第五章微扰理论
2
2
1.设氢原子中价电子所受有效作用班厂）二-玉-几兽 其中￡
, r 厂 4矶
试用微扰理论求基态能屋（准确到一级）。 ［解］:氢原子基态波函
数
???Eo = E ： + E 冷…
「El 守
-a
2r 2r
=一手臥九J7石dMQ
-2aal&入航
???E O = E ： + E ；+???
2 ?设在方。表象中方的矩阵为
= _4a\[^￡a 。九-—
< 2丿 00
2
——0<2<1
__L 2
-r
’E ；）0 a 、
H= 0 E ； b 其中 E ； < E ； < E ； 问,问《卑
a b" E ；
\ 3
/
试用微扰理论求能量木征方程的木征值，准确到二级。
/\ /V
［解］表象中的H 的若无微扰吋，应是一个对角矩阵，而此题中H 不是对角阵，但 它的项应是对角阵。
曾
\
a
0 0、
<0
0 a } H = 0
E ； h
—
E ： 0 + 0
0 b
? a
E 為
(O
E 為
* 2
胪 o >
曾
0、
‘0 0 a '
第一项就是H.=
0 E
； 0 第二项是H'= 0 0 h
,0 \
E 為
? /?* 0, 若准确到二级対三个能级 耳 爲
耳则
E 严 E ：）+ E ：+E ；+…
E' = E ； + E ； + E ；+…
式中已知，只要求出0尽即可
??? E \ = H\ E\ = H ；2
??? H ；2 = o H ；3 = a
??. E ；=于g
由的矩阵元中对知 H ：
H ；=码=0 即 E ； = E ；= ￡；=()
?? F 2=y \H nn] =y
r()
m m
.R ⑺_ V 冋“」
1
—乙耳）_￡；
（m 工1） m = 1.3此吋只有三项
E' 耳-E ； ' El-El
同理圧=工磐雷
m 匕2 一L m (m工2)
2 ???对于E 严E ； + E ；+E ：+.,耳+ -^― +… E? = E ； + E ； + E ； + …=E ； + +.??
匕2 —匕3
E 产耳+ & +砖+…二耳
七3 一匕\匕3 一匕2
3. 转动惯量为I,电偶极矩为方的空间转了处于匀强电场E +，若电场很小, 算转了基态能量的二级修下。
［解］在第三章中第13题，我们已知道转动惯屋为I 的刚性转了的能级为
E ； 定态波函数H°= — fr
21
但基态1 = 0
E ：；=0 阮°尤）是非简并的。
可按定态非简并微扰处理
为方便起见，我们选E 方向与坐标Z 轴方向一致，则
H' = -D ? E = -D^cosd
（ 0 与 ￡> 与 E 夹角）
E —
E 。詔圧 — E ；
2 = E ；_E ；
加=2 或 m = 2 则 H^=a
￡2_y KJ
2
3
WEP
（m 主
3）
% = b*
:.E ；
Et_E ：）+ E ；
_E ；
E ：产岡卬丽加％dO
（-0 ?肌 dQ
b 2
用微扰法计
?/ + 1）力
2
_
~21 -
=- [D EJQ 4龙」
=--DE [cos Odd = 0 4兀」 而 H ；°= H ；）k
1
Ok
=-誉 JX ；“Yi （）dG
当k = \ m = 0吋 H"0 其余均为0
???琦=D 2E 2
I
4. 设体系未受微扰时只有二个能级窣及毋，现在受到微扰H'作用，微扰矩阵元为 H[2 = H 2]= a, H ：= Ht=b ； a,b 都是实数，用微扰公式计算能量到二级修正.
解：由微扰公式得
E' =H r
n nn
~OE\Yi
2
1
2
I < DE 、 2 _ -D 2E 2I
E —E 厂
n
0k
< >/3> ~
3忙
心g 心
~2
k 即一级修正为0 DE
■V
F
习Q”o
DE
2力
2
17
I （）
H
其中
（cos %
E （o ）_ E （。）
???能量的二级修正值为
2
E 厂 E ；+b +云
5. 基态红原子处于平行电场屮，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
当 t v 0
W
当t>o （ r>o 的参数）
求经过长吋间后氢原子处于2p 态的儿率。
解:对于2p 态,^ = 1, m 可取0, ± 1三值，其相应的状态为
氢原子处在2p 态的几率也就是从0100跃迁到0210、0211、021—1的几率Z 和。
由
讣=詈側;肿恂
（W z
= ee （t ）r cos 0）
=^R 2l Y^e￡（t ）rcos0 R^Y^dr （取E 方向为 Z 轴方向）
= ￡￡（『）[ R 2[rR l0dr 得 E\ = H ：严b
E ；=H ；
2=b
?ML
E —E ：
E
2=X m
I%』—/
E ；-E 「E ；-E ；
0210
0211
h
TJ ‘
n
210J00
「￡^IO ^OO cos&sin 阳&d?
ee （t ）f 「￡ Y ］；）* r i0 sin 0d6 d （p
/ = { R ；i （厂）&o 0"），d 厂=& Qo
1 1 4!x 25 5 _ 256
石不丁心帀r°
陽⑴ 256 128^2
/、
■TFilTT 厂FT 咬呱
=?￡（『）［ /?2i r
￡y,, cos 0Y^ sin&d&d/
￡￡（/） J /?2i 心io 刃『f K ：咅Ko sin OdOdcp
^21-1,100 =（021-1 穴 0100〃。
= ?￡（》）（ /?2l r 3/?l （）Jr ￡「乙打 COS &E K ） sinF
d 〃d?
厉岭)s\n0dOd (p
由上述结果可知,
W1ST 2“ = W100T 210 +W100T 211 +"100—21-1
^210,100
丹211」00 砖⑴“ ；］］"OS 如 |(M
叽21
35
h 2 243
0 0
A 如一一.
e T -1
_4(皀)2护尿2 方八243
0 0
其中◎广即二給（1冷）=豁二萨 力 2方 4 8力 8加（）
6?粒子处于宽为a 的一维无限深势阱中，若微扰为
-b
求粒了能量的一级修止。
当/Too 时,
p-(
243
+b 当— 2 ［解］对宽为a 的一维无限深势阱的木函 以兀）= 2 . nx — sin ——x a a 2 . nz e ? nx t — sin — xH sin — xdx a a a ^2 . nx z ； x . n7i f F 2 ? —sin — x(-/?)sin ——xax+ L — sin } a a a a nx t . nx t —xb sin — xdx a a 2b 备.2处, 2b $ . ° nx . ----- p sin —xdx H L sin —xdx a * a a \ a cos + — C(l-cos a a s 2 ] ~~r ?1 + 二 r b ——+ 2 2 兀 rt = --[x a a . 2nx ---- sin----- 2n 兀 a a . In7i ---- s in ----- 2/77T a 程] 2 =——sin n7t ----- s in 2n/r n7r 2nx =0 即粒子能量的一级修正为0 7. 计算氢原了由第一激发态到基态的自发发射几率。 由选择定则心=±1,知2ET1S 是禁戒的 故只需计算的儿率 （Z ）2I,”M（）= f 瞪（门&（）（门广加? ”二 COS&V//2 ⑵211,10()=。 ⑵ 21-1.100 = ° ⑵计算X 的矩阵元 x = rsin&cos? = -^si n&(严 +严。) （兀）21讪00 =*[/?；1 （厂）尺0（"加脱亦&（严+严％加 解: 3 mk 21 2p 有三个状态,即 0210, 肖 211，021-1 ⑴先计算Z 的矩阵元 z = rcosO 2於 Z21 2 箱 + S m-\ ) ^=(2x r +2x r +i n=r ⑷计算/ f = f ^21(^)^10 (r)r 3dr = -^= a Q (兀)211,100 21-1J00 ⑶计算y 的短阵元 1 ?〃 ?皿 y = rsin/9sin^ = — rs\n0{e l (p -e *) 2i R ；2)Rio (Cr 3 dr ? jYi ：sin&(/ =云厂j§（-盅1 -盅T ） d (y )210J00 — ° W210J00 = 0 (y )2ii ?ioo （歹）2 叽()')21-1」00 1 1 4!x25 5 256 27 ^=8176^=^0 7 ?8 血1° -?^ = 1.91x10^- r = — = 5.23 x 10_,05 = 0.52 xlO -9 人21 8. 用狄拉克符号求线性谐振了偶极跃迁的选择定则 ［解］因为线性谐振了跃迁几率 叱 当W-枷工0时，跃迁才有可能发生 即 X^k H o 且 W = V% 4空 3hc 3 v 8 h 3 3应） 715 39 28 “迟4 37 丹 °， h 2 ? _2 ??? X =< m x k > mk 1L 屮）=*［｛才 ￡_I 〉+ J —2 R + I 〉］ 2 V2 R+l 〉］ ￡+1 + 1> 即 Am = —1或 Am = 1时，X 脉工0 %?工0 当也等于其他值，即心心±1吋 X 腻=0 光》=0 所以谐振子的偶极跃迁定则为 A/?? = ±l 即只有相邻能级发生跃进，其他都不能发牛。 9. 对于宽度为a 的一维无限深势阱中的粒子（质量为“））受到微扰 、 / v 2x v （x ）=v o cos y x 求能量（准确到二级） ［解］宽为a 的一维无限深势阱的本函和能级 .. ［2 . nx 厂 7r 2h 2n 2 0（兀）=—sin — 兀 E n =-—r V a a 2m a a 2 . nx XT 2/r . nx —I sin —xV () cos ——xsin — a a a a 或当 m = k +1 时 X mk =— E,严空+ E ：+E ； 2v 0 p n7U 2TIX . mx - —-I som ——兀 cos sin ——xdx a a a a 2V ()『? 2 nx 2TT —[f cos ——(n + l)xdx+ [ cos ——(n-\)xdx] 2a 山 a a 二 r — [cos — (m -n)x- cos — (m + n)x] cos a 』)2 a a =— f cos —(m - n)x cos — xdx f cos —(m + /t)xcos a a a a a =— r [cos — (m -n-2)x + cos — (//?-n + 2)x]dx 2a a a V() 「[cos — (m + m 一 2)x + cos — (m + n + 2)x]dx 1 a 2 —xJx a 71 — xdx a 2a 闪 =0 ???E ：=0 9^.9 7 ???E 产E ：【+ E ：+E 右字 笃 2m (}a 10.设在//（）表彖中 (1) (2) [解]: ‘E ；）+a b 、b E ；+a 用微扰法求能量至二级修正。 严格求解能量，与微扰法比较。 （1）由己知可知 E ； E ； H.=Q H[2=a H ：=H ； 2=b （a,b 为实数） ??? E 1 + E ； + E ； + E ； E2=E ； + E ；+E ； .?.只需求出E ： E ； E\ E ； ??? E\ = H\ E\ = Hl (m H 1) ? E 2 | E ； - E ；) E ；-E ； b 2 同理 = ￡S 0 — JD] 匕 2 —上 i b 2 ..E[ = E] + a + _ go b 2 E 2=E 2+a ~ ￡0_E 0 （2）设体系木函用矩阵表示 （E ：）+d-E ）a + 0b = O ba + （E ；+a-E ）0 = O 要使上述线性方程冇非零解，则必须使其系数行列式为0 E ；+a_E b b E ；+a_E 宀（E ：）+d —E ）（E ；）+ d — E ） E ；E ； + （E, + E ：）a -+ a + 耳 + a ）E + a 2E 2-b 2 =0 E 2 -（E^ + + 2a ）E + （a 2 + + Efa + E^a-b 2） = 0 .已少 + 园 + 2°） 土 J （E ： + 园 + 2a ）2 — 4［（d + E ；）（E ； + 戾）］ E,° + 园 + 2Q ± J E I 02 + E^2-2￡1 °￡^+4/72 ）］ 理+耳+ 2° 土 （E.°-叫1 + （耳土尸 E = |［E,° + E ； + 2d ± （E ； - E ；）［l +- ?： E \ = fl E ： + E ； + 2a + E ； - E ； + 严］=耳 +。+ 尸）_ ￡ E2=E ；+a_ E ：_E ； 与用微扰理论计算的结果相同。 ￡）+d b 、 =E %、 、b E ； + 9 4 1 2 ?1+- 2（耳-用丿 2b 2 冷［那+耳+ 2。土［理-耳+尹衿］ 2（岸-耳丿 b 2 h 2 2b 11. 若设％ = AC" （A > 0）作为波函数，用变分法求氢原了基态能量 ［解］先求归一化常数A 由归一化条件 \y/y/di: = 1 ^A 2e~2Ar dr = 1 对于氢原了哈密顿算符为 /. H A = ^Hy/dv 舒右叙堆）-沙“必 宀2 -T 4- (-2Ar 3e-2r2 )dr- A 2e^ ie'2 ^ rdrd^ or J A Ar g[3厂纭一"-2/lr 4e~A, ]dr -47rA 2e^ Jg oo A 1 ^e-2Arl r 2 drd^l = \ co 47rA 2 [r 2e-2Ar2dr 71 47r A 4-2/1 V2A _1 71 7TA 2 — 22 V 22 1 要构造的波函数已给出，B|J 讥门=Ae~Ar ~ 2“ e~Ar2 Ag (八 )dr —A 运#* -e~Xrl dr r 2 dr dr e'2Ar2dr 2A 2AU 2 e~2Ar ' r 2dr- 47rA 2e^ ^e~2Ar ~ rdr H=-—V 2-^ 2“ 詁v 中只有厂有关） A 2h 2 A 2^2
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