第一章 数学预备知识
本章讲述若干数学预备知识，包括导数及其应用、静态优化、积分、微分方程、差分方程以及相位图分析等内容。这些预备性的数学知识对于学习高级宏观经济学是必须的，但是在微观经济学、数理经济学、时间序列分析、高等数学等课程中有详细的讨论，在这里我们只是将与我们后面的学习有关的知识要点罗列在一起并在必要时做出一定的经济解释。这里的数学知识只是与动态优化相关的部分，对于学习高级宏观经济学必须的其他数学知识并未涉及，特别是时间序列、概率论等知识。
第一节 导数及其应用
一、导数
有函数()f q π=，导数就是
1
11()()lim
lim q q q f q q f q d dq
q q
π
π
?→∞?→∞+?-?==??。
导数的经济含义是：边际量、q 变动一单位时π变动的大小、q 对π的变动速率。
二、常用求导公式
（1）f b =为常数，
0df db
dx dx ==； （2）b 为常数，(())d bf x df
b bf dx dx '==；
（3）b 为常数，1b
b dx bx dx
-=； （4）1(ln )x x
'=
； （5）()ln x x a a a '=； （6）()x x e e '=； （7）()f g f g '''+=+；
（8）()fg f g fg ''
'=+；
（9）2
()f f g
fg g g
''-'=； （10）链式法则：
(),()y f x x g z dy dy dx
dz dx dz
===
【例题1-1】：求下面各题的导数。 （1）32 3y x y x '=?= （2）34 3y x y x --'=?=-
（3）23 25621212(25)z y y x dz d z dy y y x dx dy dx
==+'=?=?==+
（4）()
()ax ax ax de de d ax e a dx d ax dx
=?=? 练习：求导数
[]ln()d ax dx
、
[]ln ()d x t dt
、2(ln )
d x dx
三、二阶导数
二阶导数表示边际量的变化速率，可用如下方式表示：
22(),,()d y d dy f x dx dx dx
''
四、微分
22
(),[]()y f x dy f dx d f dx d dy d y dx f dx dx f dx
dx
'=='''''==== 导数是微商。 五、偏导数
12(,)y f x x =，2121210
(,)(,)
lim x b f x b x f x x f f x
b
→+-?=
=?。
偏导数与经济学中的一个常见假设——其他条件不变（ceteris paribus ）假设
是对应的。
高阶偏导数：2()ij i j i j
f f
f x x x x ???==
???? 求偏导数与求导数的方法没有太大的差别，只是在求的时候让其他变量固定即可。
Young 定理：只要ij f 和ji f 存在，则ij f =ji f
六、齐次函数的两个性质
k 次齐次函数是自变量都扩大t 倍，函数值扩大t 的k 次方倍。
齐次函数有两个重要性质。第一个性质有时叫齐次性：k 次齐次函数的一阶偏导数是k-1次的。
12,1
12,
1
1(,)(,)
()
k n n k f
f tx tx tx t x f tx tx tx t t f tx ?=???=?
1112,
112,
(,)(,)k n n f tx tx tx t f x x x -=
齐次函数的第二个重要性质是欧拉定理：1122n n kf x f x f x f =++
11(,
)(,
)k n n t f x x f tx tx =
对t 求导：111111(,
)(,
)(,
)k n n n n n t f x x x f tx tx x f tx tx -=+
+
令11221n n t kf x f x f x f =?=++
如果1k =则有：11n n f x f x f =+
。这就是分配尽定理。在宏观经济学中我
们常常讨论CD 生产函数的齐次性问题。在微观经济学中常常要讨论由齐次函数正单调变换得到的位似函数。
七、泰勒近似
泰勒近似在宏观经济学中很有用，因为有些方程不能得到显示解，只有对它进行近似处理。泰勒近似的另一应用是用来直观理解优化问题。要得到优化问题
的一阶条件，我们对目标函数进行一阶近似，而二阶条件可从二阶近似中得到。任意函数()x φ可以近似被表述为x 的多项式的形式：
()2
0000000()()
()
()
()()()()0!
1!
2!
!
n n x x x x x x x x x x x n φφφφφ'''≈
+
-+
-+
+
-
我们常用的有线性近似
000()()
()()0!
1!
x x x x x φφφ'≈
+
-
和二次近似
200000()()
()
()()()0!
1!
2!
x x x x x x x x φφφφ'''≈
+
-+
-
【例1-2】：将1
()1x x
φ=+和()ln(1)y x x =+分别在0x =的邻域内进行线性近似。
(1)
1x x φ='=-+=-
()(0)(0)(0)x x φφφ'=+- 0
111x y x
='=
=+
()ln(10)y x x x =++=
二元函数的泰勒近似
121211211212222111211121211222
221222(,)(,)(,)()(,)()
1 [(,)()2(,)()()2!
(,)()]f x x f x x f x x x x f x x x x f x x x x f x x x x x x f x x x x ********
*******
***≈+-+-+
-+--+-
第二节 静态优化
一、约束优化与拉格朗日乘子的解释 约束优化问题为：
12max ()..()(,)
F x s t
G x c x x x == 一阶条件（FOC ）：
112
2
1
1
22
1
2
()(())00x x x x x x
x x L F x c G x L
F G x L
F G x F G F G λδλδδλδλλ=+-=-==-===
值函数：
121122
11221122(,),()() V F x x c G x dc G dx G dx dV F dx F dx G dx G dx dc dV
dc
λλλ===+=+=+== 上面的公式可以通过包络定理更简洁地推导出。
λ度量的是条件变化对目标函数最优值的影响，如果F 是效用，G c =是预
算约束，λ表示增加以单位货币时对最优效用的影响。
影子价格：λ还可以看成是以目标函数值度量的约束的单位支付意愿，根据微观经济学的知识可知，支付意愿即为价格，而这种价格与市场价格有别，甚至有时并没有通过市场来交易，只是反应的需求价格，因而被称为影子价格。拉格朗日乘子都可以作类似解释。
二、不等式约束 非负约束：
max ()
.. 0
0,0,0
f x s t x f x xf ≥''?≤≥= 不等式约束：
12121122max (,)..
(,)0[]
0,0,0f x x s t g x x L f g z f g f g g g λλλλλ??
≥??=+-+=??
?+=??=≥≥?
三、包络定理
()
()(,)
()max x
x x a M a f x a dM a f
da a
==?=?
如果是约束优化问题，则右边是拉格朗日函数的偏导数：
()
()(,)
(,)0
(,)(,)()max x
x x a M a f x a G x a L f x a G x a dM a L
da a
λ====+?=?
推导λ的表达式：如果问题与约束是
()()
()()[()]()max x
x c M a f x G x c
L f x c G x dM c dx
L L dc dc
λλ===+-=+=
【例2-1】
2max 64.. 0
x x
s t x --≥
2400
(24)020
(2)00
x x x x x x x x x --≤??
?≥??--=?≥-??
≥??+=??=
【例2-2】
121212max 2.. 0, 02312
x x s t x x x x π=+≥≥+≤
12122(1223)L x x x x λ=++--
1122112221210,0,0
0,0,0
0,12320,(1232)0
x x x x L x L x L x L x x x x x λλ≤≥=??
≤≥=??
≥--≥--=? 1222,13x x L L λλ=-=-
有：
1122
220,0,(22)0
130,0,(13)0x x x x λλλλ-≤≥-=??
-≤≥-=? 01
λλ≤???∞?=?=??11x 1x ①x1=0,L =2-20②x >0,L
X1
103λλλ≤???=?=??
2③x =0,1-30④x2>0,1-3 ①+③，①+④，②+③，②+④四种组合，首先排除②+④，
因为1λ=和1
3
λ=矛盾。
①+④排除，因为1
3
λ=时，1220x L λ=->
由此21
,03x λ≥=
由1212(1223)012230x x x x λ--=?--=
16x ?=
1
2
6
0x x =???=? 四、静态优化的进一步解释 1、从泰靳近似看静态优化
21
()()()()2x x
F x F x F x x F x x '''=+-+
-
+
将任意函数近似为二次函数。如果x 充分靠近X ，二次项支配了高阶项。二次函数最大值（极大值）的条件是二次项的系数小于0，即0F ''≤是二阶充分条件。
2、从套利的思想看优化过程
套利就是利用价格差来获利，在市场均衡时应不会存在套利机会。我们利用一个例子来说明用套利思想解释优化条件。假定消费者在既定收入I 下选择12,x x 使效用最大化。
首先，消费者进行这样的套利操作：将极少的收dI 从消费商品2转移到消费商品1。1x 增加
1
dI P ，2x 减少2dI
P 。11Mu dx 是增加1x 所增加的效用。22Mu dx 是2x 变动带来 的效用变动。
1211221
21212
()Mu Mu dI dI
Mu dx Mu dx Mu Mu dI P P P P +=-=- （注意，这里假定1dx 变动如此之小，以至于1Mu 来不及变化）
如果消费者通过调整获得效用增量为正，则原消费选择不是最优的。如果初始选择是最优的，则上式不可能为正。（这就是无套利）。
12
12
0Mu Mu p P -≤ 其次，相反的操作，即减少用于1x 的支出dI 用于多购买2x ，有
1212
1212
00Mu Mu Mu Mu P P P P -≥?-= 此为无套利条件：额外单位货币用于1和2是无差异的，或微小地改变选择不会带来好处。（熟练的人可以从无套利条件直接推导出优化问题的一阶条件）。
第三节 积分
一、积分
()
()()()dF x f x f x dx F x c dx
=?=+? 积分是微分的逆运算 二、不定积分的基本法则 ①1
1 (1)1
n n x dx x c n n +=
+≠-+? ②x x e dx e c =+?，/ln x x a dx a a c =+? ③1
ln dx x c x
=+?
④()()()()()f x f x f x f x e dx e df x e c '==+?? ⑤()()
ln ()()()
f x df x dx f x c f x f x '==+?
? ⑥[]f g dx fdx gdx +=+??? ⑦积的积分代换法则：()
()du
f u dx f u du dx
=?? ⑧vdu uv udv =-?? （分部积分）
三、对定积分求导的Leibniz 规则 这个公式在后面将一再出现。
(,,)(,)b
a F a
b
c f c t dt =?
①(,)b c a F
f c t dt c ?=?? 穿过去（上、下限没有c ）
②
(,)(,)t b F
f c t f c b b =?==? ③(,)F
f c a a
?=-? 若：
()
()
()(,)b c a c F c f c t dt =?
()()(,)(,())()(,())()b c a c dF
fc c t dt f c b c b c f c a c a c dc
''=+-? 【例3-1】：求积分 ①
312
312
x c c +=
+=+ ② 2222222221414(2)27575
(2)(75)ln(75)75
x x
x x x x e dx e dx dx x x d
e d x x e x c
x +=+++=++=++++?
????
【例3-2】 求对x 的导数
2
12
2
()l n (1)x x f x t d
t =+?
1
122
2
2
22
4
ln(1())()ln(1())()2ln(1))
f x x x x x x x '''
=+-+=++
第四节 微分方程（组）
宏观经济学所用到的数学知识与微观经济学有显著的区别。一般情况下，微观经济学用到优化知识即可，而宏观经济学远不止如此。微分、差分方程（组）在宏观经济学中用得远比微观中频繁。下面简单介绍相关知识。
一、具有常系数和常数项的一阶线性微分方程 阶：导数的最高阶数 次：导数的最高次幂 如果
()()dy u t y w t dt +=，则是一阶线性的。这里没有dy
y dt
之类的项。 注意：u 、w 是自变量t 的函数，如果u 、w 与t 无关，则是有常数和常数项的一阶线性微分方程。严格来讲自变量t 不一定是时间，可以是任意的自变量，但是在宏观经济学中碰到的许多情况中自变量t 确实是指时间。
如
dy
ay b dt
+= a 、b 为常数 如果 0b = 0dy
ay dt ?+= 齐次的
如果 0b ≠ dy
ay b dt
+= 是非齐次的
非齐次的dy ay b dt +=的解与齐次方程0dy
ay dt +=的解相关
（一）分离变量
0dy
ay dt
+= 11
ln at c at
dy adt dy adt y y y at c y e e Ae --=-?=-?=-+?==??
A 是常数，这一通解可由初始条件（如0(0)y y =）得到定解 【例4-1】
20dy
y dt
+= (0)
10y = 22,(10)1010t t y Ae A y y e --?===?=
问题：如果0a =时，如何？
0dy
y dt
=?=？ 练习：Arrow-Pratt 相对风险厌恶度量：()()()
u x x
v x u x ''=-
'。如果是相对风险厌恶系数为常数（我们常常假定如此），求效用函数的形式。
（二）、非齐次方程 方程形式为：
dy
ay b dt +=
非齐次方程的解由余函数c y 和特别积分项p y 组成。余函数c y 是对应齐次方程的解，特别积分项是p y 是任意的特解（即y 为常数）。
y 为常数
0p d y b
y d t a
=?= ((0))at c p at b
y y y Ae a
b b
y e a a
--=+=+=-+
把(0)b
y A a
=+
代入 【例4-2】：解方程
26dy
y dt
+=， (0)
10y = []22103373t t y e e --=-+=+ dy
b y bt
c dt =?=+
注意：分离变量法不但可解一阶线性方程，其它的（只要可分离变量）都可用此法
【例4-3】 解方程
d y x
d x y
=-， 23x y == ydy xdx =-
2211
22ydy xdx y x c =-?
=-+?? 将23
x y =??
=?代入得 2213x y +=
【例4-4】： 解方程
22(1)(1)0x y dx y x dy +-+=
分离变量：
22
11ydy xdx y x =++ 222
22111ln(1)ln(1)ln 222
ln(12)ln (1)1(1)
y x c y c x y c x ?
+=++???+=+???+=+
二、一阶线性微分方程：可变系数和可变项
一般形式：
()()dy
u t y w t dt
+= （一）先找到相应齐次方程：
1()0()dy dy u t y u t dt dt y
+=?=- 两边对t 积分：左边1ln dy dy dt y c y dt y
===+?
? 右边()ln ()udt
u t dt y u t dt c y Ae -?=-?=--?=??
其中，c A e -=。这就是通解。由初始条件可以得到特解，即找到A 。 【例4-5】解方程
2
32330udt t dt
t
dy
t y dt y Ae Ae Ae ---+=??===
（二）非齐次方程：()()dy
u t y w t dt
+= 它的解的形式为：
()udt udt y t e A we dt -????=+ ???
?
（这一结果可以通过添加积分因子推导得到）。
【例4-6】解方程
2dy
ty t dt
+= 这里：22,,u t w t udt t k ===+?
(
)
(
)
()2
2
2
2
22222()
112212
t
k t
k
t k k t t k t t k t t y e A te dt e e A e te dt
Ae e e e c Ae c e Be -++--------=+=+??
=++=++
???
=+
??
注意：最终结果中没有k 、c ，实际做的时候可省k 和c 。
以上最后一例的结果可用添加积分因子的方法推导。
如：
()ct at a c t dy dy ay be e ay be dt dt +??
+=?+=????
左边()()()()at at a c t at a c t
ct
at
d e y d e y be dt
dt
b e y e k a
c b y e ke a b
++-=?=?=++?=++
（三）恰当微分方程
恰当微方程即使是非线性，也可解出。恰当微分方程即全微分方程，即方程具有如下形式：
0Mdy Ndx +=
如果
M N t y ??=??，则上式是恰当微方程。可将M 视为F y ??，N 视为F
t ??。 上式：
0F F
dy dt y t
??+=??，它是F 的全微分，(,)0dF y t F c =?=
通解为：0
0(,)(,)y t
y t F M y t dy N y t dt c =+=??
【例4-7】解方程
220ytdy y dt +=
2M y = 2N y =
2M N
y t y
??==??， 所以它是恰当微分方程。这实际上是根据交叉二阶偏导数相等判断恰当微分方程。
通解：220
2y
t
y dy y dt y t k c ++=+=?? k 、c 为常数
2y t c '?=，其中c '为常数。
如果方程不是恰当形，可试图添加积分因子，使它成恰当形。
一阶一次非线性微分方程一般难以求解，但可通过分离变量，化为恰当微分方程或线性等方法求解；或将它们用泰勒定理近似成线性方程。
三、二阶常系数微分方程
我们只研究1a 、2a 是常数的情况。但是常数项可以不是常数。非常系数的情况可以用近似的方法进行处理。
12()()y t a y a y b t '''++=
（一）常数项b
0b =时是齐次方程：120y a y a y '''++= 试：2,rt rt rt y Ae y Are y Ar e '''=?==
方程：2120rt rt rt Ar e a Are a Ae ++=2120r a r a ?++= 此为特征方程
它的两根12,r r =特征根。
若111r t y A e =，222r t y A e =满足方程，则它的线性组合是方程的通解，
1122y c y c y =+
①若12r r ≠（实），1212r t r t y A e A e =+
②若 12r r =（实），1112r t r t y A e A te =+ （12r t A te 也满足方程） ③复根 r i αβ=± ()1i t y e αβ+= ()2i t y e αβ-=
【例4-8】解方程
2122302301,3y y y r r r r '''--=--=?=-= 312t t y A e A e -=+
练习：20y y y '''+-=
0b ≠的常数：12y a y a y b '''++=，它的解是120y a y a y '''++=（的即对应齐次方程）的解c y （即余函数）加上特别积分解p y （p y 是无论y 为何值时，左右两边均相等的特定的y 值，即y 为一个使得方程成立的常数）。如果20a ≠，令y =常数，2
0p b
y y y a '''==?=
如果20,a =令,y kt =11
0,,p b b y y k ak b k y t a a '''===?=?= 【例4-9】解方程
210y y y '''+-=-
5p y = 212t t c y A e A e -=+
212
5t t
c p y y y Ae A e -=+=++ 如果有(0)12,(0)2y y '==- 由0,12t y ==得12512A A ++=
由212120,222t t t y A e A e A A -'==-=-=-124,3A A ?==
2435t t y e e -∴=++
（二）可变项12():()b t y a y a y b t '''++=
c p y y y =+ c y 的求法与前面相同。
p y 的求法：()()t m b t e P t λ=，我们只考虑这一形式，其中m P 是t 的m 次多项式。
试()t y Q t e λ*= 则[]t y e Q Q λλ'*'=+ 2
2t y e Q Q Q λλλ''*'''??=++??
代入原方程并消去t e λ得
2112(2)()()m Q a Q a a Q P t λλλ'''+++++=
如果λ不是2120r a r a ++=的根（即2120a a λλ++≠），则我们可以令()Q t 为一个m 次多项式，即：
101()()m m m m Q t Q t B t B t B -==++
代入上式，求出01
,t m c m B B B y y Q e λ*?==
如果λ是2120r a r a ++=的单根，即2120a a λλ++=，但20a λ+≠，令
()m Q tQ t =；如果λ是2120r a r a ++=的重根，即2120a a λλ++=，且有
2
120()m a Q t Q t λ+=?=。其他的步骤同上面的操作。
【例4-10】解方程
25361y y y t t '''++=--
0λ=，2m =特征方程2530,r r λ++=不是它的根。
2012012m y Q B t B t B y B t B *'==++?=+ ， 02y B ''=
左边200101225(2)3(2)B B t B B t B t B =+++++
0001232(1031)(253)B t B B t B B B =+++++
右边=26(1)1t t +-- 特定系数法
0010123610312531B B B B B B =???+=-??++=-? 012
2
710
B B B =???=-??=?
22710p y y t ta *==-+
练习：求:p y 4342t
y y y e -'''+-=
（三）稳定性。一般的微分方程是难以得到显示解的，这是利用稳定性理论判断解的性质是有益的。无论是一阶还是二阶，微分方程的稳定性是指解是否足够接近某一特定的值。在宏观经济学中，最有用的是渐进稳定性，即当时间趋于无穷时，解是否趋于某一特定值。这个特定值是指均衡值，即不变的、使得所有导数都等于0的值，也就是特别积分项。稳定性又分为局部与全局稳定性。这里的基本观点是：稳定性取决于c y ，当t →∞时，0c y → 是稳定的（即p y y →）。我们在后面的相位图中可以清楚的看出稳定的情况。
四、微分方程组
1122
()
()x a x b y p t y a x b y g t '=++??
'=++? 齐次方程为：1122,(1),(2)x a x b y y a x b y '=+??'=+?
第一种方法：迭代推导。
11(1)x a x b y ''''?=+
111221121211
112212121221121221()(
)()()()()0
a x
x x a x b a x b y a x b a x b b b b a x b a x b x a b x a b x a b a b x x a b x a b a b x '''''?=++=++-'''=++-=+--'''?-++-= 化成了二阶方程 特征方程：
2121221()()0r a b r a b a b -++-=
由此解出x 和y
12
121212r t r t
r t r t
x A e A e y B e B e
?=+??=+??
1122112211
,r a r a
B A B A b b --=
= 如果,p g 是非0常数，则,x y 的解由等函数()c c x y 和特别积分()p p x y 组成。求的方法是0,0x y ''==求出,p p x y 。
注意：0,0x y ''==求出的,p p x y 值我们不能判断均衡点是否稳态（steady state ），这个均衡点是否稳定（stable ）由c y 是否在t →∞，0c y →决定。
如果特征根是两根实数： ①两负 稳定 ②一正一负 鞍点稳定 ③两正 不稳定
对于非线性系统，如果在均衡点附近一阶导数小于0，则是稳定的（局部）。 第二种理解方法：从线性代数的角度来看，我们可以如下求解：首先由系数矩阵得到行列式：
1122 0
a b a b λλ-=-
再得到特征方程：1212()()0a b b a λλ---=
变形后的这个方程与第一种方法得到的特征方程是相同的。
解出特征根1λ、2λ以及它们对应的特征向量1v 、2v 。如果两个特征根不同，
则方程的解组为：121122t t x c e v c e v y λλ??
=+ ???
。
如果是重根，则只有一个独立的特征向量v 。由2
()0A I w λ-=确定另一向量w 。方程组的解为：1122()t t x e c v c w te c v y λλ??
=++ ???
鞍点稳定是一种条件稳定，是指只有在由负的特征根对应的特征向量确定的方向上才是稳定的。（在数学中这没有什么意义，但是在经济学中人们的理性行为将保证初始位置处在这个方向上，即稳定臂上。正的特征根对应的特征向量为非稳定臂。）