量η表示一位新的病人到医院进行门诊时队列长度，则
121
121
()()()()()()()()k
N
k
k N
k
k k
N
k
k N
k
k P k p E kp Var k p P k q E kq Var k q ζζ
ζζζηη
ηηη========-====-∑∑∑∑
其中，k p 表示任意时刻队列中有k 个病人的概率，k q 表示一个新病人到医院就诊时队列中有k 个病人的概率。
显然，对于患者来说队列长度越小，患者需要等待住院的时间就越少，其满意度就会增加。因此，队长能够对医院床位安排进行评价。
○
2病人等待时间的计算方法。用随机变量ξ表示病人在排队系统中的等待时间，则：
1
1
21
P()1
()1
()(
)N
k
k N
k
k N
k
k q k
E q k
Var q ρξ
ξρ
μ
ξξρ
μ
=====
=
-∑∑∑患者需要等待
其中，μ表示医院病人输入符合Poisson 的指数。
显然，对于患者来说等待时间越短越好，患者能够及时的住院并把自己的治好，此时患者对医院的满意度增加。相反，若等待时间很长，那么患者对医院的满意度就会降低。因此，等待时间能够对医院床位安排进行评价。
(二)站在医院的角度
病床使用率是反映医院工作质量和管理效益的主要内容之一，病床的利用效率与医院业务收入有着非常直接的影响，作为专科医院，要想提高自己的社会竞争力，病床的合理利用显得尤为重要。
为了能够合理科学的计算病床的，病床的使用率受到医院占用的总床位数、开放病床数、出院人数等因素。为此得到：
r =
?实际占用总床位数出院人数
平均开放病床数平均开放病床数
其中，r 表示病床使用率。
根据题目假设，此医院是一家三级医院，根据国家卫生部有关三级医院评审标准为床位使用率的上限为93%。因此，可以根据病床的使用率进行对病床安排进行评价。
5.1.2 评价医院现行模型
利用本文给出的评价指标体系，评价医院从200.7.13-2009.9.4的349位病人的数据，利用本文给出的评价指标体系，评价医院提供的病人的数据，结果如下：
(1)队列长度（图五）的Matlab 模拟图：
（图五）等待队长演示图
(2)病人等待时间（表2）
(3)稳定时病床使用效率（图六）
0510********
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
（图六）病床使用率变化趋势
指标的综合分析：
(1)通过图五明显的可以发现，等待住院的病人的队列人数在稳定后一直高于医院现有的床位数，就是说明每一位新病人到来，都必须等待前面的队伍中所有人员住院之后才能住院，这样会使医院丧失很大一部分病人，同时，对于病人来说，这样会降低他们的满意度。
(2)表2说明不同的病人需要等待的天数不同，特别是对于白内障(双眼)病人来说等待天数明显的比其他类型的病人多，白内障病人等待人数比其他病人多，而对于其他类型的病人，只需等待2-3天即可，而且白内障手术前病人在病床等待时间过长，这既占用了病床资源，又浪费病人的住院费，会造成病人的流失，减少医院的收入。同时白内障病人方差较大，偏差较大，不利于医院的统一管理。 (3)根据假设，医院的病床最大使用率为93%，但是从图六可以看出，现在医院的病床使用率基本上80%左右，显然，造成了医院资源的严重浪费。
综合这三方面的指标，可以确定医院现在实行的病床安排方案有很大的缺陷，需要进行合理的重新安排。 5.2病床模型的建立 5.2.1模型的准备
(一)首先把各种类型的疾病进行分类。因为外伤疾病属于急症，考虑到外伤的特殊性，医院需要单独为外伤病人预留出一部分床位，然后根据医院外伤病人的输入流，可以确定出大约需要预留的床位数。对于其他疾病病人，需要用以下方法确定。
由于白内障病人分为单眼病人与双眼病人，且双眼病人需要分两天来完成手
术，为此，本文将白内障病人分为两类，因此，除外伤之外，还有四种类型的病
人。对于每一类病人，到医院门诊之后，会根据病人的疾病类型形成四个队列，然后，考虑病人的优先级与病人的影响比确定出谁先进行住院，同时要考虑到手术时间的问题，流程图如下：
（图七）
当病人到医院门诊接受治疗，此时病人到达符合参数为λ的Poisson 分布，然后根据病人所患疾病的不同，病人会自动形成队列等待住院，此时每种类型的病人输入是参数为1i λ的Poisson 分布，然后经过优先级的排序后，确定出那些病人住院，另外的病人继续等待。当病人住进医院之后，又进入新一轮的排队，排队等待手术，由于各种病的手术准备时间的不同，这时进行手术的疾病的病人的到达率变为参数为3i λ的Poisson 分布。在整个过程中，都会涉及到病人的优先级问题。
(二)优先级的确定。为了能够合理的安排病床的使用，本文建立基于优先级的串联排队服务模型。其大体思想如下：
假定在病人排队服务系统中，将顾客可以划分为N 个等级，第一级享有最高的优先权，第N 级享有最低级别的优先权，对属于同一级别的优先权的顾客，仍按FCFS 的原则。又假定这个系统中每一级别的顾客的输入都服从Poisson 分布，用i λ表示第i 级优先权顾客的平均到达率，对任何级别的顾客服务时间据均服从一般分布，且不管哪一级别的顾客，具有相同的服务率，用
1
σ
表示每个服务站对任何级别的顾客的平均服务时间。假定当一个具有高级别优先服务的顾客到来时，正在被服务的顾客是一个具有低级别优先权的顾客，则该顾客将中断服务，回到排队系统中等待重新得到服务。
根据以上假设，如果系统中出现空闲，除却具有相同优先级的顾客要按先来先服务进入服务系统外，其余情况具有较高级别优先权的顾客立即得到服务。因此对具有同一级优先服务权的顾客在排队系统中得到服务的情况就如同没有其他级别的顾客时一样。因此首先考虑享有第一级优先权的顾客，顾客输入率为1λ，然后再一并考虑享有第一、二级优先权的顾客，由于他们的服务不受其它级别优
排队服务流程图
先权的顾客的影响，设以12W -表示一、二两级综合在一起的每个顾客在系统中的平均逗留时间，则有
12121122()s s W W W λλλλ-+=+
其中1s W 、2s W 分别表示享有第一级和第二级优先服务权的每个顾客在系统的平均逗留时间。根据负指数分布的性质（如果服务设施对顾客时间服从负指数分布，则不管对某一个顾客的服务已经进行了多久，剩下来的服务时间的概率分布仍然同原先的分布一样），对由于高一级别的顾客到达而中断服务，重新回到队伍中的低级别的顾客的服务时间的概率分布，不会因为已得到服务而发生改变，因此对12W -只要将一、二两级顾客的输入率加在一起，可以得到：
1211221
22
s s W W W λλλ
λλ-+=
-
同理有
123123112233()s s s W W W W λλλλλλ--++=++
所以
12312123312
333
s s s W W W W λλλλλ
λλλ--++=
--
依此类推可以得到：
11
1
1N
N i
i
si
i i N sN N
N
W
W W λ
λλλ-==-=
-
∑∑
(三)病人优先级的确定。
病人住院与优先级有关，影响优先级的因素主要有病人在就诊之后到住院之间的等待时间1i t ，病人入院到第一次手术之间的时间2i t ，病人的住院的总时间
3i t 。
为了综合考虑这几方面的因素，本文将其转化为响应比与住院有效率进行衡量。
响应比β为：
1
3
i i t t β=
住院有效率τ：
2
1
i i t t τ=
由于响应比和住院有效率的数量级不同一，为建立优先级与这两者的关系，本文想将响应比与住院有效率归一化得到相对响应比β和住院有效率τ，从而对它综合处理。本文认为相对响应比和相对住院有效率是同级关系，因此得到优先
级p 为：
p βτ=+
5.2.2模型的建立
根据以上分析，病人到达医院门诊服从Poisson 分布，住院时间服从一般分布，因此病人到达与住院构成的具有优先权的排队模型，记为//M G K 。
//M G K 模型用下列数学模型进行描述：
1
21211
()
(()(()))(1)!2()(1)!(1)!()()(1)()
n n
q n q q s q s s
n E S Var S E S W E S n L W W W E S L W P n b p n κκκκρλρρρκκκκρλλκ--=-∞==????+=+????-??--?-????=?=+=?≤-=∑∑
其中，()(1,2,3)!
n
P n e
n n ρ
ρ-∞=
=，1
10
()(()())n b p n P n κκκ--∞==--?∑，κ代表床位
数,λ代表到达率,
ρ
κ
代表平均使用率, q W 代表平均等待时间, q L 代表平均队长,P κ代表不需等待的概率。
5.2.2模型的求解
5.2.2.1 外伤病人单独处理
计算给外伤病人预留床位数目。设需要给外伤病人留出床位数θ，根据医院给出的2008年7月13日—2008年9月11日到医院进行门诊的病人患病类型，依据外伤病人平均到达率与需要住院的天数，根据小概率事件（概率小于0.3%）一般不会发生，确定出关于θ的1α-置信区间，其中0.997α=，从而根据
(1P x x θθα≤≤=- 得到θ的1α-置信区间为[0,10.69](小于0的那一部分舍去)，从而得到需要为外伤病人预留床位数为11张。剩余的68张床位进入其他类型疾病的排队服务系统。
5.2.2.2 对于//M G K 模型的求解算法
本文对//M G K 模型求解是一种搜索算法，是一种状态转移到另一种状态中搜索最优解的过程，因此本文设立以下算法： 算法条件：
1、病人输入：首先病人i 经门诊进入病床服务系统，这时病人i 开始进入门诊等待时间，由门诊到住院的等待时间设为1i t 天。本文通过对所给输入人流的分析可得，五种疾病病人的输入流大致服从参数为j λ，15j =的Poisson 分布。
2、 接受住院：病人i 经过1i t 天等待，被医院接收成为住院病人，这时病人i 自动转为手术排队系统的等待者，这时病人i 需要住院等待手术的安排，由住院到手术的等待时间为2i t 天。这个等待时间2i t 越长，病人i 就需要支付额外的住院费，因此2i t 时间越短，模型越优良。同时，医院对不同的手术有不同的准备要求，因此本文引入等待时间2i t 的下限参数j T ，15j =用来限制（不同类型的病人下限不同）。
3、 手术安排：病人i 再经过2i t 天等待开始手术，这时手术的服务时间是固定的为1天，同时由于手术的资源充足，因此，不存在多名病人同时手术的等待时间。但是，由于医院的某些规定，固定的手术必须在固定的时间上进行，因此，本文假设星期k （17i =）只能进行手术j （1
4j =），这时所患j 类病的病人在
满足下限等待时间T 后可以立即进行手术。手术耗时1天，完毕后病人再次进入
医院服务系统，本文从人性化角度出发，认为病人i 在手术过程中，自己的病床仍为利用状态，不会被他人占用。（对白内障病人（双眼）需要做两次手术，由于仅仅是服务时间由1天升为3天，并不改变模型的类型，因此本文对其不单独处理。）
4、 术后服务系统：病人i 在手术完毕后，再次进入病床排队系统进行服务，本文用3i t 来表示手术完毕的住院服务时间。这时由于不再受其他客观因素的影响，服务时间3i t 应较为稳定，通过对所给数据和散点图的分析，对于不同类型的病人，其术后服务周期不同，但基本上服从正态分布，本文为简化模型计算，通过对数据的分析，发现服务周期的方差2σ较小，可以利用定长服务系统来近似替代，因此本文固定了不同类别服务时间。
5、病人输出：通过服务时间3i t 后，病人病情好转，可以出院，出院是不依赖于主观意志而转移，仅与最后一次手术时间和服务时间3i t 有关。
算法建立，第t 天病床安排步骤如下：
步骤1：由于病人i 输入系统是服从Poisson 分布的，因此本文通过随机函数模拟出病人每天的到达情况。
步骤2：分析病人i 是否在门诊等待序列里，如果存在可以根据病人的门诊时间计算出病人i 的门诊等待时间1i t ，这时假设病人i 进入住院系统，从而等待手术到来。
步骤3：判断病人i 是否是外伤，如果是，则安排病人在第二天进行手术；如果不是，则病人自动转入正常排队系统中。
步骤4：假设病人i 已经等待了j 天，这时要判断出1i t j +是星期几。如果是星期
一，则判断病人i 的类型，如果是白内障病人，则判断j 是否大于2，若是则对病人i 安排手术，这时病人i 的手术等待时间是2i t j =，若不是则不予安排手术；如果不是白内障病人，则不予安排手术。如果是星期三，则判断病人i 的类型，如果是白内障（双眼）病人，则判断j 是否大于2，若是则对病人i 安排手术，这时病人i 的手术等待时间是2i t j =，若不是则不予安排手术；如果不是白内障（双眼）病人，则不予安排手术。如果不是星期一或者星期三，则判断病人i 的类型，如果不是白内障病人，则判断j 是否大于3，若是则对病人i 安排手术，这时病人i 的手术等待时间是2i t j =，若不是则不予安排手术；如果是白内障病人，则不予安排手术。
步骤5：假设病人i 经过1天手术后，自动进入术后服务系统，这时判断病人i 的类型，根据不同类型的病人确立其术后定长服务3i t 。
步骤6：根据求出的时间1i t 、2i t 和3i t 确立病人i 的影响比i β和住院有效率i τ。 步骤7：对下一个病人1i +重复步骤2到步骤6，得到一系列影响比i β和住院效应率i τ。
步骤8：通过对影响比i β和住院效应率i τ进行归一化得到新的一组相对影响比i β和相对住院效应率i τ，本文认为这两种的重要程度是相同的，因此病人i 进入住院系统的优先度i i i p βτ=+。
步骤9：比较各个病人之间的优先比i p ，确立首位被选中的病人，并输出该病人的序号、得病类型、门诊时间、住院时间、手术时间（包括可能的第二次手术时间）和出院时间，这时在原有的排队系统中剔除该病人。
步骤10：根据当天的普通病床空闲数，重复步骤9，直到普通病床空闲数为0或者等待队列为空。 简单流程图如下：
5.2.3模型的应用
根据上述建立的模型，应用matlab实现上述算法（详见附录 2.1），选取2008.8.10-2008.8.13拟出院人数，根据模型确定出第二天应该如何安排病人的入院，如表3：
趋势为表2，其余请见附录三。
利用本文给出的评价指标体系，评价医院从200.7.13-2009.9.4的349为病人的数据，利用本文给出的评价指标体系，评价医院提供的病人的数据，结果如下：
(1)队列长度（图八）的Matlab模拟图：
眼科病床的合理安排 摘要 当前，随着日常看病人数的不断增多，医院排队看病的现象日益严重，这不但引起广大病人强烈的不满，同时医院的资源利用率也得不到提高。针对医院所面临的严峻问题，我们进行细致的分析，并通过建立数学模型加以解决。 针对问题一：我们通过从病人和医院两个角度的多方面分析制定了病人等待时间，手术每天安排的合理性，医院每天的平均手术收益三个指标，特别引入了评价隶属函数曲线，建立了综合评价模型，并对FCFS （First come, First serve ）病床安排模型进行评价，评价结果为 ：“一般”偏不好。 针对问题二：我们建立了先服务高优先级别病人的病床安排模型，先根据病人等待时间、手术费用、和需要住院天数三因素构造病人的优先级别算法，并利用MATLAB 编程模拟了15天的病床安排情况，利用第一问的评价模型进行评价，评价结果为：“好”。 针对问题三：我们分别对FCFS 和先服务高优先级别病人的病床安排模型进行等待时间的估计。分别利用了等待住院时间和就诊时间的关系和等待时间曲线模拟的方法。答案是前者的等待时间会越来越久,计算公式为： 8.827.68 (x )n 7.68 c o u n t ε-= +（）， 而后者的等待时间维持在9--12天。 针对问题四：在不调整手术时间安排的情况下，我们模拟了周六和周日不手 术的病人安排情况，并进行评价，评价结果为“一般”偏不好，我们经过分析将白内障手术安排在周三和周五，再利用MATLAB 编程进行模拟，评价结果为“好”，我们认为手术时间安排需要调整，调整为白内障手术在周三和周五进行。 针对问题五：我们以医院眼科每天接待量为目标函数建立优化模型求解医院的各类眼病的床位安排比例，利用lingo 求解得出：每天的接待量为最多为8.98人，分析得出每个病人在系统的逗留时间最短为9+ξ天（ξ为医院采用新模型之 关键字：评价隶属函数 先服务高优先级别病人病床安排模型 综合评价模型 优化模型
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：0837 所属学校（请填写完整的全名）：哈尔滨工程大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 王蛟 2. 张艺馨 3. 朱庆飞 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：2009年09月14日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：0837
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
眼科病床的合理安排 摘要 本文主要讨论某医院眼科病床的合理安排问题，建立一个眼科病床的合理安排模型解决了FCFS(先到先服务)规则引起等待入院队伍越来越长的问题。为了得到一个简单又高效的模型，我们首先制定了合理的模型评价指标——床位效率指数、患者等候时间和入院优先级，并用该评价指标对所建模型进行评价。 模型一提出了一种新的安排患者入住的优先级原则，根据病人优先级的高低确定应该安排哪些病人住院。当确定模型启动点后,依据病人的病情的轻重、疾病占总人数的比例高低、在队列中等待时间的长短以及医院不同疾病的手术安排时间设置的不同的权重系数。设置权重时我们采用层次分析法，对判断矩阵进行一致性检验后，将特征向量进行归一化处理，得到优先级表达式的权重系数。 模型二从方便管理的角度，应用排队论理论求得每类疾病的平均逗留时间，然后利用目标规划方法建立眼科病床比例分配模型，该模型以病人在系统内的平均逗留时间最小为目标函数，最后用Lingo软件计算后得到病床的最优比例为7：36：16：8：12（从左至右依次对应外伤、视网膜疾病、白内障（双眼）、白内障（单眼）和青光眼）。 本文的特点在于充分考虑到导致等待队伍越来越长的因素，根据合理的分析以及权系数来设定入院的优先级，建立了一个合理的眼科病床安排模型，具有床位效率指数高，等候时间相对较短的特点。 关键词：眼科疾病、病床安排、评价指标体系、层次分析法、排队论、数学规划模型、优先级
眼科病床合理安排 摘要 本文讨论了病床的合理安排问题，属于优化问题中的排队问题。我们根据原始数据利用EXCEL 软件进行了统计分析，得出各类眼科病人的平均等待时间等相关数据信息。 对于问题一，我们综合考虑医院与病人的利益，提出了平均病床周转次数A 、病人住院平均等待时间B 、等待住院病人队列长度C 、等待住院病人队列变化趋势这四项评价指标，用以对病床安排模型的优劣进行评价。并利用该评价指标体系对医院当前的病床安排模型进行了评价。 对于问题二，我们基于医院的当前情况，以平均病床周转次数A 为优化目标，以改进后的优先非抢占排队思想为依据，采用优先级随时间变化的规则来进行病床安排，并根据五类眼科病人的平均住院时间设置了初始优先度值，建立起单目标优化模型一。我们利用模型一对前来门诊的病人重新进行病床安排，得出了相关结果。由结果我们可以看出，模型一可以较好的解决医院的等待住院病人队列越来越长的问题。我们利用问题一里确定的评价指标体系对模型一进行了评价，并将其与医院当前采用的模型进行了对比分析，突显出模型一的优势。 对于问题三，我们根据问题二里得出的病人信息，统计出了各类病人的平均等待时间和等待队列长度，发现在模型一的病床分配方案下，每天门诊总病人数与出院总人数大致平衡。于是，我们可以根据各类病人的等待时间分布来给出门诊病人的入院时间区间：外伤：1天；视网膜疾病：（10，15）天；青光眼：（7，12）天；白内障单眼：（4，8）天。白内障双眼病人需视门诊时间而定。 对于问题四，在周六、周日不安排手术的情况下，利用模型一重新对病人进行入院安排，并用评价指标体系对结果进行了评价，发现分配结果并不理想，等待队列长度很长，且等待入院的病人队列会越来越长。因此，我们认为医院手术时间应该调整，我们建议将白内障双眼病人的手术时间由原来的每周一、周三调整到每周三、周五。 对于问题五，我们利用多服务台排队系统c M M //来进行求解。我们以平均逗留时间最短为目标函数，建立起病床优化分配模型，并通过MATLAB7.0软件进行编程求解，得出病人在系统内的平均逗留时间最短为13.92天，五类疾病病床 通过定义医生工作强度值Q 来对不同可行解进行评判。 关键词：病床安排 排队论 改进的优先非抢占排队思想 多服务台排队系统c M M //
关于医院眼科病床的合理安排问题 摘要： 本文通过对近几个月医院病人信息的研究，综合分析影响医院病床安排的因素，建立适合的模型，最大程度提高对医院资源的有效合理利用，减少患者等待时间，尽快就医。 到医院就诊排队是一种司空见惯的现象，由于患者到达和医疗服务时间的随机性，患者来源数量在理论上是无限的，而医疗资源是有限的，如何在有限资源配置下，利用上述排队模型理论和计算机模拟，结合患者的服务记录获得的相关数据，对其做出定性、定量的数量指标，进而进行预测、分析和评价，通过优化设计，实施动态管理，根据医院的实力，完善设施和配备，合理增加医护人员的数量，提高医生的诊疗技术水平，有效缩短平均诊疗时间及其波动程度，提高效率，缩短等候时间，统一诊疗程序，为患者排忧解难。显然，应用排队论，一方面可以有效地解决医院服务系统中人员和设备的配置问题,为医院管理提供可靠的决策依据；另一方面通过系统优化,找出患者与医院两者之间的平衡点，既减少患者排队等待时间，又不浪费医院人力物力，从而获取最大的社会效益和经济效益。 我们面临的主要问题是医院病人排队的序列越来越长，而在不考虑医院的硬件条件，即手术条件充分的情况下，唯有提高医院资源的利用率，才能最大化的解决队列长的问题，而这其中，病床利用率是一想重要的指标。 床位工作效率是衡量医院卫生资源利用的指标，即要看床位的使用率，又要看床位周转次数，以避免高使用率，低周转次数的资源浪费；或是高周转，低使用率的另一种资源浪费（床位使用不充分）。 关键词： 排队论; 随机模型；医院病床合理安排；权重平均数；MATLAB
目录 1.问题重复与分析 2.模型假设 3 符号约定 4 模型建立与求解 4.1问题一的分析与求解 4.2模型一分析与求解 4.3问题三的分析与求解 4.4题四的分析与求解 4.5 模型二分析与求解 5 参考文献
眼科病床的合理安排 摘要 医院作为卫生体系的重要组成部分和医疗卫生服务的主要组织机构，要适应新时期卫生工作的要求，就必须加强全面质量管理。 首先，本文对影响病床安排的影响因素进行了一个全面客观地分析，肯定了目前安排的优劣。 针对问题一，通过对影响因素在病床安排中所占的比重以及专家的测定分别确定了病床平均有效利用率、病床的平均周转率和眼科病人的满意度的权重系数，进而建立起一个眼科病床的合理安排的评价指标。 针对问题二，选取问题中所给的部分数据建立了一个线性规划和0-1规划模型，以眼科病人入院到第一次手术的等待时间最小作为目标函数，通过此模型来解决根据第二天的拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些眼科病人住院，在此基础上利用已经确定的评价指标证明了此模型优于该医院目前的安排病床模型； 针对问题三，考虑到每种类型的眼科病人在医院的观察时间和医院所规定的手术时间，可以将每种类型的眼科病人分开进行讨论，利用正态分布的平均值和标准差分别确定当时医院条件下每种类型眼科病人门诊后的大致入院区间。 针对问题四，可以在问题二中所建的0-1规划模型的基础之上，对约束条件的部分系数进行重新的确定。根据求解的目标函数值的比较得出医院的手术安排时间需要相应的调整。 针对问题五，一定时期内，每种类型眼科病所有病人的病床使用总时长可直接反映这种病人对病床的需求程度，因此就可将每种疾病所有病人的病床使用总时长之间的比列来作为疾病的病床分配比列。 关键词: 病床合理安排权重系数评价指标0-1规划正态分布
一、问题重述 1.1 问题背景 1.2 目标任务 二、模型的假设 1、医院的每个医生都可以做任何一种眼科病的手术； 2、入院当天即为观察的第一天； 3、每天的病床全部用完（即79张病床全部用完）； 4、不考虑当天同一个病床的出院病人和入院病人之间的时间间隔； 5、假设每一次的手术都成功； 6、设病人一旦安排好入院时间，此病人就一定会入住。 三、符号说明 A ：病床合理安排评价指标； 1B ：床位的平均有效利用率； 2B ：病床的平均周转率； 3B ：病人平均满意度； )5,...1(=i X i ：第i 类眼科病人的平均恢复力（从第一次手术到出院的时间），5,,1?=i 分 别表示白内障，白内障（双眼），青光眼，视网膜疾病，外伤； )10,,1,5,,1(?=?=j i Y ij ：第i 类病人的第j 种恢复力； )10,,1,5,,1(?=?=j i Z ij ：第i 类病人的第j 种恢复力相同的总人数； )7,,1(?=i F i ：从门诊到入院的第i 种等待时间； )7,,1(i ?=i G ：从门诊到入院的第i 种等待时间的总人数； )7,,1,5,,1(?=?=j i C ij ：第i 类病人从入院到2x 手术的第j 种等待时间；
眼科病床合理安排数学建模优秀
眼科病床合理安排 摘要 本文讨论了病床的合理安排问题，属于优化问题中的排队问题。我们根据始数据利用EXCEL软件进行了统计分析，得出各类眼科病人的平均等待时间等相关数据信息。 对于问题一，我们综合考虑医院与病人的利益，提出了平均病床周转次数A、病人住院平均等待时间B、等待住院病人队列长度C、等待住院病人队列变化趋势这四项评价指标，用以对病床安排模型的优劣进行评价。并利用该评价指标体系对医院当前的病床安排模型进行了评价。 对于问题二，我们基于医院的当前情况，以平均病床周转次数A为优化目标，以改进后的优先非抢占排队思想为依据，采用优先级随时间变化的规则来进行病床安排，并根据五类眼科病人的平均住院时间设置了初始优先度值，建立起单目标优化模型一。我们利用模型一对前来门诊的病人重新进行病床安排，得出了相关结果。由结果我们可以看出，模型一可以较好的解决医院的等待住院病人队列越来越长的问题。我们利用问题一里确定的评价指标体系对模型一进行了评价，并将其与医院当前采用的模型进行了对比分析，突显出模型一的优势。 对于问题三，我们根据问题二里得出的病人信息，统计出了各类病人的平 均等待时间和等待队列长度，发现在模型一的病床分配方案下，每天门诊总 病人数与出院总人数大致平衡。于是，我们可以根据各类病人的等待时间分 布来给出门诊病人的入院时间区间：外伤：1天；视网膜疾病：（10，15）天； 青光眼：（7，12）天；白内障单眼：（4，8）天。白内障双眼病人需视门诊时 间而定。 对于问题四，在周六、周日不安排手术的情况下，利用模型一重新对病 人进行入院安排，并用评价指标体系对结果进行了评价，发现分配结果并不 理想，等待队列长度很长，且等待入院的病人队列会越来越长。因此，我们 认为医院手术时间应该调整，我们建议将白内障双眼病人的手术时间由原来 的每周一、周三调整到每周三、周五。 对于问题五，我们利用多服务台排队系统c /来进行求解。我们以平均 M M/ 逗留时间最短为目标函数，建立起病床优化分配模型，并通过MATLAB7.0软件进行编程求解，得出病人在系统内的平均逗留时间最短为13.92天，五类疾病 法，通过定义医生工作强度值Q来对不同可行解进行评判。 关键词：病床安排排队论改进的优先非抢占排队思想多服务台排队系统
眼科病床的合理安排 摘要 本文通过研究某医院眼科病床的合理安排问题，建立了合理的评价指标体系指导医院眼科病床的安排，旨在改善该医院眼科病人等待入院的队列越来越长的问题，使得医院和病人的利益达到“双赢”。 针对问题一，由于附表所给数据存在缺失，本文采用均值填补法对缺失数据进行填补。由于不同类型病人的入住时间对医院床位的影响程度不同，在确定评价指标体系时，将病人分为急症型(外伤)、白内障型(双眼)、白内障型(单眼)、视网膜型疾病及青光眼型五类。利用YAAHP层次分析软件建立层次结构模型结合每类病人的最短和最长住院时间确定四个等级，即优、良、中、差作为该医院眼科病床的合理评价指标体系，并得出医院采用FCFS规则不合理的结论。 针对问题二，由于医院的病床空余数量受各类病人的手术难度、术前准备时间、术后恢复及观察时间等因素的影响，因此以白内障型病人的手术时间为分段标准，将一个星期的时间分为三段，一方面保证医院当天安排的各类入院病人的比例与各类来诊病人的比例满足正相关的关系，另一方面通过合理分配不同类病人入院人数控制医院床位的流动速度，从而减轻医院的病床不足的压力，以此建立双目标线性规划模型，并通过MATLAB解得了三个阶段的最优结果。 针对问题三，首先将病人按类型分类，根据问题二中的求解结果，结合等待入院病人的统计情况确定各类病人所需的平均最短及最长时间，确定各类病人的大致入住时间区间。 针对问题四，以问题二的算法为基础，通过MATLAB编程计算出在目前该医院手术安排时间下，医院每天安排的不同类病人数的平均入院到出院时间，并通过问题一中的评价指标体系进行评价，评价结果处于优等，得出医院不需要对手术时间再进行调整的结论。 针对问题五，要使得平均逗留时间最短，那么各类病人的术前准备时间相应的也要最短。根据题意可知白内障病人及外伤病人的术前准备时间为1天，青光眼、视网膜疾病病人的术前准备时间为2天，并且平均逗留时间等于等待入院时间与住院时间之和。以平均逗留时间为目标函数，建立了线性规划模型，并利用LINGO软件求出五类病人的病床分配比例为外伤：白内障(单眼)：白内障(双眼)：青光眼：视网膜疾病=11：14：19：9：26。 本文利用多种软件进行数据处理，尽最大可能的挖掘了隐含信息的规律。最后对模型进行了优化，通过SPSS线性回归拟合对缺失数据进行回归填补，并对回归方程利用ANOVA变异数分析进行了显著性差异的F检验。 关键词：层次分析法；多目标规划；线性规划；均值填补；回归填补
眼科病床的合理安排 摘要 某医院眼科门诊每天开放，对眼疾病患者进行诊断并实施住院安排，安排方案的合理性对医院和病人的利益都会产生影响，因此我们针对病床的安排问题建立了相关数学模型，并进行了分析和讨论。 对于问题一，要实现合理的住院安排，需要有合理的评价指标体系。我们从医院和病人两方面进行考虑，建立了病床有效利用指数、病人满意度函数共同作用的双向评价指标体系，实现了对医院病床安排方案的优劣性评价。 对于问题二，以病人等待住院及等待手术时间之和最短为目标，建立动态规划模型，确立了各类病人的入院时间优先级，创立了安排方案，再利用计算机编程对病人住院全过程进行了仿真，最后利用问题一的双向评价指标体系对模型进行了评价，验证了安排方案的合理性。 对于问题三，根据统计情况，建立基于概率论的边界优化预测模型，在病人门诊时即可得到病人入住时间区间，使得病人了解了自己的住院时间情况。 对于问题四，以病人的满意度指标为决策变量，确定医院手术时间安排需做出相应调整。利用仿真模型对调整的不同策略进行仿真并通过比较病人满意度择取最优策略，得到医院手术最佳调整方案。 对于问题五，眼科室分为若干科室，医院为便于管理，需要为各科室按比例分配病床。为求解该比例，我们以所有病人在整个系统内平均逗留时间最短为目标，以各科室床位数与病人平均逗留时间的函数关系、病床总数限制为约束条件，建立基于排队论思想的规划模型，最终求解得到最佳床位比例。 关键词双向评价指标体系动态规划计算机仿真排队论
一问题的重述 1.1 基本情况 某医院眼科门诊主要进行白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤四类手术，患者每天均可来治疗，治疗流程如下 图1 入院就诊流程图 医院有79张病床，在病床的安排上对全体非急症病人采取FCFS规则。 1.2 相关信息 白内障患者周一、周三进行手术，术前准备只需1-2天，其中做两只眼的患者一般是周一做一只，周三做另外一只；外伤有空床位即可安排住院，住院后第二天可进行手术；其他眼科疾病术前准备只需2-3天，但是术后观察时间长，根据需要安排手术时间，一般不安排在周一、周三。 附录是2008-7-13至2008-9-11时间段内各类病人门诊、住院、手术以及出院的时间概况。数据可分为三部分：第一部分，病人入院时间、手术时间以及出院时间全部已知；第二部分，只知病人入院时间以及手术时间，出院时间未知；第三部分，仅知病人门诊时间，其他未知。 1.3 需要解决的问题 医院的先到先得安排模型使得越来越多的病人排队等候住院，这就涉及到资源的合理利用，需要解决的问题： (1) 确定合理的评价指标体系，对该医院的病床安排模型进行优劣分析。 (2) 根据住院部当前的情况，建立数学模型，使得院方能根据第二天拟出院人数确定具体的病床安排方案，并用问题一中的评价指标体系对该病床安排模型进行评价。 (3) 已知医院住院病人及等待住院病人的人数统计情况，建立合适的模型，使得在病人门诊能知道其住院时间区间。 (4) 在医院住院部周六、周日不安排手术的情况下，得出问题二的安排方案；并分析医院的手术时间安排是否应该调整。 (5) 一般情况下，医院为了便于管理，在安排病床问题上采取一定的方案，使得各类病人占用病床的比例大致固定。依此方案，建立满足所有病人在系统内的逗留时间（包括等待入院及入院时间）最短的病床比例分配模型。 二模型假设 (1) 在建模过程中，只有外伤属于急症，其他眼科疾病不考虑急症。 (2) 病床安排时不考虑手术条件的限制。 (3) 附录中的数据准确可靠，数据处理过程正确。 (4) 白内障双眼病人的手术时间在一周内完成。 (5) 病人到达医院的相继到达时间间隔独立且服从参数为λ的负指数分布。 (6) 病床的服务时间独立同分布且服从参数为μ的负指数分布。 (7) 同一疾病的住院到手术时间比较接近，不存在巨大差别，但是术后到出院时间长短不同，这与病人的自我恢复能力和医院个别病患管理不当有关，只要管理得当，可以有效控制。(8) 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，即假设每天手术个数无上限。 (9) 入院排队病人不会因等待时间的长短离开医院，即排队系统容量无穷大；
眼科病床的合理安排 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。 该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。 问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。 问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
眼科病床的合理安排问题 摘要 现代医疗服务目标的核心是最大限度地满足病人对疾病诊疗和保健的各种显性和隐性需求，为病人提供优质服务，而“常排队，排长队”一直是病人最常抱怨的事情。本题就要求解决一个这样的问题，由于病床事前安排不合理，导致某医院眼科病人排长队等待住院手术。本文利用排队论的相关知识帮忙解决了这个问题。 针对问题(一)，根据排队论模型系统提出的运行指标，对所给病床安排模型的数据进行了评价分析，得出该模型在外伤病人的治疗上能合理有效地安排病床，而在其他眼科病人的安排上拘泥于先来先服务的原则，导致不能合理地安排病床，造成病人就医困难，医院效率低下。 针对问题(二)，通过统计病人信息可得，青光眼和白内障病人术前等待时间为2-3天，符合题目要求，而白内障病人的术前等待时间过长，特别是双眼白内障病人的术前等待时间平均为4天多，远远超过了题目要求的1-2天，这也是导致原病床安排模型出现问题的原因。所以在原排队模型的基础上引进了优先级，依据手术时间合理地安排术前住院日期，从而减少在医院无谓的等待时间，同时也提高了医院的工作效率。而在处理数据时，根据稳态原则和题目要求，需拟出院病人数与就诊人数相同。 针对问题（三），选取了2008-8-1至2008-8-21时间段的入院病人信息进行了统计分析，用6SQ插件对各类病人都进行正态分布检验，求得其统计量，期望和标准偏差，然后根据第二问所求的各类病人的平均逗留时间，扣除平均服务时间后，得到其平均等待时间期望。利用该期望值和刚才所求得的统计量与标准偏差，根据概率统计的置信区间公式求得，各类病人门诊后大致入住时间区间。 针对问题（四），因为周六、周日不安排手术，需重新安排一周中各类病人的优先级，再利用第（二）问的模型指标进行检验，结果表明病人平均逗留时间明显增加。所以需相应调整手术时间安排，即把白内障手术从周一和周三改到周二和周四进行，再次利用上述模型指标检验，求得平均逗留时间变短。因此，在在周六、周日不安排手术时，医院需相应调整手术时间安排。 针对问题（五），建立整数规划模型，目标函数为使病人的平均逗留时间最短，约束条件为病床比例应满足各类病人在门诊病人中的比例，但这将导致无法求解，所以在求解过程中，采用了先求出近似解，再调整为最优解的策略，并最终确定了最优病床分配比例。 最后对模型进行了检验，通过比较模型求得的与实际统计数据求得的系统单位时间内平均达到数，相差在误差容许范围内，证明所建立的排队论模型符合题目要求。 本文所采用的排队论模型在现实生活中有普遍适用性，具有很强的指导意义，缺点在于对一些复杂的系统不是很明了，还有待继续研究。 关键词：排队论模型泊松检验优先级整数规划
眼科病床的合理安排 摘 要 卫生资源的配置和优化一直是人类研究的主题，其关注度很高。医疗服务质量的改善关系到民生，也是我国构建“和谐社会”的重要基础。病床作为一种重要的医疗资源，其合理的安排和有效的使用能很大程度上改善医疗服务的质量和解决“看病难”的问题。 针对问题一：建立综合指标评价模型。确立诊前延误指标、手术延误指标、就医水平指标和医务效率指标四个构成因素，通过AHP 分析方法确定四个因素在综合指标体系中所占的权重，从而成功的建立评价模型，并利用该模型对FCFS 规则计算出综合指标评价结果为： 90.3624.31 4.7838.45i i U U ω==+++=∑。 针对问题二：建立动态病床安排模型。目标函数是患者在系统中平均逗留时间最短，以时间作为主轴，对每天的空床以“即入即手术”的规则进行病床分配，构成约束条件，得出一个动态规划模型。利用综合指标评价体系对该模型进行评价，得出综合指标评价结果为： 0.20.82 2.41 4.679.968.18i i U U ω==++++=∑ 与该时间段实施FCFS 规则的综合评价指数结果为： 0.90.37 2.58 6.9610.82i i U U ω==+++=∑ 两者进行比较，得出该模型比FCFS 的资源利用率提高23.69%。 针对问题三：通过对所给数据的处理，预测不同病症住院时间的周期，测定出患者从门诊到住院等待的时间区间即为病人门诊时即告知其大致住院时间的区间： 针对问题四：当考虑周六、周日不安排手术时，问题二的动态病床安排模型的约束条件进行部分调整，对出院时间影响很大，造成患者逗留时间加长，病床安排时间表变动较大。 针对问题五：利用M/M/S 等待制排队模型中的多服务台模型求得五个病区在七种不同病床分配比例下的平均逗留时间，再利用0-1规划模型求得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比列分配结果为： 关键词：综合指标评价模型；动态规划模型；病床合理分配
眼科病床合理安排的研究 摘要 本文通过对某医院眼科在一定时期内病床的实际周转次数、床位使用率、床位工作效率指数情况的综合分析、对病床排队系统进行结构分析，对病人住院时间进行统计处理；最后建立了眼科住院安排优化配置模型，并采用了门诊挂号商推算和电子化住院模式，运用排列组合对预住院病人进行合理安排。通过对所建模型进行了分析和检测，建立了眼科病床合理利用评价体系。表明该模型简便直观，且能更大限度的优化眼科病床利用率，可使患者的就医得到改善，有较好的实用价值，对医院病房管理的改革有一定指导意义。 关键词：床位预测商推算分配优先等级床位需求数 1、问题的背景及重述 1.1 问题的背景 医院就医排队是存在于医院中很普遍的问题，在医院进行各种治疗活动都因为排队而耗费了病人许多时间。如某医院眼科，该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障是每周一、三做手术，此类病人的术前准备时间需1、2天。其中双眼白内障大约占60%，且周一先做一只，周三再做另一只。其他眼科疾病比较复杂，手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，所以我们通过建立住院安排优化配置模型来帮助解决该院眼科的病床合理安排问题，以提高对医院眼科资源的有效利用。 1.2 问题的重述 当前该眼科住院部按照FCFS（first come,first serve）规则安排住院，等待住院队列有增无减，需要有更合理的病床安排方式，使等待住院人数得到有效的控制，病床得到更加合理的使用安排。因此： ①分析确定一合理的评价体系来评价对于上述问题所建立的病床安排模型的优劣。 ②就该住院部现在病床总数、手术安排的时间和病人需求等情况，建立合理的病